現在位置は
です

発言小町

新しいトピを作成
本文です

算数好きの方、算数・数学の教育に携わる方、語り合いましょう!

DITA
2009年7月1日 9:23
古いレス順
レス数:341本

このトピックはレスの投稿受け付けを終了しました。
タイトル 投稿者 更新時間
現在の価値観で過去を断じない。
かる
2009年7月8日 12:16

交換法則も知っていて、後に出てくるであろう公式も知っている我々大人からすれば「変」と断じられるでしょう。
でもそれは「後出しじゃんけん」ではないでしょうか?
教育課程での学習内容を「知っている」から。

教育は最初から「100」を教えるものではなくて、1,2,3と段階を追って最終的に100に到達するもの。
その途中ではどうしても矛盾や「とりあえず覚えておけ」ということは少なからずあるかと。その段階では理解できない道理が必要な場合があるかと。(プログラム組みますが、いつの時代もC言語のinclude文は「最初はおまじない」としてです。最初にアレは理解できません)

逆にあとから交換法則を学習することで「やっぱりな、気づいていたZE
!」と自信を持つ子や「お〜なるほど〜。すげぇ」とやる気になる子もいるでしょう。
クラス内に30人も個性があっては教師だってどうしようもないでしょう。どうしても子供が納得していないなら、家で親が自分の子供の個性に合わせて説明すればいいかと。
(うちの親は小3で割り算習った後、2乗根の筆算を教えてくれた。流石にわけわからなかった。)

ユーザーID:6816460365
正しい単位
博士
2009年7月8日 15:57

>「左側の数の単位=答えの単位と覚えるように」

これは明確に誤りですね。
一般に1つ目の因子も2つ目の因子も右辺の因子とは一致しませんし。
りんごの例でも、
80(円/個)×50(個) = 400(円)
が正しい単位でしょう?
80(円)×50(個) = 400(円)
は誤りです。

ユーザーID:6402484983
訂正
博士
2009年7月8日 16:00

あ、80(円/個)×50(個) = 400(円)ではなく、
80(円/個)×5(個) = 400(円)でした。失礼しました。

ユーザーID:6402484983
単位の問題もあるんかな
むー太郎
2009年7月8日 22:20

割り算を習っていない2年生では。

単価の単位である「円/個」が理解できない。

と言う事もヤヤコシイことになる一因かと思われます。


1個の値段(円)×数(単位無し)=金額(円)

という正直大人には意味分からん式ができ上がってしまう。

どう考えても
数量(個)×単価(円/個)=金額(円)
でしょうに。自営業やっているところの子供はこれくらい知っていたりしませんかね?

ユーザーID:2293259910
本当に必要な指導法なのだろうか?
積分定数
2009年7月8日 22:32

 私自身は、かけ算の順序をうるさく言われた記憶がありません。

 例えば、「20÷7=2あまり6 という計算は、分数などを勉強したあとでは、20/7とすればいいので、あまりの計算などやめるべきだ」というつもりはありません。

 「かけ算の順序」を疑問に思うのは、「後で使わない不要なことだから」ではありません。

 メリットとされることと比較して、あまりにデメリットが大きいからです。

 デメリットの一つが、方便に過ぎない「かけ算の順序」が一人歩きして、あたかもそれが原則であるかのようになってしまう。さらに、そこから派生した「左側の数の単位=答えの単位」などといる明白に間違った「ルール」までが捏造される。そうして教える側の人がそのよう「ルール」を信じ込んで、それを教え込むことの腐心する。

 そうして、最初は「かけ算の考え方、意味を理解するための道具」が強固な「ルール」となって、高学年まで延々これをうるさく言う。長方形の面積を横×縦にすると誤答にする例まで出てくる。

 「意味さえ分かっていればどっちでもいい」という方が遙かにましだと思います。

ユーザーID:8503241366
「かけ算の順序はどっちでもいい」は、抽象化思考の1つ
積分定数
2009年7月8日 22:51

http://anothertrack.hp.infoseek.co.jp/others/0028.htm
http://anothertrack.hp.infoseek.co.jp/others/0029.htm
http://www.eonet.ne.jp/~mnzbo645/kakekakerare.htm

サンドイッチだの、警察と泥棒など、こういうことで生徒に、「かけ算の順序」や「かける数・かけられる数」を指導して、いったい何の意味があるのだろうか?

「3を4つ足すことと、4を3つ足すことは、見かけ上異なるが、本質的に同等である」ということは、大変面白いところだと思う。「指数関数と三角関数が同じである」というのと似ている。

 見かけ上異なることが、本質的に同じ事であるということを発見するのは算数・数学での面白さの中でも、かなり上位に位置すると思う。そうやって、数学で重要な「抽象化」を学ぶことになる。

 それを逆に、「本質的に同じであることを、違うと認識するように」という指導は、「抽象化するな」という指導となりかねず、大いに疑問である。

ユーザーID:8503241366
トピ主です。かけ算の順序 親としての対応を考えるなら?
DITA(トピ主)
2009年7月9日 0:47

●積分定数さん

投稿ありがとうございます。
(反映が遅くてさぞ驚かれたことでしょう)

数学的な議論(mixiの数学コミュの1000レスなど)も読んで、
おおむね、議論がどう進むのか(あるいはどう進まないのか)が分かりました。

積分定数さんは実際の教育に携わっていらっしゃるそうですので、
本論とは別に、お伺いしたいことがありますが、よろしいでしょうか。

問題を矮小化する意図は全くないのですが、
仮に、実際に、かけ算の順序を徹底する先生がいたとして、
児童が×をもらったとしたら、その児童を持つ親としては、
どういう(子供のケアを含む)対応をすれば良いと思われますか?

私は小2の親ではありませんが(それ以前に人の親でもありませんが)
このことで子供がやる気を失ったり、
夫婦喧嘩にでもなったりしたら非常に残念なことで、
「先生や小学校教育を問う」とまではいかなくても、
1人の親という観点で、自分の子供(だけ)のことを考えた場合、
どのような対応が望ましいか知りたいです。
かけ算を習うにあたり、事前のケアもあると良いのでしょうか。

本論は本論でいくつかレスをしたいと思います。

ユーザーID:3716159584
「かけ算の順序」を教えることが正当化される必要条件
積分定数
2009年7月9日 4:05

 「方便に過ぎない。本当はどっちでもよい。」ということを教える側が理解していて、教わる生徒もいずれこの認識になることが必要条件である。もちろん必要条件なので、これが満たされたら正当化される、というわけでもない。

現実はどうであろうか?

http://komachi.yomiuri.co.jp/link/link.jsp?url=http%3A%2F%2Fkomachi.yomiuri.co.jp%2Ft%2F2004%2F0607%2F002209.htm%3Fo%3D0%26p%3D0
をざっと読んだが、「正しい順序がある」「左の単位と答えの単位が同じ」と思いこんでいる人がいる。
http://kurilin.moo.jp/diary2006-11-2.html 11月16日(木) 11月21日(火) の日記もすごい。
http://q.hatena.ne.jp/1197768804 小学校教員の質問だが、「かけ算の順序」が方便以上のものであるかの如く思いこんでいるのがわかる。

勘違いしている人がいること自体、「かけ算の順序」を教えることの弊害である。

ユーザーID:8503241366
素朴な疑問
かる
2009年7月9日 11:11

1−1=0の証明は背理法じゃ駄目なの?

背理背理♪ほれ♪背理法〜♪はっは〜。

ユーザーID:6816460365
厳密さより
二立
2009年7月9日 11:40

正しいかどうかですが、かけ算を習ったばかりで、割り算とか
分数とかはまだ、というレベルの生徒に、

80(円/個)×5(個) = 400(円)
が正しい単位でしょう?

というのは無理でしょう。4,5年生で、算数は苦手だと
言う生徒も却って敬遠するでしょう。

それに対して
「左側の数の単位=答えの単位」
というのは、わかりやすい指標です。

以下は、余分な要素が入っていますから、生徒のレベルによって
は難問です。

1冊80円のノートが5冊入ったケースが3個あります。
1.1ケースの値段は何円ですか。
 80円x5=400円
2.ノートは全部で何冊ありますか。
 5冊x3=15冊

このとき、「答えの単位の数を左」というヒントがあれば
格段に式が立てやすくなります。

文章題で、問題文の意味を読み取って、式を立てるというのは
なかなか難しいのです。読解力・国語力の問題でもあります。

小学生に英語なんかやらせている場合ではありません。
算数の文章題を正しく読解できる国語力をきっちりつけさせる
ほうが先決です。

ユーザーID:1984691627
>親としての対応
積分定数
2009年7月9日 16:12

 難しい問題ですね。私自身は主に高校生を教えていて、「かけ算の順序」は、数年前に新聞投書で読んで初めてその存在を知り、驚いた次第です。色々調べていくと、教えている教員自身がよくわかっていなくて、「とにかく順序を正しく」となってしまっているようです。私としては、議論を巻き起こすことで現場の教員にも考えてほしいという思いがあるので、「順序を逆にしてバツを付けられた。納得できない」となったら、ネットで調べたりしてそれなりに理論武装して、教員と話し合ってほしいと思いますが、そう簡単に行かないのが現状だと思います。

 「自分の子どもにとっての最大利益」と考えると、何が最適かはわからないです。小学生に、教師への不信感を植え付けていいのか、あるいは、「納得行かないけど、長い物には巻かれよう」という処世術を小学校のうちから教える必要があるのか、意見を言うことで何か報復されないか、とか色々考えちゃいますね。

 だからこそ教員は力を持っている側にいるという自覚を持つ必要があるし、私みたいな第三者が、授業のあり方について意見を述べる機会があってもいいと思うのです。

ユーザーID:8503241366
親としての対応
二立
2009年7月9日 16:42

DITA様、ちょっと横ですが、RESの更新が遅いので、私も
一言述べさせてください。

もし、教師がXをつけるとしたら、授業中にこういう問題は
このように式を立てるんですよと指導していて、それに
従っていない場合ですね。

筆順などもそうですが、たとえば上という漢字、最初に
縦棒から書き始めようが、横棒から書き始めようが、
どちらが正しいというものではありません。

しかし、授業中にこの筆順で書きなさいと指導されていて、
その筆順を問う問題が出た場合、教師の指導に従っていない
場合、Xにされてもやむを得ません。

だから、答えは正しいかもしれないが、それを計算する過程で
先生の指導に従わなかったらXにされてもしかたがない、
と言ってあげるのがいいんじゃないかと思います。

ユーザーID:1984691627
トピ主です。まとめ亀レスです。
DITA(トピ主)
2009年7月9日 17:44

だいぶ遅れましたがレスです。

●数学偏差値40未満さん

あれってLaTeXの数式ですよね。
あのフォーマットに慣れると、パッと見で、
レンダリング後の数式が「見える」ものなのでしょうか?
人間コンパイラみたいな(笑)

●石ころさん

マーチン・ガードナーの「数学ゲーム」、確か私の家にもありました。
ただ、第何巻だったのかも、読んだかどうかも覚えていないのですが…。
とはいえ読んだ事実だけを覚えていても意味ないですね(汗)。

「数学とは何か」は、難しいですね。
その言葉を発した人の時代背景も影響しているのでしょうね。
大昔は「農耕の道具」だったかも知れませんし…。

●41歳女さん

すみません。ご質問を勝手に勘違いしておりました。
「簡単かどうか」というご質問だったのですね。

中学・高校の頃であれば簡単だったかも。
今は「んー。解なしだよな〜。でもそういう代数学ってあるのかなー?」とか、
あれこれ詮索して結局ウィキペディアで調べてしまった私にとっては「難しい」です(笑)。

ユーザーID:3716159584
トピ主です。かけ算の順序についての理解と疑問点
DITA(トピ主)
2009年7月9日 19:20

ある【かけ算の分からない児童】に対して、式の立て方をテクニックとして教え、
一定の順序で式を書かせて解けるようにする。
単位量が十分に理解できれば、交換法則を学ばせ、
やがて面積計算(小4)を学んだ頃には式の記述も柔軟になってくるだろう
という個別のケースであれば「そうなのか」とは思えます。

ただそれだけではなさそうで、以下の疑問点があります。

(1) すでに算数のかけ算を理解している児童に対して×を付け、
  時にはその理解をくじくようなことをしてまで、
  児童一律に統制させることに教育的価値があるのかどうか

(2) 交換法則(小2)を学習した後であるにも関わらず、
  小3以降もその方法を一律に叩きこむ先生がいるようだが、それは良いことなのか

(3) そもそも、かけ算の順序が問われるとしたら、それはいつまでかが明確なのか。

児童一律に「この順序で書きなさい。逆順に書いたら理解したとはみなしません」という統制をするのであれば、そこには数学的・算数的な根拠があってこそと思いますが、
今は「理解したかどうかを簡単に把握するために統制する」以上の理由が見えてきません。

ユーザーID:3716159584
足し算をどうする?
むー太郎
2009年7月9日 20:53

左が掛けられる数、右が掛ける数。
そこに異論を唱える人はいないとして。

何故(1個あたり)『80円』が「掛けられる数でなければならない」かの説明って誰かできるでしょうか?
『5個』が「掛ける数でなければならない」理由は?


さて。
タロー君がアメを4個持っています。ジロー君は3個持っています。
合計でアメは何個あるでしょう?

4+3=7
と答えます。
この式において4は「足される数」です。
3は「足す数」です。
掛け算の論理でいくと、何らかの理由によって、どちらかが「足される数」に決定されるはずです。
私はタロー君の持っている数を足される数としましたが、これは正解・不正解のどちらでしょう?
そして、その理由は何でしょう?

詭弁で良い。誰か答えられる人いますか?


このへんの問題は「知識が無い人向けの方便」を「絶対普遍の真実」であると信じている大人がいるってことでしょうな。

ユーザーID:2293259910
親の対応、と掛け算の意味
ある父
2009年7月9日 20:59

記憶は定かではないけど、娘(少6)は先に公文でやっててかなり進んでたので「学校ではとりあえず習った順番で答えとけ、どうせ後になったらどっちでもいいんだけど」と言った様な言わなかったような(笑)。親がこういう性格なもんで娘は苦労してるようです。「パパの説明、いつも長い〜」と嫌がられてます(笑)。

つらつら眺めててちょっと気になったことがあります。掛け算の最初の説明(定義)として、同じものを何回か足したものを掛け算として計算する、とありますが、最初に触れて後は割りとそれっきりな印象です。変に単位がどーたらよりも、わからない子がいたらここに戻ればいいような気がするんだけど、なんか戻れない理由でもあるのかな。ここで聞いても仕方ない気もするけど(笑)

ユーザーID:9181712611
−数学の本質はその自由性にある− カントール
積分定数
2009年7月9日 22:47

>だから、答えは正しいかもしれないが、それを計算する過程で
先生の指導に従わなかったらXにされてもしかたがない、
と言ってあげるのがいいんじゃないかと思います。

こういう事例があります。
「3時間で15km走った。同じ速度で6時間走ったときの距離は?」
を「6時間は3時間の2倍だから、15×2で30km」と答えてバツになった。距離÷時間で時速を出して、・・・とやらなかったからと思われる。

 この解答は数学的には非の打ち所はないが、「教えた公式を使うように」と一言あれがバツにしていいのだろうか?

 常日頃から、「テストには教えたとおりに答えるように」と指導していたら、それとは異なるやり方でやった場合にバツにしていいのだろうか?そのような指導自体が問題あるかと思う。

 「一体その教員は算数の授業で何を生徒に教えたいのか?」と疑問に思うことが多々あります。マニュアルに当てはめさせることに腐心する教員が少なからずいます。「かけ算の順序」の指導もその一環のように感じます。

 大切なのは、考え方だと思います。かけ算の初歩段階であれば、「順序」も理解できるのですが。

ユーザーID:8503241366
トピ主です。二立さんへ
DITA(トピ主)
2009年7月9日 22:50

●二立さん

レスありがとうございます。
過去の鋭いレスについても、併せて御礼申し上げます。

私の投稿が遅かったり、他の方や私の投稿の反映にタイムラグがあったりはしますが、
どんな話題でも遠慮なく投稿くださいませ。

本題ですが、かけ算の順序についての議論は、他にぴったりの類例が
なかなか見つからないことが、一層、議論を困難にしている気がします。

たとえば漢字の書き順であれば、とある先生が、
「"左"も"右"も横棒から書いたほうが簡単だから、そう書くように。
"右"を、斜めから書き始めたら×にします」
と指導したとしたら、その指導は明らかに誤りと言えますよね。

先生がどう指導するか以前に「正しい書き順」というものがあり、
それに従って指導することが望まれている訳です。

ですので、「先生の指導」を根拠にするならば、
指導したという事実関係のみをもって○にするか×にするか、には留まらず、
その指導そのものが適切であるかどうか、
算数であれば、算数・数学の教育の一環としてきちんとした指導の根拠があるのかどうか、という議論が必要ではないでしょうか。

ユーザーID:3716159584
単位に着目させることへの、素朴な疑問なのですが
積分定数
2009年7月10日 0:09

>このとき、「答えの単位の数を左」というヒントがあれば
格段に式が立てやすくなります。

「何冊か?と聞いている。5冊とあるから、5×○だ」ということで、「みはじ」同様、理解していない解けてしまう。ところが答えは正しいので、本人も教える側も「理解している」と思いこむ危険がある。

 既に書いたように、「考え方を理解するための順序」のはずが、「単位に着目させれば、意味を理解しなくても立式できる」となっていませんか?「『の』とあったら、かけ算」などという文章題攻略指導と同様に思えるのですが。

 一方で、文章の意味を正しく読みとり、「3つのケースの中にそれぞれ5冊あるから」と正しく理解して、さらに「かけ算は本質的に可換」と正しく認識しているので、順序を気にせず3×5とすると誤答になりかねないというのは、やはりおかしく思えます。

 「みはじ」同様、「理解力のない生徒が理解しなくても解ける方法」というならわかるのですが、自転車に乗れる子に補助輪を強要することはないと思います。

http://math.artet.net/?eid=1051119も参考になります。

ユーザーID:8503241366
1-1=0の証明
数学偏差値40未満
2009年7月10日 0:26

カル様

問題をはっきりさせてみました。
「整数について、1-1=0を証明せよ。」

以下は、岩波数学辞典による整数の代数的構成です。
(こんな整数、イヤだ!)

自然数Nを既知とし、
Zを、Nと0,およびNの符号を変えたものの全体、とする。
M=N×Nとおき、Mに同値関係(k,l)〜(m,n)をk+n=l+mで定める。
(k,l)の同値類をK(k,l)とし、商集合M/〜をM*とおく。
φ:Z→M*を
φ(n)=K(k+n,k), φ(0)=K(k,k), φ(-n)=K(k,n+k)
で定めると、ZとM*は1対1に対応する(同一視できる)。
加法: K(k,l)+K(m,n)=K(k+m,l+n)
減法: K(k,l)-K(m,n)=K(k+n,l+m)
で定義する…

これだと、背理法を使わなくても、
代入のみで証明できる感じがしますが、どうでしょう?

ユーザーID:1586063521
 
現在位置は
です