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発言小町

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この数学の問題 わかりやすく教えてくださる方

たけし
2017年7月25日 11:01

お世話になります。高校数学だと思いますが、以下の問題の解き方がわかりません。
分かる方、易しく解説していただければ幸いです。

問 1≦X≦3 のとき、X+X/2の最小値はいくつか?

答えだけはわかるのですが、載せると考え方が違うのに答えが合う場合がありそうなので、
失礼ながら問題だけ書かせていただきます。
どうぞよろしくお願いします。

ユーザーID:3499167315  


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タイトル 投稿者 更新時間
問題、間違ってません?
なんとも
2017年7月25日 12:05

Xが1以上3以下の時X+X/2の最小値・・・なんて中学生でも解けますよ?

X+X/2=3/2Xだからこれの最小値はX=1のときで3/2です。

こんな簡単で意味不明な問題・・・出すわけないと思うんですけど。
問題間違ってるでしょ?

ユーザーID:3578675876
式はあってますか?
クマちゃん
2017年7月25日 12:12

通りすがりです。
これ、本当に式はあってますか?
3/2Xの単調増加における、Xの指定範囲の値と
思いますが、高校の問題にしては簡単すぎる
ような気がします。

では。

ユーザーID:8956410948
問題が・・・
だみあーの
2017年7月25日 12:30

すみません、設問は間違っていないでしょうか。

X+X/2の最小値はいくつか?

とのことですが、
X+X/2=3X/2
→ つまり、「Xの1.5倍」ということにすぎません。
したがって、Xが最小値であれば、「Xの1.5倍」も最小値になります。
※ここまで、理解はあっていますでしょうか??

1≦X≦3 という数式も奇妙で、この最小値は、1であるにすぎません。
(X≦3 に何の意味もないことになります)

ですから、答は”1.5”になるだけでして、
これは高校の数学ではなくて、はっきりとは分かりませんが、
たぶん不等号の式を習う小学生のための問題となってしまうのですが…

ユーザーID:1999140568
一次関数
数学は3
2017年7月25日 12:41

Y=3/2Xのグラフを描く。

ユーザーID:5905787994
ええと
ささ
2017年7月25日 12:46

最小値を求める式が単一な和で、式を置きかえれば1.5Xの最小値を求めていると分かる。
上記からXが小さい程に比例して最小値になるとわかりますので範囲から1ですとなる。

ユーザーID:4352327823
小学校高学年か中学では?
三年で生まれ変わり
2017年7月25日 12:59

>X+X/2
って Xに二分の一のXを加算する、と読んでよいですか?
それならば1.5Xの正比例のグラフが描けますよね。
正比例、ということはXが取り得る一番小さい値を採用すればよいので、
この場合、X=1のときとなり、答えは1.5ではないのかしら。

ユーザーID:0293364007
簡単すぎない?
p-Ko&Love
2017年7月25日 13:02

x+x/2ですか?

x+x/2 = 3x/2
となるので、これはリニアに増加する一次関数です。
よって、
x=1のとき最小で「3/2」
ですね。

x+2/xの場合だともう少し複雑になりますね。
正攻法で解こうと思うと微分が必要になりますよ。
y=x+x/2
とすると、一回xで微分して、
y’=1−2/x
よってx=ルート(2)の時にy’=0となる。
また、
1≦x≦ルート(2)の時、y’<0(曲線の傾きが右下がり)
x=ルート2の時、y’=0(曲線の傾きがx軸に平行)
ルート(2)≦x≦3の時 y’>0(曲線の傾きが右上がり)

よって、x=ルート(2)の時にyは最小となり、
ルート(2)+2/ルート(2)
=2*ルート(2)
が解かなあ。

ユーザーID:0122783015
気に掛かるところはどこ?
小豆
2017年7月25日 13:03

1≦X≦3
ならXの最小値は1

X+X/2の最小値
はXが最小値の時でしょう。だったら1+1/2で1.05。

でもこんなの簡単だったら義務教育ですよね。どこか私が勘違いしてるのでしょうか。
トピ主さんが引っかっかた理由を教えてくださいませ。

ユーザーID:8197464942
最小値なんだから
泥熊
2017年7月25日 13:05

x は1以上3以下なんだから最小値は1

1+1/2=1.5じゃないの?

不等号記号を理解してるかって問題では?

ユーザーID:8568739402
問題が間違っていると思います
たぬきおやじ
2017年7月25日 13:09

1.問題文が、X+X/2 のとき:
X+X/2 = 3X/2 1≦X≦3 の範囲では、3/2≦X≦9/2 となり、最小値は X = 1のときで、X+X/2 = 3/2
答え 3/2

2.問題文が、X+2/X のとき:
1≦X≦3 の範囲では、X > 0 であるから、
相加平均相乗平均の関係を使うと、
X+2/X ≧ 2(X×2/X)^1/2 = 2(2)^1/2 (2ルート2)
の不等式が成り立つ。等号が成り立つ(最小値)のは、
X = 2/X のときで、X = (2)^1/2 (ルート2)
ルート1 < ルート2 < ルート9 から、ルート2 は1≦X≦3 の範囲内。
よって最小値は、X = (2)^1/2 ときに、2(2)^1/2 (2ルート2) をとる。 
答え 2(2)^1/2 (2ルート2)

なお、相加平均相乗平均の関係はA, Bを正の実数とすると、
A - 2(AB)^1/2 + B = {(A)^1/2 - (B)^1/2}^2 ≧ 0
から、A + B ≧ 2(AB)^1/2 が証明できます。

ユーザーID:5626023669
ぱっと見
ぼんみ
2017年7月25日 13:27

ぱっと見 X+X/2は一次の単調増加関数なので、
X=1を入れた値が最小です。

ユーザーID:9630798421
高校数学?
あっきー
2017年7月25日 13:30

1≦X≦3ということはXの最小値は1なので
X+X/2に1を代入すると最小値は答えは1.5じゃないでしょうか。

ユーザーID:9552160756
考え方も何も!
ochikobore
2017年7月25日 13:37

X=1〜3
X+X/2=1.5X
答え1.5
ちなみに最大値は4.5

ユーザーID:1668123529
1.5
たか
2017年7月25日 14:18

問題の式は、与えられた区間で単調増加であるので、最小値はXが区間内で最小であるときつまりX=1のとき
そのときの式の値は、1+1/2=1.5

単調増加である理由も示せといわれたら、式をXで微分すると、1+1/2=1.5。
これは常に正なので、あらゆる区間で単調増加。
したがって与えられた区間でも単調増加。

こんなところでいかがでしょうか?
(簡単すぎるので X+X^2 とかの書き間違いだったりして)

ユーザーID:1855942886
懐かしいですね。
あさぎり
2017年7月25日 14:19

1≦10≦3なので、まず求められるXの値が(整数のみならば)1か2か3となります。
なので、10の最小の答えは1になります。

それで、X+X/2の最小値と言いますと10の答えの最小値で式を作ればよいのでは?
(1+1/2の答えが、求められている答えだと思います。)

…こんなんではだめですかね。

ユーザーID:0266945208
問題、間違えてませんか??
まる
2017年7月25日 14:20

X+X/2だったら、3/2*Xなので
最小値は3/2だと思いますが
これだと、問題にならないので
X+2/Xの間違いじゃないんですか?

ユーザーID:4764555753
問題は正しいですか?
おじさんですが
2017年7月25日 14:26

すみませんが、問題はこれで正しいのでしょうか?

「1≦X≦3の時、X + X/2の最小値はいくつか。」

X + X/2 = (3/2)X ですからこれは傾きが正の一次関数です。ゆえに
1≦X≦3より X = 1 の時に最小値 3/2 となる事が明らかで、
高校数学ではなく中学のレベルだと思います。

勝手な想像ですが、問題は

「1≦X≦3の時、X + 2/Xの最小値はいくつか。」

ではないでしょうか。X + 2/Xは単純な関数ではないので、高校数学と
言えると思います。

f(X) = X + 2/X とおいて微分を使うのもひとつの手ですが、ここでは
Xの範囲が正である事を利用して

X + 2/X
= (■X)^2 + [(■2)/(■X)]^2
= [■X - (■2)/(■X)]^2 + 2■2

と変形すると、これは ■X - (■2)/(■X) = 0 つまり
■X = (■2)/(■X)
X = ■2
の時に最小値 2■2 となる事がわかります。そして X = ■2 は
1≦X≦3を満足するので、これが答えになります。

もし問題がこれ以外であれば、お教え下さい。

ユーザーID:9713176685
問題写し間違ってないですか?
カイト
2017年7月25日 14:35

んー??
問題写し間違ってんじゃないかなあ。

X+X/2って3X/2でしょ?
そんなん最小値はX=1のときに3/2だけど、
こんな問題、高校どころか中学だって出ますまいまい。

なんかこう、ここでの2乗の書き方が分からなくて分数にしちゃったとか、
そういうことかなあ。

ユーザーID:7607942074
問題を書き間違えていませんか
syzygy
2017年7月25日 16:22

 このままの問題だとx=1のとき最小値3/2ですが、これでは簡単すぎるので、恐らく本当の問題は x+2/x の最小値を求めるという問題でしょう。xは正なので、相加相乗平均を用いるのが一番簡単だと思います。
 x+2/x≧2■(x・2/x)=2■2で等号が成り立つのはx=2/xよりx=■2
つまりx=■2のとき最小値は2■2です。
 ただ、個人的にはこのような解法はいかにも受験数学的で、好きではありません。f(x)=x+2/xとおいて微分すれば、f'(x)=1-2/x^2となり(x^2はxの二乗です)
f'(x)=0よりx=■2で1と3の範囲で増減表をつくれば、x=■2のとき最小となることがわかります。微分法は単なる小手先の技術ではなく万能の方法です。
 なお、よくやる間違いは、1≦x≦3の逆数をとって1/3≦1/x≦1それぞれに2を掛けて2/3≦2/x≦2これと1≦x≦3を辺々加えて5/3≦x+2/x≦5これより最小値5/3と言えそうですが、正しくありません。xが最小となるのはx=1のときですが、2/xが最小となるのはx=3のときで、これが同時には成り立ちませんから最小値が5/3となることはありません。

ユーザーID:1119616198
Xの関数として考える
Ken
2017年7月25日 17:06

Y = X+X/2 = 3/2×X というX-Yのグラフを考えます。

原点を通って、傾き3/2の直線です。

1≦X≦3 としたときの  Yの値は変化しますが、グラフの通り、X=1 のとき、Yは最小値を示します。

ユーザーID:5258756131
 
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