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発言小町

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数学の問題、教えてください!

tjm
2017年8月5日 9:47

お世話になります。

集合(1.2.3.4.5.6.7)の部分集合の数を求める。

という問題です。易しく説明いただけると、ありがたいです。
よろしくお願いします。

ユーザーID:6989015616  


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タイトル 投稿者 更新時間
2の7乗(2^7個)
匿名
2017年8月5日 12:13

解答はタイトルの通り。

この程度のことは教科書や参考書で
部分集合と場合の数の部分を読めば解説されているはず。

特に部分集合というのがどんなものかを理解できれば
タイトルの式(数値)が何を指すか分かるはず。

こういった略解から意味を探る程度の勉強はできるようにしましょう。

ユーザーID:0277661365
場合の数の方法で求めます
たぬきおやじ
2017年8月5日 14:17

空集合を部分集合に含めるかで考え方は異なりますが、
空集合は部分集合に含めるようなので、以下のようになります。
各数字は部分集合に含まれるか、含まれないかの2つの選択があります。
これは1, 2, 3, 4, 5, 6, 7すべての数字に当てはまるので、
場合の数は、2×2×2×2×2×2×2 = 128 通りとなります。
あるいは、部分集合の数に注目すると、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0個は、7個の数字から0個を選択するから、7C0 = 1 (空集合)
1個は、7個の数字から1個を選択するから、7C1 = 7
2個は、7個の数字から2個を選択するから、7C2 = 21
3個は、7個の数字から3個を選択するから、7C3 = 35
4個は、7個の数字から4個を選択するから、7C4 = 35
5個は、7個の数字から5個を選択するから、7C5 = 21
6個は、7個の数字から6個を選択するから、7C6 = 7
7個は、7個の数字から7個を選択するから、7C7 = 1
すべてをたすと128個です。
空集合を含めない場合は1引いて、127です。
これは、756の約数の数を求める考えと同じです。
素因数分解すると、756 = 2^2×3^3×7 (2が2個、3が3個、7が1個)となり
2を例にとると、約数の中に2が含まれるのは、0個、1個、2個の3通りあります。
このように0個の場合があるので、各因数は個数+1になり、
(2 + 1)×(3 + 1)×(1 + 1) = 24 個となります。

ユーザーID:5155127356
数列での解法と、組み合わせの数での解法
きゅうり共和国
2017年8月5日 16:28

■解法1.数列での解法。

集合An=(1,2,3,…,n)の部分集合の個数は
集合A(n-1)=(1,2,3,…,n-1)の部分集合の個数の2倍です。

なぜなら、
(1)集合A(n-1)の部分集合は集合Anの部分集合でもあり、
(2)その各部分集合に要素nを追加した部分集合は集合Anの部分集合であり
(3)集合Anの部分集合は(1)(2)のどちらかである
からです。

従って、集合Anの部分集合の個数Snは
漸化式 Sn=2*(S(n-1))が成り立ちます。
また、 S0=1です。(空集合の部分集合は空集合自身のみで1個)

これから、Sn=2^n と解ります。

ゆえに、
集合A(7)=(1,2,3,4,5,6,7)の部分集合の個数は
S7 = 2^7 = 128

答え 128

■2.組み合わせの個数での解法。

部分集合を要素数毎に分けて個数を計算します。

要素数が0の部分集合の個数は 7C0=1
1の個数は7C1=7
2の個数は7C2=7*6/2=21
3の個数は7C3=7*6*5/3*2=35
4の個数は7C4=7C(7-4)=7C3=35
5の個数は7C5=7C(7-5)=7C2=21
6の個数は7C6=7C(7-6)=7C1=7
7の個数は7C0=1

合計は シグマ7Ci(i=0〜7)=128

答え 128

(参考)

7Cn=7*6*…/(n)*(n-1)…は
7個からn個を順番に選ぶ「場合の数」を、n個を並べる「場合の数」で割った数です。
(組み合わせの個数は、その分、重複しているので割ります。)
考え方が解らない場合は、高校数学1か2の教科書を復習するか、
他のかたの、わかりやすいレスを参照してください。

ユーザーID:0339846698
実験してごらんなさい
高校教師
2017年8月5日 18:34

部分集合がどんなものかは分かっていますかね?

集合Aの要素のすべてが集合Bの要素となっているとき、集合Aは集合Bの部分集合であるという。

例えば
{1}の部分集合は Φ、{1}の2個。
{1,2}の部分集合は Φ、{1}、{2}、{1,2} の4個。

{1,2,3}、{1,2,3,4}の部分集合を全部書き出してみて、要素の個数と部分集合の個数の規則性を考えてみましょう。

困ったら簡単な数で実験してみる。
そうして自分で考えることで、力はついていきますよ。
恐らく夏休み中なんでしょう?
まずは、上に書いたことを頑張ってみてください。

ユーザーID:6762624749
「組み合わせ」の問題ですね
数学好き
2017年8月5日 20:37

元の集合は要素が7つ(1から7までの数字)あるので、mCn(m個の中から
n個を選ぶ組み合わせ数)で計算します。

・要素が1つの部分集合は、7C1=7
・ 〃 2つ  〃    7C2=21
・ 〃 3つ  〃    7C3=35
・ 〃 4つ  〃    7C4=35
・ 〃 5つ  〃    7C5=21
・ 〃 6つ  〃    7C6=7
・ 〃 7つ  〃    7C7=1

部分集合の数は、これを全て足した127となります。

ただ、部分集合の定義をロクに調べないでレスしてますので、
もし「要素がゼロの集合も部分集合」ならば、7C0=1も加えることに
なります。

ユーザーID:4958158612
遠い記憶では
数学は3
2017年8月5日 22:02

一つ一つの要素に(部分集合に)「入る」「入らない」の選択があるので、
2の7乗=256個ではないかと。

ユーザーID:0176929426
場合の数
鮒一把二把
2017年8月5日 22:55

場合の数の求め方でよいのでは?

集合の数が1つの場合 1・2・3・4・5・6・7 (7つ)

集合の数が2つの場合  1-2 1-3 など 7×6÷2=21

集合の数が3つの場合 1-2-3 1-2-4など 7C3=7!÷(4!×3!)=35

集合の数が4つの場合 1-2-3-4など 集合の数が3の場合の仲間外れと同じ 35

集合の数が5つの場合 2つの場合と同様に 21

集合の数が6つの場合 1つの場合と同様に 7

集合の数が7つの場合 1つ

空集合 1つ

合計 7+21+35+35+21+7+1+1=128

答え128個

ユーザーID:0910976718
ネットに同じ過去質問があった
きゅうり共和国
2017年8月5日 23:19

「集合{1,2,3,4,5,6,7}の部分集合の個数」
でネット検索すると、過去に同じ質問が見つかり、回答レスもありました。

なるほど

「各要素が、属すか属さないかで、2^7 個」

ね。

現役の高校生の時はやったかもだけど、40年近く昔なので、忘れました。

樹形図なわけね。

ユーザーID:0339846698
128かな?
たか
2017年8月6日 1:20

(1)だと(),(1)の2つ
(1,2)だと(),(1),(2),(1,2)の4つ
(1,2,3)だと(),(1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3)(1,2,3)の8つ
というふうに倍々に増えていくので、
(1,2,3,4)だと16
(1,2,3,4,5)だと32
(1,2,3,4,5,6)だと64
(1,2,3,4,5,6,7)だと128

だと思います。
()は何も中身がない空集合です。

ユーザーID:4927412225
面白い問題ですが、質問の仕方がよろしくない
数学は積み重ね
2017年8月6日 1:29

部分集合ってどんなものか分かっていますか?

小町で親切な人たちが教えてくれるとは思いますが、
どういうことまで分かっていて、どこが分からないか解決しないと
別な問題で結局解けないですよ?

トピ主はどこまで分かってるんですか?

質問するなら、ここまでは分かるけど、これが分からない。
だから助けて欲しい。と言わないと。
それとも、どこが分からないかも分からないレベルですか?
それならそう言いましょう。

でないと、回答者は、トピ主が分かっていることまで書くという
無駄な文字数と時間をさくことになるわけですよ。
トピ主にとっても分かっていることを説明されるという無駄な時間が発生します。

ご自身で調べましたか?
トピ文だけだとただの丸投げにしか見えません。

今回の問題は、部分集合がどんなものかググるだけで解決しそうですけど。

というか、問題集なら解説とか、教科書なら例題とか用語の説明とか
ついてなかったんでしょうか?


答えは 127 ですよね?(計算間違いはしてないはず!)

説明は他の方にお任せします。(笑)
どこが分からないか分からないので。

ユーザーID:8083252334
部分集合の要素数で分類
空集合は部分集合
2017年8月6日 8:31

まずは、部分集合の要素数で分類しましょう。
0個・1個・2個・3個・4個・5個・6個・7個
ですよね。

それぞれの個数に対して、何組の組み合わせがあるか数えればOKです。
組み合わせの数はそれぞれ
7C0、7C1、7C2、7C3、7C4、7C5、7C6、7C7
です。

(数字は通常小さく記します)
(7C3は、7個の集合から3個を選ぶ組み合わせの数で、(7×6×5)/(3×2×1)となります)
これをすべて足し算すれば終わりです。

ユーザーID:7915147892
別に難しいものではありません
おじさんですが
2017年8月6日 9:20

易しく書けば、

ある部分集合Xは要素”1”を含むか含まないのどちらか。
ある部分集合Xは要素”2”を含むか含まないのどちらか。
ある部分集合Xは要素”3”を含むか含まないのどちらか。
ある部分集合Xは要素”4”を含むか含まないのどちらか。
ある部分集合Xは要素”5”を含むか含まないのどちらか。
ある部分集合Xは要素”6”を含むか含まないのどちらか。
ある部分集合Xは要素”7”を含むか含まないのどちらか。

ですから全ての部分集合を集めて、7個の要素を要素を「含む」
「含まない」で分類すれば2の7乗つまり128個あります。

もちろん、空集合(すべての要素を「含まない」)と
全体集合(すべての要素を「含む」)も部分集合です。

ただし「真部分集合」と言った場合は空集合は入るけれども
全体集合は入らない事に注意してください。

ユーザーID:4070111173
128個です。
年金生活者
2017年8月6日 17:37

要素数7の集合の部分集合を列挙すると、

φ(空集合)、{1}、{2}、…、{1,2}、{1,3}、…、{1,2,3}、{1,2,4}、…、{1,6,7}、{2,3,4}、{2,3,5}、……、{1,2,3,4,5,6,7}となります。

全部で2^7(=128)個です。間違ってたら、恥ずかしい限りです。

ユーザーID:1728955567
こんなのでどうでしょうか?
僧正
2017年8月6日 21:46

学校を卒業してかなりになるので用語に誤りがあれば補正してください。

1〜7の7個の要素が部分集合に含まれるか/含まれないかの2択なので
2^7 = 128個
となります。

実直に
7C0 + 7C1 + 7C2 + 7C3 + 7C4 + 7C5 + 7C6 + 7C7
でもよいですが。
Cの両脇の数は下付きの小文字と考えてください。
(わかると思いますが)例えば7C2は7個の要素から2個の要素を順不同で抜き出す
場合の数ですので要素2個の部分集合の数です。

ユーザーID:0169948955
m個の要素からなる集合の部分集合の数は…
或る無責任な男
2017年8月7日 8:01

 2^m個になります.これは,元の集合の要素に関して,
   全く含まない集合(=空集合) …1個
   1個含んだ集合        …m個
   …
   r個含んだ集合        …mCr
                 (mからr取り出す
                  組み合わせ数)個
   …
   全て含んだ集合(=元の集合) …1個
というだけの個数の部分集合が定義できるため,
   1+m+…+mCr+…+1
   =mC0+mC1+…+mCr+…+mCm=2^m
となる事によります.
 トピの場合はm=7なので,求める個数は2^7=128となります.

ユーザーID:7549508513
 


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