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【駄】算数か理科のご質問(容積?)

理系壊滅
2018年5月10日 14:52

小学生レベルの質問です。すみません。

20センチの輪状のヒモをテーブルに置いたとします(長さは適当です)。
それを、円・三角・四角形など形状を変えたとすると、ヒモの内側の広さは変わるのでしょうか。
なんとなく「外周が同じなら変わらない」気がするのですが、二点で引っ張り、線に近い楕円にしたら、中に入る量は少なくなる気もします。

また、三次元ではどうでしょうか。
たとえば、液体を入れた紙コップを平らになるよう掴むと、液体はこぼれます。
でも、鉄の入れ物とは違い、指の形にへこんで領域が減ったわけではなく、
紙コップがしなって形を変えただけなのに……と混乱しています。

この辺りをバカな私にわかりやすく説明してはいただけないでしょうか。

ユーザーID:7601120963  


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外周が同じでも面積は異なる
テナガエビ
2018年5月10日 15:24

外周の長さが同じ図形でも、その形によって面積は違います。
最もシンプルな例を挙げます。

一辺が10cmの正方形は、外周の長さが40cm、面積は100平方センチです。
これに対し、縦が12cm、横が8cmの長方形は、外周の長さは正方形と同じ40cmですが、面積は96平方センチ。
縦が14cm、横が6cmの長方形は、外周は同じで面積は84平方センチ。
縦が19cm、横が1cmの長方形になると、外周は同じでも面積は19平方センチになります。

三次元の表面積と体積の関係も同じです。

ユーザーID:1674853555
和と積
たか
2018年5月10日 15:33

外周は足し算で、面積はかけ算です。

20センチの紐で正方形を作ると一辺は5cmになります。
5+5+5+5=20cm
一方面積は
5x5=25cm^2
です。

細長にして、1辺を1cmと9cmにすると、
1+9+1+9=20cm
と外周は変わりませんが、面積は、
1x9=9cm^2
となります。

変わることがあるので、「変わらない」のは間違いです。
ただ、どうして「変わる」のかを説明するのは、トピ主が感じている違和感をもう少し説明してくれないと難しいです。

ユーザーID:3646483983
その感覚を実際に当てはめればいい
YI
2018年5月10日 16:02

単純な解説をすれば面積は長さ×長さ で求められるものだから、面積と長さそのものは同列に扱ってはいけません。

例えば、周長が同じ四角形同士を比べたとしても正方形の状態から横を長くしていくと、どんどんつぶれた長方形になっていくので、ついには面積が0になってしまいます。
20cmの紐なら5cm四方の正方形が描けます。
面積は25平方センチ。
1辺が1cmと9cmの長方形も作れます。
この場合は面積が9平方センチ。
1辺を10cmにしてしまうと、紐をたたむことしかできないので、面積はゼロになる。
そして面積を最大にするのは円にするのが一番だと計算すれば分かる。

これは3次元でも同じです。
表面積が同じでも、正立方体よりも円柱の方が容積は大きい。
もっと言えば円柱よりも球の方が容積は大きい。
少ない部材で大きな容積を確保しようと思えばガスタンクのような球状タンクがいい。
ただ、シャボン玉みたいに空中を漂わす訳にはいかないので、地面に置かなきゃいけないから、球状だとデッドスペースが多くなる。
デッドスペースがもったいないからと埋めると円柱になる(これは余談)

実際、掲載してみれば腑に落ちると思いますよ。

ユーザーID:6536448946
広さ(面積)は形状により変わります
ひげおやじ
2018年5月10日 16:17

いちばん面積が大きいのは円。
次に正方形、長方形の順になります。
例えば20cmのヒモを、横一杯に広げたとします。
この場合横の長さ10cm、縦の長さ0cmなので、
面積は0平方センチメートルです。
ヒモを正方形にすると、縦・横とも5cmなので、
面積は5cm×5cm = 25 平方センチメートルです。
円の場合は、円の半径をR、π(パイ)とすると、
円周の公式から、2πR=20  R = 10/π
円の面積の公式から、
π×R×R = π×10/π×10/π = 100/π = 31.8...
立体の場合も同様です。
この場合は表面積で比較します。
球の体積と表面積の比は、
4/3×π×R×R×R : 4×π×R×R = R : 3 =R/3
立方体の体積と表面積の比は、
R×R×R ; 6×R×R = R : 6 = R/6
となり、球の方が少ない表面積で大きな体積を持つことがわかります。
これが、水滴ができるだけ少ない面積になるようにするために、
球になる理由です。(表面張力)

ユーザーID:6135309779
計算すればわかるのに
54歳です
2018年5月10日 16:21

小学生の算数です。
円周率を3.14として計算します。

20cmの紐を正方形にするならば、1辺が5cm 5×5で面積は25cm二乗
円の直径と円周の関係性は直径×円周率=円周
円の面積は半径×半径×円周率
円周20cmの円の直径は20÷3.14■6.37cm
半径3.18cmとして面積は3.18×3.18×3.14=で31.7 (代数計算で最後に3.14を用いると100÷3.14■31.85でこちらの方がより実数に近い)
円の面積の方が広いです。

現在の中学の数学では習わないようですが、私は中学時代に図形の問題の中で雑談として教わりました。
同じ外周の長さならば、角数の多い正図形(全ての辺の長さと角の角度が等しい)の方が面積が広くなると。

ひとつ分りやすい実例を挙げると
紙で正六角形を作ってみてください。
六角形の中には正三角形が6個入っています。切り分けます。
その三角形4つで大きな正三角形を作ります。
正三角形を4つ使って出来た大きな正三角形と元の正六角形の辺の長さは同じです。つまり同じ辺の長さの正三角形は面積が正六角形の2/3しか無いことが見てわかります。

ユーザーID:4696818755
実例をあげます
変わります
2018年5月10日 16:34

ヒモの内側の広さは、変わります。


実例を書きます。
計算しやすいように、長さ12cmのヒモがあるとします。

1辺3cmの正方形が作れます。



では、1辺の長さを1cmずらして長方形にすると
短い辺が2cm、長い辺が4cmの長方形が作れます。




正方形と長方形それぞれ面積を求めてみます。

正方形
3cm X 3cm = 9平方cm

長方形
2cm X 4cm = 8平方cm

この通り、同じヒモの長さでも、面積は変わります。

三角形や多角形にしても面積は変わり、面積が一番大きいのは円になります。

「等周問題」というものなので、もし気になったら調べてみてください。

ユーザーID:5664107563
例題で計算すると
算数嫌い
2018年5月10日 16:44

簡単な例で、考えましょう。

例えば、外周が8センチとする正方形の面積は
2x2=4となります。
次に、外周が8センチの長方形(縦1センチ、横3センチ)の面積は
1x3=3 となります。
それゆえ、外周が同じでも、その形によって面積は変わります。

小学生に出題しても答えてくれます・・・・・

ユーザーID:4489998441
円と球なんです
緑鍵盤
2018年5月10日 17:07

まず、

周囲の長さが一定の場合、「円形」が面積最大になります。
表面積が一定の場合、「球形」が体積最大になります。

感覚的には周囲一定の条件のもと、三角形ならとんがった三角形より正三角形の方が面積が大きく、
正三角形、正方形、正五角形、・・・、と正n角形のnが大きくなるにつれ面積が大きくなることから(これは証明容易)、正n角形のnが超大きくなったらほとんど円じゃん、だから円が面積最大だよねって感じで感覚的に理解できます。


ちゃんとした証明は無茶苦茶難しいです。大学の数学科以上でないといと証明できません。詳しくは「等周問題」で検索。

ユーザーID:9501760395
中学生の回答
算数嫌い
2018年5月10日 17:08

中学生なら以下のように数学で答えると思います。

外周20センチ 縦 x 、横 y の長方形を考えると
面積は xy 、外周は 2(x+y)=20
x+y=10
面積 xy=x(10−x)
x=5の時 面積xy=25 (正方形)
x=4の時 面積xy=24 (長方形)
x=3の時 面積xy=21 (長方形)
x=2の時 面積xy=16 (長方形)
x=1の時 面積xy=9  (長方形)

よって、形が変わると面積は変わります。

とね・・・・・・

ユーザーID:4489998441
もちろん変わります
ひよ子
2018年5月10日 17:20

輪を左右に引っ張った時の面積は0に近いですよね、で上下に紐を広げて形を作っていったら 段々と面積が生まれます
紐の長さに変わりはないんです でも形で面積は変わります

ぺたんこの袋〜紙袋でマチがついたやつ、広げたら空間が生まれますね
表面積がどうであろうと高さと幅と奥行きで体積は決まるんです

紙コップだって 表面積に変わりはなくとも高さと幅、奥行きに変化があったんで容積が変わったんです

空気の抜けたボールを見たことないですか空気が抜けてるんだから 体積は小さくなってますね
表面積には変わりはないけど 入っている空気の量は違ってますね
空気をどんどん入れてボールが膨らんだら(素材は伸縮しないとして)ぺたんこのときより体積は変わってます

理屈を言われても多分納得できないでしょうから 実際にやってみたらいいんですよ
紙袋で遊んでみましょう

ユーザーID:3467376075
変わります
小学生レベル
2018年5月10日 17:35

外周が同じでも面積は変わります。

簡単な実例で考えてみると納得できると思います。

例えば

一辺2センチの正方形と
長辺3センチ、短辺1センチの長方形
を考えます。

どちらも外周は
正方形=2センチが4本=2×4=8センチ
長方形=3センチが2本と1センチが2本=3×2+1×2=6+2=8センチ
で同じですが

広さ(面積)は
正方形=縦×横=2×2=4平方センチ
長方形=縦×横=3×1=3平方センチ
で異なります。

二次元で変わるのですから三次元でも変わります。

例えば、
一辺が2センチの箱(立方体)の、一つの面の中心から
直径が1センチのボール(球体)の半分を、内側からくり抜いた立体と、
逆に外側にくっつけた立体を考えてみます。

どちらも、表面積は同じですが、
体積は
前者の立体は立方体の体積から球体の体積の半分を引いた値、
後者の立体は立方体の体積に球体の体積の半分を足した値、
となり、異なります。

ユーザーID:5247984393
面積という概念
アリエル
2018年5月10日 19:36

貴女が書いた、ヒモの内側の広さは、面積という概念で表します。

一辺の長さが1センチの正方形(真四角)の周りの長さは、4センチなのは解りますよね?
この広さを一平方センチメートルと言います。

広さを考える時、この1平方センチいくつ分に当たるか?が解れば
違う形であっても、広さを正確に比べる事が出来ます。

貴女が何となく感じた、
>線に近い楕円にしたら、中に入る量は少なくなる
これは正解です。

貴女が例えに出した20センチのヒモで、高さ1センチの長方形(長四角)を
作ったとしたら、両端の高さに2センチ、残りの18センチで上の辺と下の辺を作れば
それぞれ9センチずつになり、1平方センチ9個分の、9平方センチの長方形が出来ます。

これが高さ2センチの長方形ならば、16平方センチになります。

同じ紐で正方形を作った場合、一辺5センチの正方形を作ることが出来
その面積は、25平方センチです。

これが、円になると、ここまでよりも計算が難しくなるのですが
ざっくりとした計算でも、広さ28平方センチを超える円を作ることが出来ます。

この様に、同じ外周の長さの中の面積は真円(まんまる)に近い程
広くなります。

体積にしても同じ事。
ぺちゃんこにしてしまえば、表面積は同じでも、中に入る体積は減ってしまいます。
ちなみに体積や容積の単位は、1立方センチメートルと呼びます。

この程度の知識は、社会生活に最低限必要なレベルの事です。
算数や理科だと思わず、今からでも理解できるように、頑張って下さいね。

ユーザーID:0760184554
計算してみよう
ホームワーク
2018年5月10日 21:15

 算数の問題ですからまずは計算して確かめましょう。
今半径rの円を考えます。この円の円周n,面積s1はそれぞれn=2πr,s1=πr2(2乗)となります。(小学校で習う公式ですね)この円を変形して正方形にしたとします。周の長さが2πrですから正方形の1辺の長さは2πr÷4,従って面積s2は
1/4(πr)2(2乗)となります。面積の大きさを比較するため、s2/s1を計算すると
π/4となり1より小さな値となります。このことは正方形の面積は円の面積より小さい事を表しています。
 周の長さが一定の時面積が最大となる図形は円である。事が知られています。
トピ主さんが感じた直観は誤りだったと言えます。しかし直観は大事な要素です。どうか大事にして下さい。
 3次元の場合も断面積が異なるので体積も異なる事になります。
算数に関する問題は多くの場合計算することが出来ます。公式を忘れていてもネットで簡単に確認できます。疑問がわいたら計算してみることをお勧めします。

ユーザーID:0678700249
長くなりますが
おじさんですが
2018年5月11日 11:32

一般的には、外周を変えずに形状を変えると面積は変わります。

例えば外周20cmであれば、
一辺5cmの正方形⇒面積25平方センチ
1cm×9cmの長方形⇒面積9平方センチ
直径約6.37cmの円⇒面積は約31.8平方センチ
一辺(20/3)cmの正三角形⇒面積は約19.2平方センチ

ただし外周を変えずに形状を変えても面積が変わらない場合があります。

例えば下底8cm、上底2cm、両脚5cmの等脚台形を考えます。正確に図を描けば
わかる様に、高さは4cmになります。つまり外周20cm、面積20平方センチです。
そして一辺5cm、高さが4cmのひし形も外周20cmで面積20平方センチですから、
これらは同一外周で形状が異なるけれども同一面積の図形です。

立体では、一般的には表面積が同じでも形状を変えると体積は変わります。
例えばペットボトルの表面に製造不良で小さな出っ張りができたとします。
当然ボトルの体積は増加しますが、出っ張りとまったく同じ形と体積を持つ
窪みができたとすれば表面積は出っ張りの場合と同じで体積は減少します。

ただし表面積を変えずに形状を変えても体積が変わらない場合があります。

例えば2本の直立柱で、底面が同一外周で形状が異なる同一面積の図形かつ
高さが等しい場合です。なぜならば

表面積=底面積×2+底面の外周×高さ
体積=底面積×高さ

だからです。

ユーザーID:5519684974
わかりやすく
レヒネン
2018年5月11日 14:23

長さ20cmのヒモで四角形を作ります。

5cm四方の正方形の面積:5×5=25(cm2)


縦2cm・横8cmの長方形の面積:2×8=16(cm2)


縦1cm・横9cmの長方形の面積:1×9=9(cm2)


ヒモの長さはどれも同じですが、面積は違います。

三角形や円を作っても、
紙コップでも鉄でも、同じことです。

ユーザーID:3563151206
ありがとうございます
理系壊滅(トピ主)
2018年5月11日 22:42

トピ主です。おじさんですが様まで、14名もの方にレスしていただきました。
ありがとうございます。

私も義務教育は受けましたので、算数も、面積の求め方も習いました。
今までは疑問に思うことなどなかったのですが、
「結ばれた一本の線で区切った空間の量が変わるのはなぜなんだろう」
と考えたら、今までは「そういうもの」と片付けていたいろいろなことが、不思議に思え、止まらなくなりました。

自分の脳が心配です。

みなさまがあげて下さった例や、教えて下さったことを、
これから試したり調べたりして、納得したいと思います。
ありがとうございました。

ユーザーID:7601120963
かんたん解決
ひもオトコ
2018年5月12日 10:01

>なんとなく「外周が同じなら変わらない」気がするのですが、二点で引っ張り、線に近い楕円にしたら、中に入る量は少なくなる気もします。

まず、3点A,B,Cでできた三角形を考えましょう。

正三角形だと何となく一番広そうに見えますよね。

そのA点を固定して、BをAから遠ざかる方向へ移動させると、C点はどんどんABの線に近づいて、最後には線とくっつきます。そうなると面積ゼロ。
A固定でCを動かしても最後にはゼロになる。つまり、最大の形と最小の形というものが存在するのです。
最小の形は、くっついた線です。最大の形は、正三角形とか正四角形、つまり全ての線の長さが同じ形です。
前述の点をどんどん増やしていくと(正○角形、丸の中は数をどんどん増やす)、角がだんだん緩やかになり円に近づきます。点の数が無限大になると形は円でになります。円が一番大きな面積です。

ユーザーID:2566612559
これならどうでしょう
でんがら
2018年5月12日 20:32

その1
逆に考えてみましょう。面積を一定としてその周囲の長さを考えます。
具体的には、1辺が10cmの正方形の紙があるとします。(色紙で考えても良いです)
その周囲の長さは10x4で40cmです。

半分に切って長方形になったものを横に並べてくっつけたとします。
周囲は5x2+20x2で50cmになります。

面積は同じ紙ですので一定の100平方センチです。
これは くっつけた部分で5cmx2で10cm減りますが、切ってできた部分が10cmx2増えて差し引き10cm増えることになります

その2
同じ長さのひもで輪っかを作ります。一方で○をつくり、
もう一方の輪っかの形をへこませて(例えば星形にして)最初に作った○に中に入れることができますよね
周囲の長さはおなじでも面積は形で異なるのです。

つまり、周囲の長さと面積は
形が同じなら、比例関係にありますが
形が異なれば比例関係にあるとはいえない(関係が無い)のです。

ユーザーID:8665368313
結構良い疑問と思います
ないしょ
2018年5月16日 2:40

ちょっと話が大きくなりますが、昔は時間の流れる速さは一定だと思われていたり、止まっている人の懐中電灯から出る光は光速(約秒速30万キロメートル)ですが、光速の半分で動いている人(秒速15万キロメートル)の懐中電灯から出る光は秒速45万キロメートルになるはずだ、と思われていたりしたものです。アインシュタインでさえ「神はサイコロを振らない」と言って、量子力学を認めなかったとかなんとか言われていますしね。

かように人の「感覚」というのはえてしていい加減で、真実とはかけ離れている事が多いわけで、トピ主さんが「周長と面積」、「表面積と体積」に関してどうしてお互いが一定にならないのか?と「感じる」のは全く不思議でもなんでもないですね。

そこで算数なり物理なりを駆使して、自分の感覚が正しいかどうかを確認し、自分の感覚がずれていたら納得がいかない!と思われるにしろ何にしろ、ま、そんなもんだと受け入れざるを得ないでしょう。

簡単に言えば、混乱したとしてもそれはある意味当たり前、冷静に計算をして感覚と実際が違ったら受け入れましょう、ということでしょうか。

実際の計算は沢山の人達が示してくれておりますのでそちらをご参照ください。

ユーザーID:2108956319
面積でも体積でも
蚤に外套
2018年5月23日 0:26

外周がおなじなら、

形がまるいほど、おっきくなる
形が細長いほど、ちっさくなる

ユーザーID:2138444079
 
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