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1/3の話

南十字星
2018年10月12日 0:06

昔ちょっと話題になった話を思い出しました。

1/3=0.33333333333・・・(無限に続く)
ですが
両辺に3をかけると
1=0.999999999999・・・(無限に続く)
となるように思えます。

0.999999999999・・・はどこまで行っても
1にならないように思えるのですが、
どのように考えるといいのでしょう。

1ー0.999999999999・・・はきっかりゼロなのか、
それとも0.000000000000・・・なのでしょうか。

ユーザーID:6791841694  


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タイトル 投稿者 更新時間
高校の数学では以下のように説明しています。
今も学ぶ古希
2018年10月12日 11:08

 0.999999999……
=0.9+0.09+0.009+0.0009+……
=0.9×(1+0.1+0.01+0.001+……)
=0.9×lim(n→∞)[{1−(0.1)^n}/(1−0.1)]
=0.9×[1/(1−0.1)]
=0.9×(1/0.9)
=1

次に、
 1−0.9999999……
=1−1
=0
きっかり"0"です。詳細は適当なテキストをご覧ください。

ユーザーID:2681541078
分数に戻す
たか
2018年10月12日 11:09

0.999999・・・のことを0.(9)と書くことにします。

トピ主が書かれたように、1/3は0.(3)です。
これを3で割ると、0.(1)は1/9であることがわかります。

つまり、0.[9]=0.(1)*9=1/9*9=1となります。

0.(0)も同様に0/9=0です。

余談ですが、
1/99は0.010101010101・・・であり、0.(01)となります。
1/999は0.001001001001・・・であり、0.(001)となります。

この法則により、あらゆる無限に繰り返す小数(循環小数)は分数で表現することが可能です。

ちなみに、0.22111111・・・のような場合は、0.22と0.00111・・・に分け、後者を100倍して考えると、0.(1)となるので、
0.22*0.(1)/100=0.22+1/900となります。

円周率のように循環しない無限小数にはこの考えは使えません。

ユーザーID:9758602505
曖昧で申し訳ないけど
匿名
2018年10月12日 11:21

0.000000・・・と無限に続く小さな数字はゼロ以外は存在しないと習ったような気がします。
だから逆に0.9999・・・と無限に続く数字は1と等価であるとも。

  a=0.999・・・(無限)
10a=9.9999・・・(無限)
10a−a=9.999・・・(無限)−0.999・・・(無限)
 9a=9
  a=1
よって1=0.999・・・(無限)
1−0.999・・・(無限)=0

だから
1/3=0.333・・・(無限)ではなく
強引に書くとすれば
1/3=0.333・・・(無限)余り0.000・・・(無限)・・・0001
割り切れないなら余りを書く必要があります。
両辺に3を掛ける場合、右辺には余りがあるのだから足す必要がありますよね?

1/3=0.333・・・(無限)が正しいとする思い込みが不思議な現象と思わせてしまうのでしょう。


すみません。
頭のいい人、訂正して〜
なんか間違った説明をしているような気がする・・・(無限)

ユーザーID:7155407224
私はこのように考えてます
pax
2018年10月12日 14:35

1/3 = 0.33333333... (∞)
= 0.3x(1+(1/10)^1+(1/10)^2+(1/10)^3+ ...) ∞ に続く
= 0.3x(1/10)^n/(1-(1/10)) (ここに n は整数.n -> ∞ )
= 0.3x(1/(1-(1/10))) (なぜなら n -> ∞ で (1/10)^n は 0 だから)
= 0.3x(10/9) = (3/10)x(10/9) = 1/3

1 = 3x(1/3) = 3x(0.3333333)...(∞)
= 0.999999...(∞)
上の 0.3 の代わりに 0.9 とおくと同様にして
1 になる.

1-0.999999... (∞)

0.0000....1 (0 が無限個)
と考えると
(1/10)^n (n:整数、n -> ∞)
と表現できて、これは 0 に収束する.

解りにくい書き方かもしれませんが
0.3^n は 0.3 の n 乗を意味してます.
で、上記は
1+a^1+a^2+...a^n = (1-a^(n+1))/(1-a)
n:自然数;a:数
を利用して説明してます.


あなたさまが仰りたいのは 9 も 0 も幾ら多くても有限個であるかぎり 1 や 0 にはなり得ないということなのでしょう.
無限個になればその限りではありません.


循環小数の例でこれは全て整数比として表現され、したがって有理数です.上記を参照に証明できます.
rational number: 比率として表現される数 
訳すとき「理性を有する」数と訳したのでしょう.
ratio (整数)比として現されるが真意でしょう.
決して有理数が理性を有し、無理数には理性がないという意味ではないです.

何せ、私これらに関して素人ですので成書など参照してください.

ユーザーID:1386650217
0.999999999999… =1
2018年10月12日 16:33

0.9 に 0.1 を足すと「1」になります。

0.999999 に
0.000001 を足すと「1」

0.999999999999 に
0.000000000001 を足すと「1」

最後の 9 と同じ位に 1 ですね。

0.999999999999… に
0.000000000000… を足すと「1」

9 が無限に続くと「最後の 9」がないので、0 の後の 1 もありません。

0.000000000000… は無限に 0 が続くので「きっかりゼロ」と同じことでしょう。
(10.00 も 10 と同じですよね)

0 を足して 1 になる数は、1 と等しいと思います。
だから 0.999999999999… =1

>0.999999999999・・・はどこまで行っても
>1にならないように思えるのですが、
>どのように考えるといいのでしょう。

どこまで行っても 1 にならないように見えるけど
「1」を無限に細かく刻んで表示しているだけ、と私は考えています。

アキレスはどこまで行っても亀に追いつけないように思えるけど、
追いつくまでの時間を無限に細かく刻んでいるだけなので、実際は追いつけます。
そんな感じで……。

ユーザーID:4259845968
小学生にもわかるように。
マリア
2018年10月12日 16:59

1÷3だと考えにくいので、10÷3で考えましょう。

10÷3は3あまり1です。

この「あまり」の考え方が大事。

これを1÷3に当てはめてみましょう。

0.3 あまり0.1 です。

ね?「1」になるでしょう?

割り切れない現象というのは、この「あまり」を考えないで無理やり細かくしていくことです。

どんなに細かくしていっても、「きっかり」には割れません。
「あまり」が出ます。
その誤差を「あまり」として足してください。

ちゃんと「1」になりますでしょ?

ユーザーID:4071772618
ありがとうございます
南十字星(トピ主)
2018年10月12日 21:08

皆さま、回答ありがとうございました。
たいへん勉強になります。

やはり1=0.99999999999・・・
ということなのですよね?

したがって
1ー0.999999999999・・・=ピッタリ0

「 lim n→∞ 0.1^n 」と書くのでしょうか?
概念としてゼロが「無」であると考えると、
0.0000000000・・・は「有」であると思われ、
「有(0.0000000000・・・)」と「無(ゼロ)」との境い目は
どこにあるのかとふと思い、質問させていただきました。

y=1/xのグラフで言えば、
xが無限大になってもx軸(y=0)に接することはないように思えるが、
lim x→∞ 1/x = 0?
というところが不思議だと思ってしまいます。

皆さまの回答とても興味深く拝見し勉強させていただきました。

ユーザーID:6791841694
定性的ではありますが
おじさんですが
2018年10月13日 0:33

この話は1/9=0.111111…を9倍して1=0.999999…とする事もあります。
さて「0.999999…はどこまで行っても1にならない」と言い出すと
「0.333333…はどこまで行っても1/3にならない」とも言えるので、
話が最初から進みません。

視点を変えて、無限小数(小数点以下が無限に続く小数)はあるひとつの
数を表しているはずなので、どんな数を表すのか考えてみます。

例として、円周率を考えます。これが無限小数3.141592…である事は
誰でも知っていますが、無限小数3.141592…が円周率というひとつの
数を表しています。それを有限の桁数で打ち切れば誤差を生じますが、
桁数を増やしていくといくらでも誤差は小さくなります。

この例の様に、無限小数は桁数を増やしていくと限りなくその値に
近づいていく様なひとつの数を表します。

0.999999…は桁数を増やせば限りなく1に近づくので、1を表します。
ですから、1=0.999999…です。

0.333333…は桁数を増やせば限りなく1/3に近づくので、1/3を表します。
ですから、1/3=0.333333…です。

「どこまで行っても等しくならない」ではなく「いくらでも近づいて
いく」事が重要だったのです。

ユーザーID:9149468224
仕方ない
Marco
2018年10月13日 1:57

まず、
1/3=0.3333…
ではありません。
1/3■0.3333…
です。

0.9999…はどこまで行っても1にならないのと同じで、0.3333…はどこまで行っても1/3にはならないのです。

ユーザーID:2522616737
かなりはしおって概略です
pax
2018年10月13日 12:52

以下掛け算記号なしの文字は添字です.

(1-(1/10)^m)1/p (p:自然数)
∃ n1 10^(n1-1) < p < 10^n1
1/p= (1/10^n1)((10^n1)/p)
= (1/10^n1)(a1xp+q1)/p (a1,q:自然数で q1<p)
= a1x(1/10^n1)+(1/10^n1)x(q1/p)
以上アルキメデスの除法を利用.

q1/p に対しても上記 1/p と同様に展開すると

q1/p=a1x(1/10^n1)+(1/10^n1)x(a2x(1/10^n2)+(1/10^n2)x(q2/p))

q2/p にも上記同様を繰り返すと
順次 qm (m:自然数)出てくるが、p で割った余りなので高々 p-1 個の自然数に収まるのでどこかで
qm=qr (r:自然数、r<m)

よって上記の展開を繰り返すと

0.(n1-1 個の 0)a1(n2-1 個の 0) a2(n3-1 個の 0) 以降 0 の個数端折って ... ar ... a(r+1) ... a(m-1) ... ar ... a(r+1) ... a(m-1) ... ar ...
と無限循環に入る.

もっとも簡単な例の一つとして同じ値で循環する
1/3=0.3333... (無限に続く)

そして本当の循環は
1/7=0.142857次の 1 で無限循環に入る.

逆に無限循環少数から分数を得るには:

ai x (1/10)^i (a:正の整数,i:自然数)

で表現し無限循環に入ったところから

1+(1/10)^m+(1/10)^2m+ ... (1/10)^nm + ... (∞)(m:循環の周期)
=(1-(1/10)^mn)/(1-(1/10)^m) (n -> ∞)
=1/(1-(1/10)^m)

を使って結果が出る.

ユーザーID:1386650217
ヨコですが
リタイヤ世代
2018年10月13日 14:29

 数学には詳しくありませんが興味を持ちました。素朴な疑問。

 マリアさんの「小学生にもわかるように」の「あまり」での考え方は、私にはちょっとスッキリです。 私の頭はは小学生並み(笑)。

 1/1 = 0.99・・・  余り 0.00・・1

 0.9・・(∞)は数学的用語では”1である”なのか、”1とみなす(が1ではない:日常用語)”なのか、あるいは”1とみなす=1である”でしょうか?。

 トピ主さんの”y=1/xのグラフでxが無限大になってもx軸(y=0)に接することはないように思えるが、lim x→∞ 1/x = 0?”
 数学では”y軸に接する”なのか”y軸に接するとみなす”なのか、両方同義なのか?。
 
 無限に関する、数学用語と日常用語の違いとも思いますが、スッキリした定義?を教えてください。

ユーザーID:5243049340
あまり
2018年10月13日 14:33

匿名 様、マリア 様

例えば 1÷3 を小数点以下第3位まで求めるとしたら、
0.333 余り0.001 になりますが、

1/3=0.33333333333… は 3 が無限に続くので、余りは出ません。

>余り0.000・・・(無限)・・・0001

これでは「無限」になっていないと思います。

ユーザーID:4259845968
自己レス
Marco
2018年10月13日 16:09

2018年10月13日 1:57の私のレスですが、機種依存文字が黒い四角になってしまったようですね。黒い四角になっているのは、=の上下に点がある、近似値を表す記号です。「近似値 記号」でネット検索するとわかると思います。

言いたいことは、1/3と0.3333…はイコールではなく、近似値でしかないということです。
近似値の両辺に3を掛けても、それは近似値でしかありませんから、1と0.9999…もイコールではありません。

ユーザーID:2522616737
燕さん ありがとう
匿名
2018年10月15日 8:53

まあ、分かっちゃいるから「強引に書くなら」と但し書きをしたんですけどね。
言いたいのは1/3=0.33333(無限)を概念的にどう説明するかって部分な訳で。
トピ主さんは計算式上は理解しても概念的に不思議に思われている訳ですからね。

これは間違いと指摘して頂くのは有り難いのですが、概念的に理解できない人にどう説明するか?というのがポイントだと思うのですが。
私は修正してってお願いしている訳だしね。

ユーザーID:7155407224
 
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