中学生の数学の問題

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ミラクルシューズ

はじめまして、みなさん。ミラクルシューズというものです。次の数学の問題を中学生にもわかるような解説で教えて下さい。誰かお願いします。

(問)
ある川に沿って36km離れているA地点とB地点があり、A地点からB地点へ渡るのに6時間かかりました。逆にB地点からA地点へ渡るのには9時間かかりました。この川の流れる速さを求めよ。

という問題です。誰か救いの手をお願いします。詳しくお願いします。

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  • なぜここできく?笑

    船の速さが一定という仮定で話を進めるね。
    船が流れのない水の上を進む速さをx、川の流れの速さをyとおくと
    6時間かかるときには船は、x+yの速度で、
    9時間かかるときには、x-yの速度で進むよね?
    ということは…
    この問題は二つの文字を使っているけど二つの式を作って連立方程式を作ればすぐできるよ
    習ってなければ小学生の時の流水算をgoogleで調べてみよう。

    ユーザーID:

  • 一次方程式

    中学校であれば、xやyは使っていいんですよね。

    川の流れるスピード(流速)をx
    静止時の移動スピード(自速)をyとすると
    A→Bの移動スピードは、x+y
    B→Aの移動スピードは、x−y
    で、”速度×時間=距離”の式に当てはめると
    (x+y)×6=36 → x+y=36÷6=6・・・甲
    (x−y)×9=36 → x−y=36÷9=4・・・乙
    甲、乙より
    x=5(流速)
    y=1(自速)
    となります。

    ユーザーID:

  • 小学校の算数でもOK

    船の速さ、川の流れの速さの二つの要素があります。
     下るときには二つの速さの和が川岸からみた移動速度になりますが、上るときには速さの差が川岸から見た移動速度になります。
     よって速さの和が36÷9=4より 時速4km
        早さの差が36÷6=6より 時速6km
      |←    6    →|
      +−−−−−−−+−−−+
      |←4→|
      +−−−+………+………+
    6−4=2が川の流れの速さ二つ分なので
    川の流れの速さは時速1kmということになります

    ユーザーID:

  • 間違っていたらごめんなさい

    連立方程式の問題かと思われます。
    勝手に「船が一定の時速(Vkm)で渡る」というのを加えてみました。

    A地点からB地点(上流から下流)
    36kmを6時間で進む時  時速 6km ・・・ア
     
    B地点からA地点(下流から上流)
    36kmを9時間で進む時  時速 4km ・・・イ

    川の流れる速さが 時速Xkmとすると

    ア V+X=6
    イ V−X=4

    V= を作りやすいのはイなので
    V=4+X
    アに代入
    (4+X)+X=6
    4+2X=6
    2X=6−4
    2X=2
    X=1
    A. 時速1?

    ユーザーID:

  • それほど難しくはない

    「渡る」という表現が気になりますが、上流にあるA地点から下流にあるB地点に下るのに6時間、逆に上るのに9時間かかったということですよね?

    上る場合も下る場合も自力で出る速度は変わらないと仮定すると、自力で出る速度をx,川の流速をaとして
    x+a=6
    x−a=4
    あとは連立方程式を解けばいいだけでは?

    答えは a=1km/h ですね。16.67m/sですか。川の流速としてはかなり速いんじゃないかな。

    ユーザーID:

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  • 解らない…

    解答が気になるのであげてみます。
    この問題だと数3「積分法の応用」と物理の知識がいるのかな、と勝手に推測しています。
    うーん気になる…
    どなたかお願いします!

    ユーザーID:

  • こんなんでどうでしょう?

    渡るということから船で斜めに横断したと考えると

    A→Bは36km/6h=時速6kmの速さで進み、
    B→Aは36km/9h=時速4kmの速さで進んだことになり、
    川はAからBの方向に流れていることが予想されます。

    船自体の速さを時速x川の流れの速さを時速yとすると

    A→Bは川の流れの速さが加わりx+y=6
    B→Aは流れに逆らっているのでx−y=4

    これを連立方程式で解くと…

    x=5km/hで船自体の速さが時速5km
    y=1km/hで川の流れの速さは時速1km

    になるのだと思うのですが…いかがでしょうか?
    まちがっていたらごめんなさい。

    ユーザーID:

  • 流水算

     小学生の娘でも簡単にとけたのですが
     それって・・・。
     今の公立ってこの問題を中学校でやるのですか?
     私は小学生の子供しかいないのですが
     驚きました。

    ユーザーID:

  • 訂正

    昨日投稿して、今朝気がついたんですが

    時速1km=分速16.67m=秒速0.278m

    16.6m/sじゃあないですね。
    こんな速い川があったら怖いなぁ・・・と思ったら、間違っていたのは自分の計算でしたね。

    失礼しました。

    ユーザーID:

  • tomさんが正しいよ。

    hogeさん、間違ってるよ。

    B→Aの移動スピードは、X−YではなくY−Xでしょう。(Xが川の流れの速さ、Yが船の時速の場合)
    だから、X=1(流速)、Y=5(船の時速)が正解です。

    そもそも川の流れるスピードのほうが船の時速より速いと川をさかのぼれないでしょ。うそを教えちゃいけません。

    ユーザーID:

  • この手の問題を答えるのはいかがなものか

    中学校の宿題は自分で考えてしないとね。
    書き込む方も書き込むほうだけど。

    ユーザーID:

  • 流水算

    手を出さない方がいいと思いますが。・・・
    これは、常識的なことが分からないと、
    一生解けない問題だと思います。
    ――――――――――――――――――
    下る速さ=船の速さ(x)+川の流れの速さ(y)
    登る速さ=船の速さ(x)−川の流れの速さ(y)(船に押されて、川の流れが遅くなる。)

    よって、川を下る時の式:(x+y)×6(時間)=36(km) → (x+y)=36/6=6km
    川を登る時の式:(x−y)×9(時間)=36(km) → (x−y)=36/9=4km
    その時に出た答えの差(6−4=2)を求めれば、70%できたようなものです。
    6−4=2は、川の流れの速さ2つ分なので、更に、それを2で割り、答えが出ます。
    答えは、時速1kmとなります。

    これは、流水算を知らないと、絶対にできない問題でしょう。
    私も、中1の頃、理屈では分かったけれども、流水算の理解に、とても苦労をしました。→結局、暗記で乗り切って点数稼いでいた者ですから、こんな知能の持ち主で、本当に御免なさい。

    ユーザーID:

  • 細かすぎに説明します(汗

    川の流れの速さをx。船の速さをyとすると、
    A→Bはx+y(船は川の流れと同じに進むから)。
    B→Aはx−y(流れと逆に進むので船の速さは引かれるから)。
    これを 速度×時間=距離 の公式にあてはめると・・・。
    (x+y)×6時間=36km
    (x−y)×9時間=36km

    これを計算すると、
    6x+6y=36→(1)
    9x−9y=36→(2) となります。(1)に
    x3、(2)にx2をします。
    18x+18y=108
    18x−18y=72 となり、これを連立方程式で解けば・・   x=5、y=1 となります。

    これは中2、中3の解き方ですね。参考になりましたか?

    ユーザーID:

  • あれ?

    横からですが、 hoge さん
    >川の流れるスピード(流速)x=5
    >静止時の移動スピード(自速)y=1となります。
     
    だと、下流からは流されちゃってたどり着けません。

    ユーザーID:

  • 問題文に問題あり

    ボートの対地速度が同じであると言ってくれなければこれを仮定して問題を解かなければいけないよね。それを明記しない出題者に問題があると思う。それでも回答者もそれを仮定する位の配慮は必要かな。中学生だからその位はやってもいいんじゃないかな。

    ユーザーID:

  • 間違ってました

    >x=5(流速)
    >y=1(自速)

    xが自速で、yが流速(川の流れる速さ)です。

    ユーザーID:

  • お気づきかも

    早さの和が時速6キロ、早さの差が時速4キロですね。
    なお、自速が流速より遅いと船は川を上ることができずに海へ流されます。これも逆ですね。

    ユーザーID:

  • そんなに速くないです

    すみません、匿名おとこさんの1km/h=16.67 m/sは間違いですね。約0.28 m/s、1秒間に28cmくらいの流れです。
    多分16.67 m/m(分)の間違いだと思いますが…

    ユーザーID:

  • 流水算は

    小学生の問題ですよね。
    中学受験の問題にもよく出されます。
    方程式を使わない分大変ですが、勉強さえしていれば解ける問題です。
    中学生で流水算ができないようでは、つるかめ算や分配算、植木算などもできないのでは?
    小学生の算数から勉強し直す事をお奨めします。

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  • まだ誰も川は渡っていないようです

    A地点とB地点は同じ岸にあるということなら答えはもうでたようですが、まだ誰も川は渡っていないようです。もし出題のとおり川を渡る必要があるなら、答えはだいぶ違ってくると思います。

    例えば、岸(流れ)と直角の速度成分を得るためには、流れに平行な速度成分を犠牲にせざるを得ません。これは、を往路も帰路も同じ出力(同じ対水速度)で航行するという前提から、当然の拘束でしょう。

    中学生に相応しいかどうかはともかくとして、解き方はいくつかあありそうです。

    その過程で、必要な条件が揃ってるかどうかもわかるはずだと思いますが、あとは誰か数学科の学生のかたでも、解答をしてくれませんか、、。

    ユーザーID:

  • けけけ様

    中学校の「宿題」なんてどこにも書いてないですよね。
    トピ主さんが中学生かどうかもわからないし、もしかしたら親とか家庭教師が教え方に困ってきいてるのかも知れませんよね?
    仮に宿題だとしてもUPされるまでに日にちがかかるからここで訊いても実際問題間に合わないのでは?

    いろいろな考え方がわかるので私は個人的にこういうトピは大好きです。

    ユーザーID:

  • バンゲアさんに一票

    おっしゃるとおり
    ○ィズニー○ンドの○モール○ールド程度の川幅が36km続いて時速5km/hで航行となると考えただけでウンザリしますので、
    川幅をW:流れ方向長さをLと仮定してW^2(二乗)+L^2=36^2…1 
    A点から斜め向う岸のB点まで定速Vで航行するとして
    VのW方向成分をVx、L方向をVy、川の流速をVrとすれば
    媒介変数tを用いて
    Vr^2=Vx^2+Vt^2…2 
    Vt1=(Vy+Vr)…3 (往路)
    Vt2=(Vy-Vr)…4 (復路)
    往路のV1=6km/H…5 、復路V2=4km/h…6 
    W/Vx=L/Vt…7 
    からVr=(√36^2-W^2)/36を導き出しました。
    このときW=0ならば
    Vr=1、Vy=5、Vx=0となり皆さんと同じ答えになりますが
    実は3 と4 の関係にトリックがあり正解ではありません。
    ので今は三角関数を使って考え中です。

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  • もう一度問題文を読んでみました。

    >ある川に沿って36km離れているA地点とB地点があり

    「沿って」という表現から、A地点とB地点が同じ側の岸にあるように感じられます。

    この条件で「渡る」という事は川岸間を「行って帰って」しながらそれぞれA→B、B→Aへ行かなければいけません。

    本当に渡るのか、川岸に沿って航行するだけではいけないのかを先生に確認してみた方が早いかもしれません。

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  • けっこう大事

     
     川を下るときは、自分の船のすすむ力に川が助けてくれる。だから自分の力に川の力が加わっている。
    36キロを6時間で下れたと言うことは、力をあわせてすすんだ船の速さは時速何キロ?時速6キロ。
     でものぼりのときは、船が同じ力で頑張っても川が邪魔するので、船の力が川の分減らされてる。時速何キロになってる?時速4キロだねえ。

     船は川に助けてもらうと6の力がでて、じゃまされると4になってしまう。川の力はどのくらいだろうか?
    −−−−−−−−−−−−
     まず、この図式を子供の頭に作り上げてからその解決方法を探らせるべきだと思います。すぐXをおかさないほうがいいと思います。子供らには四角だろうが絵だろうが好きに表現させましょう。おそらく方程式の習いたての段階だと思うのですが、この段階では、XやYなどと仮におくことが結果として便利なのだ、と実感させないと、二次方程式以降、とにかく何でもXYとしときゃいいやという考えに固まって直せません。何かを仮にXとおく、という発想が身につくかどうかの重要なところだと思いますよ。

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  • 川幅はほぼ無視できます。

    川は直線で川幅も均一だとします。
    A地点から直線距離で36km離れた向こう岸のB地点に渡ると仮定すると、皆さんが出した答えが導かれます。

    ただし、これは、川を斜めに横切って進んだ場合の解です。
    実際の川の流速を導くには、川幅の値がどうしても必要となり、流速はピタゴラスの定義を用いて算出できます。

    仮に川幅を10km(現実的ではありませんが)とすると、実際の流速は、およそ1x(34.58/36)=0.96 と算出され、結局は時速約1kmという答えになります。
    したがって、実際問題として、36km離れているとした時点で川幅はほぼ無視していいことになるかと思います。

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  • 算数ではなく数学の問題なので

    かなさんへ
    これは小学生の算数ではなく、数学の問題ですので問題を解く方法をだけを教えて、式に当てはめて答えを出すことが目的ではないのです。
    どうやって解けばいいのか考えること、またそれを納得させることが難しいわけです。

    ユーザーID:

  • いつも成功するとは限りませんが

    川幅に関する情報が量的には与えられてない(ただ有限幅を持つだろうことが、“渡る”という語に含意されているだけ)ので解を得ることはできませんが、数学はこういう問に形式的に答える術に丈けています。いつも成功するとは限りませんが。

    書出すべき諸関係は、だいたい以下のようになるのではないでしょうか;

    往路速度ベクトルが帰路速度ベクトルのスカラー倍であり、それが所要時間の違いの関係(6対9)を満たす。
    往路速度ベクトルは往路における対水速度ベクトルと流速ベクトルとのベクトル和である。
    帰路速度ベクトルは帰路における対水速度ベクトルと流速ベクトルとのベクトル和である。
    対水速度ベクトルの大きさは往路においても帰路においても不変である。

    三角関数もよし、ベクトル式で書き下すもよし。なるべく代数的にもっていって、流速や対水速度ベクトルを従属変数に、川幅や川岸方向距離を独立変数に持つような形にできたら、数学では「解けた」といって良いようです。

    また竜角さんの指摘されるように、もし出題が「渡らない」のであれば、これに「川幅=0」を代入すれば既出のと同じ値が得られるはずです。

    ユーザーID:

  • がふとのーしゅさん

    式(方程式)に当てはめて答えを出すのは数学です。
    どうやって解けばいいのか考え、またそれを納得して方程式に当てはめず、線分図などを使って解くのが算数です。私が「勉強さえしていれば解ける」と書いたのは、式に当てはめる事を覚えていればいいという意味ではありません。
    tomさんが算数の考え方で回答を出していらっしゃる通り、実際簡単な流水算なら小学校4年生くらいから取り組み始める問題ですし、中学受験にもよく出される問題だと上にも書きましたが、中学の受験問題に出るという事は、方程式を使わずに解ける算数の問題という事です。
    ここで論議され、方程式で解くならまだしも「数3「積分法の応用」と物理の知識がいるのかも・・」と言い出す人がいる事が不思議でなりません。

    ユーザーID:

  • 都合いい解釈

    現実的に

    lim(W/L→0)Vy2-Vy1=0
    なので
    Vr=(√36^2-W^2)/36

    という事で許して下さい。

    ユーザーID:

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