確率ゲーム?

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  • やっぱり変えた方が有利ですね

    すみません。3回目です。
    先の2回は「変えても確率は一緒」派だったのですが、
    「昔は数学者志望だった」さんの解説でよくわかりました。

    私も、「つぶやく埴輪」さんと同じことを考えていたのですが、
    それの間違いもわかりやすく指摘されていて、勉強になりました。
    スッキリです。ありがとうございました

    ユーザーID:

  • naokoさんへ

    つっこみどころはたくさんありますが、とりあえず一つだけ。

    2度目の発言の
    >つまり、Aは1/3車で2/3ヤギ、Bは2/3車で4/3ヤギ。

    4/3ヤギって、133.333%の確立でヤギですか。
    ・・・わかりにくくなってますよ。

    ユーザーID:

  • 場合分け

    単純に、場合分けしてみればよいでしょう。

    最初に選んだドアをA、残りをB、Cとします。
    (○=自動車、×=ヤギ)

    1.
    A○ B× C×
     変える  ×
     変えない ○

    2.
    A× B○ C×
     変える  ○
     変えない ×

    3.
    A× B× C○
     変える  ○
     変えない ×

    以上から、変えたほうが有利なことが分かります。

    それにしても、勉強になりますね。論理的な説明はもちろん、「検索しろ」と言われた後ですら、なお自説が正しいと言い張る人がこれほどいるとは・・・。

    ユーザーID:

  • >naokoさん

    >次に、ドアがヤギの可能性を考えます。
    >Aは2/3、BはCの確率も引き継いで4/3になります。

    間違いです。
    Cがヤギであることが司会者によって示されて、
    かつBがヤギであるためには、
    「BとCの両方がヤギである」必要があります。
    その確率はAが車であることと同値で、1/3です。

    ユーザーID:

  • 実際にやってみる

    実際にやってみると解ります。
    まず同じ紙(トランプや名刺など)を10枚用意し、誰かに1枚当たりのマークをつけてもらい裏返してもらいます。その誰かにはどこの場所に当たりがあるかを把握してもらっておきます。
    ご自分で1枚選んだあとその方にはずれを8枚取り除いてもらいます。
    最初に選んだ物ではないほうが当たりの確率は9/10なので面白いくらい当たりが続きます。
    100%理解できますよ〜。
    当たりの紙に有給と書いておいて確率1/2と思っている上司に5回続けて当たりだったら有給下さいっていってみるのも面白いかも。

    ユーザーID:

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  • 変えた方が有利説の人の反論

    naokoさん

    残念ながらそれは

    > そこで、ゲームの司会者(どのドアが車でどれがヤギ
    > か、知っている)が、ヤギのドアをひとつ開けて、全員
    > に見せます。あなたが選んだドアは開けません。

    という前提があるので、ゲームをしているエーさんと
    単なるギャラリーのビーさんとでは確率が異なります。
    (ビーさんの場合最初のドア開けで自分が選んだドアが
    開けられる可能性がある)

    ユーザーID:

  • どちらも正しいと思うのですが

    「モンティホールのジレンマ」を挙げてらっしゃる方は、それが「命題に対する確率のアプローチ」として正しいのです、ということを説明しなくては、説明にならないように思います。

    1/2の確率だと考える方々のように、ドアが3つのものを、途中で2つに仕切り直すと考えると、そもそもこの命題の前提条件と変わってしまうわけです。
    ですから、ヤギだったドアを除外して考えている人は、2/3だと考えている人とは、違う命題について考えていることになるでしょう。

    そういう意味では、どちらも正しいと言うことになると思います。

    ユーザーID:

  • 変えた方が絶対にお得!!

    箱の中に、1個の赤い玉と、99個の白い玉があります。
    普通の人は、かなりの確率で白いはずれ玉をひきますよね。
    そこで、お店の人が、残った99個から98個の白い玉を出して、赤い玉だけ残っている状態にしてくれます。

    こちらの玉と変えてもいいですよ?と言われたら、変えた方が良いと思いませんか?
    変えない方が良いのは、最初に運良く赤玉を当てたという、非常に希少な場合のみです。

    もし、白い玉と赤い玉を、もう一度箱の中に戻してわからなくするのであれば、確率は二分の一になるでしょう。
    もしくは、お店の人も正解を知らず、赤い玉も一緒に取り出してしまう可能性があるのなら、白が2つ残る可能性が非常に高く、変えても変えなくても確率は変わりません。

    しかし、残った中からはずれだけを取り去ってくれるのなら、あなたが最初に当たりをひく確率が低ければ低いだけ、残った片方が赤い玉である確率は高くなるのです。

    100個の中から当たりを選ぶ自信があるから、変えたら損だと思っている人は、すごいですねえ…。
    1%の可能性で当たりをひかない限り、変えれば当たるんですよ〜!!

    ユーザーID:

  • うーんと・・・

    2回めです、勝手にがんばって考えてみました。

    ドアが3つあって、内2つがヤギで1つが車。
    つまり最初にヤギを選んでしまう確率が高いわけですよね、だから「ドアを変えたほうが良い」ということでいいのでしょうか?

    車の確率は1/3、ヤギの確率は2/3、
    これがこのまま

      車→ドアを変えない→1/3で当たり

     ヤギ→ドアを変える→2/3で当たり

    このように当てはまるということでいいのでしょうか?

    ユーザーID:

  • 決着ついたようですね

    トピをはじめから楽しく読ませて頂きました。
    最初は私も「1/2だな、これは」と思っていましたが、めでたく自分の錯誤に気づくことが出来ました。
    とくに「おみそ」さんの説明が完璧ですね。「確率の配分」で考えればとてもわかりやすく理解できます。

    しかしこれ、印象だけだと誰でも「1/2」と思っちゃいますよね。うーん、うまくできた問題だなあ……。
    自分が少し賢くなった気が・・・。

    ユーザーID:

  • >神戸っこさん

    それも違いますよ〜
    考え直す、ではないです。
    変わったほうが有利です。

    変わらないときの当たる確率:1/3
    変わったときの当たる確率 :2/3

    になります。

    ユーザーID:

  • 1枚を選ぶか、2枚を選ぶか

    別の説明を思いついたので、紹介します。

    3枚あるドアのうち1枚だけ当たりで、1枚を選ぶか、2枚を選ぶことができるとします。

    どちらの選択をしても、ドアは1枚のグループと2枚のグループに分かれますね。

    [1枚選んだ場合]
    選んだドア(1枚)+選ばなかったドア(2枚)
    [2枚選んだ場合]
    選ばなかったドア(1枚)+選んだドア(2枚)

    ここで、当たりを開ける際に、少し変わった手順で当たりを開けます。

    司会者がドアの後ろに回って、当たりのドアを確認した後、2枚のグループからハズレのドアを1枚だけ開けます。2枚のグループには、必ず最低1枚はハズレのドアがありますから、これは常に可能ですね。

    最後に残ったドア2枚を、せーので、いっせいに開けて、当たりのドアを確認します。

    このような状況で、みなさんはドアを1枚だけ選びますか?それとも、2枚選びますか?

    トピ主さんが質問されている状況で、最後に選択を変えるという行為は、上の状況で最初から2枚のドアを選ぶ行為と等しい行為です。

    ユーザーID:

  • 数学さっぱりなんですが

    この問題って、最初に1つのドアを選んだ時点で司会者から、
    「あなたが選んだドアと、のこりの2つのドアを交換しませんか?」
    といわれたのと同じことではないのですか?

    ・司会者は正解を知っている
    ・のこった2つのドアの内、1つは必ずヤギ
    ということは、「司会者がドアを開ける」という行為はなくても同じ。

    1つのドアを選ぶのと、2つのドアを選ぶのとでは、当然2つを
    選んだ方が確率は高くなる。

    ということではないのですか?

    ユーザーID:

  • 想像しやすいのが一番!

    のび太くん・スネオくん・ドラえもん・ジャイアン・しずちゃんの誰かがドラ焼きを持っています。

    あなたは「半分分けて!」とジャイアンにねだりました。

    するとジャイアン以外の4人がスネオくんの家に入って行きました。どうやら作戦会議のようです。

    ドラえもんだけ出てきました。
    残りの3人の誰がが持っていたとしても、ドラえもんが預かっています。

    ここであなたは初めの勘を信じて「ジャイアン」におねだりしますか?
    それともドラえもん?

    実は二人しかいませんがドラ焼きを持っている確率は、ジャイアン1/5ドラえもん4/5となります。

    ユーザーID:

  • ほんとにわかんないです

    ドア変え派の方は「ドア100枚だと思って」と言ってるのが多いのが面白いです。いや、何百枚になろーと最終的に残るドアが2枚なら1/2では?とどーしても思ってしまいます(涙)

    昔読んだ赤塚不二男の数学漫画の中の「届かない弾丸」の話を思い出してしまいました。

    ユーザーID:

  • <ヤギ>とか<ドア>とか

    頭で考えるから、混乱するんですよ。
    鉛筆でも、マグカップでも、足の指でもいいから
    3つのものから1つを選んでみればいい。

    最初にあたりを引いたときは、変えないままでいい。
    最初にはずれを引いたときは、変えたほうがいい。

    実際にやってみて、それでも
    「やっぱり五分五分だ!」
    と思う方は、もうそれでいいと思いますよ。
    ご自分が損なだけですから。

    ユーザーID:

  • 変えたほうがよい

    当りをひいていた時 → 変えてはいけない(変えなければ当る)
    はずれをひいていた時 → 変えなければいけない(変えれば必ず当る)

    当りをひく確立は3分の1ではずれをひく確立は3分の2、なので変えたほうが当る確立は高い。

    ユーザーID:

  • つぶやく埴輪さん

    名指しされているので…

    つぶやく埴輪さんは、よくある数学の落とし穴にはまって
    います。
    場合の数で確率を計算するには、すべての場合が
    「同様に確からしい」ということがいえないとだめなのです。

      当,Y,Z
    (1) 私,司,−
    (2) 私,−,司
    (3) −,私,司
    (4) −,司,私

    最初に当たりを引いている確率は1/3ですが、そのときには
    司会者が「どちらを開けるか決める」という二択がさらに
    入るので、(1),(2)は(3),(4)よりさらに半分の確率なの
    です。

    場合の数で確率が計算できるなら「九半十二丁」も成立
    してしまいます。
    サイコロ2個で半(奇数)が出る組合せは
    (1,2),(1,4),(1,6),(2,3),(2,5),(3,4),(3,6),(4,5),(5,6)
    の9通り、丁(偶数)が出る組合せは
    (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),
    (3,3),(3,5),(4,4),(4,6),(5,5),(6,6)
    の12通りなので、丁のほうが出やすい、というものです。
    もちろん丁半は同じ確率ですね。

    ユーザーID:

  • 蛇足:おみそさん風に言うと

    自分の選んだ1枚がたまたま1等だった場合と、司会者の持っている999万9999枚の中に1等がある場合とどちらの確率が高いかって話だと思いますよ。

    ユーザーID:

  • 宝くじで考えて見ましょう。

    宝くじは1ロット1000万枚だそうで、1等の当選確率は0.00001%になります。

    まず貴方が1枚選び、残りの宝くじの中から当選番号を知っている司会者が999万9998枚のハズレくじを取り除きました。

    ここで問題です。

    残り2枚になったところで当選確率は1/2なのだから、どちらを選んでも同じだと思いますか?

    私なら絶対司会者の残した宝くじと交換しちゃうけどなぁ〜(笑)

    ユーザーID:

  • 替えた方がよい

    ポイントは、司会者が正解を知っていることにあります。

    あなたが必ず替えることにしたとしましょう。

    あなたが最初に車を引く確率は3分の1。ここで替えたらはずれですね。

    あなたが最初にヤギを引く確率は3分の2。ここで替えたら、必ず車が当たるのです。
    なぜなら、司会者がヤギの方を開けてくれるから。

    つまり、あなたが最初にヤギを引きさえすればいいのです。

    その確率は3分の2ですから、替えた方が良いということになります。

    ユーザーID:

  • 類似問題

    ある監獄に3人の死刑囚A,B,Cがいます。
    3人の中で誰か1人が恩赦で釈放されることが決まりました。しかし、それが誰なのか看守は知っていますが、死刑囚は知りません。この段階でCが処刑される確率は2/3

    死刑囚Cは看守は残りの2人の内で処刑される者を1人教えて欲しいとたのみ、看守は悩みましたが結局Aが処刑される事を教えてくれました。

    この段階で恩赦されるのはBかCかのどちらか1人。死刑囚Cは処刑される確率が1/2に減った事を喜びます。

    でも看守が教えようが教えまいがCが処刑されるかどうかは決まっていたはずでは?みなさんはどう考えます?

    ユーザーID:

  • 五分五分だと言ってる人へ

    >司会者はヒントを出してるわけではない
    ヒントは出していますよ。
    ヤギがいる方のドアを『選んで』開けています。
    「車はこのドアには入ってませんよ」と示してるわけで、
    それは「開けなかった方に車がある可能性が高いよ」
    とヒントを出しているのと同値です。

    >司会者が開けたドアの分の確率が
    >最初に立ったドアに分配されないのはおかしい
    司会者は回答者が立っているドアを開けることが
    出来ません。だから確率はそちらに分配されません。

    ユーザーID:

  • うるるんさんへ反論

    Aのドアが当たる確率1/100
    Bのドアが当たる確率99/100
    とします

    このことを知らない人がランダムにドアの前に立つとすれば
    1/2の確率でAまたはBのドアの前に立つでしょう

    その場合の当たる確率は
    1/2 × 1/100 + 1/2 × 99/100
    = 1/200 + 99/200
    = 100/200 = 1/2
    となり確かに1/2です。

    でも、Aの前から動かない人は 1/100
    AからBに移動する人は 99/100
    の確率です。

    ユーザーID:

  • 神戸っ子さん

    その理屈で行くと
    宝くじを1枚買って
    発表の際に1等と自分の番号以外の外れ番号
    を全て書き出した紙を用意してもらえば
    自分の宝くじの当たる確率が2分の1になるってことですか?

    その紙に載っていないのは「1等の当選番号」
    もしくは「外れの番号」の2つの番号しか
    残っていないですから当たる確率は2分の1ですよね?
    確率2分の1ならかなりの人数が当たってるはずなんですけどねぇ・・・

    ユーザーID:

  • 扉を移動すると66.7%の当たりになります

    専門家も50%じゃないかと勘違いしてしまった問題ですからねぇ。
    直感的に騙されてしまうのは仕方ないでしょう。

    どうしても納得できない場合は実際に試しまくってみましょう。
    常に扉を変えると当たる確率は2/3に収束していきますよ

    司会が答えを知っているというのが何よりも重要なんですよね。
    これにより条件付確率に変動してしまっているわけです。

    ユーザーID:

  • とにもかくにも

    スクリプトで試行なさってる方もいらっしゃいますね
    試行回数的にも信頼に値するものです。

    変わらないとおっしゃってる方は好きなだけ試行できるサイトもありますので試してみてはいかがでしょう?

    変わったほうが確率が高いですよ〜

    ユーザーID:

  • やって見れば分かるよ

    これだけ,詳しく説明がついているのに,移動しない場合確率1/3,移動する場合確率2/3が分からない人がいるんですね。中には,上司と共に職をかけて間違ったことをいっている人がいるし:-)。
    司会者は,残った2つの扉を見て,必ずはずれ(やぎ)の扉を開けるという動作がポイントですね。
    手元のトランプで実験して見ればすぐ分かりますよ。

    ユーザーID:

  • 100枚の場合

    トピ主さんのなかでまだひっかかっているみたいなので・・。

    100枚のドアのうち1枚を選んだら、そのドアに車がある確率は1/100ですね。
    ですから、残りの99枚のドアのどれかに車がある確率は99/100です。

    ここで車のドアを知っている司会者が、その99枚のドアのうち、ヤギのドアを片っ端から開けるという行為は、99枚のうちこの残ったドアが車のドアですよ、と教えてくれている行為に他なりません。
    (確かにあなたが強運の持ち主ですでに1/100の確率で車をえらんでしまっていたなら残りの1枚が1/100の確率でヤギかもしれませんが)

    ここで最初に選んだドアか、司会者が残りの99枚からしぼりこんだ1枚のドアか、どちらを選ぶかという段になって、上でも勘違いされている方が何名かおられましたが、2択だから、なんでも確率が1/2になるというものではありません。

    条件の異なる2者からの選択ですので、
    この場合、上記のことから最初に選んだドアに車がある確率は1%。
    司会者が残した1枚のドアに車がある確率が99%です。

    ユーザーID:

  • トピ主様へ

    トランプ(もしくはまったく同じ紙)を10枚用意し1枚だけどなたかに当たりのマークをつけてもらい裏にし、マークをつけた方に司会者と同様の事をしてもらってみてください。最後に替えれば9/10の確率で当たります。(10回に9回はあたります)

    100%納得できると思います。

    ユーザーID:

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