確率ゲーム?

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  • 100で足りないなら

    ドアが一億あるとしましょう。その中のひとつだけに車があとのドアはすべてヤギです。まずあなたがひとつのドアを選びます(この時点で車のドアを選ぶのは至難の業ですよね)。それから司会者が残りの9999万9998個のドアを開けます。もちろん全部ヤギです。さてあなたが最初に選んだドアと司会者が残してくれたドアとどちらに車が隠されている確立が高いとお考えでしょうか。私は離婚されてもドアを替えます。

    ユーザーID:

  • 実際にやってみればわかる

    トピ主さん、頭でわからないときは実際にやってるとわかりますよ。

    例えば、ジョーカーを1枚入れたトランプを10枚用意します。1枚選び、伏せておきます。誰かに(自分でもいいけど)残り9枚からハズレ8枚を除いてもらいます。残ったカードとあなたのカード、どっちが当たり?

    5回もやれば、傾向がはっきり出ます。感覚的にもわかってきます。特に、ハズレ8枚除く作業をするとはっきりすると思います。

    ユーザーID:

  • 極端さんとぱぼの例について

    100個のドアの例についてですが、
    ドアを司会者がヤギと知ってて開けるということは、
    残したドアは車であると知っているから開けなかったということです。
    だから司会者が残したドアに車が入っています。

    ただ、最初にあなたが車の入っているドアを選んだ場合だけは除いてですが、
    そのような事象が起こる確率は1/100ですから、
    残りの確立99/100は司会者が開けなかったもう1つのドアに車が入っています。

    ユーザーID:

  • 司会者の立場から見ると

    再度、おじゃまします。こんな説明を考えてみました。

    トピ主さんが、ゲームの解答者ではなく、司会者だった場合を想像してみてください。

    解答者がハズレのドアを選ぶ確率は2/3ですね。この場合、司会者(トピ主さん)が開けずに残したドアが必ず当たりになります。いっぽう、解答者が当たりのドアを選ぶ確率は1/3ですね。この場合、司会者(トピ主さん)が開けずに残したドアは必ずハズレです。

    言い換えると、解答者が選ばなかった2枚のドアのいずれかが当たりであれば、必ず最後に残るドア(解答者が選ばず、司会者も開けなかったドア)が当たりになります。

    したがって、解答者が選ばなかった2枚のいずれかが当たりである確率(=解答者がハズレのドアを選択する確率)が、選択を変更した際に当たりのドアになる確率になります。

    ユーザーID:

  • 実際にやってみよう

    釈然としない方は、司会者側の視点で実際に試してみると納得できるでしょう。客側の視点だけで考えると、どうしても錯覚しやすいようです。

    実験に使うのは何でもいいんですが、トランプ等を使うのが簡単でしょうか。とりあえずジョーカーが当たりということにします。

    まず、53枚のカードから無作為に1枚選んで除けておきます。これは客の分です。
    次に残り52枚を調べ、ジョーカー以外のカードを捨てます。ジョーカーが残っていない=最初に引いた場合は、適当に1枚残す事にします。これが司会者の分です。

    どうでしょう。この手順でやるかぎり、残った2枚のカードを交換したほうが、どう考えても客の側にジョーカーが行きやすくありませんか。

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  • ヤギの可能性も増える!

    2度目です。
    先ほど、1/2の方が正しいと言ったnaokoです。

    もっとわかりやすく、考えました。

    Aを選択して、Cを司会者が開けたとして、
    確かにAが車の確率は1/3、Bの確率は2/3になって、
    当たりの可能性が増えたように見えます。

    次に、ドアがヤギの可能性を考えます。
    Aは2/3、BはCの確率も引き継いで4/3になります。

    つまり、Aは1/3車で2/3ヤギ、Bは2/3車で4/3ヤギ。
    通分すると、どちらも車:ヤギは1:2です。

    これでどうでしょう?

    ユーザーID:

  • なかなか硬い人もいますね

    絶対に選択を変えない人が当たる確率
     =選んだ扉がそもそも当たりの確率
      =1/3

    常に選択を変える人が当たる確率
     =1 - 絶対に選択を変えない人が当たる確率
      =2/3

    2択問題で「絶対に選択を変えない人が当たる確率」
    がズバリ1/3な時点で答えは明白かと。

    ちなみに「変える/変えない」をサイコロで決める
    人が当たる確率は1/2です。
    1/3×1/2 + 2/3×1/2 = 1/2
    これを錯覚して1/2だから移動してもしなくても
    同じと考えてしまうのです。

    ユーザーID:

  • もっと分かりやすく

    まだ理解できない方のために、
    僭越ながらもっと分かり易い例を。

    例えばあなたが一枚の宝くじを買ったとします。
    そこにある人が現れ、
    一枚の宝くじをあなたに見せて言います。

    『あなたが買ったその宝くじと、
     私が持っている宝くじのどちらか一枚は、
     確実に一等が当たっています。
     あなたはこの2枚から好きなほうを選べますよ』と。

    当然あなたが買った宝くじが当たっている確率は、
    ゼロではないものの極めて低いです。

    するとその人が提示した宝くじが当たっている確率は、
    100%からあなたのくじが当たる確率を引いた確率で、
    当たっているのです。
    つまり極めて100%に近い確率で当たりなのです。

    この問題に置き換えると、
    あなたが最初に外れを引いていれば、
    扉を移動すれば必ず当りを選ぶことになります。

    つまり最初の選択で外れを引く確率が重要なのです。
    100個のドアで言えば、最初に外れを選ぶ確率は99%。
    それに対し司会者が残したもう一枚の扉は、
    自動的に当りなのです。

    この問題の場合は3択ですが、
    最初に外れを選ぶ確率は2/3と高いので、
    移動した方が当りを引く確率が高くなります。

    ユーザーID:

  • どしょっぱなで当てる自信ありますか?

    トピ主さんは、100個のドアの中から、どしょっぱなで車を当てる自信がありますか?
    ドアを変えないという事は、最初に選んだものが当たりだと信じる事です。

    100個の中から車を当てる確率は、1%しかありません。
    残りの99個の中に車がある方が、よほど確率が高いのはわかりますよね?
    その99個を、司会者さんが1つにしてくれたのです。

    あなたがよほどの幸運の持ち主でない限り、
    あなたが最初に選んだ1個のドアより、残り99個の中に車があった可能性の方が高いですよね?

    貴方が一発で車を当てる確率はたったの1%。
    99%の確率で、隣のドアに車があります。

    100個だと大変なので、10個の紙きれで、試してみて下さいね?

    ユーザーID:

  • 難しく考えすぎでは?

    ドライに式で考えるとわかりやすいです。
    扉をA.B,Cとして、私がAを選ぶ場合を考えます。
    すると

    A B C 変える 変えない
    ○ × × = はずれ あたり
    × ○ × = あたり はずれ
    × × ○ = あたり はずれ (○にあたりがある

    となります。
    それぞれにあたりがある確立は1/3ずつなので、変えない場合は1/3、変える場合は2/3の確立であたる事になります。

    -----------------------------------------------

    つぶやく埴輪さんの理論では、私が最初の選択ではずしている場合、司会者に選択の余地はない(はずれは残り一つだから)ので扉を開ける際に確立の変化はないということを見落としています。
    当,Y,Z
    私,司,−
    私,−,司
    −,私,司
    −,司,私

    私があたりを選んで、司会者がYかZを選ぶのはそれぞれ1/3×1/2=1/6ですが、
    私が最初の選択ではずしている場合、司会者に選択の余地はないので扉を開ける際に確立の変化はありません。そこでX、Yともに1/3ずつです。
    そのため、変えないで当たる確立は1/6+1/6=1/3
    変えてあたる確率は1/3+1/3=2/3となり、やはり変えたほうが当たりやすくなります

    ユーザーID:

  • そんな人もいるのか。

    是非100万円くらい賭けて勝負したいですね(笑)

    100枚のカード中当たりは1枚です。
    当たりを引いた人が勝ち
    お互い外れなら引き分けです。
    あなたは100枚のカードから1枚選んでください。
    私は残った中から司会者が98枚のはずれを引いた後
    最後に残った1枚を選びますので。
    1回だけだと万が一ってことがあるので
    10回くらいやりましょうよ。
    私はかなりの確率で私のほうが儲かると思うんですが
    あなたの見立てでは勝率は五分五分なんですよね?

    ユーザーID:

  • 【つぶやく埴輪】さんにツッコミ:続き

    今回の問題に対し、【数学屋】さんの意見が非常にまとまっていて良いと思います。

    当たりがAで、司会者がBを開ける : 1/6
    当たりがAで、司会者がCを開ける : 1/6
    当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/3
    当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/3

    の下りですね。まさにそのとおりでしょう。
    上記の4つはまさに「同様に確からしくない」ということですね。

    【つぶやく埴輪】さんは、
    当たりがAで、司会者がBを開ける : 1/6
    当たりがAで、司会者がCを開ける : 1/6
    当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/6
    当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/6
    と仰りたいようですが、残りの1/3はどこに行ってしまったのでしょうか?

    当たりがBで、司会者がAを開ける : 1/6
    当たりがCで、司会者がAを開ける : 1/6
    が無くなってしまったから、という反論をなさいますか?

    むしろ、その2つを司会者が選べないからこそ、
    当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/3
    当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/3
    になったのですよ。。。

    ユーザーID:

  • 【つぶやく埴輪】さんにツッコミ

    組み合わせの問題で、
    「結果の組み合わせの“種類”の総数」
    にのみ注目することは危険ですよ。

    例えば、「宇宙人が居る確率は?」という質問に対して、
    結果を書き出して見ると・・・

    1.宇宙人は居る
    2.宇宙人は居ない

    の二通りなので、『宇宙人が居る確率は二分の一』。
    と言う解答をなさるのでしょうか?

    上記の確率はわかりにくいので、条件を替えてみます。

    「あなたが今日中に1億円を手に入れる確率は?」
    結果を書き出して見ると・・・

    1.今日中に1億円手に入れる。
    2.今日中に1億円手に入れない。

    の二通りなので、『今日中に1億円を手に入れる確率は二分の一』。
    と言う解答をなさるのでしょうか? ・・・そんなまさか。。。

    「全ての事象が“同様に確からしい”時」にのみ、
    ある事象の起こる確率=ある事象の種類の総数÷全ての事象の種類の総数
    となります。しかし、今回はそうではないでしょう。

    ユーザーID:

  • ネ子さんへ

    100個の扉のたとえで
    最初にあなたがヤギを選んでいる確率は
    99%であることをお忘れなく。

    そのあなたの選んだ扉と、
    車のありかを知っている司会者が残した最後の扉が
    車である確率をくらべれば
    どちらの扉に車のある確率が高いかお分かりに名路と思います。

    ユーザーID:

  • 100枚のドアの例は

    司会者がヤギだと知っててドアを開けるということは、
    残したドアが車だと知っているから開けないということです。

    ユーザーID:

  • >おなじだよさん

    司会者が正解を知ってる
    というのがキモなんですよ。

    故に最初に選んだ扉の当たりの確率は変わらないんです。
    わかるかなぁ・・・

    ユーザーID:

  • 意見分かれてますね

    「1/2」や「50%」で変わらなくても同じだと言ってる方は

    「モンティホール」

    で検索かけてくださいね。

    ユーザーID:

  • まちがえた!

    ごめんなさい。先ほどの投稿「最終的には2つに1つ」では、完全に誤解していました。司会者がどのドアが当たりかを知っていて、必ずハズレのドアしか開かないというところが肝なんですね。

    司会者が当りのドアを知らずに、次々とドアを開けていって、運良く2枚のドアが残った後で、「選択を変更してもいいですよ」と言われたのなら、どちらを選んでも当たりの確率は同じですが、司会者が当たりのドアを知っていて、ハズレのドアのみを開けていった場合には、選択を変更するほうが有利ですね。

    お詫びに、自分が納得した考えかたは以下の通りです。

    司会者がハズレのドアを開けていって、残った1つを選ぶ(最初の選択を変更する)ということは、実は、最初に自分が選択した以外のドア全てを選択するということと等しい効果をもたらすわけですね。

    いい頭の体操になりました。トピ主さん、みなさん、ありがとうございました。

    ユーザーID:

  • 面白い問題ですね

    最初、変えても変えなくても一緒って思いましたが、
    でもこのトピを読んでいて、考えが変わりました。


    (1)変えなくても一緒の説
    最初は選択肢が3→2に減るだけなので、
    1/2になるのが当然と思いました。

    (2)変えたほうが有利の説
    (Aを最初に選択、Cを司会者が開けたとして、)
    Aの当たりの確率が1/3で、B+Cの確率が2/3で、
    Cがなくなったのだから、Bの確率が2/3というのも、
    わかります。


    両方とももっともらしくて、すごく悩みました。
    私は「(2)変えたほうが有利」説の間違いを証明することで
    「(1)変えなくても一緒」説を証明しようと思います。


    例えば、エーさんはAを選びました。
    それを見ていたギャラリーのビーさんは
    ゲームの参加者ではないけど、心の中でBだ!と決めました。
    その後、司会者がCを、はずれです!と言った後、
    ドアを変えてもいいですよ、と言われた場合、
    エーさんにとってはBの確率が2/3だけど、
    ビーさんにとってはAの確率が2/3になってしまいます。

    つまり、Aの確率もBの確率も2/3=五分五分=1/2
    ってことになりませんか?


    と、一晩考えたのですが、どうでしょうか?

    ユーザーID:

  • フィフティフィフティさん

    正解だって自信たっぷりのご様子なので
    省略しないで数学的な解説を是非お願い致します!
    数学やってましたんで、
    数式を並べて頂いてもかまいませんよ。

    ちなみに、私の解答は「移動した方が確率は高い」
    です。

    【移動する場合】
    ・初めがヤギである確率:2/3 ←アタリ
    (初めがヤギなら移動すればアタリ)

    ・初めが車である確率:1/3 ←ハズレ
    (初めが車なら移動すればハズレ)

    【移動しない場合】
    ・初めがヤギである確率:2/3 ←ハズレ
    (初めがヤギでそのままなのでハズレ)

    ・初めが車である確率:1/3 ←アタリ
    (初めが車でそのままなのでアタリ)

    以上より、移動する場合のアタリの確率は2/3
    移動しない場合は1/3ってことなので
    移動した方が当たる確率は2倍になります。

    ユーザーID:

  • 最終的には2つに1つ

    トピ主さんが質問されている状況では、最終的な当りの確率は、どちらのドアも等しく1/2です。

    ドアが3枚(A,B,C)だとします。

    [状況1:最初にドアを選ぶ段階]
    A: 当る確率=1/3
    B: 当る確率=1/3
    C: 当る確率=1/3

    次に、司会者がハズレのドア(仮にCとする)を開けた時点で、残りのドアが当たっている確率は、どちらも1/2です。

    [状況2:Cがハズレだと確定した段階]
    A: 当る確率=1/2
    B: 当る確率=1/2
    C: 当る確率=0

    いずれかのドアが、ハズレだと確定した時点で、残りのドア全てについて、当たりである確率が等しく上がります。ドアの枚数に関係なく、ハズレのドアが確定していくたびに、残りの全てのドアについて、それぞれが当りである確率が等しく上がります。

    上の「状況1」から「状況2」へ変化する際に、解答者が選んだドアが当りである確率だけが、「状況1」のまま変化せず、残りのドアが当りである確率だけが上がるように錯覚させているところがトリックの肝です。

    最初に”騙しちゃダメですよ”さんが指摘されているとおりです。

    ユーザーID:

  • フィフティフィフティさんの会社はすごい

    この問題はかなり多数の人が「替えても同じ」だと錯誤することで有名な問題です。
    9割近くの人がきちんと「替えたほうが有利」だということを認識できるような職場は信じられないくらいレベルが高いですよ。
    そのような職場の仲間に入れてもらえて幸運でしたね。

    納得しない人は「そんなわけはない」と信じ込んでいるためにどんなにきちんとした説明も頭から受け付けない傾向がありますが、もしきんち理解したければ「モンティホールジレンマ」で検索してあちこち読んでみるといいと思います。

    このトピックで行われているのと同じような議論があちこちで起こっていることがわかると思います。

    ユーザーID:

  • やっと分かりました。

    ドアを変えても変えなくても確率は同じだと思ったのですが、やっと分かりました。

    「もう一枚のドアに替える方がいいか」でなく、いちごさんの発言のように「もう一度考えたほうがいいか」ということなのですね。

    三枚のドアがあって、初めから当たっている確率は、1/3。司会者がドアを開けてた時点でドアを選ぶのであれば、2枚のドアのどちらかなので1/2なのですね。

    だからといって、自分が選ばなかったもう一枚のドアに乗り換えたほうが確率が高いということも無いと。

    ユーザーID:

  • 確率計算の前提を

    はっきりさせないと確率が2/3か1/2か答えは出ません。

    司会者が「はずれ」を明らかにした後も「不明」「不明」「はずれ」の扉から選択するのかどうか?

    一般的な感覚からすると司会者が「はずれ」を提示した段階で「一回目の選択」は行われたので、残り2個のドアからの選択となり1/2が答えとなるでしょう。

    一方で司会者は「観察者」の立場で「はずれ」の提示は「一回目の選択」にあたらないとするなら「不明」「不明」「はずれ」のドアの中から選択をやりなおすことになるので、不明のうちのどちらから選ぶことになるので2/3が正解となります。

    選択の前提をあいまいにしたままで「引っ掛け問題」を出せば、答えが2/3か1/2に分かれるのは当然であろうと思われます。
    逆にいうと前提のはっきりしない状態での出題の場合、両方とも正解となります。

    ユーザーID:

  • わかりました(多分)

    さきほど、「なぜ残されたドアだけの確率が
    高まるのかがわらかない」というような投稿を
    したのですが、更新された返信を読んで
    わかりました。

    自分の目の前にあるドアは
    3つある中から選んだ1つだが
    残されたドアは2つある中の1つだから
    残されたドアのほうが確率が高い
    ということなんですね?

    ユーザーID:

  • 補足

    先の私の意見は、騙しちゃダメですよ さんが既に明快に述べられてますね。すいません。

    誤解されている方々は、おそらく、司会者が開けるヤギのドアが決められている(例えばNo.1のヤギ)と、勘違いされているのではないでしょうか。しかしそれでは、選択者がすばりNo.1のヤギのドアを選んだらゲームが進まなくなってしまいます。「選択者が選んでいない方のヤギのドア」と解釈するのが正しいです。

    ユーザーID:

  • 最終的に五分五分が正解

    なぜなら、司会者が1つヤギ(必ず選ばれていないのが1つある)のドアを開けた時点で、「1つのドアの向こうにはヤギ、もう1つには車……の条件でどちらかを選ぶ」に問題(条件)が変わっているからです。

    要するに問題がリセットされているので、こうなった時点で「このドアは3つ閉じていた時に選んだドアだから…」と考えるのは意味を成さないです。だから最初にドアが3つあろうが、100あろうが、ハズレのドアを1つ残して全部開けてしまえば、上記の新たな問題に帰着するだけなので同じことです。

    「確率は?」と言う時、どういう条件(過去からの影響も踏まえて)かを明示して述べる必要がありますが、この場合、五分五分条件に問題がリセットされ、「さて、2つのどちらか」という単純な条件に変化しているので、どっちでもよい(選び直しても良いし、そのままでも良い)ということになるかと思います。

    ユーザーID:

  • 変えたほうがよいのですか?

    2つのドアのうち、どちらかが車で
    どちらかがヤギとわかった時点で確率は五分五分、
    どちらのドアの前に立っていようと
    当初の確率3分の1が2分の1に
    高まっただけではないのですか?
    選ぶドアを変えても変えなくても
    車が当たる確率は2分の1なのでは?

    「変えたほうが当たる確率が高い」理由が
    わかりません。
    残されたドアだけ車が当たる確率が
    高まったのでしょうか。

    ユーザーID:

  • どっちも同じ

    どう考えても、司会者がヒントを出しているわけでないので、ドアを変えても変えなくても車にあたる確率は同じです。

    想像してみてください。100枚のドアがあって、司会者が98枚のドアを開けました。全てヤギのドアでした。残りは、自分が前に立っているドアともう一枚。

    ここに遅れて会場に到着した人がいます。何をしているか聞かれて手短に「2枚のドアのどちらかの後ろに車があって、どっちを選ぶか迷っている」と答えました。

    このとき、もし遅れてきた人が参加できたとしたら、どうして自分が立っていないドアのほうが車に当たる確率が高いのでしょう?

    本のタイトルが挙げられていましたが、人は確率にだまされやすいという話ではありませんか?

    ユーザーID:

  • 数学者もひっかかった

    問題文を言い換えましょう。

    ドア1枚とドア2枚、どちらかのグループに当たりがあります。
    ドア2枚のグループは、正解を知ってる者がハズレをひとつ潰してくれますから、2枚のほうに当たりが含まれていさえすれば、確実に当たりを得る事が出来ます。

    さて、どっちのグループを取るほうが有利ですか。

    この問題は、司会者が正解を知っているかどうかで答えが変わります。
    司会者も正解の場所を知らなかった場合、開けたドアがハズレなら、そのドアが当たりかもしれなかった確率 1/3 が、残りのドアに均等に分配されます。これなら、残りのドアはそれぞれ 1/2 という事になりますね。

    しかし、司会者はハズレと知った上でハズレを開けるので、分配されるべき確率はゼロです。変動は起きません。依然、2枚だったグループのほうが、2/3 の確率で当たりを持っている事になります。

    この問題はモンティホールのジレンマと呼ばれ、当初は本職の数学者達でも、1/2と錯覚する方が多かったらしいです。
    解説しているサイトもたくさんあるので、google等で”モンティホール”を検索してみてください。

    ユーザーID:

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