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確率ゲーム?

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先日飲み会で出た話題なのですがそれ以来どうも気になっています。

『あなたは賞品として車をもらえるゲームに参加しています。
目の前に3つドアがあり、そのうちの一つは、後ろに車、あとの2つは後ろにヤギが隠されています。
車が隠れていると思うドアの前に立ってください。
そこで、ゲームの司会者(どのドアが車でどれがヤギか、知っている)が、ヤギのドアをひとつ開けて、全員に見せます。あなたが選んだドアは開けません。
この後、あなたはドアを替えることができます。替えなくてもいいのです。最終的に選んだドアの後ろに車があれば、その車をもらえます。』

という筋書きで、問題は、
『さて、ここでドアを替えた方がいいのか?』
ということなのですが、確かそのとき話題になっていた答えは、
『替えた方が車が当る確率は高い』
だったのです。

ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの2つは五分五分になるんじゃないかという気がするのですが…
なぜ替えた方が確率は高いといえるのか、また、これは数学のひっかけで、結局答えは五分五分なのか、どなたか教えてください。

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このトピのレス

レス数147

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  • 変えた方がよい・・・らしい

    この話どっかで読んだなーと思い捜してみたら、ありました。
    賢いはずのあなたが、なぜお金で失敗するのか  
    ベルスキー著 日本経済新聞社 
    P125 に解説も書かれています。どこかで、この本を見たら読んでみるといいでしょう。

    簡単に説明すると、最初に選んだドアに自動車が入っている確率は1/3です。司会者がヤギのドアを開けたあと、残ったドアに自動車がある確率は1/2です。最初のドアは1/3で、残ったドアは1/2。だから変えた方がよい、という結論です。
    <ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの2つは五分五分になるんじゃないか
    という気がするんですけどね、最初に選んだとき1/3だった確率は、あとからドアが開けられても変わらないのです。「3つのなかから選んだ」ことは変わりないので。

    あるいは。
    選んだドアがヤギの確率は2/3。このとき司会者は必ずヤギのドアを開けるから 残ったドアは100%自動車です。2/3の確率で変えた方が有利なのです。

    ユーザーID:

  • 変えた方が有利

    変えた方が有利です。

    この問題の肝は、「司会者はどれに車が入っているか
    知っている」というところに尽きます。

    司会者がどれに車が入ってるか知らずに、無作為にドアを
    開け、車が入っていたら「残念でしたー」で終了すること
    もある。しかしたまたま今回はヤギだった、というケース
    なら、
    >ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの2つは
    >五分五分になるんじゃないかという気がするのですが…
    これは完全に正しいです。

    最初に自分が選んだドアをA、残り2つを便宜的にB、C
    とします。
    この時点では車がA、B、Cどれに入っているかは1/3ずつ
    です。
    司会者は車がBに入っている場合はC、Cに入っている
    場合はBを開けます。
    そして最初に当たりを引いていた場合は、仕方ないから
    司会者はB、Cいずれかを無作為で開けます。
    つまり、
    当たりがAで、司会者がBを開ける : 1/6
    当たりがAで、司会者がCを開ける : 1/6
    当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/3
    当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/3
    となります。
    司会者がB、Cいずれを開けたとしても、変えたほうが
    有利ですね。

    ユーザーID:

  • 1/2に決まってます

    tanさんはトピ主さんをからかっているのかな?
    そうでなければその本にからかわれていますね。

    論理の破綻に気付きませんか。
    ”最初に選んだとき1/3だった確率は、あとからドアが開けられても変わらない”
    にもかかわらず、なぜ司会者が羊のドアを開けた後
    ”残ったドアに自動車がある確率は1/2”に変わるのでしょうか?

    ドアを開けた後に、変えるか否かという選択を行うことは
    ”「2つのなかから選んだ」ことに変わりない”ので
    確率1/2となりませんか?


    引っかけ問題に騙されちゃいけません。
    司会者がドアを開けた時点で、確率は1/2に変わるのです。
    最初に選ぶ時点の確率1/3というのはその通りですが、そこでファイナルアンサー!と
    やらないのでその後の選択には無関係です。
    ドアの前に立たせることで1/3で選んだような錯覚を起こさせるわけです。


    蛇足ながら、もしあなたが最初に羊の前に立った場合に、司会者がそのドアの方をを開けてくれる、
    というのなら話は別ですよ。
    この場合なら、2回とも外れる確率が1/3(=2/3*1/2)なので
    2/3で当たりますけどね。

    ユーザーID:

  • ごめんなさい。訂正

    最初のレスをしたものです。

    <残ったドアに自動車がある確率は1/2です。最初のドアは1/3で、残ったドアは1/2。

    って書きましたが、残ったドアに自動車がある確率は2/3・・・だと思います。紹介した本にも、はっきりとは書いてないので、よくわからないのですが。

    失礼しました。

    ユーザーID:

  • これでどうだ!

    ドアが100個あったとしましょう。
    この中に当たりは一つ
    あなたがドアを選んだ後司会は残りの98個を開けます。
    全て外れです。
    残ったドアは2つ。
    >ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの2つは五分五分になるんじゃないかという気がするのですが…
    やっぱりドアが2つだったら確率は五分五分だと思いますか?

    ユーザーID:

  • 移動すれば2/3

     ドアを移動しない場合は、最初に選択した確率のままですから、車の確率1/3です。
     では次にドアを移動した場合の確率を考えてみましょう。

    1:最初に車を選んだ場合
     こうなる確率は1/3です。
     この場合にドアを移動すると、必ずヤギのドアを選ぶことになります。
     
    2:最初にヤギを選んだ場合
     こうなる確率は2/3です。
     司会者はもう一方のヤギのドアを開けるので、残ったドアは車です。
     つまり、ドアを移動すれば必ず車に移動することになります。

     つまり移動する場合、最初に車なら必ずヤギに、逆に最初にヤギなら必ず車に移動することになります。
     そして最初にヤギを選ぶ確率が2/3ですから、移動した場合はそれと同じ確率…、つまり2/3の確率で車を選ぶことになります。

     移動しないときは1/3、移動したら2/3ですから、移動した方が絶対に有利ですね。

    ユーザーID:

  • すみません 3回目

    2つ目、3つ目の投稿を読む前に、2回目を書いてしまったので、もう一回補足します。

    「残ったドアに自動車がある確率は1/2です。」は、もうホントに間違いでしたね。お二方の説明を聞いて納得しました。かえって混乱させてしまったようで済みませんでした。残ったドアの確率は2/3だと思います。

    数学屋さんの説明を借りれば、

    当たりがAで、司会者がBを開ける : 1/6
    当たりがAで、司会者がCを開ける : 1/6
    当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/3
    当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/3

    当たりがBであってもCであっても、司会者がはずれを教えてくれるので、ドアを変えれば必ず当たります。ドアを変えない場合は、Aに入っているときだけ(1/3)当たり、ドアを変えれば、BまたはCに入っているときに当たる(1/3+1/3=2/3)
    ・・・と考えたのですが、確信が持てないので、教えていただけるとうれしいです。

    ユーザーID:

  • 替えなくてもいい

    ただ単に、少しだけ当たりやすくなっただけでしょう。
    替えても替えなくてもどちらかがヤギでどちらかが車です。
    レトリックに惑わされると本質から離れます。
    替えたら当たる確率も1/2、そのままで当たる確率も1/2です。

    ユーザーID:

  • 三択が二択になるだけ

    数学的名な証明は誰かが懇切丁寧にやってくれてるでしょうから省略。

    このトピ、釣りじゃあるまいしそこまで低脳ってことはないだろうし、本気で書いているのか、どうしてそうなるか、と訝りながら私の職場でアンケートをしてみた。

    結果、トピ主さんおよび最初のおふたりのレスと同じ答えのオンパレードで、正解は私の上司だけ。正解率10%以下。

    うちの会社も長くないなと悲観し、現在私は転職を大真面目に考え始めています。

    このトピにありがとう。

    ユーザーID:

  • 変えたほうが有利です。

    司会者が正解を知っいてドアを開けた場合は、変えたほうが有利です。

    もっとドアの数を増やして考えるとわかりやすくなります。
    ドアが100個あって、そのうち1つにだけ車が入っています。
    あなたはドアを1つ選びました。

    車が入っているドアを知っている司会者は、あなたの選んだドアとそれ以外もう1つのドアを残して、98個のドアを開きました。

    もちろん、その98個のドアは全部ヤギでした。
    さて、あなたがはじめに選んだドアと、司会者がもう1つ残したドアとどちらが有利でしょう?

    ユーザーID:

  • ドア変えるべし

    自分が選んだドアは1/3の確率でしか当たりませんが、司会者が一つにしたドアは2/3の割合で当ってます。なので別のドアを選ぶのが正しいです。

    これはドアが3つしかないからわかりにくいのですが、今度はドアを100個にして、似たようなルールで最後に二つのドアだけを残すようなゲームに拡張してみてください(98個のはずれドアを司会者が開けて二つにする)。こうすると自分が最初に選んだドアの当たりの確率は1/100なのはすんなり分かると思います。これを二つにするということは、自分のドア(確率)はそのなままなのに、ほかの全部のドアをひとつにして、すなわち99個のドアをひとつにした新しいドアを作ったということです。99個のドアを一つにしたのでそちらが当たる確立は 99x 1/100=99/100 です。

    基本的にドアが3つでも一万個でも同じことですが、三つの場合は、1/3の二つのドアを一つにまとめて2/3で当たっているドアを作ったと考えればいいのです。なので、変えた方が当たる確率ははるかに高いでしょう。

    ユーザーID:

  • 司会者のドアは2/3の確率で、あなたのドアは1/3

    の確率なので、司会者の残したドアに乗り換えるべきです。

    なぜでしょうか?

    司会者は「当たっていないドアを任意に開けることができる」のが曲者です。ゲームに参加してる人が外れ、当たりのいずれの前に立っていても、司会者は残ってる二つのうち当たっていないドアを開けることができます。したがって、彼が持っている二つのドアのうちどちらに当たりがあろうかなかろうが関係なく外れのドアを開けることができます。従って彼がドア見せようが見せなかろうが、あなた前にあるドアが当たっている確率は変化しません。

    考え方をちょっと変えましょう。司会者は二つのドアをまとめて一つにしただけです。なので、司会者の残したドアは2/3の確率で当たってます。

    これ、三つだと分かりにくいけど、例えば10個のドアに拡張して、司会者が八つの外れドアを開けて一つだけ残すというルールにしたら分かるかな? 自分が最初に選んだドアの当たりが1/10だけど、司会者が同じことやって一つだけ残したらそっちの方が当たる確率は高そうだって、直感的に分かると思うけど。

    ユーザーID:

  • 1/2 じゃありませんよ〜

    コインを3枚用意してください。

     ○ ○ ○

    ひとつのコインの裏に印をしてください。
     A B C
     ● ○ ○

    Aのコインが「当たり」だとします。

    誰かに一枚選んでもらいます。

    選んだコインが「当たり」である確率は1/3です。

    選ばれなかったコインのうち、BかCのいずれかを除きます。

     ○ ○

    どちらかが「当たり」ですが、最初に選んだコインが当たりである確率は1/3です。

    ですから、変えたほうが有利なのです。

    わかりにくいですか?

    では、コイン10枚で考えてみましょう。

     ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

    一枚選んでください。
    そのコインが当たりである確率は1/10です。

    8枚減らします。

     ○ ○

    どちらかが当たりですが、最初に選んだコインは
    9割がた、はずれです。

    変えたほうが、当たる確立が高いですね。

    ユーザーID:

  • 替えたほうが有利ではなく

    替えたほうが有利ではなく、替えるかどうか悩んだ方が有利の間違いでしょう。新しく選びなおした方が確率が高くなります。

    ユーザーID:

  • あっ、もしかして

    最初にヤギを選ぶ確率は2/3、その場合扉を替えれば当たり。
    最初に車を選ぶ確率は1/3、その場合扉を替えればはずれ。
    よって替えた方が確率は倍ということですか?

    ユーザーID:

  • >極論さん

    極論さんの例の100個のドアですが…

    どしょっぱなに選んだドアが、たまたま当たる確率は、たった1/100ですよね。
    でも残りの99個のドアは、正解を知っている司会者が1個に絞ってくれるので、99個の中で唯一残ったドアの方が確率が高いと思うのですが…。

    私は文系人間なので、あまり自信はありませんが、ドアを変えた方が確率が高いと思います。

    ユーザーID:

  • 1/2です

    悩んだらパターンを書き出してみましょう。
    はずれの扉をY,Zと仮定します。
    私が当たりの扉を選んだ場合、司会者はYとZのいずれかを開ける組み合わせがあります。
    私がはずれの扉を選んだ場合、司会者が開ける扉は開いていない方の扉です。
    書き出してみると…。

    当,Y,Z
    私,司,−
    私,−,司
    −,私,司
    −,司,私

    見て解る通り、司会者が選んだ後に扉を変えても、当たりと外れの扉を引く組み合わせは同数あります。
    つまり、確率は1/2なのです。

    ユーザーID:

  • 追記

    数学屋さんの説明ですが、
    ************************最初に自分が選んだドアをA、残り2つを便宜的にB、C
    とします。
    この時点では車がA、B、Cどれに入っているかは1/3ずつ
    です。
    司会者は車がBに入っている場合はC、Cに入っている
    場合はBを開けます。
    そして最初に当たりを引いていた場合は、仕方ないから
    司会者はB、Cいずれかを無作為で開けます。
    つまり、
    当たりがAで、司会者がBを開ける : 1/6
    当たりがAで、司会者がCを開ける : 1/6
    当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/3
    当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/3
    となります。
    ************************
    以上引用

    当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/6
    当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/6
    ですね。

    ユーザーID:

  • モンティ・ホール・ジレンマですね

    モンティ・ホール・ジレンマ
    と言われる有名な問題です。

    結論としては
    「変えたほうが確率的に良い」
    です。

    説明は上のほうの方が丁寧に説明してくれてるので割愛します。

    50%50%と感じてしまいますよね。
    直感的には。

    ユーザーID:

  • >フィフティフィフティさん

    変わらないでいいという答えにたどり着いたうえで転職とまでおっしゃってるならば、それは結構恥ずかしいですよ・・・

    ユーザーID:

  • おお

    ぱぼさんの文うまいですね。
    なるほどなあ。

    ユーザーID:

  • 実験してみました

    簡単なスクリプトを作って10万回ほどループさせてみました。

    1.「常に変更しない」
    2.「常に変更する」
    をそれぞれ行ったところ、

    1では33441回で当たり
    2では66882回で当たり

    となりました。

    ユーザーID:

  • 連投すみません。

    うっかり流してしまいました。私低脳でしたね。

    当たる確率は0か1/3か1/3なので2/3だから選びなおした方が確率としては高い、という話なのね。

    まあ0の可能性もあるから実情にはそぐわないのでは、という話は脇に置いておいて。

    ユーザーID:

  • おやおや。

    皆さん、いい感じに騙されてますね。
    ドアが100個に増えても200個に増えても一緒ですよ。

    司会者が残りのドアを開けた後の状態は、最初に車のドアを選んでいようが、ヤギのドアを選んでいようが、「車のドア1つとヤギのドア1つ」になっていることに変わりありません(勿論、どっちが車かは分かりません)。

    この状態(ドアA、Bとする)で、「選びなおさない」ということは「ドアAを選ぶ」、「選びなおさない」は「ドアBを選ぶ」ということと同じです。
    なので、選びなおそうがなおすまいがどちらも1/2、最初にどのドアを選んでいても一緒です。

    ユーザーID:

  • なるほど!

    納得しました!

    私も最初は五分五分だと思ったのですが、
    最初の選択でヤギと車のそれぞれを選ぶ確率が、
    そのまま裏返るということですね。

    つまり最初にハズレを引く確率が高いほど、
    2回目に移動した方が有利になると。

    興味深い問題でした。

    ユーザーID:

  • あはは

    ABCのうち、最初にAを選んだとして、A,B,Cそれぞれ車のドアである確率は1/3。
    司会者がBのドアを開けてヤギだったら、Cのドアは1/2の確率で車がある。でも、その時点でAのドアも1/2の確率で車があります。

    ドアが100でも同じ。その都度選べる全てのドアは、最初1/100の確率で、次に1/99、1/98……1/2と、等しい確率で車があります。

    ドアが一つ開けられるごとに、自分が選んでいない方のドアが当たりである確率は上がりますが、自分の選んだドアが当たる確率も、選んでいないドアと同じだけ上がります。自分の選んだドアだけ最初の確率だと錯覚してはいけません。

    ユーザーID:

  • 極端さんとばぼさんの例でも

    トピ主です。皆さん、レスありがとうございます!

    いまだに、替えた方が有利になる確率の仕組みがよくわからないままです。

    ドアが100あって、司会者が98開けたことにしたらどうか、という例ですが、司会者はヤギと知ってて開けるので、何枚ドアを開けようと、結局残り2つのドアの車かヤギかの可能性は五分五分という気がします。

    ドアが3つの題で、車が隠れている確率がどのドアも1/3、司会者がひとつ開けた時点で、最初に選んだドアの確率が1/3のままなら、残りのドアの確率も1/3のままなので、五分五分なんじゃないかなあ…

    私にはどうも、替えた方が有利になる、というのはなにかのひっかけのような気がするのですが…

    他に説明の方法がありましたら、ぜひ宜しくお願いします。

    ユーザーID:

  • 数学者もひっかかった

    問題文を言い換えましょう。

    ドア1枚とドア2枚、どちらかのグループに当たりがあります。
    ドア2枚のグループは、正解を知ってる者がハズレをひとつ潰してくれますから、2枚のほうに当たりが含まれていさえすれば、確実に当たりを得る事が出来ます。

    さて、どっちのグループを取るほうが有利ですか。

    この問題は、司会者が正解を知っているかどうかで答えが変わります。
    司会者も正解の場所を知らなかった場合、開けたドアがハズレなら、そのドアが当たりかもしれなかった確率 1/3 が、残りのドアに均等に分配されます。これなら、残りのドアはそれぞれ 1/2 という事になりますね。

    しかし、司会者はハズレと知った上でハズレを開けるので、分配されるべき確率はゼロです。変動は起きません。依然、2枚だったグループのほうが、2/3 の確率で当たりを持っている事になります。

    この問題はモンティホールのジレンマと呼ばれ、当初は本職の数学者達でも、1/2と錯覚する方が多かったらしいです。
    解説しているサイトもたくさんあるので、google等で”モンティホール”を検索してみてください。

    ユーザーID:

  • どっちも同じ

    どう考えても、司会者がヒントを出しているわけでないので、ドアを変えても変えなくても車にあたる確率は同じです。

    想像してみてください。100枚のドアがあって、司会者が98枚のドアを開けました。全てヤギのドアでした。残りは、自分が前に立っているドアともう一枚。

    ここに遅れて会場に到着した人がいます。何をしているか聞かれて手短に「2枚のドアのどちらかの後ろに車があって、どっちを選ぶか迷っている」と答えました。

    このとき、もし遅れてきた人が参加できたとしたら、どうして自分が立っていないドアのほうが車に当たる確率が高いのでしょう?

    本のタイトルが挙げられていましたが、人は確率にだまされやすいという話ではありませんか?

    ユーザーID:

  • 変えたほうがよいのですか?

    2つのドアのうち、どちらかが車で
    どちらかがヤギとわかった時点で確率は五分五分、
    どちらのドアの前に立っていようと
    当初の確率3分の1が2分の1に
    高まっただけではないのですか?
    選ぶドアを変えても変えなくても
    車が当たる確率は2分の1なのでは?

    「変えたほうが当たる確率が高い」理由が
    わかりません。
    残されたドアだけ車が当たる確率が
    高まったのでしょうか。

    ユーザーID:

  • 最終的に五分五分が正解

    なぜなら、司会者が1つヤギ(必ず選ばれていないのが1つある)のドアを開けた時点で、「1つのドアの向こうにはヤギ、もう1つには車……の条件でどちらかを選ぶ」に問題(条件)が変わっているからです。

    要するに問題がリセットされているので、こうなった時点で「このドアは3つ閉じていた時に選んだドアだから…」と考えるのは意味を成さないです。だから最初にドアが3つあろうが、100あろうが、ハズレのドアを1つ残して全部開けてしまえば、上記の新たな問題に帰着するだけなので同じことです。

    「確率は?」と言う時、どういう条件(過去からの影響も踏まえて)かを明示して述べる必要がありますが、この場合、五分五分条件に問題がリセットされ、「さて、2つのどちらか」という単純な条件に変化しているので、どっちでもよい(選び直しても良いし、そのままでも良い)ということになるかと思います。

    ユーザーID:

  • 補足

    先の私の意見は、騙しちゃダメですよ さんが既に明快に述べられてますね。すいません。

    誤解されている方々は、おそらく、司会者が開けるヤギのドアが決められている(例えばNo.1のヤギ)と、勘違いされているのではないでしょうか。しかしそれでは、選択者がすばりNo.1のヤギのドアを選んだらゲームが進まなくなってしまいます。「選択者が選んでいない方のヤギのドア」と解釈するのが正しいです。

    ユーザーID:

  • わかりました(多分)

    さきほど、「なぜ残されたドアだけの確率が
    高まるのかがわらかない」というような投稿を
    したのですが、更新された返信を読んで
    わかりました。

    自分の目の前にあるドアは
    3つある中から選んだ1つだが
    残されたドアは2つある中の1つだから
    残されたドアのほうが確率が高い
    ということなんですね?

    ユーザーID:

  • 確率計算の前提を

    はっきりさせないと確率が2/3か1/2か答えは出ません。

    司会者が「はずれ」を明らかにした後も「不明」「不明」「はずれ」の扉から選択するのかどうか?

    一般的な感覚からすると司会者が「はずれ」を提示した段階で「一回目の選択」は行われたので、残り2個のドアからの選択となり1/2が答えとなるでしょう。

    一方で司会者は「観察者」の立場で「はずれ」の提示は「一回目の選択」にあたらないとするなら「不明」「不明」「はずれ」のドアの中から選択をやりなおすことになるので、不明のうちのどちらから選ぶことになるので2/3が正解となります。

    選択の前提をあいまいにしたままで「引っ掛け問題」を出せば、答えが2/3か1/2に分かれるのは当然であろうと思われます。
    逆にいうと前提のはっきりしない状態での出題の場合、両方とも正解となります。

    ユーザーID:

  • やっと分かりました。

    ドアを変えても変えなくても確率は同じだと思ったのですが、やっと分かりました。

    「もう一枚のドアに替える方がいいか」でなく、いちごさんの発言のように「もう一度考えたほうがいいか」ということなのですね。

    三枚のドアがあって、初めから当たっている確率は、1/3。司会者がドアを開けてた時点でドアを選ぶのであれば、2枚のドアのどちらかなので1/2なのですね。

    だからといって、自分が選ばなかったもう一枚のドアに乗り換えたほうが確率が高いということも無いと。

    ユーザーID:

  • フィフティフィフティさんの会社はすごい

    この問題はかなり多数の人が「替えても同じ」だと錯誤することで有名な問題です。
    9割近くの人がきちんと「替えたほうが有利」だということを認識できるような職場は信じられないくらいレベルが高いですよ。
    そのような職場の仲間に入れてもらえて幸運でしたね。

    納得しない人は「そんなわけはない」と信じ込んでいるためにどんなにきちんとした説明も頭から受け付けない傾向がありますが、もしきんち理解したければ「モンティホールジレンマ」で検索してあちこち読んでみるといいと思います。

    このトピックで行われているのと同じような議論があちこちで起こっていることがわかると思います。

    ユーザーID:

  • 最終的には2つに1つ

    トピ主さんが質問されている状況では、最終的な当りの確率は、どちらのドアも等しく1/2です。

    ドアが3枚(A,B,C)だとします。

    [状況1:最初にドアを選ぶ段階]
    A: 当る確率=1/3
    B: 当る確率=1/3
    C: 当る確率=1/3

    次に、司会者がハズレのドア(仮にCとする)を開けた時点で、残りのドアが当たっている確率は、どちらも1/2です。

    [状況2:Cがハズレだと確定した段階]
    A: 当る確率=1/2
    B: 当る確率=1/2
    C: 当る確率=0

    いずれかのドアが、ハズレだと確定した時点で、残りのドア全てについて、当たりである確率が等しく上がります。ドアの枚数に関係なく、ハズレのドアが確定していくたびに、残りの全てのドアについて、それぞれが当りである確率が等しく上がります。

    上の「状況1」から「状況2」へ変化する際に、解答者が選んだドアが当りである確率だけが、「状況1」のまま変化せず、残りのドアが当りである確率だけが上がるように錯覚させているところがトリックの肝です。

    最初に”騙しちゃダメですよ”さんが指摘されているとおりです。

    ユーザーID:

  • フィフティフィフティさん

    正解だって自信たっぷりのご様子なので
    省略しないで数学的な解説を是非お願い致します!
    数学やってましたんで、
    数式を並べて頂いてもかまいませんよ。

    ちなみに、私の解答は「移動した方が確率は高い」
    です。

    【移動する場合】
    ・初めがヤギである確率:2/3 ←アタリ
    (初めがヤギなら移動すればアタリ)

    ・初めが車である確率:1/3 ←ハズレ
    (初めが車なら移動すればハズレ)

    【移動しない場合】
    ・初めがヤギである確率:2/3 ←ハズレ
    (初めがヤギでそのままなのでハズレ)

    ・初めが車である確率:1/3 ←アタリ
    (初めが車でそのままなのでアタリ)

    以上より、移動する場合のアタリの確率は2/3
    移動しない場合は1/3ってことなので
    移動した方が当たる確率は2倍になります。

    ユーザーID:

  • 面白い問題ですね

    最初、変えても変えなくても一緒って思いましたが、
    でもこのトピを読んでいて、考えが変わりました。


    (1)変えなくても一緒の説
    最初は選択肢が3→2に減るだけなので、
    1/2になるのが当然と思いました。

    (2)変えたほうが有利の説
    (Aを最初に選択、Cを司会者が開けたとして、)
    Aの当たりの確率が1/3で、B+Cの確率が2/3で、
    Cがなくなったのだから、Bの確率が2/3というのも、
    わかります。


    両方とももっともらしくて、すごく悩みました。
    私は「(2)変えたほうが有利」説の間違いを証明することで
    「(1)変えなくても一緒」説を証明しようと思います。


    例えば、エーさんはAを選びました。
    それを見ていたギャラリーのビーさんは
    ゲームの参加者ではないけど、心の中でBだ!と決めました。
    その後、司会者がCを、はずれです!と言った後、
    ドアを変えてもいいですよ、と言われた場合、
    エーさんにとってはBの確率が2/3だけど、
    ビーさんにとってはAの確率が2/3になってしまいます。

    つまり、Aの確率もBの確率も2/3=五分五分=1/2
    ってことになりませんか?


    と、一晩考えたのですが、どうでしょうか?

    ユーザーID:

  • まちがえた!

    ごめんなさい。先ほどの投稿「最終的には2つに1つ」では、完全に誤解していました。司会者がどのドアが当たりかを知っていて、必ずハズレのドアしか開かないというところが肝なんですね。

    司会者が当りのドアを知らずに、次々とドアを開けていって、運良く2枚のドアが残った後で、「選択を変更してもいいですよ」と言われたのなら、どちらを選んでも当たりの確率は同じですが、司会者が当たりのドアを知っていて、ハズレのドアのみを開けていった場合には、選択を変更するほうが有利ですね。

    お詫びに、自分が納得した考えかたは以下の通りです。

    司会者がハズレのドアを開けていって、残った1つを選ぶ(最初の選択を変更する)ということは、実は、最初に自分が選択した以外のドア全てを選択するということと等しい効果をもたらすわけですね。

    いい頭の体操になりました。トピ主さん、みなさん、ありがとうございました。

    ユーザーID:

  • 意見分かれてますね

    「1/2」や「50%」で変わらなくても同じだと言ってる方は

    「モンティホール」

    で検索かけてくださいね。

    ユーザーID:

  • >おなじだよさん

    司会者が正解を知ってる
    というのがキモなんですよ。

    故に最初に選んだ扉の当たりの確率は変わらないんです。
    わかるかなぁ・・・

    ユーザーID:

  • 100枚のドアの例は

    司会者がヤギだと知っててドアを開けるということは、
    残したドアが車だと知っているから開けないということです。

    ユーザーID:

  • ネ子さんへ

    100個の扉のたとえで
    最初にあなたがヤギを選んでいる確率は
    99%であることをお忘れなく。

    そのあなたの選んだ扉と、
    車のありかを知っている司会者が残した最後の扉が
    車である確率をくらべれば
    どちらの扉に車のある確率が高いかお分かりに名路と思います。

    ユーザーID:

  • 【つぶやく埴輪】さんにツッコミ

    組み合わせの問題で、
    「結果の組み合わせの“種類”の総数」
    にのみ注目することは危険ですよ。

    例えば、「宇宙人が居る確率は?」という質問に対して、
    結果を書き出して見ると・・・

    1.宇宙人は居る
    2.宇宙人は居ない

    の二通りなので、『宇宙人が居る確率は二分の一』。
    と言う解答をなさるのでしょうか?

    上記の確率はわかりにくいので、条件を替えてみます。

    「あなたが今日中に1億円を手に入れる確率は?」
    結果を書き出して見ると・・・

    1.今日中に1億円手に入れる。
    2.今日中に1億円手に入れない。

    の二通りなので、『今日中に1億円を手に入れる確率は二分の一』。
    と言う解答をなさるのでしょうか? ・・・そんなまさか。。。

    「全ての事象が“同様に確からしい”時」にのみ、
    ある事象の起こる確率=ある事象の種類の総数÷全ての事象の種類の総数
    となります。しかし、今回はそうではないでしょう。

    ユーザーID:

  • 【つぶやく埴輪】さんにツッコミ:続き

    今回の問題に対し、【数学屋】さんの意見が非常にまとまっていて良いと思います。

    当たりがAで、司会者がBを開ける : 1/6
    当たりがAで、司会者がCを開ける : 1/6
    当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/3
    当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/3

    の下りですね。まさにそのとおりでしょう。
    上記の4つはまさに「同様に確からしくない」ということですね。

    【つぶやく埴輪】さんは、
    当たりがAで、司会者がBを開ける : 1/6
    当たりがAで、司会者がCを開ける : 1/6
    当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/6
    当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/6
    と仰りたいようですが、残りの1/3はどこに行ってしまったのでしょうか?

    当たりがBで、司会者がAを開ける : 1/6
    当たりがCで、司会者がAを開ける : 1/6
    が無くなってしまったから、という反論をなさいますか?

    むしろ、その2つを司会者が選べないからこそ、
    当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/3
    当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/3
    になったのですよ。。。

    ユーザーID:

  • そんな人もいるのか。

    是非100万円くらい賭けて勝負したいですね(笑)

    100枚のカード中当たりは1枚です。
    当たりを引いた人が勝ち
    お互い外れなら引き分けです。
    あなたは100枚のカードから1枚選んでください。
    私は残った中から司会者が98枚のはずれを引いた後
    最後に残った1枚を選びますので。
    1回だけだと万が一ってことがあるので
    10回くらいやりましょうよ。
    私はかなりの確率で私のほうが儲かると思うんですが
    あなたの見立てでは勝率は五分五分なんですよね?

    ユーザーID:

  • 難しく考えすぎでは?

    ドライに式で考えるとわかりやすいです。
    扉をA.B,Cとして、私がAを選ぶ場合を考えます。
    すると

    A B C 変える 変えない
    ○ × × = はずれ あたり
    × ○ × = あたり はずれ
    × × ○ = あたり はずれ (○にあたりがある

    となります。
    それぞれにあたりがある確立は1/3ずつなので、変えない場合は1/3、変える場合は2/3の確立であたる事になります。

    -----------------------------------------------

    つぶやく埴輪さんの理論では、私が最初の選択ではずしている場合、司会者に選択の余地はない(はずれは残り一つだから)ので扉を開ける際に確立の変化はないということを見落としています。
    当,Y,Z
    私,司,−
    私,−,司
    −,私,司
    −,司,私

    私があたりを選んで、司会者がYかZを選ぶのはそれぞれ1/3×1/2=1/6ですが、
    私が最初の選択ではずしている場合、司会者に選択の余地はないので扉を開ける際に確立の変化はありません。そこでX、Yともに1/3ずつです。
    そのため、変えないで当たる確立は1/6+1/6=1/3
    変えてあたる確率は1/3+1/3=2/3となり、やはり変えたほうが当たりやすくなります

    ユーザーID:

  • どしょっぱなで当てる自信ありますか?

    トピ主さんは、100個のドアの中から、どしょっぱなで車を当てる自信がありますか?
    ドアを変えないという事は、最初に選んだものが当たりだと信じる事です。

    100個の中から車を当てる確率は、1%しかありません。
    残りの99個の中に車がある方が、よほど確率が高いのはわかりますよね?
    その99個を、司会者さんが1つにしてくれたのです。

    あなたがよほどの幸運の持ち主でない限り、
    あなたが最初に選んだ1個のドアより、残り99個の中に車があった可能性の方が高いですよね?

    貴方が一発で車を当てる確率はたったの1%。
    99%の確率で、隣のドアに車があります。

    100個だと大変なので、10個の紙きれで、試してみて下さいね?

    ユーザーID:

  • もっと分かりやすく

    まだ理解できない方のために、
    僭越ながらもっと分かり易い例を。

    例えばあなたが一枚の宝くじを買ったとします。
    そこにある人が現れ、
    一枚の宝くじをあなたに見せて言います。

    『あなたが買ったその宝くじと、
     私が持っている宝くじのどちらか一枚は、
     確実に一等が当たっています。
     あなたはこの2枚から好きなほうを選べますよ』と。

    当然あなたが買った宝くじが当たっている確率は、
    ゼロではないものの極めて低いです。

    するとその人が提示した宝くじが当たっている確率は、
    100%からあなたのくじが当たる確率を引いた確率で、
    当たっているのです。
    つまり極めて100%に近い確率で当たりなのです。

    この問題に置き換えると、
    あなたが最初に外れを引いていれば、
    扉を移動すれば必ず当りを選ぶことになります。

    つまり最初の選択で外れを引く確率が重要なのです。
    100個のドアで言えば、最初に外れを選ぶ確率は99%。
    それに対し司会者が残したもう一枚の扉は、
    自動的に当りなのです。

    この問題の場合は3択ですが、
    最初に外れを選ぶ確率は2/3と高いので、
    移動した方が当りを引く確率が高くなります。

    ユーザーID:

  • なかなか硬い人もいますね

    絶対に選択を変えない人が当たる確率
     =選んだ扉がそもそも当たりの確率
      =1/3

    常に選択を変える人が当たる確率
     =1 - 絶対に選択を変えない人が当たる確率
      =2/3

    2択問題で「絶対に選択を変えない人が当たる確率」
    がズバリ1/3な時点で答えは明白かと。

    ちなみに「変える/変えない」をサイコロで決める
    人が当たる確率は1/2です。
    1/3×1/2 + 2/3×1/2 = 1/2
    これを錯覚して1/2だから移動してもしなくても
    同じと考えてしまうのです。

    ユーザーID:

  • ヤギの可能性も増える!

    2度目です。
    先ほど、1/2の方が正しいと言ったnaokoです。

    もっとわかりやすく、考えました。

    Aを選択して、Cを司会者が開けたとして、
    確かにAが車の確率は1/3、Bの確率は2/3になって、
    当たりの可能性が増えたように見えます。

    次に、ドアがヤギの可能性を考えます。
    Aは2/3、BはCの確率も引き継いで4/3になります。

    つまり、Aは1/3車で2/3ヤギ、Bは2/3車で4/3ヤギ。
    通分すると、どちらも車:ヤギは1:2です。

    これでどうでしょう?

    ユーザーID:

  • 実際にやってみよう

    釈然としない方は、司会者側の視点で実際に試してみると納得できるでしょう。客側の視点だけで考えると、どうしても錯覚しやすいようです。

    実験に使うのは何でもいいんですが、トランプ等を使うのが簡単でしょうか。とりあえずジョーカーが当たりということにします。

    まず、53枚のカードから無作為に1枚選んで除けておきます。これは客の分です。
    次に残り52枚を調べ、ジョーカー以外のカードを捨てます。ジョーカーが残っていない=最初に引いた場合は、適当に1枚残す事にします。これが司会者の分です。

    どうでしょう。この手順でやるかぎり、残った2枚のカードを交換したほうが、どう考えても客の側にジョーカーが行きやすくありませんか。

    ユーザーID:

  • 司会者の立場から見ると

    再度、おじゃまします。こんな説明を考えてみました。

    トピ主さんが、ゲームの解答者ではなく、司会者だった場合を想像してみてください。

    解答者がハズレのドアを選ぶ確率は2/3ですね。この場合、司会者(トピ主さん)が開けずに残したドアが必ず当たりになります。いっぽう、解答者が当たりのドアを選ぶ確率は1/3ですね。この場合、司会者(トピ主さん)が開けずに残したドアは必ずハズレです。

    言い換えると、解答者が選ばなかった2枚のドアのいずれかが当たりであれば、必ず最後に残るドア(解答者が選ばず、司会者も開けなかったドア)が当たりになります。

    したがって、解答者が選ばなかった2枚のいずれかが当たりである確率(=解答者がハズレのドアを選択する確率)が、選択を変更した際に当たりのドアになる確率になります。

    ユーザーID:

  • 極端さんとぱぼの例について

    100個のドアの例についてですが、
    ドアを司会者がヤギと知ってて開けるということは、
    残したドアは車であると知っているから開けなかったということです。
    だから司会者が残したドアに車が入っています。

    ただ、最初にあなたが車の入っているドアを選んだ場合だけは除いてですが、
    そのような事象が起こる確率は1/100ですから、
    残りの確立99/100は司会者が開けなかったもう1つのドアに車が入っています。

    ユーザーID:

  • 実際にやってみればわかる

    トピ主さん、頭でわからないときは実際にやってるとわかりますよ。

    例えば、ジョーカーを1枚入れたトランプを10枚用意します。1枚選び、伏せておきます。誰かに(自分でもいいけど)残り9枚からハズレ8枚を除いてもらいます。残ったカードとあなたのカード、どっちが当たり?

    5回もやれば、傾向がはっきり出ます。感覚的にもわかってきます。特に、ハズレ8枚除く作業をするとはっきりすると思います。

    ユーザーID:

  • 100で足りないなら

    ドアが一億あるとしましょう。その中のひとつだけに車があとのドアはすべてヤギです。まずあなたがひとつのドアを選びます(この時点で車のドアを選ぶのは至難の業ですよね)。それから司会者が残りの9999万9998個のドアを開けます。もちろん全部ヤギです。さてあなたが最初に選んだドアと司会者が残してくれたドアとどちらに車が隠されている確立が高いとお考えでしょうか。私は離婚されてもドアを替えます。

    ユーザーID:

  • トピ主様へ

    トランプ(もしくはまったく同じ紙)を10枚用意し1枚だけどなたかに当たりのマークをつけてもらい裏にし、マークをつけた方に司会者と同様の事をしてもらってみてください。最後に替えれば9/10の確率で当たります。(10回に9回はあたります)

    100%納得できると思います。

    ユーザーID:

  • 100枚の場合

    トピ主さんのなかでまだひっかかっているみたいなので・・。

    100枚のドアのうち1枚を選んだら、そのドアに車がある確率は1/100ですね。
    ですから、残りの99枚のドアのどれかに車がある確率は99/100です。

    ここで車のドアを知っている司会者が、その99枚のドアのうち、ヤギのドアを片っ端から開けるという行為は、99枚のうちこの残ったドアが車のドアですよ、と教えてくれている行為に他なりません。
    (確かにあなたが強運の持ち主ですでに1/100の確率で車をえらんでしまっていたなら残りの1枚が1/100の確率でヤギかもしれませんが)

    ここで最初に選んだドアか、司会者が残りの99枚からしぼりこんだ1枚のドアか、どちらを選ぶかという段になって、上でも勘違いされている方が何名かおられましたが、2択だから、なんでも確率が1/2になるというものではありません。

    条件の異なる2者からの選択ですので、
    この場合、上記のことから最初に選んだドアに車がある確率は1%。
    司会者が残した1枚のドアに車がある確率が99%です。

    ユーザーID:

  • やって見れば分かるよ

    これだけ,詳しく説明がついているのに,移動しない場合確率1/3,移動する場合確率2/3が分からない人がいるんですね。中には,上司と共に職をかけて間違ったことをいっている人がいるし:-)。
    司会者は,残った2つの扉を見て,必ずはずれ(やぎ)の扉を開けるという動作がポイントですね。
    手元のトランプで実験して見ればすぐ分かりますよ。

    ユーザーID:

  • とにもかくにも

    スクリプトで試行なさってる方もいらっしゃいますね
    試行回数的にも信頼に値するものです。

    変わらないとおっしゃってる方は好きなだけ試行できるサイトもありますので試してみてはいかがでしょう?

    変わったほうが確率が高いですよ〜

    ユーザーID:

  • 扉を移動すると66.7%の当たりになります

    専門家も50%じゃないかと勘違いしてしまった問題ですからねぇ。
    直感的に騙されてしまうのは仕方ないでしょう。

    どうしても納得できない場合は実際に試しまくってみましょう。
    常に扉を変えると当たる確率は2/3に収束していきますよ

    司会が答えを知っているというのが何よりも重要なんですよね。
    これにより条件付確率に変動してしまっているわけです。

    ユーザーID:

  • 神戸っ子さん

    その理屈で行くと
    宝くじを1枚買って
    発表の際に1等と自分の番号以外の外れ番号
    を全て書き出した紙を用意してもらえば
    自分の宝くじの当たる確率が2分の1になるってことですか?

    その紙に載っていないのは「1等の当選番号」
    もしくは「外れの番号」の2つの番号しか
    残っていないですから当たる確率は2分の1ですよね?
    確率2分の1ならかなりの人数が当たってるはずなんですけどねぇ・・・

    ユーザーID:

  • うるるんさんへ反論

    Aのドアが当たる確率1/100
    Bのドアが当たる確率99/100
    とします

    このことを知らない人がランダムにドアの前に立つとすれば
    1/2の確率でAまたはBのドアの前に立つでしょう

    その場合の当たる確率は
    1/2 × 1/100 + 1/2 × 99/100
    = 1/200 + 99/200
    = 100/200 = 1/2
    となり確かに1/2です。

    でも、Aの前から動かない人は 1/100
    AからBに移動する人は 99/100
    の確率です。

    ユーザーID:

  • 五分五分だと言ってる人へ

    >司会者はヒントを出してるわけではない
    ヒントは出していますよ。
    ヤギがいる方のドアを『選んで』開けています。
    「車はこのドアには入ってませんよ」と示してるわけで、
    それは「開けなかった方に車がある可能性が高いよ」
    とヒントを出しているのと同値です。

    >司会者が開けたドアの分の確率が
    >最初に立ったドアに分配されないのはおかしい
    司会者は回答者が立っているドアを開けることが
    出来ません。だから確率はそちらに分配されません。

    ユーザーID:

  • 類似問題

    ある監獄に3人の死刑囚A,B,Cがいます。
    3人の中で誰か1人が恩赦で釈放されることが決まりました。しかし、それが誰なのか看守は知っていますが、死刑囚は知りません。この段階でCが処刑される確率は2/3

    死刑囚Cは看守は残りの2人の内で処刑される者を1人教えて欲しいとたのみ、看守は悩みましたが結局Aが処刑される事を教えてくれました。

    この段階で恩赦されるのはBかCかのどちらか1人。死刑囚Cは処刑される確率が1/2に減った事を喜びます。

    でも看守が教えようが教えまいがCが処刑されるかどうかは決まっていたはずでは?みなさんはどう考えます?

    ユーザーID:

  • 替えた方がよい

    ポイントは、司会者が正解を知っていることにあります。

    あなたが必ず替えることにしたとしましょう。

    あなたが最初に車を引く確率は3分の1。ここで替えたらはずれですね。

    あなたが最初にヤギを引く確率は3分の2。ここで替えたら、必ず車が当たるのです。
    なぜなら、司会者がヤギの方を開けてくれるから。

    つまり、あなたが最初にヤギを引きさえすればいいのです。

    その確率は3分の2ですから、替えた方が良いということになります。

    ユーザーID:

  • 宝くじで考えて見ましょう。

    宝くじは1ロット1000万枚だそうで、1等の当選確率は0.00001%になります。

    まず貴方が1枚選び、残りの宝くじの中から当選番号を知っている司会者が999万9998枚のハズレくじを取り除きました。

    ここで問題です。

    残り2枚になったところで当選確率は1/2なのだから、どちらを選んでも同じだと思いますか?

    私なら絶対司会者の残した宝くじと交換しちゃうけどなぁ〜(笑)

    ユーザーID:

  • 蛇足:おみそさん風に言うと

    自分の選んだ1枚がたまたま1等だった場合と、司会者の持っている999万9999枚の中に1等がある場合とどちらの確率が高いかって話だと思いますよ。

    ユーザーID:

  • つぶやく埴輪さん

    名指しされているので…

    つぶやく埴輪さんは、よくある数学の落とし穴にはまって
    います。
    場合の数で確率を計算するには、すべての場合が
    「同様に確からしい」ということがいえないとだめなのです。

      当,Y,Z
    (1) 私,司,−
    (2) 私,−,司
    (3) −,私,司
    (4) −,司,私

    最初に当たりを引いている確率は1/3ですが、そのときには
    司会者が「どちらを開けるか決める」という二択がさらに
    入るので、(1),(2)は(3),(4)よりさらに半分の確率なの
    です。

    場合の数で確率が計算できるなら「九半十二丁」も成立
    してしまいます。
    サイコロ2個で半(奇数)が出る組合せは
    (1,2),(1,4),(1,6),(2,3),(2,5),(3,4),(3,6),(4,5),(5,6)
    の9通り、丁(偶数)が出る組合せは
    (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),
    (3,3),(3,5),(4,4),(4,6),(5,5),(6,6)
    の12通りなので、丁のほうが出やすい、というものです。
    もちろん丁半は同じ確率ですね。

    ユーザーID:

  • 変えたほうがよい

    当りをひいていた時 → 変えてはいけない(変えなければ当る)
    はずれをひいていた時 → 変えなければいけない(変えれば必ず当る)

    当りをひく確立は3分の1ではずれをひく確立は3分の2、なので変えたほうが当る確立は高い。

    ユーザーID:

  • <ヤギ>とか<ドア>とか

    頭で考えるから、混乱するんですよ。
    鉛筆でも、マグカップでも、足の指でもいいから
    3つのものから1つを選んでみればいい。

    最初にあたりを引いたときは、変えないままでいい。
    最初にはずれを引いたときは、変えたほうがいい。

    実際にやってみて、それでも
    「やっぱり五分五分だ!」
    と思う方は、もうそれでいいと思いますよ。
    ご自分が損なだけですから。

    ユーザーID:

  • ほんとにわかんないです

    ドア変え派の方は「ドア100枚だと思って」と言ってるのが多いのが面白いです。いや、何百枚になろーと最終的に残るドアが2枚なら1/2では?とどーしても思ってしまいます(涙)

    昔読んだ赤塚不二男の数学漫画の中の「届かない弾丸」の話を思い出してしまいました。

    ユーザーID:

  • 想像しやすいのが一番!

    のび太くん・スネオくん・ドラえもん・ジャイアン・しずちゃんの誰かがドラ焼きを持っています。

    あなたは「半分分けて!」とジャイアンにねだりました。

    するとジャイアン以外の4人がスネオくんの家に入って行きました。どうやら作戦会議のようです。

    ドラえもんだけ出てきました。
    残りの3人の誰がが持っていたとしても、ドラえもんが預かっています。

    ここであなたは初めの勘を信じて「ジャイアン」におねだりしますか?
    それともドラえもん?

    実は二人しかいませんがドラ焼きを持っている確率は、ジャイアン1/5ドラえもん4/5となります。

    ユーザーID:

  • 数学さっぱりなんですが

    この問題って、最初に1つのドアを選んだ時点で司会者から、
    「あなたが選んだドアと、のこりの2つのドアを交換しませんか?」
    といわれたのと同じことではないのですか?

    ・司会者は正解を知っている
    ・のこった2つのドアの内、1つは必ずヤギ
    ということは、「司会者がドアを開ける」という行為はなくても同じ。

    1つのドアを選ぶのと、2つのドアを選ぶのとでは、当然2つを
    選んだ方が確率は高くなる。

    ということではないのですか?

    ユーザーID:

  • 1枚を選ぶか、2枚を選ぶか

    別の説明を思いついたので、紹介します。

    3枚あるドアのうち1枚だけ当たりで、1枚を選ぶか、2枚を選ぶことができるとします。

    どちらの選択をしても、ドアは1枚のグループと2枚のグループに分かれますね。

    [1枚選んだ場合]
    選んだドア(1枚)+選ばなかったドア(2枚)
    [2枚選んだ場合]
    選ばなかったドア(1枚)+選んだドア(2枚)

    ここで、当たりを開ける際に、少し変わった手順で当たりを開けます。

    司会者がドアの後ろに回って、当たりのドアを確認した後、2枚のグループからハズレのドアを1枚だけ開けます。2枚のグループには、必ず最低1枚はハズレのドアがありますから、これは常に可能ですね。

    最後に残ったドア2枚を、せーので、いっせいに開けて、当たりのドアを確認します。

    このような状況で、みなさんはドアを1枚だけ選びますか?それとも、2枚選びますか?

    トピ主さんが質問されている状況で、最後に選択を変えるという行為は、上の状況で最初から2枚のドアを選ぶ行為と等しい行為です。

    ユーザーID:

  • >神戸っこさん

    それも違いますよ〜
    考え直す、ではないです。
    変わったほうが有利です。

    変わらないときの当たる確率:1/3
    変わったときの当たる確率 :2/3

    になります。

    ユーザーID:

  • 決着ついたようですね

    トピをはじめから楽しく読ませて頂きました。
    最初は私も「1/2だな、これは」と思っていましたが、めでたく自分の錯誤に気づくことが出来ました。
    とくに「おみそ」さんの説明が完璧ですね。「確率の配分」で考えればとてもわかりやすく理解できます。

    しかしこれ、印象だけだと誰でも「1/2」と思っちゃいますよね。うーん、うまくできた問題だなあ……。
    自分が少し賢くなった気が・・・。

    ユーザーID:

  • うーんと・・・

    2回めです、勝手にがんばって考えてみました。

    ドアが3つあって、内2つがヤギで1つが車。
    つまり最初にヤギを選んでしまう確率が高いわけですよね、だから「ドアを変えたほうが良い」ということでいいのでしょうか?

    車の確率は1/3、ヤギの確率は2/3、
    これがこのまま

      車→ドアを変えない→1/3で当たり

     ヤギ→ドアを変える→2/3で当たり

    このように当てはまるということでいいのでしょうか?

    ユーザーID:

  • 変えた方が絶対にお得!!

    箱の中に、1個の赤い玉と、99個の白い玉があります。
    普通の人は、かなりの確率で白いはずれ玉をひきますよね。
    そこで、お店の人が、残った99個から98個の白い玉を出して、赤い玉だけ残っている状態にしてくれます。

    こちらの玉と変えてもいいですよ?と言われたら、変えた方が良いと思いませんか?
    変えない方が良いのは、最初に運良く赤玉を当てたという、非常に希少な場合のみです。

    もし、白い玉と赤い玉を、もう一度箱の中に戻してわからなくするのであれば、確率は二分の一になるでしょう。
    もしくは、お店の人も正解を知らず、赤い玉も一緒に取り出してしまう可能性があるのなら、白が2つ残る可能性が非常に高く、変えても変えなくても確率は変わりません。

    しかし、残った中からはずれだけを取り去ってくれるのなら、あなたが最初に当たりをひく確率が低ければ低いだけ、残った片方が赤い玉である確率は高くなるのです。

    100個の中から当たりを選ぶ自信があるから、変えたら損だと思っている人は、すごいですねえ…。
    1%の可能性で当たりをひかない限り、変えれば当たるんですよ〜!!

    ユーザーID:

  • どちらも正しいと思うのですが

    「モンティホールのジレンマ」を挙げてらっしゃる方は、それが「命題に対する確率のアプローチ」として正しいのです、ということを説明しなくては、説明にならないように思います。

    1/2の確率だと考える方々のように、ドアが3つのものを、途中で2つに仕切り直すと考えると、そもそもこの命題の前提条件と変わってしまうわけです。
    ですから、ヤギだったドアを除外して考えている人は、2/3だと考えている人とは、違う命題について考えていることになるでしょう。

    そういう意味では、どちらも正しいと言うことになると思います。

    ユーザーID:

  • 変えた方が有利説の人の反論

    naokoさん

    残念ながらそれは

    > そこで、ゲームの司会者(どのドアが車でどれがヤギ
    > か、知っている)が、ヤギのドアをひとつ開けて、全員
    > に見せます。あなたが選んだドアは開けません。

    という前提があるので、ゲームをしているエーさんと
    単なるギャラリーのビーさんとでは確率が異なります。
    (ビーさんの場合最初のドア開けで自分が選んだドアが
    開けられる可能性がある)

    ユーザーID:

  • 実際にやってみる

    実際にやってみると解ります。
    まず同じ紙(トランプや名刺など)を10枚用意し、誰かに1枚当たりのマークをつけてもらい裏返してもらいます。その誰かにはどこの場所に当たりがあるかを把握してもらっておきます。
    ご自分で1枚選んだあとその方にはずれを8枚取り除いてもらいます。
    最初に選んだ物ではないほうが当たりの確率は9/10なので面白いくらい当たりが続きます。
    100%理解できますよ〜。
    当たりの紙に有給と書いておいて確率1/2と思っている上司に5回続けて当たりだったら有給下さいっていってみるのも面白いかも。

    ユーザーID:

  • >naokoさん

    >次に、ドアがヤギの可能性を考えます。
    >Aは2/3、BはCの確率も引き継いで4/3になります。

    間違いです。
    Cがヤギであることが司会者によって示されて、
    かつBがヤギであるためには、
    「BとCの両方がヤギである」必要があります。
    その確率はAが車であることと同値で、1/3です。

    ユーザーID:

  • 場合分け

    単純に、場合分けしてみればよいでしょう。

    最初に選んだドアをA、残りをB、Cとします。
    (○=自動車、×=ヤギ)

    1.
    A○ B× C×
     変える  ×
     変えない ○

    2.
    A× B○ C×
     変える  ○
     変えない ×

    3.
    A× B× C○
     変える  ○
     変えない ×

    以上から、変えたほうが有利なことが分かります。

    それにしても、勉強になりますね。論理的な説明はもちろん、「検索しろ」と言われた後ですら、なお自説が正しいと言い張る人がこれほどいるとは・・・。

    ユーザーID:

  • naokoさんへ

    つっこみどころはたくさんありますが、とりあえず一つだけ。

    2度目の発言の
    >つまり、Aは1/3車で2/3ヤギ、Bは2/3車で4/3ヤギ。

    4/3ヤギって、133.333%の確立でヤギですか。
    ・・・わかりにくくなってますよ。

    ユーザーID:

  • やっぱり変えた方が有利ですね

    すみません。3回目です。
    先の2回は「変えても確率は一緒」派だったのですが、
    「昔は数学者志望だった」さんの解説でよくわかりました。

    私も、「つぶやく埴輪」さんと同じことを考えていたのですが、
    それの間違いもわかりやすく指摘されていて、勉強になりました。
    スッキリです。ありがとうございました

    ユーザーID:

  • なるべく簡単に理論的に説明(1)

     具体例は多くの方がかかれてるので、理論的な説明をなるべく簡単に書かせていただきます。

     「確率1/2」と言われてる方は、「司会者が答えを知って残りのヤギのドアを開けた」という部分を見逃してるんだと思われます。

     もし司会者がドアをランダムに選んで開けたのなら、そこが車の確率は1/3です。
     そしてそのドアを開けてヤギが入っていた場合、当たり前ですがその時点で開けたドアが車の確率は0です。
     では元々あった1/3の確率はどこに行ったかというと…、残りのドアに等しく分散される事になりますから、すべてのドアが車である確率は、
     1/3+(1/3)/2 = 1/2
    となり、ドアを移動してもしなくても確率は同じになります。

     しかしこの場合、司会者が答えを知っててヤギのドアを開けたというのがミソ!
     司会者が開けたドアに車が入ってて「残念、さよ〜なら〜」って可能性が本来ならば1/3あるはずなのに、今回に限り0です。
     では、本来あるはずの1/3はどこに行ったのか?

    ユーザーID:

  • なるべく簡単に理論的に説明(2)

     あなたが選んだドアをA、残りをB、Cとします。
     最初の時点で、Bに車が入ってる可能性は1/3、そしてCも1/3なのは確かです。
     そしてBCどちらかが車の場合、司会者はBに車が入っていればCを、その逆ならBを、『わざと』開けてます。
     つまり、A以外に車が入っている場合、司会者が残した方が『確実に』車です。

     つまり、司会者がランダムで開けた場合にそのドアに車が入ってる確率1/3は、司会者がわざと車を避けたため、残ったドアに移行した事になります。
     よって残ったドアが車である確率は、

     Bが車の確率1/3 + Cが車の確率1/3 = 2/3

     となります。
     なお、ドアを移動しない場合はAが車の確率、1/3がそのまま車にあたる確率になります。
     移動すれば2/3、しなければ1/3ですから、移動した方が有利ですね。

     これでもわからない人は、ドアの代わりにトランプ、車の代わりにババ、そしてドア(トランプ)の数を3から53に増やしてやってみて、実感してみましょう。

    ユーザーID:

  • naoko様

    >どちらも車:ヤギは1:2です。

    これだと共にの1/3で車になってしまい、1/3が
    足りません・・・。

    Cが開けられた時点でCの結果は確定し、Bが
    引き継ぐことはありません。Bがヤギの可能性は
    1/3のままです。

    >Bは2/3車で4/3ヤギ。
    足すと1.0を超えている時点で矛盾してるので
    御一考を。

    ユーザーID:

  • トピ主です。わかったと思います…

    モンティ・ホール・ジレンマのサイトをいくつか見ました。

    やっと納得できました!…というか、まだ何か変な感じがするのですが、実際のデータが1:2と出れば、それが正しいわけですよね。

    司会者が答えを知っている、というのがミソ、というのが最初はしっくりきませんでした。
    司会者にとってはこれは選択ではなくて、情報を加えていることになる、と。

    私にとっては、あるサイトにあった、あなたは3つのドアを2グループにわけ、司会者はふたつのドアを重ねて1つにした、という図解説明が一番わかりやすかったです。
    一度わかると、皆さんの説明もなるほど…と思えます。

    皆さん、いろいろ説明、情報、感想、ありがとうございました!!

    頭の回転の遅い私にいらいらされた方、ごめんなさい。

    ユーザーID:

  • 実は読解力の問題?

    問題の解釈が間違ってる人が居ますね。
    これは言葉の引っ掛け問題ではありませんよ。

    最終的に二枚になったドアをもう一度何の知識も無い状態で
    選びなおすなら、確かに1/2の確率なのですが、
    次の文をよく読みなおしましょう。

    >そこで、ゲームの司会者(どのドアが車でどれがヤギか、
    >知っている)が、ヤギのドアをひとつ開けて、全員に見
    >せます。あなたが選んだドアは開けません。

    >この後、あなたはドアを替えることができます。替えな
    >くてもいいのです。最終的に選んだドアの後ろに車があ
    >れば、その車をもらえます。

    ポイントは、

    「あなたの選んだドアは開けない」=他の二つから一つ見せる

    「全員に見せる」=当然参加者も見てる

    「変えなくても良い」=「参加者が最初に自分で選んだドア・司会者が残したドアの区別は付いている」

    つまり、残っているドアの二つがどちらがどのように残されているかは分かってるところで、変えてもいいよと言われているのです。

    ところでそんな有名な問題だったのですか...
    初めて聞いたのですが、ちょっと頭を
    ひねったけどすぐに答えが出せてうれしいです。

    ユーザーID:

  • トピ主です。追伸というか感想です

    本題から外れてしまいますが、ちょっともやもやしてしまいましたので、ルール違反かもしれませんが失礼します。

    このトピにレスを下さったこと、懇切丁寧に説明して下さったこと、本当に感謝しています。

    一方で、私の理解の遅さを単なる頑固だとしてか、少々厳しい言い方をされている方もいるので、その方々には、どうしてもわかりにくい人もいること、自分より理解力の劣る人に喧嘩を売っても仕方のないことをちょっとお考えいただければと思います。

    「じゃあ勝負しようか」とか、「当てる自信あるの?」と言われても、わからないから質問しているのであって、私の方が正しい、と言ってるわけではないのです。

    今後はどうぞお手柔らかにお願いいたします。

    ユーザーID:

  • やっとわかった〜

    昔は数学者志望だった
    さんの書き込みでやっとわかりました。
    特に上の図がわかりやすいです。

    しかし、こういう問題を見ると、
    色々な場面で自分が気づかずに騙されていることも多いのかなあ、となんだか落ち込みますね。

    ユーザーID:

  • トピ主さんが仰ってるのは・・・

    正解は出尽くしているようですので良いとして、
    トピ主さんが「1/2だ」と思っている理由は
    以下のような意味なのではないのでしょうか?
    というか、私が最初こう考えたので。

    扉が100枚あります。
    選ぶ人は、別に当てる気はありません。
    ドアの前に立たなくてもいいです。
    まあ、とりあえず立ってみて。
    司会者が勝手にハズレのドアをあけてくれて、
    残りふたつにしてくれます。

    さて、ふたつになりました。
    どちらかがアタリです。
    ここで、選ぶ人は、初めて選択を開始します。
    選ぶ人はどちらかのドアの前に立ってるけど、
    もはやふたつにひとつなんだから
    こっちとあっちに入ってる可能性は五分五分だよな。
    それなら動いても動かなくてもいいや。

    こんな感じです。
    「100個のドアから選択して当たる可能性」と
    「2個のドアから選択して当たる可能性」を比較すれば
    どちらが得なのかは明白です。
    でも、放っておいてもドア2個になることを知っていて
    2個になってから初めて選択を開始する、という感覚だと、
    1/2という考えが起こってもおかしくないと思います。

    (問題の意図と本当の正解はもう理解してますよ!)

    ユーザーID:

  • あ、わかりました

    皆さんの説明を読んで、自分の間違いに気がつきました。なるほどねえ。

    最初に自分があたりの扉の前に立つ確率は1/3、はずれの扉の前に立つ確率は2/3。はずれの扉だった場合に、残りの扉はあたりとはずれの一つずつ。ただし、そのうちはずれの扉を司会者が消してくれるのだから、残るのはあたりの扉だけ。

    つまり。
    最初にあたりだった場合に選び直すと確実にはずれ。最初にはずれだった場合に選び直すと確実にあたり。
    最初にはずれる確率の方が大きいのだから、選び直した方がよい、ということですよね。

    ユーザーID:

  • 2度目の【naoko】さんにレス

    面白い考え方ですね。
    その考え方でも解けるっぽいですよ。

    まず、最初の状態です。
    A 車:1/3 ヤ:2/3
    B 車:1/3 ヤ:2/3
    C 車:1/3 ヤ:2/3

    ここで、参加者がAを選び、司会者がCを選んだとすると、、、

    A 車:1/3
    B 車:2/3
    C 車:0 ↑1/3がBへ

    となるのはわかるのですよね?
    では、ヤギの分も加えるとどうでしょうか・・・?

    A 車:1/3 ヤギ:2/3
    B 車:2/3 ヤギ:4/3
    C 車:0  ヤギ:0 ↑2/3がBへ・・・?

    ・・・あれ?
    「Cはヤギ」だったはずですよね??
    これでは、Cは車でもヤギでも無くなってしまいます。。。
    ということで、

    A 車:1/3 ヤギ:2/3
    B 車:2/3 ヤギ:1/3↓1/3がCへ!
    C 車:0  ヤギ:3/3=100%ヤギ!

    となるのが正解です。

    ね、説明がついたでしょ?

    ユーザーID:

  • 1度目の【naoko】さんにもレス

    「変えた方が有利」というのは、あくまでも、
    「司会者が“参加者が選んだドアを選べない”」という条件があるからこそ、
    「参加者は“ドアを変えた方が有利”」と言うことですよ。
    「ギャラリーなどの誰もが常に“ドアを変えた方が有利”」ということは言ってません。

    この問題は、先ほども書いたとおり、
    「司会者が“参加者が選んだドアを選べない”」
    ということが非常に重要になっています。

    その意味をもう一度しっかりと考え直せたとき、
    答えがわかると思いますよ。
    【naoko】さんの考え方はとても興味深かったので、、、
    正答に自力でたどり着ける事を期待しています。

    ユーザーID:

  • 確かにうちの会社はすごいとわかった

    確率で習った「場合の数(だっけ)」みたいなことを広告の裏に描いてちゃんとやったら、変える方が有利になりました。

    うちのフロアのひとは、ほとんどのひとは直感的にわかったそうです(私と上司を除く)。
    うちの上司、大丈夫か(私も)。

    ユーザーID:

  • こう考えては?

    はずれを引いたときは帰れば必ずあたる訳ですよね?
    最後に変えない場合、はじめにあたりを引かないといけないわけですよね。その場合確率1/3です。
    変える場合は、はじめにはずれを引けばいい。その場合は確率2/3です。

    ユーザーID:

  • 答案

    3つのドアをA,B,Cとする。
    1.最初にドア(A)に立った時
    車の確率1/3、やぎの確率2/3
    2.司会者がやぎのドア(B)を開ける。
    この時、立っているドアにあるのは相変わらず
    車の確率1/3、やぎの確率2/3
    3.という事は、残りのドア(C)にあるのは
    車の確率2/3、やぎの確率1/3

    従って、ドアを変えた方が車が当たる確立は高い。
    尚、ドアA,B,Cを入れ替えても結果は同じ。

    陥りやすい間違い:2の時点で残りのドアは2つだから車が当たる確立はどっちのドアを選んでも1/2と考えてしまう。しかしそれは、初めに司会者がやぎのドアをひとつ開け、残りの2つのドアを選ぶ場合の事。

    トピ主さん、これで理解できましたでしょうか?

    ユーザーID:

  • 最初の選択の確率が響いてるだけなんだけどね

    あくまで【確率論なので】50:50ではないんですね。
    これって私が確率論が嫌いになった原点に近いトコロだと思います。直感ではなかなか理解できないですから、試行を繰り返して失敗して失敗して泥水を舐めないと難しいでしょう。
    整数論でも数の持つ幅・大きさというところで躓いた私の数学観なので、わかる人にはなかなか理解してもらえないんですが。

    要は、最初の選択があっているかどうかの確率が影響してくるわけで、司会者がハズレを1つ除去した後の残り2つだけを見るから失敗しちゃうんです(50:50と思い込む)。

    50:50になるようにするには、一番最初に司会者がハズレを1つ開けたあとで初めて残りの2つのうちの1つを選ばなきゃいけません。
    司会者がハズレを開ける前に選択してるんだから、そこでの選択の確率を考慮しなくちゃ・・・ということで。

    やってみてもわからない人にはわからないと思います。試行錯誤で試すには、相当な数の標本がないと「たまたまだよ」と思ってしまうでしょうしね。

    ユーザーID:

  • 夫と息子に質問してみました(横です)

     最初は1/2か? とだまされた、数学苦手子と申します。

    夫は常日頃「俺は数学得意だ! 共通一次試験で満点を取れないオマエは馬鹿だ!」と私をいじめます。(共通一次試験とは、大昔のセンター入試です。)
     息子は小学3年生。

     最初は二人とも、1/2説を支持。
     しかし、わたしが、「100枚ドアがあるとして・・・」と説明始めると、ほぼ同時に
    夫 「わかった! 変えないほうが有利だ!」
    息子「そうか! 司会者が教えてくれたんだね、変えたほうがいいんだ!」

     いったい夫は何がわかったんだろう? 確率の計算はできないのに、直感で? わかった息子にひそかに期待してしまう、親馬鹿ハハでした。

    ユーザーID:

  • まだ、1/2と思っている方へ

    これ、変えたほうが2/3で当たります。

    最初に当たる確率1/3 → 残り2枚外れ
    最初に外れる確率2/3 → 残りは当りと外れ1枚づつ

    ここまで、異論無いですね。

    で、→の右が自分が立って無いドアです。移動する
    かどうかは、この→側に移るかどうかになります。
    で、次に司会者は→の右の2枚から外れを1枚捨てる。

    これも良いですよね。

    なので、移動して外れる組み合わせは最初に当たりだったのに運悪く(勘悪く)移動してしまった場合に限定されることになります。

    つまり、ハズレを司会者が捨てたあと、移動して外れる確率って、最初に当たりを引いていた場合に限られるわけで、確率は1/3なんですよ。

    ですから、ドアを変えて外れる確率は1/3、逆に考えると2/3で当たるわけです。
    お分かりいただけましたでしょうか。

    ユーザーID:

  • 要するに

    司会者はただの引っかけの為にあるのでとりあえず無視します。要は、最初に一つのドアを選んだときにそのドアが当たりの確率は1/3で、残りに当たりがある確率は2/3ですが、ドアを変えない場合は確率1/3の方を選ぶことで、ドアを変える場合は確率2/3の方を選ぶことに相当します(だから変えた方が有利です)。
    司会者がドアを一つ開けてくれますが、それって言いかえると、最初に選んだドアのままだとドアは一つしか開けられないけど(実際は二つ開くのですが)、ドアを変える場合はドアを二つ開けることができるということになるので、当然変えた方が良いですね。

    ユーザーID:

  • 間違ってました。

     前回の書き込み後、改めて考え直しました。
     間違えてますね。私。

     変えた方が有利が正しいですね。
     説明を混乱させてしまって申し訳ありませんでした。

    ユーザーID:

  • 十枚の例えがわかりやすすぎて怖い(笑)

    恥ずかしながら頭が悪く、納得したようなないような状態です(笑)とりあえず変えたほうが当たる確立高いのはわかりましたが、扉を10枚や100枚にして例えた方法があまりにわかりやすすぎて、逆にそれだと信じきれないと言うか・・・十枚のうち一枚を選んで(当たる確立はこの時点で十分の一)司会者が八枚外れを開けてくれれば確かに変えたほうが確立高いんですど・・・司会者は八枚あけてくれるというのは、三枚で例えた時と同じ条件なんだろうか?四〜五枚位司会者が開けて、三枚の時と同じ条件になるのでは?と、そっちの方で頭を悩ませています(笑)気になって素直にわかりやすい説明をうけいられないと言うか・・・すいません、本当横ですね。

    ユーザーID:

  • ねこねこさま

    いまだに確率は半々だと考えている頑迷ものです。

    ねこねこ様の説明は真に分かりやすいのですが
    選ばれなかったドアの当たる確立にも適用できませんか?

    貴方の説明手法で選ばれなかったドアの当たる確率も
    挑戦者が最初に選んだドアと同じになると思うのですが。

    ユーザーID:

  • 元ネタというか...

    謎解きはみなさんにお任せしまして,
    この話がイマドキ出てきたのは,もしかして,マーク ハッドンの「夜中に犬に起こった奇妙な事件」のためでしょうか?

    作中で主人公の,自閉症&数学の天才の少年が解く問題の1つです。
    この本,とってもいい本です。読後にほっ,とします。もしどこかで見かけたら読んでみてください。

    ユーザーID:

  • 無い頭で簡単に考えて

    数学なしで今回のルールで考えると。
    ・参加者が1つ
    ・残り2つが司会者
    が選択した事になりますよね(司会者が外れを開けて1つにしてくれるおまけが嬉しいですね)。

    さてここでもう一度選択できますよと言われたら!。
    貴方が最初に選んだ1つのドアと司会者の残した1つのドアどちらにします?。

    交換してもらう方がお得ですよね、でも3択だと考えますね自分の直感を信じるとか・・・。

    100個のドアからなら、迷わず交換してもらいますね、99個のドアから98個の外れを除いた1つのドアです。

    もう当たったような物ですね、でもこれで外れたら運は最高なのか最悪なのか当分立ち直れない衝撃ですが。

    とまあ、感覚的ですがこんな感じです。

    ユーザーID:

  • 数を100にして考えて・・と発言している方へ

    いろいろな方の説明を読んで、なるほどな〜!と感心している者です。
    ですが、何人かの方が「数を100にして考えてみるとわかりやすい」と言っていらっしゃいますね。
    100から1つを選んだ後に、司会者が一気に98の扉を開けてしまっていますが、それは今回のトビ主さんへのわかりやすい説明になっていたのでしょうか?

    今回のトビ主さんの説明には、
    扉の数が多くなっても2回目の選択時には扉の数は必ず2に減らす。。。。との条件はありません。

    トビ主さんの疑問は
    司会者が1つハズレを選んだ後に
    残った2つの扉から1つを選択する際の確立は
    (司会者が当りハズレを知っているとはいえ)結局二者択一で、同じじゃないのか。。ということです。
    ならば、100に数を増やした場合は、

    ユーザーID:

  • 数を100にして考えて・・と発言している方へ 続き

    司会者が1つハズレを選んだ後に99の中で移動するか考える・・・
    また司会者が1つハズレを選んだ後に98の中で移動するか考える・・・
    と何度も繰り返して数が3つになった状況がトビ主さんの問題の状況になり、
    扉の数が99に減っても50に減っても、結局それぞれ1/99、1/50で確率は一緒なのでは。。と錯覚してしまいそうになり、疑問点が変わりません。
    そういう錯覚の起こりうる中での説明の方が
    トビ主さんの求める明快な答えになると思います。

    それにルールを変えた上での説明は、
    数学の説明では正確ではないのではないですか?
    もし説明する場合は、
    トビ主さんの問題提起に最初の数が3の場合しかない以上、最初の数が多い時のルールの可能性を場合分けした上で
    それぞれの説明をしなければいけないのでは?
    結果が同じになるとしても必要だと思います。

    ユーザーID:

  • 問題設定条件の微差が原因?

    すみません。

    私は、こう考えてしまうのです。

    司会者はすべての情報を知っているのだから、選ぶ人がどのドアの前に立とうが、その後で司会者はヤギのいるドアを必ず開けることがデキル。

    司会者の行動によって有利になる情報は、選ぶ人にとってはゼロなのです。
    だって、私が選んだ後で司会者がヤギのいるドアを開く ってことは、私の選択開始する前から確実に分かっている事じゃないですか?
    選び直す必要、アリマセン!!

    ユーザーID:

  • 横ですが、丁半は?

    面白いですね。最初は分かりませんでしたが、100枚のドアに例えていただいたら納得しました。

    で、横で申し訳ないんですが、どなたかが書かれていた、『丁半は同じ確率』と言うのを読んで、???と思いました。丁(奇数って丁ですよね?)になる確率が高いように思ってしまうのですが…?

    ユーザーID:

  • 遊んでみた

    3枚のカードを並べて1枚選ぶ・・という単純作業を60回やってみたら、あたり21回、はずれ39回。

    至って平凡な運の持ち主でした。ためになりました。

    ユーザーID:

  • 私も悩んだことあります。

    上の例えで何度もでていますが、私はこれで「納得」しました。

    10000個ドアがあって、最後に2つ残ったドアを選びなおすかどうかです。
    最初の10000個からの選択で、自分はドンピシャで正解を引いたんだ!!
    と確信できる強気の人なら変えなければいいでしょう。
    でも私は自分がそれほど強運の持ち主だとは思えません。
    だから残った方に変えちゃいます。
    変えなければ1/10000の確率ですが、変えれば99999/10000の選択ですよね。

    文系の自分が感覚で納得できるのはここまでです。
    確率とか難しいのでよく分かりません〜><

    ユーザーID:

  • シンプルに「当たる確率」のみ見てみると...

    A)あなたが選んだ扉1が当たる確率は33.3%
    B)扉2か扉3が当たる確率は66.7%

    「当たり」に関して存在する確率はこのAとBのみとします。
    司会者が残り2つから扉2(ハズレ)をひとつ開けます。
    すると..

    A)あなたが選んだ扉1が当たる確率は33.3%のまま。
    B)扉2(ハズレ)か扉3が当たる確率も66.7%のまま。

    ..となります。

    確立時の3つの扉の存在は不変なので扉2がハズレと判っても「扉2か扉3が当たる確率」の66.7%は変わりません。ただし、扉2の当たる確率が33.3%から0.0%に下がる事により扉3の当たる確率が33.3%から66.7%へと上がります。
    その結果..

    A)あなたが選んだ扉1が当たる確率は33.3%のまま。
    B)扉2(ハズレにより除外)か扉3が当たる確率は66.7%。

    扉3が当たる確率は66.7%

    ..となるので、確率的には初めの33.3%よりも残りの66.7%に「変えたほうが当たりやすい」となります。この時点でA)かB)の2択になるので50/50と勘違いしやすいのかもしれませんが、選択が2つに絞られても元は3択と言うのを忘れてはいけませんよ。

    ユーザーID:

  • ややこしいけど…

    この条件下では、最終的な「ドアを変える変えない」は「当たりとはずれの2つのドアから1つを選ぶ」のと一緒なので、当然当たりの確率は全体で1/2です。

    ただ、この問題では「変えて当たる」場合と「変えないで当たる」場合があります。
    前者は「はずれ⇒変えて当たる確率」なので
    (2/3)*(1/2)=1/3
    後者は「当たり⇒変えないで当たる確率」なので
    (1/3)*(1/2)=1/6
    (これらの和は確かに1/2です)

    同じ当たるでも、「変えて当たる」方が確率高いですよね。だから変えた方が当たりやすいはずです。

    1/2と勘違いするのは全体的な当たる確率と混同してしまうからでしょう。でも結局全体で1/2なんだから実生活では特に悩む必要はないですよね。

    ユーザーID:

  • 建築さんの説明で分かりました!

    大の数学嫌いな私は、恥ずかしながらそれまでレスされていた方々の説明でも、サッパリ理解出来ませんでしたが、建築さんの簡単明瞭な式で一気に理解出来ました。

    あー、すっきりした!

    ユーザーID:

  • 問題は数学。しかし、文章を読まないと・・・・

    さて、問題をよく読めば 答えは出るはず・・・・

    司会者が扉を開けた後に選択するのであれば、確率は1/2
    しかし、この問題は司会者が扉を開けた後に変更するか否かの確率の問題
    よって、2/3の確率で変更した方が良いとなります。

    言い方を変えて『変更しなければならない』という表現ならどうでしょうか?
    そうなりますよね。
    司会者が扉を開けてから選択をするのではなく、変更をした場合の車が出る確率ですから・・・

    1/2で回答している人は扉を開けた後の選択での確率を求めています。
    変更をするかしないかの確率で考えてくださいね。
    計算得意でも、文章読まなきゃ間違いですよ。

    ユーザーID:

  • あらまぁ

    皆さんどうしてそう難しく考えるのしょうか。

    数学なんか持ち出す必要全くないように思います。大体最初から1/3の確率と考えるのが間違いです。司会者はヤギと判っているドアを開けるという事は最初からそのドアは無かったものと考えられます。

    ですから最初から確率は1/2です。ドアを開けても確率は1/2であることに違いないのです。コインを3つ使って何十回でも試してみると、やればやるだけ、確率はほぼ同じになるはずです

    ユーザーID:

  • だまされた!!

    一瞬だまされて「変えても変えなくても50:50で同じじゃん!」と思ってしまいました。

    よく考えたら、司会者ははずれを知っていて確実にはずれを開けてくれるんですよね?

    つまり、自分が選ばなかった3つのうちの2つ(極端な例えの話で言えば100のうちの99)にあるかも知れない当たりを選り分けてくれる訳ですから、ドアを変えるかどうか?とは、最初に選んだドアが当たりか、それ以外の残りのドアに当たりがあるかを選ぶことな訳で、そりゃ変えた方が確率が高い訳ですよね。

    ユーザーID:

  • サーベロニの問題

    けけけさんの問題は「サーベロニの問題」と呼ばれて
    いる問題です。

    けけけさんの記述では、2/3で間違いありません。
    しかし、この問題は微妙な亜種があるのです。

    (1)看守には誰が処刑されるか知らされていなかったが、
     たまたま処刑係の部屋を通りがかったときに、
     「Bは太ってるから太めの縄を用意しておかなきゃなあ」
     と言っているのを聞いてしまっていて、「Bが処刑される」
     と答えた。

    (2)くじ引きはくじ係が行っており、看守には知らされて
     いなかった。そのためくじ係に「おーい、Aって処刑
     されるか?」と聞き、「されるよー」と返事が返って
     きたので、「Aが処刑される」と答えた。

    (3)くじ引きはくじ係が行っており、看守には知らされて
     いなかった。そのためくじ係に「おーい、Aって処刑
     されるか?」と聞き、「されないよー」と返事が返って
     きたので、「Bが処刑される」と答えた。

    それぞれケースの死刑囚Cの処刑される確率やいかに…

    ユーザーID:

  • 分からない理由が分からない。

    分からないと言い続けている人は,実際にトランプで試して見たのでしょうか?
    分からない理由が分からない。
    分からなかったけど,分かるようになった人は,なぜ最初分からなかったか教えてください。

    塩水が入ったコップが3つあって,あなたが,どれか一つのコップを選びます。
    残りの2つのコップの塩水の水を蒸発させてコップ1杯分の量にして,一つのコップに入れます。

    さあ,最初あなたが手にしたコップの塩水と,残り2杯分の塩水を蒸発させて1杯分にした塩水とどちらが塩辛いですか?

    全て頭の中でやろうとするならば想像力の問題でしょうけれど,実際に試すことができるのだから,行動力の問題かもしれない。

    ユーザーID:

  • わかんない人はわかんないんですね(笑)

    前に友達に同じ問題を出したら見事に引っかかってくれたのを思い出しました
    でもこれって騙されやすいし、苦手な方には理解が難しいんですよねー
    答えはもちろん
    「変えたほうが当たる可能性は高い」
    ですよ。講義でも取り上げられていたので確実です
    一般的にはこの問題よりも、前に他の方が書かれていた
    『100個の箱』の方が有名かな

    ユーザーID:

  • 頑固者さま

    当たるか外れるかの確率は全体で見れば1/2です。
    頑固者さまが1/2と思う理由も十分理解してます。

    この話は、当たるか外れるかの確率を言っている
    ようで、そうではなく、2回目の抽選でチェンジ
    すれば当たるかチェンジしなければ当たるか、
    を問うているから紛らわしいのです。チェンジするか
    しないかが1/2ではないか?って、それは抽選を
    2回経て当たりにたどり着くプロセスを忘れて
    しまってます。

    最終的に当たるには、

    1)最初に当たりを引いたとすれば、次はチェンジしなければ当たり。

    2)最初に外れを引いたとすれば、次はチェンジすれば当たり。

    当たりは1個しか無いのですから、最初当たる確率は
    1/3。最初外れる確率は2/3。

    2回の抽選を経て当たりにたどりつくには、最初に外れのドアを選ぶ確率が2倍高いわけですから
    最初外れ→チェンジのプロセスを選択した方が、
    2倍有利なのです。

    2回目の抽選でチェンジする・しないの50:50ではなく、最初に当たりを引くか、外れを引くかで当たりにたどり着くプロセスが決まってしまっているのです。

    おわかりいただけましたでしょうか?

    ユーザーID:

  • 新たな説明

    答えはすぐに分かったのですか、分からないという人にどう説明をするか、ということをずっと考えていました。
    こういうのはどうでしょう。少しルールを変えます。

    3枚のうち、まずあなたが当たると思われるカードを1枚選びます。
    次に「当たり」を知っている司会者が、残りの2枚から当たりのカードを選びます。
    どちらが当たりを選ぶ確率が高いでしょう。
    あなたが当たりを選ぶ確率は1/3
    司会者は、あなたがはずれた場合100%当たりなので、選ぶ確率は2/3
    実際のルールは、司会者はわざとはずれをひかないといけないので、
    残ったカード1枚が当たりの確率は2/3です。

    司会者が1枚選んだ後の確率が1/2となるのは、
    あなたが、「司会者が当たりカードを知っている」ということを知らない場合の確率です。

    どうですか?この説明は。

    ユーザーID:

  • >気になるさん

    確かに、3つの選択肢を勝手に100に変えた事は良くなかったと思います。

    数学の得意な人ばかりなら、3つのままで説明したのですが、どうもトピ主さんをはじめ、数字の苦手な人が多いようでしたので、100の方が想像しやすいのではないかと思ったのです。

    3つの選択肢だと、確率の差が少ないので、実際に数回試しただけでは、はっきりと結果にあらわれない可能性があります。
    「ジレンマ」と言われるのも、3ではまぎらわしいからです。これが10や100なら、数学者が間違う事は決してないでしょう。
    それに実際、いくつかのレスを読んだ所、100で先に理解してから3が理解できた人も多いように思うのですが…。

    私自身は最初から3のままで理解できたのですが、家族には3では難しく、100の説明をしたら理解できたようなので、100の例えを使ってしまいました。
    数学のテストじゃないので、多少の語弊が出ても、考え方を理解できればいいかと思ってしまったのです。
    今後気をつけます。

    ユーザーID:

  • さらにシンプルな例で...

    原始人さんのように実際3枚のカードから1枚を選んでみると60回で大体アタリが20回、ハズレが40回になります。

    これは「変えない場合」3分の1の確率でアタリと言う事です。3択ですから当たり前ですよね。

    ここでよく考えてください。ハズレが40回と言う事は言い換えるとその40回全て「残りの2枚にアタリが有った」と言う事です。

    このトピックの例題ではこの「残り2枚」から司会者がアタリを残してハズレを取り除く訳ですから「もしそちらに変えていた場合」60回のうち確実に40回当たっていた事になります。

    はずれた40回分(3分の2の確率で)、司会者が必ずアタリを残してくれる訳ですからそっちに変えておけば良かった!となりますよね。

    ユーザーID:

  • Haruko Aokiさん

    ほかにもレスが付くかと思いますが、

    「司会者はヤギと判っているドアを開けるという事は最初からそのドアは無かったものと考えられます。」

    は間違いだと思います。何故ならHarukoさんが「初めから無かった」とするその「ドア」をあなたが3分の1の確率で選ぶ可能性が有るからです。司会者が開けるドアはあくまでも3枚のうちの残りの2枚(3分の2)からなのです。言い換えれば3分の2の確率でアタリを残してくれる訳です。あなたが初めの1枚を選ぶからこそこの問題は2択ではなく3択なのです。

    初めに1枚のドアを消去してしまうとあなたの言うように初めから2択となり1/2で当たり外れが決まりますから選択を変える変えないなど問題ではなくなりますよね。

    ユーザーID:

  • 考え直し

    前の書き込みで
    「替えて当たる確率」1/3
    「替えないで当たる確率」1/6
    だから替えた方が良いと書きましたが、
    どういう意味で『替えた方が良い』のかによるのかな?と思いました。

    【自分が選んだドアに対して】
    前述の意味でもう一つのドアの方が当たりやすい
    つまり、「替えた方が良い」

    【全体的に見て】
    選ばないで余ったもう一つのドアに対して、
    「替えて当たる確率」1/3
    「替えないで当たる確率」1/6
    なので、選んだ選ばなかったを無視すると、残ったドアのどちらでも当たる確率はもともと
    1/3 + 1/6 = 1/2
    つまり、「替えても同じ」

    問題文的に前者の意味っぽいと前回は思ったのですが、最終的に当てる事を目標とするなら、全体的に見るべきなので後者の意味っぽいかもなぁ…と。

    高校数学で言うところの(あるドアを選んだという)条件付き確率とただの確率みたいな(個人的)ややこしい関係…?

    ユーザーID:

  • 1/2派の方は

    本やTVでも紹介されている、「既に答えの出ている」問題なのですから、
    まずは「ドアを替えた方が有利」が正解であるという「事実」を真摯に受け止めた上で
    どうしてそうなるのか、そうなるためにはどう考えればいいのかをお考えになると理解が早まると思います。

    ユーザーID:

  • わからなかった理由(まーさんへ)

    トピ主です。

    2つのコップを1つにする理由がわからなかったのです。
    確率とはどういうものなのかがわかっていなかったからだと思いますが、コップを1つ単純になくす、引き算のようなものだと思っていたのです。

    ドアの題でいうと、司会者が、「あなたの残したドアのうちから」「必ずヤギのドア」を開ける、ということのポイントがわからなかったのです。最後に2枚になった、ということにだけ視点がいって、どういう理由でその2枚が残ったのか、ということは関係ないと思っていたのです。

    私には最初、司会者が「あなたの選んだのも含め、どれか1枚ドアを開ける」「残った2枚のうち1枚を選ぶが、開けては見せない」という状況でも、条件は同じだと思えました。

    確率が1:2になることの証明よりも、1:1が誤りであることを直接説明してくださったら、わかりやすいかなと思います。というのは、五分五分だと思っているうちは、「感覚」としてそう思っているので、トランプで試しても、五分五分でないことはわかっても、仕組みはやっぱり納得しづらいのです。

    ユーザーID:

  • 説明を考えてみました

    トピ主です。もう説明は十分出ていて、一度わかった後だと、どうしてこれでわからなかったんだろうと思うものが多いですが、それでも感覚的に納得しにくかった者として、重複しますが説明を考えてみました。

    最初にドアが2つだったら確率は五分五分だったのに、いじわるな司会者がはずれのドアをひとつ増やしてあなたが当てにくいようにした。

    あなたがドアを選んだ後、司会者は残ったドアをひとつ撤去する。そのとき、司会者が心の中で「ちぇっ、この人一発で当てちゃったよ」と思っていたか、「残念でした、それははずれです」と思っていたかはわかりません。

    このとき、司会者が撤去するドアが車かヤギかを言わなかったら、あなたが最初に選んだドアと、残った最後のドアの車である確率は等しい。両方ともヤギの可能性もあり。

    ところが、司会者は実は親切な人で、残ったドアのうち、必ずヤギのドアを撤去すると決めており、撤去する際にあなたにそれを教えてくれた。
    (続きます)

    ユーザーID:

  • 説明を考えてみました…続き

    このとき、もし司会者が「おおすごい、この人一発で当てちゃったよ」と思っていたとしたら、司会者は残ったうちのどちらを撤去してもいい。「このドアはヤギです」と言いながら笑顔で撤去する。
    もし司会者が「残念、それははずれです」と思っていたとしたら、残ったドアのうち車のドアを残しておいて、ヤギのドアを笑顔で撤去する。

    司会者が「残念、それははずれです」と思う場合の方が多い。このとき司会者は必ず車のドアを残しておいてくれる。

    あなたが参加する1回のゲームであなたが最初に車のドアを選ぶ可能性はもちろんある。
    しかしこのゲームを親戚、友人、同僚集めて大勢が1人ずつ参加してやってみると、ドアを替えて車をゲットした人の方が、替えずにゲットした人より2倍多くなる。

    数学と関係ない要素が多くてごちゃごちゃしてますが、感覚的にわかりやすいかなと思いました。どうでしょう?

    ユーザーID:

  • あ〜面白かった!

    「変えた方が有利」という沢山の説明は、読めばなるほどと思うものの、とはいってもやはり直感というのか感覚というのか、残りのドアの後ろに車が入っている確率は5分5分なんじゃないかなー、と「感じて」しまう数学(というより算数レベル?)音痴です。

    皆さんの勧めに従い、花札を使って10回トライしてみました。条件は「司会者がヤギのドアを開けたあと【必ず】ドアを変更する」です。

    結果は10回中8回車を当てました。
    車を外した2回は最初の選択で車を当てていたときです。

    この結果を見て、ようやく「変えた方が有利」との説の核の部分が理解できました。
    やってみなくて、頭で考えるだけでストンと納得できてしまう人ってスゴイですね。

    それにしても…10回やって2回しか当たりを引けない籤運ってさーと、別のところでもガッカリしましたよー。

    ユーザーID:

  • なんかカンジ悪いなぁ

    >まー様
    最初1/2派でした、その後考えて考えて「確かにドアを変えたほうが当たる確立が高い」ということはなんとか理解できましたが、納得はしてません。

    最初分からなかったのは、私の場合「確率のみを考える」ということが出来ず、実際ドアの前に立っている気分で考えてしまったからです。司会者がヤギのドアを開けてくれました、残るドアは2枚です、いま自分が立ってるドアが自動車かもしれない、いや、やっぱあっちのドアか?と考えてしまったからです。だって1/3なら最初から当たり引いてる可能性だってありますよね。

    でも問題が「確率」を聞いているのだから、1/2と答えるのは間違いだというのは今はわかります。そして、あくまでも「確率のみ」を聞いているのだから自動車が当たるかどうかはどうでもいいことなのもわかってはいるのですが・・・

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  • サーベロニの問題 に挑戦

    (1)(2) は1/2。 (3)は1/3。

    (1)では、看守はA・Cについて何も知らないわけで、単に、選択肢が一つ減ったと考えていいのではないでしょうか? ヤギ問題では1/2は誤りでしたが、今回は、その考えがそのまま当てはまると思います。回答者の選ぶドア によって、司会者の開けるヤギドアは変化しますが、この場合は、回答者がどれを選んでも、変わらないので・・・ (2)も同じ。

    (3) Aが当たりなら、必然的にB・Cは外れ。看守は3人の命運をすべて知っているため、ヤギ問題と同じく、1/3。

    ところで、数学屋さん、「確率ゲーム2」が無くなったようですが? 
    答えを教えてください。「同じ」でいいんですよね?
    こっちは少し自信あるんですが・・・↑は全然自信ないけど。

    ユーザーID:

  • 横ですが「九半十二丁」<くれあさん

    出題した本人ではなくて悪いのですが。
    まっとうに考えると、サイコロ2個で出る目の組み合わせは、6×6=36通りです。丁半は,それぞれ18通りずつ。

    例題では、サイ2個で半(奇数)が出る組合せは
    (1,2),(1,4),(1,6),(2,3),(2,5),(3,4),(3,6),(4,5),(5,6)
    の9通り、
    丁(偶数)が出る組合せは
    (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),
    (3,3),(3,5),(4,4),(4,6),(5,5),(6,6)
    の12通り、
    となっていて、足りないのです。何が足りないか?

    同じサイ2個が転がっているのを想像すると忘れがちですが、(1,2)と(2,1)は、別なのです。色違いを想像するとわかりやすい。(青サイ1,赤サイ2)と(青サイ2,赤サイ1)は違うでしょう?
    よって、半の場合はすべて逆が存在するので、9×2=18通り。
    丁の場合は、ゾロ目((1,1)(2,2)・・・)は逆がないが、他の6通りは逆があるので、12+6=18通りとなり、最初の計算とも一致します。めでたし。

    ユーザーID:

  • 類似問題

    ある監獄に3人の死刑囚A,B,Cがいます。
    3人の中で誰か1人が恩赦で釈放されることが決まりました。しかし、それが誰なのか看守は知っていますが、死刑囚は知りません。この段階でCが処刑される確率は2/3

    死刑囚Cは看守は残りの2人の内で処刑される者を1人教えて欲しいとたのみ、看守は悩みましたが結局Aが処刑される事を教えてくれました。

    この段階で恩赦されるのはBかCかのどちらか1人。死刑囚Cは処刑される確率が1/2に減った事を喜びます。

    でも看守が教えようが教えまいがCが処刑されるかどうかは決まっていたはずでは?Cが喜んだのはぬか喜びなのでしょうか?みなさんはどう考えます?

    ユーザーID:

  • わからなかった理由(まーさんへ)の続き

    トピ主です。わからなかった理由の続きを書いたのですが、送信し忘れたのか、不適切と思われたのかここに載っていないのでもう一度書いてみます。

    私は最初のいくつかのレスを見ても理解できなかったのですが、確率そのものについて私がちゃんとした知識を持っていないのだと気づき、モンティ・ホール・ジレンマについて語っているサイトをいろいろ見ているうちにピンと来ました。決定的だったのは、前にも書きましたが、3枚のドアをあなたが2グループに分け、司会者が2枚のドアを重ねて1枚にした、というイラストでした。もちろん、これだけではわからなかったと思いますけれど。

    あと、tanさんのおっしゃっていた、トランプ10枚のゲームで自分ではずれを除く作業をするとわかる、というのも納得しやすかったです。

    ユーザーID:

  • 思考の落とし穴

    私の場合は,分からないときは,本当にやって見ることが多いです。やって見て,不思議だなーと思いながらその理由を考えていく。
    実験できない現象は,この方法では正解にたどり着きにくいですけれど。

    それから,立場を変えると,ずいぶんと見え方が変わることがあります。確かに,くじを引く当事者の立場では,この1回のくじであたるかあたらないかのどちらかしかない,と思い込んでしまうかもしれません。

    確率を考える場合は,このくじの主催者の気持ちになったほうが良いかもしれません。

    回答者が,毎回最初に選んだドアを変えない場合,どの程度商品の車を準備しなければならないか,または,毎回ドアを変えた場合にどうなるかなど。何回も同じことが繰り返されることを想定するのが,確率を考える上でのコツかもしれません。

    確率1/2と思い込んでいる人は,くじを引く人の立場で,その1回のくじが全てという気持ちが強いようですね。

    失礼な質問をしてしまったかもしれませんが,お許しください。お詫び申し上げます。

    ユーザーID:

  • TANさん

    (1),(2)は1/2で正解です。
    (3)ははずれです。

    だって…
    Aが処刑されないといわれたら、残りの2人の運命は
    確定じゃないですか!
    答えは「1」です。

    その2はトピごと消えてしまったようです。
    私が消したわけじゃないです(そもそもそんな操作ない
    ですが)
    理由はわかりません。

    答えは「同じ」であってます。

    ユーザーID:

  • 確率ゲームではないのですが

    昔印象に残っている数字のトリックを使ったものを一つ思い出しました。
     三人の娘が宿に泊まりました。宿主は一部屋一泊30ドルと言いましたので、一人10ドルづつを出し合いました。

    宿主は部屋代が25ドルの間違いだったことに気付きましたので、翌日5ドルを娘たちに返しました。戻ってきた5ドルのうち1ドルづつを娘たちが各自受け取りますと、都合一人9ドルづつ支払ったことになります。
    一人9ドル×3人=27ドル。そこに戻った余りの2ドルを足すと29ドルです。

    最初に払ったお金は30ドル。
    1ドルはどこに消えてしまったのでしょうか。
    というクイズです。

    数字のトリックを使ったもので、何故か印象深く覚えていました。
    確率ゲームとはまるで関係ないのですが、数学に関するちょっとしたクイズだったので載せさせてもらいました。

    ユーザーID:

  • 分かりやすい答え

    http://www32.ocn.ne.jp/~gaido/fusigi/nokori.htm

    ここがよくまとめていると思います。

    ユーザーID:

  • それぞれのパターンを比較してみると…

    (A)変えたほうにハズレが入っている場合 = 最初の選択でアタリを引いていたとき
    (B)変えたほうにアタリが入っている場合 = 最初の選択でハズレを引いていたとき

    最初の選択でハズレを引く確率は2/3なので
    実際にやってみると(B)のパターンになることが多いです。

    ユーザーID:

  • 100個の扉で納得できない人はもっと極端に考えよう

    例えば1兆個の扉があって、その一つが当りだとする。
    ほとんど一発で当てることはないですよね(笑)

    解答者がまず一つ選びます。
    残りは(1兆−1)個です。

    まずここで考えます。
    選んだ一個と残りの(1兆−1)個ではどちらに当りがある可能性が高いでしょうか?
    圧倒的に残りの(1兆−1)個のどれかに当りがある可能性が高い。

    では当りを知っている司会者が、残りの(1兆−1)個のうち扉を1つを残して、はずれの扉を全部あけました。(現実には辛いけど)

    ここで考えます。
    選んだ扉と司会者が残した扉はどちらに当りがある可能性が高いでしょうか?
    これで司会者が残した扉の方がだんぜん有利だというのが感覚的にわかるのではないでしょうか。

    ユーザーID:

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