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発言小町

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確率ゲーム?

ネ子
2005年4月19日 2:10

先日飲み会で出た話題なのですがそれ以来どうも気になっています。

『あなたは賞品として車をもらえるゲームに参加しています。
目の前に3つドアがあり、そのうちの一つは、後ろに車、あとの2つは後ろにヤギが隠されています。
車が隠れていると思うドアの前に立ってください。
そこで、ゲームの司会者(どのドアが車でどれがヤギか、知っている)が、ヤギのドアをひとつ開けて、全員に見せます。あなたが選んだドアは開けません。
この後、あなたはドアを替えることができます。替えなくてもいいのです。最終的に選んだドアの後ろに車があれば、その車をもらえます。』

という筋書きで、問題は、
『さて、ここでドアを替えた方がいいのか?』
ということなのですが、確かそのとき話題になっていた答えは、
『替えた方が車が当る確率は高い』
だったのです。

ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの2つは五分五分になるんじゃないかという気がするのですが…
なぜ替えた方が確率は高いといえるのか、また、これは数学のひっかけで、結局答えは五分五分なのか、どなたか教えてください。

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タイトル 投稿者 更新時間
変えた方がよい・・・らしい
tan
2005年4月22日 21:58

この話どっかで読んだなーと思い捜してみたら、ありました。
賢いはずのあなたが、なぜお金で失敗するのか  
ベルスキー著 日本経済新聞社 
P125 に解説も書かれています。どこかで、この本を見たら読んでみるといいでしょう。

簡単に説明すると、最初に選んだドアに自動車が入っている確率は1/3です。司会者がヤギのドアを開けたあと、残ったドアに自動車がある確率は1/2です。最初のドアは1/3で、残ったドアは1/2。だから変えた方がよい、という結論です。
<ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの2つは五分五分になるんじゃないか
という気がするんですけどね、最初に選んだとき1/3だった確率は、あとからドアが開けられても変わらないのです。「3つのなかから選んだ」ことは変わりないので。

あるいは。
選んだドアがヤギの確率は2/3。このとき司会者は必ずヤギのドアを開けるから 残ったドアは100%自動車です。2/3の確率で変えた方が有利なのです。

ユーザーID:
変えた方が有利
数学屋
2005年4月24日 1:46

変えた方が有利です。

この問題の肝は、「司会者はどれに車が入っているか
知っている」というところに尽きます。

司会者がどれに車が入ってるか知らずに、無作為にドアを
開け、車が入っていたら「残念でしたー」で終了すること
もある。しかしたまたま今回はヤギだった、というケース
なら、
>ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの2つは
>五分五分になるんじゃないかという気がするのですが…
これは完全に正しいです。

最初に自分が選んだドアをA、残り2つを便宜的にB、C
とします。
この時点では車がA、B、Cどれに入っているかは1/3ずつ
です。
司会者は車がBに入っている場合はC、Cに入っている
場合はBを開けます。
そして最初に当たりを引いていた場合は、仕方ないから
司会者はB、Cいずれかを無作為で開けます。
つまり、
当たりがAで、司会者がBを開ける : 1/6
当たりがAで、司会者がCを開ける : 1/6
当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/3
当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/3
となります。
司会者がB、Cいずれを開けたとしても、変えたほうが
有利ですね。

ユーザーID:
1/2に決まってます
騙しちゃダメですよ
2005年4月24日 17:27

tanさんはトピ主さんをからかっているのかな?
そうでなければその本にからかわれていますね。

論理の破綻に気付きませんか。
”最初に選んだとき1/3だった確率は、あとからドアが開けられても変わらない”
にもかかわらず、なぜ司会者が羊のドアを開けた後
”残ったドアに自動車がある確率は1/2”に変わるのでしょうか?

ドアを開けた後に、変えるか否かという選択を行うことは
”「2つのなかから選んだ」ことに変わりない”ので
確率1/2となりませんか?


引っかけ問題に騙されちゃいけません。
司会者がドアを開けた時点で、確率は1/2に変わるのです。
最初に選ぶ時点の確率1/3というのはその通りですが、そこでファイナルアンサー!と
やらないのでその後の選択には無関係です。
ドアの前に立たせることで1/3で選んだような錯覚を起こさせるわけです。


蛇足ながら、もしあなたが最初に羊の前に立った場合に、司会者がそのドアの方をを開けてくれる、
というのなら話は別ですよ。
この場合なら、2回とも外れる確率が1/3(=2/3*1/2)なので
2/3で当たりますけどね。

ユーザーID:
ごめんなさい。訂正
tan
2005年4月24日 22:55

最初のレスをしたものです。

<残ったドアに自動車がある確率は1/2です。最初のドアは1/3で、残ったドアは1/2。

って書きましたが、残ったドアに自動車がある確率は2/3・・・だと思います。紹介した本にも、はっきりとは書いてないので、よくわからないのですが。

失礼しました。

ユーザーID:
これでどうだ!
極端
2005年4月25日 18:17

ドアが100個あったとしましょう。
この中に当たりは一つ
あなたがドアを選んだ後司会は残りの98個を開けます。
全て外れです。
残ったドアは2つ。
>ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの2つは五分五分になるんじゃないかという気がするのですが…
やっぱりドアが2つだったら確率は五分五分だと思いますか?

ユーザーID:
移動すれば2/3
かぐら
2005年4月25日 20:03

 ドアを移動しない場合は、最初に選択した確率のままですから、車の確率1/3です。
 では次にドアを移動した場合の確率を考えてみましょう。

1:最初に車を選んだ場合
 こうなる確率は1/3です。
 この場合にドアを移動すると、必ずヤギのドアを選ぶことになります。
 
2:最初にヤギを選んだ場合
 こうなる確率は2/3です。
 司会者はもう一方のヤギのドアを開けるので、残ったドアは車です。
 つまり、ドアを移動すれば必ず車に移動することになります。

 つまり移動する場合、最初に車なら必ずヤギに、逆に最初にヤギなら必ず車に移動することになります。
 そして最初にヤギを選ぶ確率が2/3ですから、移動した場合はそれと同じ確率…、つまり2/3の確率で車を選ぶことになります。

 移動しないときは1/3、移動したら2/3ですから、移動した方が絶対に有利ですね。

ユーザーID:
すみません 3回目
tan
2005年4月25日 21:01

2つ目、3つ目の投稿を読む前に、2回目を書いてしまったので、もう一回補足します。

「残ったドアに自動車がある確率は1/2です。」は、もうホントに間違いでしたね。お二方の説明を聞いて納得しました。かえって混乱させてしまったようで済みませんでした。残ったドアの確率は2/3だと思います。

数学屋さんの説明を借りれば、

当たりがAで、司会者がBを開ける : 1/6
当たりがAで、司会者がCを開ける : 1/6
当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/3
当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/3

当たりがBであってもCであっても、司会者がはずれを教えてくれるので、ドアを変えれば必ず当たります。ドアを変えない場合は、Aに入っているときだけ(1/3)当たり、ドアを変えれば、BまたはCに入っているときに当たる(1/3+1/3=2/3)
・・・と考えたのですが、確信が持てないので、教えていただけるとうれしいです。

ユーザーID:
替えなくてもいい
たえたえ
2005年4月25日 22:22

ただ単に、少しだけ当たりやすくなっただけでしょう。
替えても替えなくてもどちらかがヤギでどちらかが車です。
レトリックに惑わされると本質から離れます。
替えたら当たる確率も1/2、そのままで当たる確率も1/2です。

ユーザーID:
三択が二択になるだけ
フィフティフィフティ
2005年4月26日 0:02

数学的名な証明は誰かが懇切丁寧にやってくれてるでしょうから省略。

このトピ、釣りじゃあるまいしそこまで低脳ってことはないだろうし、本気で書いているのか、どうしてそうなるか、と訝りながら私の職場でアンケートをしてみた。

結果、トピ主さんおよび最初のおふたりのレスと同じ答えのオンパレードで、正解は私の上司だけ。正解率10%以下。

うちの会社も長くないなと悲観し、現在私は転職を大真面目に考え始めています。

このトピにありがとう。

ユーザーID:
変えたほうが有利です。
ぱぼ
2005年4月26日 0:06

司会者が正解を知っいてドアを開けた場合は、変えたほうが有利です。

もっとドアの数を増やして考えるとわかりやすくなります。
ドアが100個あって、そのうち1つにだけ車が入っています。
あなたはドアを1つ選びました。

車が入っているドアを知っている司会者は、あなたの選んだドアとそれ以外もう1つのドアを残して、98個のドアを開きました。

もちろん、その98個のドアは全部ヤギでした。
さて、あなたがはじめに選んだドアと、司会者がもう1つ残したドアとどちらが有利でしょう?

ユーザーID:
ドア変えるべし
みなみ
2005年4月26日 6:20

自分が選んだドアは1/3の確率でしか当たりませんが、司会者が一つにしたドアは2/3の割合で当ってます。なので別のドアを選ぶのが正しいです。

これはドアが3つしかないからわかりにくいのですが、今度はドアを100個にして、似たようなルールで最後に二つのドアだけを残すようなゲームに拡張してみてください(98個のはずれドアを司会者が開けて二つにする)。こうすると自分が最初に選んだドアの当たりの確率は1/100なのはすんなり分かると思います。これを二つにするということは、自分のドア(確率)はそのなままなのに、ほかの全部のドアをひとつにして、すなわち99個のドアをひとつにした新しいドアを作ったということです。99個のドアを一つにしたのでそちらが当たる確立は 99x 1/100=99/100 です。

基本的にドアが3つでも一万個でも同じことですが、三つの場合は、1/3の二つのドアを一つにまとめて2/3で当たっているドアを作ったと考えればいいのです。なので、変えた方が当たる確率ははるかに高いでしょう。

ユーザーID:
司会者のドアは2/3の確率で、あなたのドアは1/3
まりも
2005年4月26日 10:03

の確率なので、司会者の残したドアに乗り換えるべきです。

なぜでしょうか?

司会者は「当たっていないドアを任意に開けることができる」のが曲者です。ゲームに参加してる人が外れ、当たりのいずれの前に立っていても、司会者は残ってる二つのうち当たっていないドアを開けることができます。したがって、彼が持っている二つのドアのうちどちらに当たりがあろうかなかろうが関係なく外れのドアを開けることができます。従って彼がドア見せようが見せなかろうが、あなた前にあるドアが当たっている確率は変化しません。

考え方をちょっと変えましょう。司会者は二つのドアをまとめて一つにしただけです。なので、司会者の残したドアは2/3の確率で当たってます。

これ、三つだと分かりにくいけど、例えば10個のドアに拡張して、司会者が八つの外れドアを開けて一つだけ残すというルールにしたら分かるかな? 自分が最初に選んだドアの当たりが1/10だけど、司会者が同じことやって一つだけ残したらそっちの方が当たる確率は高そうだって、直感的に分かると思うけど。

ユーザーID:
1/2 じゃありませんよ〜
あみママ
2005年4月26日 12:46

コインを3枚用意してください。

 ○ ○ ○

ひとつのコインの裏に印をしてください。
 A B C
 ● ○ ○

Aのコインが「当たり」だとします。

誰かに一枚選んでもらいます。

選んだコインが「当たり」である確率は1/3です。

選ばれなかったコインのうち、BかCのいずれかを除きます。

 ○ ○

どちらかが「当たり」ですが、最初に選んだコインが当たりである確率は1/3です。

ですから、変えたほうが有利なのです。

わかりにくいですか?

では、コイン10枚で考えてみましょう。

 ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

一枚選んでください。
そのコインが当たりである確率は1/10です。

8枚減らします。

 ○ ○

どちらかが当たりですが、最初に選んだコインは
9割がた、はずれです。

変えたほうが、当たる確立が高いですね。

ユーザーID:
替えたほうが有利ではなく
いちご
2005年4月26日 15:27

替えたほうが有利ではなく、替えるかどうか悩んだ方が有利の間違いでしょう。新しく選びなおした方が確率が高くなります。

ユーザーID:
あっ、もしかして
いちご
2005年4月26日 15:44

最初にヤギを選ぶ確率は2/3、その場合扉を替えれば当たり。
最初に車を選ぶ確率は1/3、その場合扉を替えればはずれ。
よって替えた方が確率は倍ということですか?

ユーザーID:
>極論さん
文系ですが
2005年4月26日 17:44

極論さんの例の100個のドアですが…

どしょっぱなに選んだドアが、たまたま当たる確率は、たった1/100ですよね。
でも残りの99個のドアは、正解を知っている司会者が1個に絞ってくれるので、99個の中で唯一残ったドアの方が確率が高いと思うのですが…。

私は文系人間なので、あまり自信はありませんが、ドアを変えた方が確率が高いと思います。

ユーザーID:
1/2です
つぶやく埴輪
2005年4月26日 18:02

悩んだらパターンを書き出してみましょう。
はずれの扉をY,Zと仮定します。
私が当たりの扉を選んだ場合、司会者はYとZのいずれかを開ける組み合わせがあります。
私がはずれの扉を選んだ場合、司会者が開ける扉は開いていない方の扉です。
書き出してみると…。

当,Y,Z
私,司,−
私,−,司
−,私,司
−,司,私

見て解る通り、司会者が選んだ後に扉を変えても、当たりと外れの扉を引く組み合わせは同数あります。
つまり、確率は1/2なのです。

ユーザーID:
追記
つぶやく埴輪
2005年4月26日 18:18

数学屋さんの説明ですが、
************************最初に自分が選んだドアをA、残り2つを便宜的にB、C
とします。
この時点では車がA、B、Cどれに入っているかは1/3ずつ
です。
司会者は車がBに入っている場合はC、Cに入っている
場合はBを開けます。
そして最初に当たりを引いていた場合は、仕方ないから
司会者はB、Cいずれかを無作為で開けます。
つまり、
当たりがAで、司会者がBを開ける : 1/6
当たりがAで、司会者がCを開ける : 1/6
当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/3
当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/3
となります。
************************
以上引用

当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/6
当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/6
ですね。

ユーザーID:
モンティ・ホール・ジレンマですね
はる
2005年4月26日 18:26

モンティ・ホール・ジレンマ
と言われる有名な問題です。

結論としては
「変えたほうが確率的に良い」
です。

説明は上のほうの方が丁寧に説明してくれてるので割愛します。

50%50%と感じてしまいますよね。
直感的には。

ユーザーID:
>フィフティフィフティさん
もも
2005年4月26日 18:30

変わらないでいいという答えにたどり着いたうえで転職とまでおっしゃってるならば、それは結構恥ずかしいですよ・・・

ユーザーID:
 
現在位置は
です