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発言小町

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確率ゲーム?

ネ子
2005年4月19日 2:10
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レス数:147本

このトピックはレスの投稿受け付けを終了しました。
タイトル 投稿者 更新時間
おお
たえたえ
2005年4月26日 19:11

ぱぼさんの文うまいですね。
なるほどなあ。

ユーザーID:
実験してみました
一家に一台
2005年4月26日 19:29

簡単なスクリプトを作って10万回ほどループさせてみました。

1.「常に変更しない」
2.「常に変更する」
をそれぞれ行ったところ、

1では33441回で当たり
2では66882回で当たり

となりました。

ユーザーID:
連投すみません。
たえたえ
2005年4月26日 19:31

うっかり流してしまいました。私低脳でしたね。

当たる確率は0か1/3か1/3なので2/3だから選びなおした方が確率としては高い、という話なのね。

まあ0の可能性もあるから実情にはそぐわないのでは、という話は脇に置いておいて。

ユーザーID:
おやおや。
うるるん
2005年4月26日 19:38

皆さん、いい感じに騙されてますね。
ドアが100個に増えても200個に増えても一緒ですよ。

司会者が残りのドアを開けた後の状態は、最初に車のドアを選んでいようが、ヤギのドアを選んでいようが、「車のドア1つとヤギのドア1つ」になっていることに変わりありません(勿論、どっちが車かは分かりません)。

この状態(ドアA、Bとする)で、「選びなおさない」ということは「ドアAを選ぶ」、「選びなおさない」は「ドアBを選ぶ」ということと同じです。
なので、選びなおそうがなおすまいがどちらも1/2、最初にどのドアを選んでいても一緒です。

ユーザーID:
なるほど!
パンタライモン
2005年4月26日 20:09

納得しました!

私も最初は五分五分だと思ったのですが、
最初の選択でヤギと車のそれぞれを選ぶ確率が、
そのまま裏返るということですね。

つまり最初にハズレを引く確率が高いほど、
2回目に移動した方が有利になると。

興味深い問題でした。

ユーザーID:
あはは
おなじだよ
2005年4月26日 20:27

ABCのうち、最初にAを選んだとして、A,B,Cそれぞれ車のドアである確率は1/3。
司会者がBのドアを開けてヤギだったら、Cのドアは1/2の確率で車がある。でも、その時点でAのドアも1/2の確率で車があります。

ドアが100でも同じ。その都度選べる全てのドアは、最初1/100の確率で、次に1/99、1/98……1/2と、等しい確率で車があります。

ドアが一つ開けられるごとに、自分が選んでいない方のドアが当たりである確率は上がりますが、自分の選んだドアが当たる確率も、選んでいないドアと同じだけ上がります。自分の選んだドアだけ最初の確率だと錯覚してはいけません。

ユーザーID:
極端さんとばぼさんの例でも
ネ子(トピ主)
2005年4月26日 21:04

トピ主です。皆さん、レスありがとうございます!

いまだに、替えた方が有利になる確率の仕組みがよくわからないままです。

ドアが100あって、司会者が98開けたことにしたらどうか、という例ですが、司会者はヤギと知ってて開けるので、何枚ドアを開けようと、結局残り2つのドアの車かヤギかの可能性は五分五分という気がします。

ドアが3つの題で、車が隠れている確率がどのドアも1/3、司会者がひとつ開けた時点で、最初に選んだドアの確率が1/3のままなら、残りのドアの確率も1/3のままなので、五分五分なんじゃないかなあ…

私にはどうも、替えた方が有利になる、というのはなにかのひっかけのような気がするのですが…

他に説明の方法がありましたら、ぜひ宜しくお願いします。

ユーザーID:
数学者もひっかかった
おみそ
2005年4月26日 21:44

問題文を言い換えましょう。

ドア1枚とドア2枚、どちらかのグループに当たりがあります。
ドア2枚のグループは、正解を知ってる者がハズレをひとつ潰してくれますから、2枚のほうに当たりが含まれていさえすれば、確実に当たりを得る事が出来ます。

さて、どっちのグループを取るほうが有利ですか。

この問題は、司会者が正解を知っているかどうかで答えが変わります。
司会者も正解の場所を知らなかった場合、開けたドアがハズレなら、そのドアが当たりかもしれなかった確率 1/3 が、残りのドアに均等に分配されます。これなら、残りのドアはそれぞれ 1/2 という事になりますね。

しかし、司会者はハズレと知った上でハズレを開けるので、分配されるべき確率はゼロです。変動は起きません。依然、2枚だったグループのほうが、2/3 の確率で当たりを持っている事になります。

この問題はモンティホールのジレンマと呼ばれ、当初は本職の数学者達でも、1/2と錯覚する方が多かったらしいです。
解説しているサイトもたくさんあるので、google等で”モンティホール”を検索してみてください。

ユーザーID:
どっちも同じ
神戸っ子
2005年4月27日 2:09

どう考えても、司会者がヒントを出しているわけでないので、ドアを変えても変えなくても車にあたる確率は同じです。

想像してみてください。100枚のドアがあって、司会者が98枚のドアを開けました。全てヤギのドアでした。残りは、自分が前に立っているドアともう一枚。

ここに遅れて会場に到着した人がいます。何をしているか聞かれて手短に「2枚のドアのどちらかの後ろに車があって、どっちを選ぶか迷っている」と答えました。

このとき、もし遅れてきた人が参加できたとしたら、どうして自分が立っていないドアのほうが車に当たる確率が高いのでしょう?

本のタイトルが挙げられていましたが、人は確率にだまされやすいという話ではありませんか?

ユーザーID:
変えたほうがよいのですか?
数学は苦手
2005年4月27日 11:24

2つのドアのうち、どちらかが車で
どちらかがヤギとわかった時点で確率は五分五分、
どちらのドアの前に立っていようと
当初の確率3分の1が2分の1に
高まっただけではないのですか?
選ぶドアを変えても変えなくても
車が当たる確率は2分の1なのでは?

「変えたほうが当たる確率が高い」理由が
わかりません。
残されたドアだけ車が当たる確率が
高まったのでしょうか。

ユーザーID:
最終的に五分五分が正解
通りすがり
2005年4月27日 13:12

なぜなら、司会者が1つヤギ(必ず選ばれていないのが1つある)のドアを開けた時点で、「1つのドアの向こうにはヤギ、もう1つには車……の条件でどちらかを選ぶ」に問題(条件)が変わっているからです。

要するに問題がリセットされているので、こうなった時点で「このドアは3つ閉じていた時に選んだドアだから…」と考えるのは意味を成さないです。だから最初にドアが3つあろうが、100あろうが、ハズレのドアを1つ残して全部開けてしまえば、上記の新たな問題に帰着するだけなので同じことです。

「確率は?」と言う時、どういう条件(過去からの影響も踏まえて)かを明示して述べる必要がありますが、この場合、五分五分条件に問題がリセットされ、「さて、2つのどちらか」という単純な条件に変化しているので、どっちでもよい(選び直しても良いし、そのままでも良い)ということになるかと思います。

ユーザーID:
補足
通りすがり
2005年4月27日 13:22

先の私の意見は、騙しちゃダメですよ さんが既に明快に述べられてますね。すいません。

誤解されている方々は、おそらく、司会者が開けるヤギのドアが決められている(例えばNo.1のヤギ)と、勘違いされているのではないでしょうか。しかしそれでは、選択者がすばりNo.1のヤギのドアを選んだらゲームが進まなくなってしまいます。「選択者が選んでいない方のヤギのドア」と解釈するのが正しいです。

ユーザーID:
わかりました(多分)
数学は苦手
2005年4月27日 13:28

さきほど、「なぜ残されたドアだけの確率が
高まるのかがわらかない」というような投稿を
したのですが、更新された返信を読んで
わかりました。

自分の目の前にあるドアは
3つある中から選んだ1つだが
残されたドアは2つある中の1つだから
残されたドアのほうが確率が高い
ということなんですね?

ユーザーID:
確率計算の前提を
えと
2005年4月27日 15:16

はっきりさせないと確率が2/3か1/2か答えは出ません。

司会者が「はずれ」を明らかにした後も「不明」「不明」「はずれ」の扉から選択するのかどうか?

一般的な感覚からすると司会者が「はずれ」を提示した段階で「一回目の選択」は行われたので、残り2個のドアからの選択となり1/2が答えとなるでしょう。

一方で司会者は「観察者」の立場で「はずれ」の提示は「一回目の選択」にあたらないとするなら「不明」「不明」「はずれ」のドアの中から選択をやりなおすことになるので、不明のうちのどちらから選ぶことになるので2/3が正解となります。

選択の前提をあいまいにしたままで「引っ掛け問題」を出せば、答えが2/3か1/2に分かれるのは当然であろうと思われます。
逆にいうと前提のはっきりしない状態での出題の場合、両方とも正解となります。

ユーザーID:
やっと分かりました。
神戸っこ
2005年4月27日 15:35

ドアを変えても変えなくても確率は同じだと思ったのですが、やっと分かりました。

「もう一枚のドアに替える方がいいか」でなく、いちごさんの発言のように「もう一度考えたほうがいいか」ということなのですね。

三枚のドアがあって、初めから当たっている確率は、1/3。司会者がドアを開けてた時点でドアを選ぶのであれば、2枚のドアのどちらかなので1/2なのですね。

だからといって、自分が選ばなかったもう一枚のドアに乗り換えたほうが確率が高いということも無いと。

ユーザーID:
フィフティフィフティさんの会社はすごい
ヒデ
2005年4月27日 15:39

この問題はかなり多数の人が「替えても同じ」だと錯誤することで有名な問題です。
9割近くの人がきちんと「替えたほうが有利」だということを認識できるような職場は信じられないくらいレベルが高いですよ。
そのような職場の仲間に入れてもらえて幸運でしたね。

納得しない人は「そんなわけはない」と信じ込んでいるためにどんなにきちんとした説明も頭から受け付けない傾向がありますが、もしきんち理解したければ「モンティホールジレンマ」で検索してあちこち読んでみるといいと思います。

このトピックで行われているのと同じような議論があちこちで起こっていることがわかると思います。

ユーザーID:
最終的には2つに1つ
より道
2005年4月27日 15:40

トピ主さんが質問されている状況では、最終的な当りの確率は、どちらのドアも等しく1/2です。

ドアが3枚(A,B,C)だとします。

[状況1:最初にドアを選ぶ段階]
A: 当る確率=1/3
B: 当る確率=1/3
C: 当る確率=1/3

次に、司会者がハズレのドア(仮にCとする)を開けた時点で、残りのドアが当たっている確率は、どちらも1/2です。

[状況2:Cがハズレだと確定した段階]
A: 当る確率=1/2
B: 当る確率=1/2
C: 当る確率=0

いずれかのドアが、ハズレだと確定した時点で、残りのドア全てについて、当たりである確率が等しく上がります。ドアの枚数に関係なく、ハズレのドアが確定していくたびに、残りの全てのドアについて、それぞれが当りである確率が等しく上がります。

上の「状況1」から「状況2」へ変化する際に、解答者が選んだドアが当りである確率だけが、「状況1」のまま変化せず、残りのドアが当りである確率だけが上がるように錯覚させているところがトリックの肝です。

最初に”騙しちゃダメですよ”さんが指摘されているとおりです。

ユーザーID:
フィフティフィフティさん
おふぃ
2005年4月27日 15:51

正解だって自信たっぷりのご様子なので
省略しないで数学的な解説を是非お願い致します!
数学やってましたんで、
数式を並べて頂いてもかまいませんよ。

ちなみに、私の解答は「移動した方が確率は高い」
です。

【移動する場合】
・初めがヤギである確率:2/3 ←アタリ
(初めがヤギなら移動すればアタリ)

・初めが車である確率:1/3 ←ハズレ
(初めが車なら移動すればハズレ)

【移動しない場合】
・初めがヤギである確率:2/3 ←ハズレ
(初めがヤギでそのままなのでハズレ)

・初めが車である確率:1/3 ←アタリ
(初めが車でそのままなのでアタリ)

以上より、移動する場合のアタリの確率は2/3
移動しない場合は1/3ってことなので
移動した方が当たる確率は2倍になります。

ユーザーID:
面白い問題ですね
naoko
2005年4月27日 17:01

最初、変えても変えなくても一緒って思いましたが、
でもこのトピを読んでいて、考えが変わりました。


(1)変えなくても一緒の説
最初は選択肢が3→2に減るだけなので、
1/2になるのが当然と思いました。

(2)変えたほうが有利の説
(Aを最初に選択、Cを司会者が開けたとして、)
Aの当たりの確率が1/3で、B+Cの確率が2/3で、
Cがなくなったのだから、Bの確率が2/3というのも、
わかります。


両方とももっともらしくて、すごく悩みました。
私は「(2)変えたほうが有利」説の間違いを証明することで
「(1)変えなくても一緒」説を証明しようと思います。


例えば、エーさんはAを選びました。
それを見ていたギャラリーのビーさんは
ゲームの参加者ではないけど、心の中でBだ!と決めました。
その後、司会者がCを、はずれです!と言った後、
ドアを変えてもいいですよ、と言われた場合、
エーさんにとってはBの確率が2/3だけど、
ビーさんにとってはAの確率が2/3になってしまいます。

つまり、Aの確率もBの確率も2/3=五分五分=1/2
ってことになりませんか?


と、一晩考えたのですが、どうでしょうか?

ユーザーID:
まちがえた!
より道
2005年4月27日 17:11

ごめんなさい。先ほどの投稿「最終的には2つに1つ」では、完全に誤解していました。司会者がどのドアが当たりかを知っていて、必ずハズレのドアしか開かないというところが肝なんですね。

司会者が当りのドアを知らずに、次々とドアを開けていって、運良く2枚のドアが残った後で、「選択を変更してもいいですよ」と言われたのなら、どちらを選んでも当たりの確率は同じですが、司会者が当たりのドアを知っていて、ハズレのドアのみを開けていった場合には、選択を変更するほうが有利ですね。

お詫びに、自分が納得した考えかたは以下の通りです。

司会者がハズレのドアを開けていって、残った1つを選ぶ(最初の選択を変更する)ということは、実は、最初に自分が選択した以外のドア全てを選択するということと等しい効果をもたらすわけですね。

いい頭の体操になりました。トピ主さん、みなさん、ありがとうございました。

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