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確率ゲーム?

ネ子
2005年4月19日 2:10
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タイトル 投稿者 更新時間
意見分かれてますね
文系
2005年4月27日 17:13

「1/2」や「50%」で変わらなくても同じだと言ってる方は

「モンティホール」

で検索かけてくださいね。

ユーザーID:
>おなじだよさん
みい
2005年4月27日 17:28

司会者が正解を知ってる
というのがキモなんですよ。

故に最初に選んだ扉の当たりの確率は変わらないんです。
わかるかなぁ・・・

ユーザーID:
100枚のドアの例は
ぱぼ
2005年4月27日 17:46

司会者がヤギだと知っててドアを開けるということは、
残したドアが車だと知っているから開けないということです。

ユーザーID:
ネ子さんへ
ええと
2005年4月27日 18:05

100個の扉のたとえで
最初にあなたがヤギを選んでいる確率は
99%であることをお忘れなく。

そのあなたの選んだ扉と、
車のありかを知っている司会者が残した最後の扉が
車である確率をくらべれば
どちらの扉に車のある確率が高いかお分かりに名路と思います。

ユーザーID:
【つぶやく埴輪】さんにツッコミ
問題より説明が難しい
2005年4月27日 18:15

組み合わせの問題で、
「結果の組み合わせの“種類”の総数」
にのみ注目することは危険ですよ。

例えば、「宇宙人が居る確率は?」という質問に対して、
結果を書き出して見ると・・・

1.宇宙人は居る
2.宇宙人は居ない

の二通りなので、『宇宙人が居る確率は二分の一』。
と言う解答をなさるのでしょうか?

上記の確率はわかりにくいので、条件を替えてみます。

「あなたが今日中に1億円を手に入れる確率は?」
結果を書き出して見ると・・・

1.今日中に1億円手に入れる。
2.今日中に1億円手に入れない。

の二通りなので、『今日中に1億円を手に入れる確率は二分の一』。
と言う解答をなさるのでしょうか? ・・・そんなまさか。。。

「全ての事象が“同様に確からしい”時」にのみ、
ある事象の起こる確率=ある事象の種類の総数÷全ての事象の種類の総数
となります。しかし、今回はそうではないでしょう。

ユーザーID:
【つぶやく埴輪】さんにツッコミ:続き
問題より説明が難しい
2005年4月27日 18:16

今回の問題に対し、【数学屋】さんの意見が非常にまとまっていて良いと思います。

当たりがAで、司会者がBを開ける : 1/6
当たりがAで、司会者がCを開ける : 1/6
当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/3
当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/3

の下りですね。まさにそのとおりでしょう。
上記の4つはまさに「同様に確からしくない」ということですね。

【つぶやく埴輪】さんは、
当たりがAで、司会者がBを開ける : 1/6
当たりがAで、司会者がCを開ける : 1/6
当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/6
当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/6
と仰りたいようですが、残りの1/3はどこに行ってしまったのでしょうか?

当たりがBで、司会者がAを開ける : 1/6
当たりがCで、司会者がAを開ける : 1/6
が無くなってしまったから、という反論をなさいますか?

むしろ、その2つを司会者が選べないからこそ、
当たりがBで、司会者がCを開ける : 1/3
当たりがCで、司会者がBを開ける : 1/3
になったのですよ。。。

ユーザーID:
そんな人もいるのか。
極端
2005年4月27日 18:35

是非100万円くらい賭けて勝負したいですね(笑)

100枚のカード中当たりは1枚です。
当たりを引いた人が勝ち
お互い外れなら引き分けです。
あなたは100枚のカードから1枚選んでください。
私は残った中から司会者が98枚のはずれを引いた後
最後に残った1枚を選びますので。
1回だけだと万が一ってことがあるので
10回くらいやりましょうよ。
私はかなりの確率で私のほうが儲かると思うんですが
あなたの見立てでは勝率は五分五分なんですよね?

ユーザーID:
難しく考えすぎでは?
昔は数学者志望だった
2005年4月27日 18:49

ドライに式で考えるとわかりやすいです。
扉をA.B,Cとして、私がAを選ぶ場合を考えます。
すると

A B C 変える 変えない
○ × × = はずれ あたり
× ○ × = あたり はずれ
× × ○ = あたり はずれ (○にあたりがある

となります。
それぞれにあたりがある確立は1/3ずつなので、変えない場合は1/3、変える場合は2/3の確立であたる事になります。

-----------------------------------------------

つぶやく埴輪さんの理論では、私が最初の選択ではずしている場合、司会者に選択の余地はない(はずれは残り一つだから)ので扉を開ける際に確立の変化はないということを見落としています。
当,Y,Z
私,司,−
私,−,司
−,私,司
−,司,私

私があたりを選んで、司会者がYかZを選ぶのはそれぞれ1/3×1/2=1/6ですが、
私が最初の選択ではずしている場合、司会者に選択の余地はないので扉を開ける際に確立の変化はありません。そこでX、Yともに1/3ずつです。
そのため、変えないで当たる確立は1/6+1/6=1/3
変えてあたる確率は1/3+1/3=2/3となり、やはり変えたほうが当たりやすくなります

ユーザーID:
どしょっぱなで当てる自信ありますか?
文系ですが
2005年4月27日 19:11

トピ主さんは、100個のドアの中から、どしょっぱなで車を当てる自信がありますか?
ドアを変えないという事は、最初に選んだものが当たりだと信じる事です。

100個の中から車を当てる確率は、1%しかありません。
残りの99個の中に車がある方が、よほど確率が高いのはわかりますよね?
その99個を、司会者さんが1つにしてくれたのです。

あなたがよほどの幸運の持ち主でない限り、
あなたが最初に選んだ1個のドアより、残り99個の中に車があった可能性の方が高いですよね?

貴方が一発で車を当てる確率はたったの1%。
99%の確率で、隣のドアに車があります。

100個だと大変なので、10個の紙きれで、試してみて下さいね?

ユーザーID:
もっと分かりやすく
パンタライモン
2005年4月27日 19:34

まだ理解できない方のために、
僭越ながらもっと分かり易い例を。

例えばあなたが一枚の宝くじを買ったとします。
そこにある人が現れ、
一枚の宝くじをあなたに見せて言います。

『あなたが買ったその宝くじと、
 私が持っている宝くじのどちらか一枚は、
 確実に一等が当たっています。
 あなたはこの2枚から好きなほうを選べますよ』と。

当然あなたが買った宝くじが当たっている確率は、
ゼロではないものの極めて低いです。

するとその人が提示した宝くじが当たっている確率は、
100%からあなたのくじが当たる確率を引いた確率で、
当たっているのです。
つまり極めて100%に近い確率で当たりなのです。

この問題に置き換えると、
あなたが最初に外れを引いていれば、
扉を移動すれば必ず当りを選ぶことになります。

つまり最初の選択で外れを引く確率が重要なのです。
100個のドアで言えば、最初に外れを選ぶ確率は99%。
それに対し司会者が残したもう一枚の扉は、
自動的に当りなのです。

この問題の場合は3択ですが、
最初に外れを選ぶ確率は2/3と高いので、
移動した方が当りを引く確率が高くなります。

ユーザーID:
なかなか硬い人もいますね
建築
2005年4月27日 19:39

絶対に選択を変えない人が当たる確率
 =選んだ扉がそもそも当たりの確率
  =1/3

常に選択を変える人が当たる確率
 =1 - 絶対に選択を変えない人が当たる確率
  =2/3

2択問題で「絶対に選択を変えない人が当たる確率」
がズバリ1/3な時点で答えは明白かと。

ちなみに「変える/変えない」をサイコロで決める
人が当たる確率は1/2です。
1/3×1/2 + 2/3×1/2 = 1/2
これを錯覚して1/2だから移動してもしなくても
同じと考えてしまうのです。

ユーザーID:
ヤギの可能性も増える!
naoko
2005年4月27日 19:48

2度目です。
先ほど、1/2の方が正しいと言ったnaokoです。

もっとわかりやすく、考えました。

Aを選択して、Cを司会者が開けたとして、
確かにAが車の確率は1/3、Bの確率は2/3になって、
当たりの可能性が増えたように見えます。

次に、ドアがヤギの可能性を考えます。
Aは2/3、BはCの確率も引き継いで4/3になります。

つまり、Aは1/3車で2/3ヤギ、Bは2/3車で4/3ヤギ。
通分すると、どちらも車:ヤギは1:2です。

これでどうでしょう?

ユーザーID:
実際にやってみよう
UNO
2005年4月27日 20:17

釈然としない方は、司会者側の視点で実際に試してみると納得できるでしょう。客側の視点だけで考えると、どうしても錯覚しやすいようです。

実験に使うのは何でもいいんですが、トランプ等を使うのが簡単でしょうか。とりあえずジョーカーが当たりということにします。

まず、53枚のカードから無作為に1枚選んで除けておきます。これは客の分です。
次に残り52枚を調べ、ジョーカー以外のカードを捨てます。ジョーカーが残っていない=最初に引いた場合は、適当に1枚残す事にします。これが司会者の分です。

どうでしょう。この手順でやるかぎり、残った2枚のカードを交換したほうが、どう考えても客の側にジョーカーが行きやすくありませんか。

ユーザーID:
司会者の立場から見ると
より道
2005年4月27日 21:42

再度、おじゃまします。こんな説明を考えてみました。

トピ主さんが、ゲームの解答者ではなく、司会者だった場合を想像してみてください。

解答者がハズレのドアを選ぶ確率は2/3ですね。この場合、司会者(トピ主さん)が開けずに残したドアが必ず当たりになります。いっぽう、解答者が当たりのドアを選ぶ確率は1/3ですね。この場合、司会者(トピ主さん)が開けずに残したドアは必ずハズレです。

言い換えると、解答者が選ばなかった2枚のドアのいずれかが当たりであれば、必ず最後に残るドア(解答者が選ばず、司会者も開けなかったドア)が当たりになります。

したがって、解答者が選ばなかった2枚のいずれかが当たりである確率(=解答者がハズレのドアを選択する確率)が、選択を変更した際に当たりのドアになる確率になります。

ユーザーID:
極端さんとぱぼの例について
ぱぼ
2005年4月28日 0:00

100個のドアの例についてですが、
ドアを司会者がヤギと知ってて開けるということは、
残したドアは車であると知っているから開けなかったということです。
だから司会者が残したドアに車が入っています。

ただ、最初にあなたが車の入っているドアを選んだ場合だけは除いてですが、
そのような事象が起こる確率は1/100ですから、
残りの確立99/100は司会者が開けなかったもう1つのドアに車が入っています。

ユーザーID:
実際にやってみればわかる
tan
2005年4月28日 0:02

トピ主さん、頭でわからないときは実際にやってるとわかりますよ。

例えば、ジョーカーを1枚入れたトランプを10枚用意します。1枚選び、伏せておきます。誰かに(自分でもいいけど)残り9枚からハズレ8枚を除いてもらいます。残ったカードとあなたのカード、どっちが当たり?

5回もやれば、傾向がはっきり出ます。感覚的にもわかってきます。特に、ハズレ8枚除く作業をするとはっきりすると思います。

ユーザーID:
100で足りないなら
家計簿
2005年4月28日 0:34

ドアが一億あるとしましょう。その中のひとつだけに車があとのドアはすべてヤギです。まずあなたがひとつのドアを選びます(この時点で車のドアを選ぶのは至難の業ですよね)。それから司会者が残りの9999万9998個のドアを開けます。もちろん全部ヤギです。さてあなたが最初に選んだドアと司会者が残してくれたドアとどちらに車が隠されている確立が高いとお考えでしょうか。私は離婚されてもドアを替えます。

ユーザーID:
トピ主様へ
いちご
2005年4月28日 2:43

トランプ(もしくはまったく同じ紙)を10枚用意し1枚だけどなたかに当たりのマークをつけてもらい裏にし、マークをつけた方に司会者と同様の事をしてもらってみてください。最後に替えれば9/10の確率で当たります。(10回に9回はあたります)

100%納得できると思います。

ユーザーID:
100枚の場合
ちびじゃむ
2005年4月28日 3:37

トピ主さんのなかでまだひっかかっているみたいなので・・。

100枚のドアのうち1枚を選んだら、そのドアに車がある確率は1/100ですね。
ですから、残りの99枚のドアのどれかに車がある確率は99/100です。

ここで車のドアを知っている司会者が、その99枚のドアのうち、ヤギのドアを片っ端から開けるという行為は、99枚のうちこの残ったドアが車のドアですよ、と教えてくれている行為に他なりません。
(確かにあなたが強運の持ち主ですでに1/100の確率で車をえらんでしまっていたなら残りの1枚が1/100の確率でヤギかもしれませんが)

ここで最初に選んだドアか、司会者が残りの99枚からしぼりこんだ1枚のドアか、どちらを選ぶかという段になって、上でも勘違いされている方が何名かおられましたが、2択だから、なんでも確率が1/2になるというものではありません。

条件の異なる2者からの選択ですので、
この場合、上記のことから最初に選んだドアに車がある確率は1%。
司会者が残した1枚のドアに車がある確率が99%です。

ユーザーID:
やって見れば分かるよ
まー
2005年4月28日 9:30

これだけ,詳しく説明がついているのに,移動しない場合確率1/3,移動する場合確率2/3が分からない人がいるんですね。中には,上司と共に職をかけて間違ったことをいっている人がいるし:-)。
司会者は,残った2つの扉を見て,必ずはずれ(やぎ)の扉を開けるという動作がポイントですね。
手元のトランプで実験して見ればすぐ分かりますよ。

ユーザーID:
 
現在位置は
です