確率ゲーム?

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趣味・教育・教養

ネ子

先日飲み会で出た話題なのですがそれ以来どうも気になっています。

『あなたは賞品として車をもらえるゲームに参加しています。
目の前に3つドアがあり、そのうちの一つは、後ろに車、あとの2つは後ろにヤギが隠されています。
車が隠れていると思うドアの前に立ってください。
そこで、ゲームの司会者(どのドアが車でどれがヤギか、知っている)が、ヤギのドアをひとつ開けて、全員に見せます。あなたが選んだドアは開けません。
この後、あなたはドアを替えることができます。替えなくてもいいのです。最終的に選んだドアの後ろに車があれば、その車をもらえます。』

という筋書きで、問題は、
『さて、ここでドアを替えた方がいいのか?』
ということなのですが、確かそのとき話題になっていた答えは、
『替えた方が車が当る確率は高い』
だったのです。

ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの2つは五分五分になるんじゃないかという気がするのですが…
なぜ替えた方が確率は高いといえるのか、また、これは数学のひっかけで、結局答えは五分五分なのか、どなたか教えてください。

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  • トピ主です。わかったと思います…

    モンティ・ホール・ジレンマのサイトをいくつか見ました。

    やっと納得できました!…というか、まだ何か変な感じがするのですが、実際のデータが1:2と出れば、それが正しいわけですよね。

    司会者が答えを知っている、というのがミソ、というのが最初はしっくりきませんでした。
    司会者にとってはこれは選択ではなくて、情報を加えていることになる、と。

    私にとっては、あるサイトにあった、あなたは3つのドアを2グループにわけ、司会者はふたつのドアを重ねて1つにした、という図解説明が一番わかりやすかったです。
    一度わかると、皆さんの説明もなるほど…と思えます。

    皆さん、いろいろ説明、情報、感想、ありがとうございました!!

    頭の回転の遅い私にいらいらされた方、ごめんなさい。

    ユーザーID:

  • 実は読解力の問題?

    問題の解釈が間違ってる人が居ますね。
    これは言葉の引っ掛け問題ではありませんよ。

    最終的に二枚になったドアをもう一度何の知識も無い状態で
    選びなおすなら、確かに1/2の確率なのですが、
    次の文をよく読みなおしましょう。

    >そこで、ゲームの司会者(どのドアが車でどれがヤギか、
    >知っている)が、ヤギのドアをひとつ開けて、全員に見
    >せます。あなたが選んだドアは開けません。

    >この後、あなたはドアを替えることができます。替えな
    >くてもいいのです。最終的に選んだドアの後ろに車があ
    >れば、その車をもらえます。

    ポイントは、

    「あなたの選んだドアは開けない」=他の二つから一つ見せる

    「全員に見せる」=当然参加者も見てる

    「変えなくても良い」=「参加者が最初に自分で選んだドア・司会者が残したドアの区別は付いている」

    つまり、残っているドアの二つがどちらがどのように残されているかは分かってるところで、変えてもいいよと言われているのです。

    ところでそんな有名な問題だったのですか...
    初めて聞いたのですが、ちょっと頭を
    ひねったけどすぐに答えが出せてうれしいです。

    ユーザーID:

  • トピ主です。追伸というか感想です

    本題から外れてしまいますが、ちょっともやもやしてしまいましたので、ルール違反かもしれませんが失礼します。

    このトピにレスを下さったこと、懇切丁寧に説明して下さったこと、本当に感謝しています。

    一方で、私の理解の遅さを単なる頑固だとしてか、少々厳しい言い方をされている方もいるので、その方々には、どうしてもわかりにくい人もいること、自分より理解力の劣る人に喧嘩を売っても仕方のないことをちょっとお考えいただければと思います。

    「じゃあ勝負しようか」とか、「当てる自信あるの?」と言われても、わからないから質問しているのであって、私の方が正しい、と言ってるわけではないのです。

    今後はどうぞお手柔らかにお願いいたします。

    ユーザーID:

  • やっとわかった〜

    昔は数学者志望だった
    さんの書き込みでやっとわかりました。
    特に上の図がわかりやすいです。

    しかし、こういう問題を見ると、
    色々な場面で自分が気づかずに騙されていることも多いのかなあ、となんだか落ち込みますね。

    ユーザーID:

  • トピ主さんが仰ってるのは・・・

    正解は出尽くしているようですので良いとして、
    トピ主さんが「1/2だ」と思っている理由は
    以下のような意味なのではないのでしょうか?
    というか、私が最初こう考えたので。

    扉が100枚あります。
    選ぶ人は、別に当てる気はありません。
    ドアの前に立たなくてもいいです。
    まあ、とりあえず立ってみて。
    司会者が勝手にハズレのドアをあけてくれて、
    残りふたつにしてくれます。

    さて、ふたつになりました。
    どちらかがアタリです。
    ここで、選ぶ人は、初めて選択を開始します。
    選ぶ人はどちらかのドアの前に立ってるけど、
    もはやふたつにひとつなんだから
    こっちとあっちに入ってる可能性は五分五分だよな。
    それなら動いても動かなくてもいいや。

    こんな感じです。
    「100個のドアから選択して当たる可能性」と
    「2個のドアから選択して当たる可能性」を比較すれば
    どちらが得なのかは明白です。
    でも、放っておいてもドア2個になることを知っていて
    2個になってから初めて選択を開始する、という感覚だと、
    1/2という考えが起こってもおかしくないと思います。

    (問題の意図と本当の正解はもう理解してますよ!)

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  • あ、わかりました

    皆さんの説明を読んで、自分の間違いに気がつきました。なるほどねえ。

    最初に自分があたりの扉の前に立つ確率は1/3、はずれの扉の前に立つ確率は2/3。はずれの扉だった場合に、残りの扉はあたりとはずれの一つずつ。ただし、そのうちはずれの扉を司会者が消してくれるのだから、残るのはあたりの扉だけ。

    つまり。
    最初にあたりだった場合に選び直すと確実にはずれ。最初にはずれだった場合に選び直すと確実にあたり。
    最初にはずれる確率の方が大きいのだから、選び直した方がよい、ということですよね。

    ユーザーID:

  • 2度目の【naoko】さんにレス

    面白い考え方ですね。
    その考え方でも解けるっぽいですよ。

    まず、最初の状態です。
    A 車:1/3 ヤ:2/3
    B 車:1/3 ヤ:2/3
    C 車:1/3 ヤ:2/3

    ここで、参加者がAを選び、司会者がCを選んだとすると、、、

    A 車:1/3
    B 車:2/3
    C 車:0 ↑1/3がBへ

    となるのはわかるのですよね?
    では、ヤギの分も加えるとどうでしょうか・・・?

    A 車:1/3 ヤギ:2/3
    B 車:2/3 ヤギ:4/3
    C 車:0  ヤギ:0 ↑2/3がBへ・・・?

    ・・・あれ?
    「Cはヤギ」だったはずですよね??
    これでは、Cは車でもヤギでも無くなってしまいます。。。
    ということで、

    A 車:1/3 ヤギ:2/3
    B 車:2/3 ヤギ:1/3↓1/3がCへ!
    C 車:0  ヤギ:3/3=100%ヤギ!

    となるのが正解です。

    ね、説明がついたでしょ?

    ユーザーID:

  • 1度目の【naoko】さんにもレス

    「変えた方が有利」というのは、あくまでも、
    「司会者が“参加者が選んだドアを選べない”」という条件があるからこそ、
    「参加者は“ドアを変えた方が有利”」と言うことですよ。
    「ギャラリーなどの誰もが常に“ドアを変えた方が有利”」ということは言ってません。

    この問題は、先ほども書いたとおり、
    「司会者が“参加者が選んだドアを選べない”」
    ということが非常に重要になっています。

    その意味をもう一度しっかりと考え直せたとき、
    答えがわかると思いますよ。
    【naoko】さんの考え方はとても興味深かったので、、、
    正答に自力でたどり着ける事を期待しています。

    ユーザーID:

  • 確かにうちの会社はすごいとわかった

    確率で習った「場合の数(だっけ)」みたいなことを広告の裏に描いてちゃんとやったら、変える方が有利になりました。

    うちのフロアのひとは、ほとんどのひとは直感的にわかったそうです(私と上司を除く)。
    うちの上司、大丈夫か(私も)。

    ユーザーID:

  • こう考えては?

    はずれを引いたときは帰れば必ずあたる訳ですよね?
    最後に変えない場合、はじめにあたりを引かないといけないわけですよね。その場合確率1/3です。
    変える場合は、はじめにはずれを引けばいい。その場合は確率2/3です。

    ユーザーID:

  • 答案

    3つのドアをA,B,Cとする。
    1.最初にドア(A)に立った時
    車の確率1/3、やぎの確率2/3
    2.司会者がやぎのドア(B)を開ける。
    この時、立っているドアにあるのは相変わらず
    車の確率1/3、やぎの確率2/3
    3.という事は、残りのドア(C)にあるのは
    車の確率2/3、やぎの確率1/3

    従って、ドアを変えた方が車が当たる確立は高い。
    尚、ドアA,B,Cを入れ替えても結果は同じ。

    陥りやすい間違い:2の時点で残りのドアは2つだから車が当たる確立はどっちのドアを選んでも1/2と考えてしまう。しかしそれは、初めに司会者がやぎのドアをひとつ開け、残りの2つのドアを選ぶ場合の事。

    トピ主さん、これで理解できましたでしょうか?

    ユーザーID:

  • 最初の選択の確率が響いてるだけなんだけどね

    あくまで【確率論なので】50:50ではないんですね。
    これって私が確率論が嫌いになった原点に近いトコロだと思います。直感ではなかなか理解できないですから、試行を繰り返して失敗して失敗して泥水を舐めないと難しいでしょう。
    整数論でも数の持つ幅・大きさというところで躓いた私の数学観なので、わかる人にはなかなか理解してもらえないんですが。

    要は、最初の選択があっているかどうかの確率が影響してくるわけで、司会者がハズレを1つ除去した後の残り2つだけを見るから失敗しちゃうんです(50:50と思い込む)。

    50:50になるようにするには、一番最初に司会者がハズレを1つ開けたあとで初めて残りの2つのうちの1つを選ばなきゃいけません。
    司会者がハズレを開ける前に選択してるんだから、そこでの選択の確率を考慮しなくちゃ・・・ということで。

    やってみてもわからない人にはわからないと思います。試行錯誤で試すには、相当な数の標本がないと「たまたまだよ」と思ってしまうでしょうしね。

    ユーザーID:

  • 夫と息子に質問してみました(横です)

     最初は1/2か? とだまされた、数学苦手子と申します。

    夫は常日頃「俺は数学得意だ! 共通一次試験で満点を取れないオマエは馬鹿だ!」と私をいじめます。(共通一次試験とは、大昔のセンター入試です。)
     息子は小学3年生。

     最初は二人とも、1/2説を支持。
     しかし、わたしが、「100枚ドアがあるとして・・・」と説明始めると、ほぼ同時に
    夫 「わかった! 変えないほうが有利だ!」
    息子「そうか! 司会者が教えてくれたんだね、変えたほうがいいんだ!」

     いったい夫は何がわかったんだろう? 確率の計算はできないのに、直感で? わかった息子にひそかに期待してしまう、親馬鹿ハハでした。

    ユーザーID:

  • まだ、1/2と思っている方へ

    これ、変えたほうが2/3で当たります。

    最初に当たる確率1/3 → 残り2枚外れ
    最初に外れる確率2/3 → 残りは当りと外れ1枚づつ

    ここまで、異論無いですね。

    で、→の右が自分が立って無いドアです。移動する
    かどうかは、この→側に移るかどうかになります。
    で、次に司会者は→の右の2枚から外れを1枚捨てる。

    これも良いですよね。

    なので、移動して外れる組み合わせは最初に当たりだったのに運悪く(勘悪く)移動してしまった場合に限定されることになります。

    つまり、ハズレを司会者が捨てたあと、移動して外れる確率って、最初に当たりを引いていた場合に限られるわけで、確率は1/3なんですよ。

    ですから、ドアを変えて外れる確率は1/3、逆に考えると2/3で当たるわけです。
    お分かりいただけましたでしょうか。

    ユーザーID:

  • 要するに

    司会者はただの引っかけの為にあるのでとりあえず無視します。要は、最初に一つのドアを選んだときにそのドアが当たりの確率は1/3で、残りに当たりがある確率は2/3ですが、ドアを変えない場合は確率1/3の方を選ぶことで、ドアを変える場合は確率2/3の方を選ぶことに相当します(だから変えた方が有利です)。
    司会者がドアを一つ開けてくれますが、それって言いかえると、最初に選んだドアのままだとドアは一つしか開けられないけど(実際は二つ開くのですが)、ドアを変える場合はドアを二つ開けることができるということになるので、当然変えた方が良いですね。

    ユーザーID:

  • 間違ってました。

     前回の書き込み後、改めて考え直しました。
     間違えてますね。私。

     変えた方が有利が正しいですね。
     説明を混乱させてしまって申し訳ありませんでした。

    ユーザーID:

  • 十枚の例えがわかりやすすぎて怖い(笑)

    恥ずかしながら頭が悪く、納得したようなないような状態です(笑)とりあえず変えたほうが当たる確立高いのはわかりましたが、扉を10枚や100枚にして例えた方法があまりにわかりやすすぎて、逆にそれだと信じきれないと言うか・・・十枚のうち一枚を選んで(当たる確立はこの時点で十分の一)司会者が八枚外れを開けてくれれば確かに変えたほうが確立高いんですど・・・司会者は八枚あけてくれるというのは、三枚で例えた時と同じ条件なんだろうか?四〜五枚位司会者が開けて、三枚の時と同じ条件になるのでは?と、そっちの方で頭を悩ませています(笑)気になって素直にわかりやすい説明をうけいられないと言うか・・・すいません、本当横ですね。

    ユーザーID:

  • ねこねこさま

    いまだに確率は半々だと考えている頑迷ものです。

    ねこねこ様の説明は真に分かりやすいのですが
    選ばれなかったドアの当たる確立にも適用できませんか?

    貴方の説明手法で選ばれなかったドアの当たる確率も
    挑戦者が最初に選んだドアと同じになると思うのですが。

    ユーザーID:

  • 元ネタというか...

    謎解きはみなさんにお任せしまして,
    この話がイマドキ出てきたのは,もしかして,マーク ハッドンの「夜中に犬に起こった奇妙な事件」のためでしょうか?

    作中で主人公の,自閉症&数学の天才の少年が解く問題の1つです。
    この本,とってもいい本です。読後にほっ,とします。もしどこかで見かけたら読んでみてください。

    ユーザーID:

  • 無い頭で簡単に考えて

    数学なしで今回のルールで考えると。
    ・参加者が1つ
    ・残り2つが司会者
    が選択した事になりますよね(司会者が外れを開けて1つにしてくれるおまけが嬉しいですね)。

    さてここでもう一度選択できますよと言われたら!。
    貴方が最初に選んだ1つのドアと司会者の残した1つのドアどちらにします?。

    交換してもらう方がお得ですよね、でも3択だと考えますね自分の直感を信じるとか・・・。

    100個のドアからなら、迷わず交換してもらいますね、99個のドアから98個の外れを除いた1つのドアです。

    もう当たったような物ですね、でもこれで外れたら運は最高なのか最悪なのか当分立ち直れない衝撃ですが。

    とまあ、感覚的ですがこんな感じです。

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  • 数を100にして考えて・・と発言している方へ

    いろいろな方の説明を読んで、なるほどな〜!と感心している者です。
    ですが、何人かの方が「数を100にして考えてみるとわかりやすい」と言っていらっしゃいますね。
    100から1つを選んだ後に、司会者が一気に98の扉を開けてしまっていますが、それは今回のトビ主さんへのわかりやすい説明になっていたのでしょうか?

    今回のトビ主さんの説明には、
    扉の数が多くなっても2回目の選択時には扉の数は必ず2に減らす。。。。との条件はありません。

    トビ主さんの疑問は
    司会者が1つハズレを選んだ後に
    残った2つの扉から1つを選択する際の確立は
    (司会者が当りハズレを知っているとはいえ)結局二者択一で、同じじゃないのか。。ということです。
    ならば、100に数を増やした場合は、

    ユーザーID:

  • 数を100にして考えて・・と発言している方へ 続き

    司会者が1つハズレを選んだ後に99の中で移動するか考える・・・
    また司会者が1つハズレを選んだ後に98の中で移動するか考える・・・
    と何度も繰り返して数が3つになった状況がトビ主さんの問題の状況になり、
    扉の数が99に減っても50に減っても、結局それぞれ1/99、1/50で確率は一緒なのでは。。と錯覚してしまいそうになり、疑問点が変わりません。
    そういう錯覚の起こりうる中での説明の方が
    トビ主さんの求める明快な答えになると思います。

    それにルールを変えた上での説明は、
    数学の説明では正確ではないのではないですか?
    もし説明する場合は、
    トビ主さんの問題提起に最初の数が3の場合しかない以上、最初の数が多い時のルールの可能性を場合分けした上で
    それぞれの説明をしなければいけないのでは?
    結果が同じになるとしても必要だと思います。

    ユーザーID:

  • 問題設定条件の微差が原因?

    すみません。

    私は、こう考えてしまうのです。

    司会者はすべての情報を知っているのだから、選ぶ人がどのドアの前に立とうが、その後で司会者はヤギのいるドアを必ず開けることがデキル。

    司会者の行動によって有利になる情報は、選ぶ人にとってはゼロなのです。
    だって、私が選んだ後で司会者がヤギのいるドアを開く ってことは、私の選択開始する前から確実に分かっている事じゃないですか?
    選び直す必要、アリマセン!!

    ユーザーID:

  • 横ですが、丁半は?

    面白いですね。最初は分かりませんでしたが、100枚のドアに例えていただいたら納得しました。

    で、横で申し訳ないんですが、どなたかが書かれていた、『丁半は同じ確率』と言うのを読んで、???と思いました。丁(奇数って丁ですよね?)になる確率が高いように思ってしまうのですが…?

    ユーザーID:

  • 遊んでみた

    3枚のカードを並べて1枚選ぶ・・という単純作業を60回やってみたら、あたり21回、はずれ39回。

    至って平凡な運の持ち主でした。ためになりました。

    ユーザーID:

  • 私も悩んだことあります。

    上の例えで何度もでていますが、私はこれで「納得」しました。

    10000個ドアがあって、最後に2つ残ったドアを選びなおすかどうかです。
    最初の10000個からの選択で、自分はドンピシャで正解を引いたんだ!!
    と確信できる強気の人なら変えなければいいでしょう。
    でも私は自分がそれほど強運の持ち主だとは思えません。
    だから残った方に変えちゃいます。
    変えなければ1/10000の確率ですが、変えれば99999/10000の選択ですよね。

    文系の自分が感覚で納得できるのはここまでです。
    確率とか難しいのでよく分かりません〜><

    ユーザーID:

  • シンプルに「当たる確率」のみ見てみると...

    A)あなたが選んだ扉1が当たる確率は33.3%
    B)扉2か扉3が当たる確率は66.7%

    「当たり」に関して存在する確率はこのAとBのみとします。
    司会者が残り2つから扉2(ハズレ)をひとつ開けます。
    すると..

    A)あなたが選んだ扉1が当たる確率は33.3%のまま。
    B)扉2(ハズレ)か扉3が当たる確率も66.7%のまま。

    ..となります。

    確立時の3つの扉の存在は不変なので扉2がハズレと判っても「扉2か扉3が当たる確率」の66.7%は変わりません。ただし、扉2の当たる確率が33.3%から0.0%に下がる事により扉3の当たる確率が33.3%から66.7%へと上がります。
    その結果..

    A)あなたが選んだ扉1が当たる確率は33.3%のまま。
    B)扉2(ハズレにより除外)か扉3が当たる確率は66.7%。

    扉3が当たる確率は66.7%

    ..となるので、確率的には初めの33.3%よりも残りの66.7%に「変えたほうが当たりやすい」となります。この時点でA)かB)の2択になるので50/50と勘違いしやすいのかもしれませんが、選択が2つに絞られても元は3択と言うのを忘れてはいけませんよ。

    ユーザーID:

  • ややこしいけど…

    この条件下では、最終的な「ドアを変える変えない」は「当たりとはずれの2つのドアから1つを選ぶ」のと一緒なので、当然当たりの確率は全体で1/2です。

    ただ、この問題では「変えて当たる」場合と「変えないで当たる」場合があります。
    前者は「はずれ⇒変えて当たる確率」なので
    (2/3)*(1/2)=1/3
    後者は「当たり⇒変えないで当たる確率」なので
    (1/3)*(1/2)=1/6
    (これらの和は確かに1/2です)

    同じ当たるでも、「変えて当たる」方が確率高いですよね。だから変えた方が当たりやすいはずです。

    1/2と勘違いするのは全体的な当たる確率と混同してしまうからでしょう。でも結局全体で1/2なんだから実生活では特に悩む必要はないですよね。

    ユーザーID:

  • 建築さんの説明で分かりました!

    大の数学嫌いな私は、恥ずかしながらそれまでレスされていた方々の説明でも、サッパリ理解出来ませんでしたが、建築さんの簡単明瞭な式で一気に理解出来ました。

    あー、すっきりした!

    ユーザーID:

  • 問題は数学。しかし、文章を読まないと・・・・

    さて、問題をよく読めば 答えは出るはず・・・・

    司会者が扉を開けた後に選択するのであれば、確率は1/2
    しかし、この問題は司会者が扉を開けた後に変更するか否かの確率の問題
    よって、2/3の確率で変更した方が良いとなります。

    言い方を変えて『変更しなければならない』という表現ならどうでしょうか?
    そうなりますよね。
    司会者が扉を開けてから選択をするのではなく、変更をした場合の車が出る確率ですから・・・

    1/2で回答している人は扉を開けた後の選択での確率を求めています。
    変更をするかしないかの確率で考えてくださいね。
    計算得意でも、文章読まなきゃ間違いですよ。

    ユーザーID:

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