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確率ゲーム?

ネ子
2005年4月19日 2:10
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タイトル 投稿者 更新時間
どちらも正しいと思うのですが
T
2005年4月28日 16:40

「モンティホールのジレンマ」を挙げてらっしゃる方は、それが「命題に対する確率のアプローチ」として正しいのです、ということを説明しなくては、説明にならないように思います。

1/2の確率だと考える方々のように、ドアが3つのものを、途中で2つに仕切り直すと考えると、そもそもこの命題の前提条件と変わってしまうわけです。
ですから、ヤギだったドアを除外して考えている人は、2/3だと考えている人とは、違う命題について考えていることになるでしょう。

そういう意味では、どちらも正しいと言うことになると思います。

ユーザーID:
変えた方が有利説の人の反論
うっかり
2005年4月28日 16:40

naokoさん

残念ながらそれは

> そこで、ゲームの司会者(どのドアが車でどれがヤギ
> か、知っている)が、ヤギのドアをひとつ開けて、全員
> に見せます。あなたが選んだドアは開けません。

という前提があるので、ゲームをしているエーさんと
単なるギャラリーのビーさんとでは確率が異なります。
(ビーさんの場合最初のドア開けで自分が選んだドアが
開けられる可能性がある)

ユーザーID:
実際にやってみる
いちご
2005年4月28日 16:53

実際にやってみると解ります。
まず同じ紙(トランプや名刺など)を10枚用意し、誰かに1枚当たりのマークをつけてもらい裏返してもらいます。その誰かにはどこの場所に当たりがあるかを把握してもらっておきます。
ご自分で1枚選んだあとその方にはずれを8枚取り除いてもらいます。
最初に選んだ物ではないほうが当たりの確率は9/10なので面白いくらい当たりが続きます。
100%理解できますよ〜。
当たりの紙に有給と書いておいて確率1/2と思っている上司に5回続けて当たりだったら有給下さいっていってみるのも面白いかも。

ユーザーID:
>naokoさん
iike
2005年4月28日 17:09

>次に、ドアがヤギの可能性を考えます。
>Aは2/3、BはCの確率も引き継いで4/3になります。

間違いです。
Cがヤギであることが司会者によって示されて、
かつBがヤギであるためには、
「BとCの両方がヤギである」必要があります。
その確率はAが車であることと同値で、1/3です。

ユーザーID:
場合分け
ピョートル小帝
2005年4月28日 17:13

単純に、場合分けしてみればよいでしょう。

最初に選んだドアをA、残りをB、Cとします。
(○=自動車、×=ヤギ)

1.
A○ B× C×
 変える  ×
 変えない ○

2.
A× B○ C×
 変える  ○
 変えない ×

3.
A× B× C○
 変える  ○
 変えない ×

以上から、変えたほうが有利なことが分かります。

それにしても、勉強になりますね。論理的な説明はもちろん、「検索しろ」と言われた後ですら、なお自説が正しいと言い張る人がこれほどいるとは・・・。

ユーザーID:
naokoさんへ
たたたっ
2005年4月28日 17:20

つっこみどころはたくさんありますが、とりあえず一つだけ。

2度目の発言の
>つまり、Aは1/3車で2/3ヤギ、Bは2/3車で4/3ヤギ。

4/3ヤギって、133.333%の確立でヤギですか。
・・・わかりにくくなってますよ。

ユーザーID:
やっぱり変えた方が有利ですね
naoko
2005年4月28日 17:32

すみません。3回目です。
先の2回は「変えても確率は一緒」派だったのですが、
「昔は数学者志望だった」さんの解説でよくわかりました。

私も、「つぶやく埴輪」さんと同じことを考えていたのですが、
それの間違いもわかりやすく指摘されていて、勉強になりました。
スッキリです。ありがとうございました

ユーザーID:
なるべく簡単に理論的に説明(1)
かぐら
2005年4月28日 19:18

 具体例は多くの方がかかれてるので、理論的な説明をなるべく簡単に書かせていただきます。

 「確率1/2」と言われてる方は、「司会者が答えを知って残りのヤギのドアを開けた」という部分を見逃してるんだと思われます。

 もし司会者がドアをランダムに選んで開けたのなら、そこが車の確率は1/3です。
 そしてそのドアを開けてヤギが入っていた場合、当たり前ですがその時点で開けたドアが車の確率は0です。
 では元々あった1/3の確率はどこに行ったかというと…、残りのドアに等しく分散される事になりますから、すべてのドアが車である確率は、
 1/3+(1/3)/2 = 1/2
となり、ドアを移動してもしなくても確率は同じになります。

 しかしこの場合、司会者が答えを知っててヤギのドアを開けたというのがミソ!
 司会者が開けたドアに車が入ってて「残念、さよ〜なら〜」って可能性が本来ならば1/3あるはずなのに、今回に限り0です。
 では、本来あるはずの1/3はどこに行ったのか?

ユーザーID:
なるべく簡単に理論的に説明(2)
かぐら
2005年4月28日 19:18

 あなたが選んだドアをA、残りをB、Cとします。
 最初の時点で、Bに車が入ってる可能性は1/3、そしてCも1/3なのは確かです。
 そしてBCどちらかが車の場合、司会者はBに車が入っていればCを、その逆ならBを、『わざと』開けてます。
 つまり、A以外に車が入っている場合、司会者が残した方が『確実に』車です。

 つまり、司会者がランダムで開けた場合にそのドアに車が入ってる確率1/3は、司会者がわざと車を避けたため、残ったドアに移行した事になります。
 よって残ったドアが車である確率は、

 Bが車の確率1/3 + Cが車の確率1/3 = 2/3

 となります。
 なお、ドアを移動しない場合はAが車の確率、1/3がそのまま車にあたる確率になります。
 移動すれば2/3、しなければ1/3ですから、移動した方が有利ですね。

 これでもわからない人は、ドアの代わりにトランプ、車の代わりにババ、そしてドア(トランプ)の数を3から53に増やしてやってみて、実感してみましょう。

ユーザーID:
naoko様
建築
2005年4月28日 19:24

>どちらも車:ヤギは1:2です。

これだと共にの1/3で車になってしまい、1/3が
足りません・・・。

Cが開けられた時点でCの結果は確定し、Bが
引き継ぐことはありません。Bがヤギの可能性は
1/3のままです。

>Bは2/3車で4/3ヤギ。
足すと1.0を超えている時点で矛盾してるので
御一考を。

ユーザーID:
トピ主です。わかったと思います…
ネ子(トピ主)
2005年4月28日 22:46

モンティ・ホール・ジレンマのサイトをいくつか見ました。

やっと納得できました!…というか、まだ何か変な感じがするのですが、実際のデータが1:2と出れば、それが正しいわけですよね。

司会者が答えを知っている、というのがミソ、というのが最初はしっくりきませんでした。
司会者にとってはこれは選択ではなくて、情報を加えていることになる、と。

私にとっては、あるサイトにあった、あなたは3つのドアを2グループにわけ、司会者はふたつのドアを重ねて1つにした、という図解説明が一番わかりやすかったです。
一度わかると、皆さんの説明もなるほど…と思えます。

皆さん、いろいろ説明、情報、感想、ありがとうございました!!

頭の回転の遅い私にいらいらされた方、ごめんなさい。

ユーザーID:
実は読解力の問題?
みなみ
2005年4月28日 22:54

問題の解釈が間違ってる人が居ますね。
これは言葉の引っ掛け問題ではありませんよ。

最終的に二枚になったドアをもう一度何の知識も無い状態で
選びなおすなら、確かに1/2の確率なのですが、
次の文をよく読みなおしましょう。

>そこで、ゲームの司会者(どのドアが車でどれがヤギか、
>知っている)が、ヤギのドアをひとつ開けて、全員に見
>せます。あなたが選んだドアは開けません。

>この後、あなたはドアを替えることができます。替えな
>くてもいいのです。最終的に選んだドアの後ろに車があ
>れば、その車をもらえます。

ポイントは、

「あなたの選んだドアは開けない」=他の二つから一つ見せる

「全員に見せる」=当然参加者も見てる

「変えなくても良い」=「参加者が最初に自分で選んだドア・司会者が残したドアの区別は付いている」

つまり、残っているドアの二つがどちらがどのように残されているかは分かってるところで、変えてもいいよと言われているのです。

ところでそんな有名な問題だったのですか...
初めて聞いたのですが、ちょっと頭を
ひねったけどすぐに答えが出せてうれしいです。

ユーザーID:
トピ主です。追伸というか感想です
ネ子(トピ主)
2005年4月28日 23:29

本題から外れてしまいますが、ちょっともやもやしてしまいましたので、ルール違反かもしれませんが失礼します。

このトピにレスを下さったこと、懇切丁寧に説明して下さったこと、本当に感謝しています。

一方で、私の理解の遅さを単なる頑固だとしてか、少々厳しい言い方をされている方もいるので、その方々には、どうしてもわかりにくい人もいること、自分より理解力の劣る人に喧嘩を売っても仕方のないことをちょっとお考えいただければと思います。

「じゃあ勝負しようか」とか、「当てる自信あるの?」と言われても、わからないから質問しているのであって、私の方が正しい、と言ってるわけではないのです。

今後はどうぞお手柔らかにお願いいたします。

ユーザーID:
やっとわかった〜
2005年4月28日 23:48

昔は数学者志望だった
さんの書き込みでやっとわかりました。
特に上の図がわかりやすいです。

しかし、こういう問題を見ると、
色々な場面で自分が気づかずに騙されていることも多いのかなあ、となんだか落ち込みますね。

ユーザーID:
トピ主さんが仰ってるのは・・・
馬鹿女代表
2005年4月29日 0:05

正解は出尽くしているようですので良いとして、
トピ主さんが「1/2だ」と思っている理由は
以下のような意味なのではないのでしょうか?
というか、私が最初こう考えたので。

扉が100枚あります。
選ぶ人は、別に当てる気はありません。
ドアの前に立たなくてもいいです。
まあ、とりあえず立ってみて。
司会者が勝手にハズレのドアをあけてくれて、
残りふたつにしてくれます。

さて、ふたつになりました。
どちらかがアタリです。
ここで、選ぶ人は、初めて選択を開始します。
選ぶ人はどちらかのドアの前に立ってるけど、
もはやふたつにひとつなんだから
こっちとあっちに入ってる可能性は五分五分だよな。
それなら動いても動かなくてもいいや。

こんな感じです。
「100個のドアから選択して当たる可能性」と
「2個のドアから選択して当たる可能性」を比較すれば
どちらが得なのかは明白です。
でも、放っておいてもドア2個になることを知っていて
2個になってから初めて選択を開始する、という感覚だと、
1/2という考えが起こってもおかしくないと思います。

(問題の意図と本当の正解はもう理解してますよ!)

ユーザーID:
あ、わかりました
おなじだよ
2005年4月29日 0:22

皆さんの説明を読んで、自分の間違いに気がつきました。なるほどねえ。

最初に自分があたりの扉の前に立つ確率は1/3、はずれの扉の前に立つ確率は2/3。はずれの扉だった場合に、残りの扉はあたりとはずれの一つずつ。ただし、そのうちはずれの扉を司会者が消してくれるのだから、残るのはあたりの扉だけ。

つまり。
最初にあたりだった場合に選び直すと確実にはずれ。最初にはずれだった場合に選び直すと確実にあたり。
最初にはずれる確率の方が大きいのだから、選び直した方がよい、ということですよね。

ユーザーID:
2度目の【naoko】さんにレス
問題より説明が難しい
2005年4月29日 3:30

面白い考え方ですね。
その考え方でも解けるっぽいですよ。

まず、最初の状態です。
A 車:1/3 ヤ:2/3
B 車:1/3 ヤ:2/3
C 車:1/3 ヤ:2/3

ここで、参加者がAを選び、司会者がCを選んだとすると、、、

A 車:1/3
B 車:2/3
C 車:0 ↑1/3がBへ

となるのはわかるのですよね?
では、ヤギの分も加えるとどうでしょうか・・・?

A 車:1/3 ヤギ:2/3
B 車:2/3 ヤギ:4/3
C 車:0  ヤギ:0 ↑2/3がBへ・・・?

・・・あれ?
「Cはヤギ」だったはずですよね??
これでは、Cは車でもヤギでも無くなってしまいます。。。
ということで、

A 車:1/3 ヤギ:2/3
B 車:2/3 ヤギ:1/3↓1/3がCへ!
C 車:0  ヤギ:3/3=100%ヤギ!

となるのが正解です。

ね、説明がついたでしょ?

ユーザーID:
1度目の【naoko】さんにもレス
問題より説明が難しい
2005年4月29日 3:39

「変えた方が有利」というのは、あくまでも、
「司会者が“参加者が選んだドアを選べない”」という条件があるからこそ、
「参加者は“ドアを変えた方が有利”」と言うことですよ。
「ギャラリーなどの誰もが常に“ドアを変えた方が有利”」ということは言ってません。

この問題は、先ほども書いたとおり、
「司会者が“参加者が選んだドアを選べない”」
ということが非常に重要になっています。

その意味をもう一度しっかりと考え直せたとき、
答えがわかると思いますよ。
【naoko】さんの考え方はとても興味深かったので、、、
正答に自力でたどり着ける事を期待しています。

ユーザーID:
確かにうちの会社はすごいとわかった
フィフティフィフティ
2005年4月29日 11:03

確率で習った「場合の数(だっけ)」みたいなことを広告の裏に描いてちゃんとやったら、変える方が有利になりました。

うちのフロアのひとは、ほとんどのひとは直感的にわかったそうです(私と上司を除く)。
うちの上司、大丈夫か(私も)。

ユーザーID:
こう考えては?
んん〜
2005年4月29日 14:26

はずれを引いたときは帰れば必ずあたる訳ですよね?
最後に変えない場合、はじめにあたりを引かないといけないわけですよね。その場合確率1/3です。
変える場合は、はじめにはずれを引けばいい。その場合は確率2/3です。

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