現在位置は
です

発言小町

新しいトピを作成
本文です

確率ゲーム?

ネ子
2005年4月19日 2:10

先日飲み会で出た話題なのですがそれ以来どうも気になっています。

『あなたは賞品として車をもらえるゲームに参加しています。
目の前に3つドアがあり、そのうちの一つは、後ろに車、あとの2つは後ろにヤギが隠されています。
車が隠れていると思うドアの前に立ってください。
そこで、ゲームの司会者(どのドアが車でどれがヤギか、知っている)が、ヤギのドアをひとつ開けて、全員に見せます。あなたが選んだドアは開けません。
この後、あなたはドアを替えることができます。替えなくてもいいのです。最終的に選んだドアの後ろに車があれば、その車をもらえます。』

という筋書きで、問題は、
『さて、ここでドアを替えた方がいいのか?』
ということなのですが、確かそのとき話題になっていた答えは、
『替えた方が車が当る確率は高い』
だったのです。

ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの2つは五分五分になるんじゃないかという気がするのですが…
なぜ替えた方が確率は高いといえるのか、また、これは数学のひっかけで、結局答えは五分五分なのか、どなたか教えてください。

ユーザーID:  


お気に入り登録数:1
  • 携帯に送る
  • このエントリーをはてなブックマークに追加
新しいレス順
レス数:147本

このトピックはレスの投稿受け付けを終了しました。
タイトル 投稿者 更新時間
100個の扉で納得できない人はもっと極端に考えよう
坂巻
2006年12月14日 16:51

例えば1兆個の扉があって、その一つが当りだとする。
ほとんど一発で当てることはないですよね(笑)

解答者がまず一つ選びます。
残りは(1兆−1)個です。

まずここで考えます。
選んだ一個と残りの(1兆−1)個ではどちらに当りがある可能性が高いでしょうか?
圧倒的に残りの(1兆−1)個のどれかに当りがある可能性が高い。

では当りを知っている司会者が、残りの(1兆−1)個のうち扉を1つを残して、はずれの扉を全部あけました。(現実には辛いけど)

ここで考えます。
選んだ扉と司会者が残した扉はどちらに当りがある可能性が高いでしょうか?
これで司会者が残した扉の方がだんぜん有利だというのが感覚的にわかるのではないでしょうか。

ユーザーID:
それぞれのパターンを比較してみると…
jack
2006年9月2日 16:01

(A)変えたほうにハズレが入っている場合 = 最初の選択でアタリを引いていたとき
(B)変えたほうにアタリが入っている場合 = 最初の選択でハズレを引いていたとき

最初の選択でハズレを引く確率は2/3なので
実際にやってみると(B)のパターンになることが多いです。

ユーザーID:
分かりやすい答え
はい
2006年2月28日 20:34

http://www32.ocn.ne.jp/~gaido/fusigi/nokori.htm

ここがよくまとめていると思います。

ユーザーID:
確率ゲームではないのですが
ゆい
2005年5月18日 19:50

昔印象に残っている数字のトリックを使ったものを一つ思い出しました。
 三人の娘が宿に泊まりました。宿主は一部屋一泊30ドルと言いましたので、一人10ドルづつを出し合いました。

宿主は部屋代が25ドルの間違いだったことに気付きましたので、翌日5ドルを娘たちに返しました。戻ってきた5ドルのうち1ドルづつを娘たちが各自受け取りますと、都合一人9ドルづつ支払ったことになります。
一人9ドル×3人=27ドル。そこに戻った余りの2ドルを足すと29ドルです。

最初に払ったお金は30ドル。
1ドルはどこに消えてしまったのでしょうか。
というクイズです。

数字のトリックを使ったもので、何故か印象深く覚えていました。
確率ゲームとはまるで関係ないのですが、数学に関するちょっとしたクイズだったので載せさせてもらいました。

ユーザーID:
TANさん
数学屋
2005年5月14日 10:08

(1),(2)は1/2で正解です。
(3)ははずれです。

だって…
Aが処刑されないといわれたら、残りの2人の運命は
確定じゃないですか!
答えは「1」です。

その2はトピごと消えてしまったようです。
私が消したわけじゃないです(そもそもそんな操作ない
ですが)
理由はわかりません。

答えは「同じ」であってます。

ユーザーID:
思考の落とし穴
まー
2005年5月12日 20:02

私の場合は,分からないときは,本当にやって見ることが多いです。やって見て,不思議だなーと思いながらその理由を考えていく。
実験できない現象は,この方法では正解にたどり着きにくいですけれど。

それから,立場を変えると,ずいぶんと見え方が変わることがあります。確かに,くじを引く当事者の立場では,この1回のくじであたるかあたらないかのどちらかしかない,と思い込んでしまうかもしれません。

確率を考える場合は,このくじの主催者の気持ちになったほうが良いかもしれません。

回答者が,毎回最初に選んだドアを変えない場合,どの程度商品の車を準備しなければならないか,または,毎回ドアを変えた場合にどうなるかなど。何回も同じことが繰り返されることを想定するのが,確率を考える上でのコツかもしれません。

確率1/2と思い込んでいる人は,くじを引く人の立場で,その1回のくじが全てという気持ちが強いようですね。

失礼な質問をしてしまったかもしれませんが,お許しください。お詫び申し上げます。

ユーザーID:
わからなかった理由(まーさんへ)の続き
ネ子(トピ主)
2005年5月12日 18:11

トピ主です。わからなかった理由の続きを書いたのですが、送信し忘れたのか、不適切と思われたのかここに載っていないのでもう一度書いてみます。

私は最初のいくつかのレスを見ても理解できなかったのですが、確率そのものについて私がちゃんとした知識を持っていないのだと気づき、モンティ・ホール・ジレンマについて語っているサイトをいろいろ見ているうちにピンと来ました。決定的だったのは、前にも書きましたが、3枚のドアをあなたが2グループに分け、司会者が2枚のドアを重ねて1枚にした、というイラストでした。もちろん、これだけではわからなかったと思いますけれど。

あと、tanさんのおっしゃっていた、トランプ10枚のゲームで自分ではずれを除く作業をするとわかる、というのも納得しやすかったです。

ユーザーID:
類似問題
けけけ
2005年5月12日 11:01

ある監獄に3人の死刑囚A,B,Cがいます。
3人の中で誰か1人が恩赦で釈放されることが決まりました。しかし、それが誰なのか看守は知っていますが、死刑囚は知りません。この段階でCが処刑される確率は2/3

死刑囚Cは看守は残りの2人の内で処刑される者を1人教えて欲しいとたのみ、看守は悩みましたが結局Aが処刑される事を教えてくれました。

この段階で恩赦されるのはBかCかのどちらか1人。死刑囚Cは処刑される確率が1/2に減った事を喜びます。

でも看守が教えようが教えまいがCが処刑されるかどうかは決まっていたはずでは?Cが喜んだのはぬか喜びなのでしょうか?みなさんはどう考えます?

ユーザーID:
横ですが「九半十二丁」<くれあさん
tan
2005年5月12日 10:38

出題した本人ではなくて悪いのですが。
まっとうに考えると、サイコロ2個で出る目の組み合わせは、6×6=36通りです。丁半は,それぞれ18通りずつ。

例題では、サイ2個で半(奇数)が出る組合せは
(1,2),(1,4),(1,6),(2,3),(2,5),(3,4),(3,6),(4,5),(5,6)
の9通り、
丁(偶数)が出る組合せは
(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),
(3,3),(3,5),(4,4),(4,6),(5,5),(6,6)
の12通り、
となっていて、足りないのです。何が足りないか?

同じサイ2個が転がっているのを想像すると忘れがちですが、(1,2)と(2,1)は、別なのです。色違いを想像するとわかりやすい。(青サイ1,赤サイ2)と(青サイ2,赤サイ1)は違うでしょう?
よって、半の場合はすべて逆が存在するので、9×2=18通り。
丁の場合は、ゾロ目((1,1)(2,2)・・・)は逆がないが、他の6通りは逆があるので、12+6=18通りとなり、最初の計算とも一致します。めでたし。

ユーザーID:
サーベロニの問題 に挑戦
TAN
2005年5月12日 10:20

(1)(2) は1/2。 (3)は1/3。

(1)では、看守はA・Cについて何も知らないわけで、単に、選択肢が一つ減ったと考えていいのではないでしょうか? ヤギ問題では1/2は誤りでしたが、今回は、その考えがそのまま当てはまると思います。回答者の選ぶドア によって、司会者の開けるヤギドアは変化しますが、この場合は、回答者がどれを選んでも、変わらないので・・・ (2)も同じ。

(3) Aが当たりなら、必然的にB・Cは外れ。看守は3人の命運をすべて知っているため、ヤギ問題と同じく、1/3。

ところで、数学屋さん、「確率ゲーム2」が無くなったようですが? 
答えを教えてください。「同じ」でいいんですよね?
こっちは少し自信あるんですが・・・↑は全然自信ないけど。

ユーザーID:
なんかカンジ悪いなぁ
1/2派
2005年5月11日 9:59

>まー様
最初1/2派でした、その後考えて考えて「確かにドアを変えたほうが当たる確立が高い」ということはなんとか理解できましたが、納得はしてません。

最初分からなかったのは、私の場合「確率のみを考える」ということが出来ず、実際ドアの前に立っている気分で考えてしまったからです。司会者がヤギのドアを開けてくれました、残るドアは2枚です、いま自分が立ってるドアが自動車かもしれない、いや、やっぱあっちのドアか?と考えてしまったからです。だって1/3なら最初から当たり引いてる可能性だってありますよね。

でも問題が「確率」を聞いているのだから、1/2と答えるのは間違いだというのは今はわかります。そして、あくまでも「確率のみ」を聞いているのだから自動車が当たるかどうかはどうでもいいことなのもわかってはいるのですが・・・

ユーザーID:
あ〜面白かった!
ねずみっこ
2005年5月11日 8:32

「変えた方が有利」という沢山の説明は、読めばなるほどと思うものの、とはいってもやはり直感というのか感覚というのか、残りのドアの後ろに車が入っている確率は5分5分なんじゃないかなー、と「感じて」しまう数学(というより算数レベル?)音痴です。

皆さんの勧めに従い、花札を使って10回トライしてみました。条件は「司会者がヤギのドアを開けたあと【必ず】ドアを変更する」です。

結果は10回中8回車を当てました。
車を外した2回は最初の選択で車を当てていたときです。

この結果を見て、ようやく「変えた方が有利」との説の核の部分が理解できました。
やってみなくて、頭で考えるだけでストンと納得できてしまう人ってスゴイですね。

それにしても…10回やって2回しか当たりを引けない籤運ってさーと、別のところでもガッカリしましたよー。

ユーザーID:
説明を考えてみました…続き
ネ子(トピ主)
2005年5月11日 7:05

このとき、もし司会者が「おおすごい、この人一発で当てちゃったよ」と思っていたとしたら、司会者は残ったうちのどちらを撤去してもいい。「このドアはヤギです」と言いながら笑顔で撤去する。
もし司会者が「残念、それははずれです」と思っていたとしたら、残ったドアのうち車のドアを残しておいて、ヤギのドアを笑顔で撤去する。

司会者が「残念、それははずれです」と思う場合の方が多い。このとき司会者は必ず車のドアを残しておいてくれる。

あなたが参加する1回のゲームであなたが最初に車のドアを選ぶ可能性はもちろんある。
しかしこのゲームを親戚、友人、同僚集めて大勢が1人ずつ参加してやってみると、ドアを替えて車をゲットした人の方が、替えずにゲットした人より2倍多くなる。

数学と関係ない要素が多くてごちゃごちゃしてますが、感覚的にわかりやすいかなと思いました。どうでしょう?

ユーザーID:
説明を考えてみました
ネ子(トピ主)
2005年5月11日 6:59

トピ主です。もう説明は十分出ていて、一度わかった後だと、どうしてこれでわからなかったんだろうと思うものが多いですが、それでも感覚的に納得しにくかった者として、重複しますが説明を考えてみました。

最初にドアが2つだったら確率は五分五分だったのに、いじわるな司会者がはずれのドアをひとつ増やしてあなたが当てにくいようにした。

あなたがドアを選んだ後、司会者は残ったドアをひとつ撤去する。そのとき、司会者が心の中で「ちぇっ、この人一発で当てちゃったよ」と思っていたか、「残念でした、それははずれです」と思っていたかはわかりません。

このとき、司会者が撤去するドアが車かヤギかを言わなかったら、あなたが最初に選んだドアと、残った最後のドアの車である確率は等しい。両方ともヤギの可能性もあり。

ところが、司会者は実は親切な人で、残ったドアのうち、必ずヤギのドアを撤去すると決めており、撤去する際にあなたにそれを教えてくれた。
(続きます)

ユーザーID:
わからなかった理由(まーさんへ)
ネ子(トピ主)
2005年5月10日 21:55

トピ主です。

2つのコップを1つにする理由がわからなかったのです。
確率とはどういうものなのかがわかっていなかったからだと思いますが、コップを1つ単純になくす、引き算のようなものだと思っていたのです。

ドアの題でいうと、司会者が、「あなたの残したドアのうちから」「必ずヤギのドア」を開ける、ということのポイントがわからなかったのです。最後に2枚になった、ということにだけ視点がいって、どういう理由でその2枚が残ったのか、ということは関係ないと思っていたのです。

私には最初、司会者が「あなたの選んだのも含め、どれか1枚ドアを開ける」「残った2枚のうち1枚を選ぶが、開けては見せない」という状況でも、条件は同じだと思えました。

確率が1:2になることの証明よりも、1:1が誤りであることを直接説明してくださったら、わかりやすいかなと思います。というのは、五分五分だと思っているうちは、「感覚」としてそう思っているので、トランプで試しても、五分五分でないことはわかっても、仕組みはやっぱり納得しづらいのです。

ユーザーID:
1/2派の方は
B
2005年5月10日 9:59

本やTVでも紹介されている、「既に答えの出ている」問題なのですから、
まずは「ドアを替えた方が有利」が正解であるという「事実」を真摯に受け止めた上で
どうしてそうなるのか、そうなるためにはどう考えればいいのかをお考えになると理解が早まると思います。

ユーザーID:
考え直し
高校数学は好き
2005年5月10日 3:08

前の書き込みで
「替えて当たる確率」1/3
「替えないで当たる確率」1/6
だから替えた方が良いと書きましたが、
どういう意味で『替えた方が良い』のかによるのかな?と思いました。

【自分が選んだドアに対して】
前述の意味でもう一つのドアの方が当たりやすい
つまり、「替えた方が良い」

【全体的に見て】
選ばないで余ったもう一つのドアに対して、
「替えて当たる確率」1/3
「替えないで当たる確率」1/6
なので、選んだ選ばなかったを無視すると、残ったドアのどちらでも当たる確率はもともと
1/3 + 1/6 = 1/2
つまり、「替えても同じ」

問題文的に前者の意味っぽいと前回は思ったのですが、最終的に当てる事を目標とするなら、全体的に見るべきなので後者の意味っぽいかもなぁ…と。

高校数学で言うところの(あるドアを選んだという)条件付き確率とただの確率みたいな(個人的)ややこしい関係…?

ユーザーID:
Haruko Aokiさん
妻曰く
2005年5月9日 15:58

ほかにもレスが付くかと思いますが、

「司会者はヤギと判っているドアを開けるという事は最初からそのドアは無かったものと考えられます。」

は間違いだと思います。何故ならHarukoさんが「初めから無かった」とするその「ドア」をあなたが3分の1の確率で選ぶ可能性が有るからです。司会者が開けるドアはあくまでも3枚のうちの残りの2枚(3分の2)からなのです。言い換えれば3分の2の確率でアタリを残してくれる訳です。あなたが初めの1枚を選ぶからこそこの問題は2択ではなく3択なのです。

初めに1枚のドアを消去してしまうとあなたの言うように初めから2択となり1/2で当たり外れが決まりますから選択を変える変えないなど問題ではなくなりますよね。

ユーザーID:
さらにシンプルな例で...
妻曰く
2005年5月9日 15:28

原始人さんのように実際3枚のカードから1枚を選んでみると60回で大体アタリが20回、ハズレが40回になります。

これは「変えない場合」3分の1の確率でアタリと言う事です。3択ですから当たり前ですよね。

ここでよく考えてください。ハズレが40回と言う事は言い換えるとその40回全て「残りの2枚にアタリが有った」と言う事です。

このトピックの例題ではこの「残り2枚」から司会者がアタリを残してハズレを取り除く訳ですから「もしそちらに変えていた場合」60回のうち確実に40回当たっていた事になります。

はずれた40回分(3分の2の確率で)、司会者が必ずアタリを残してくれる訳ですからそっちに変えておけば良かった!となりますよね。

ユーザーID:
>気になるさん
匿名
2005年5月9日 11:21

確かに、3つの選択肢を勝手に100に変えた事は良くなかったと思います。

数学の得意な人ばかりなら、3つのままで説明したのですが、どうもトピ主さんをはじめ、数字の苦手な人が多いようでしたので、100の方が想像しやすいのではないかと思ったのです。

3つの選択肢だと、確率の差が少ないので、実際に数回試しただけでは、はっきりと結果にあらわれない可能性があります。
「ジレンマ」と言われるのも、3ではまぎらわしいからです。これが10や100なら、数学者が間違う事は決してないでしょう。
それに実際、いくつかのレスを読んだ所、100で先に理解してから3が理解できた人も多いように思うのですが…。

私自身は最初から3のままで理解できたのですが、家族には3では難しく、100の説明をしたら理解できたようなので、100の例えを使ってしまいました。
数学のテストじゃないので、多少の語弊が出ても、考え方を理解できればいいかと思ってしまったのです。
今後気をつけます。

ユーザーID:
 
現在位置は
です