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数学に詳しい方〜2の12乗根の求め方

ぷぺ
2008年11月20日 21:44

先日、ある本を読んでおりましたところ、
-----
2の12乗根=1.0594……になる
-----
と書いてありました。

その本は数学ではなく音楽に関する本でしたので、あくまでも2の12乗根の数値が重要であり、計算方法はまでは解説していませんでした。私は数学が苦手なのですが、なぜか本を読み終わってからも素数である2の累乗根をどうやって計算するのか気になって仕方ありません。

ネットで調べたところ、マクローリン展開やテイラー展開やニュートン法で計算できるらしいのですが、それらに関する知識がないので、数式を見ても分かりませんでした。今日、書店に行って、代数、複素数、指数関数、微分・積分の本(店員さんのアドバイス)を数冊拾い読みしましたが、やはり数学の知識を欠いているせいなのか、欲しい情報が探せませんでした。まあ、そのものズバリが書いてあるとは思っていませんでしたが……。

そこで、数学に詳しい皆様!
2や3のような数字が大きくない素数の累乗根の計算方法が分かる書籍をご紹介いただけませんか?何冊か読まなくてはいけないかもしれないし、理解するまで時間がかかると思いますが、自分で計算してみたいのです。
素因数分解や簡単な因数分解は分かります。

無謀なチャンレジかもしれませんが、どうぞ宜しくお願いいたします。

ユーザーID:6971337562  


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タイトル 投稿者 更新時間
対数を使うと簡単です
B級
2008年11月20日 23:10

2の常用対数をとって、それを12で割り、その値の10のベキ乗をとれば出ます。
計算式で書けば
 2の12乗根 = 10^((log2)/12)
です。^はベキ乗の記号です。
Windowsのアクセサリにある電卓の表示を関数電卓モードにして
 2 log / 12 = MS
 10 x^y MR =
と押してみてください。もっと長〜い答えが出ますよ。

このやり方で何乗根でも計算できます。例え整数でなくても9.9乗根でも出ます。あっ、難し過ぎ?!失礼しました。

ユーザーID:5750892155
解答ではありませんが
餡リアル
2008年11月20日 23:14

開平(二乗根の計算方法)なら、学校教育で教わっているはずです。

三乗根以上の解法は私も知らないのですが、「大きくない素数」に限定するのはなぜでしょう?

一般的な解法があれば、どんな数字であろうと(もちろん整数に限らず)計算できるのではないでしょうか。

ユーザーID:6838634841
向学心は素晴らしい
電気技術者
2008年11月20日 23:16

 その向学心は素晴らしいと思いますが、素因数分解・因数分解レベルからのスタートでは少々厳しいかなと思います。

 テイラー展開は、まず微分がしっかり分からないと理解できません。マクローリン展開はテイラー展開を拡張したものなので、さらに分からないと思います。

 ウィキペディアのニュートン法はご覧になりましたか? ここに書かれている説明がお分かりになると良いのですが。本当はグラフ付きで書かれていると分かりやすいんですけどね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E6%B3%95

 ウィキペディアに書かれている式を、

f(x)=x^2−2 ⇒ f(x)=x^12−2
f'(x)=2x ⇒ f'(x)=12x^11

と置き換えて、例えばExcelなど使って計算すれば値は求まります。

 それから、対象の数字が素数かどうかというのは、この計算には全く関係ありません。多分、元の数字が2の12乗だったら、12乗根は2になるといったことで言われているのだとは思いますが。

ユーザーID:1810936526
関数電卓を使われては?
よし
2008年11月20日 23:41

ぷぺさん、こんにちは。関数電卓を使われてはどうでしょう?
Windowsをお使いであれば、スタート→プログラム→アクセサリ→電卓
を起動します。そのあと表示で「関数電卓」にします。
2の12乗根は2の(1/2)乗なので、入力は「2」→「x^y」→「(」→「1」→「/」→「1」→「2」→「)」→「=」で計算できます。
あるいはエクセルを起動して、どこのセルでもいいので =2^(1/12) と入力すると計算できます。1.0594630943593となりますね。
この関数電卓は2進法だとか色々表示できて面白いですよ。

ユーザーID:4114595871
あの〜携帯からの書き込み
ペンギン
2008年11月21日 2:15

テイラー展開もマクローリン展開も要りませんよ?
指数表記に直して、一般の指数関数を自然指数関数に直す式にいれて、後は電卓叩くだけです。
昔、この方法で10のマイナス6乗まで問題なく計算できました。

ユーザーID:6315742848
twelfth root of two@wiki
ケ・セラ・セラ
2008年11月21日 2:27

英語でもよければ、wikiをのぞいてみてはどうでしょう?
簡単な計算方法も視覚的にわかります。
明代の王子、音楽家で数学者の朱載[土育](Chu Tsai-Yu、1536-1610)のことも紹介されていますよ。

さらに詳しい計算方法や十二平均律などは、とりあえず英語・中国語・日本語版ウィキペディアのリンクでお楽しみくださいね♪

ユーザーID:7381598308
テーラ展開は大学の教養レベルの数学ですね
T
2008年11月21日 3:02

数学は全くの素人でしかも何十年もご無沙汰状態ですので全く自信はありませんが、2のn乗根でしたら(1+x)の1/n乗という関数をマクローリン展開すれば計算出来るような気がします(そしてxとして1を代入)。もし間違っていたらすいません。

ちなみにマクローリン展開というのはテイラー展開の特別な場合ですので、両者は同じようなものだと思って頂いて良いと思います。テイラー展開自体は大学の教養課程の解析学の初歩で学んだような気がしますので、もしそこを理解したいということでしたら一般的に「解析入門」のような題の本を探せば説明があると思います。しかし今回の質問でしたらテイラー展開の証明を理解する必要はないと思いますので、ご自分で(1+x)の1/n乗をマクローリン展開の公式に当てはめて計算出来ればそれで十分だと思います(それでも高校の微分の知識は必要だと思いますが)。それか、もしトピ主さんの周りに理工系の学生か卒業生がいらっしゃれば普通に教えてもらえると思うのですが。

もしご自分で計算されるのでしたら、まずは答えのわかっている2や3の平方根から初めてみてはいかがでしょうか?

ユーザーID:5252733532
対数表を利用したらどうでしょうか
なみうさぎ
2008年11月21日 3:06

対数表を利用したらいかがでしょうか。任意の数をmとし累乗根の数をnとすると、(1/n)×log mで表せるので、今回の数字m=2,n=12から0.0250858を得て、対数表からこの数値に合う数を求めれば、1.059453……が出てきます。
説明が下手で申訳ありません。対数で検索すると色々出てきます。

ユーザーID:6336632965
簡単なやり方
ないしょ
2008年11月21日 6:02

ニュートン法は定番ですが、数学に詳しくない方用に、効率は悪いですが、以下の方法があります。

2の12乗根の場合、
(1)この数よりは正解は大きいという下限の数を決めます。適当でOKです。今回は1を使います。1の12乗は1で、2より小さいので、正解よりは小さいことがわかります。

(2)この数よりは正解は小さいという上限の数を決めます。適当でOKです。2とします。2の12乗は2よりずーっと大きいので正解より大きいことがわかります。

(3)(上限+下限)÷2で得られる数をXとして、Xの12乗を計算します(頑張ってください)。今回の例ではXは1.5です。Xの12乗はまだとても大きな数(正解の2より大きい)です。

(4)このXが正解より上ならXを新しく上限にします。正解より下なら下限にします。で、ステップ3に戻ります。正解ぴったりなら計算は終わりで、Xが答えです。今回の例では、下限は1のまま、上限は1.5になります。ステップ3で(1+1.5)÷2=1.25となります・・・。

Excel使いましたが、31回繰り返すと1.059463094と1.059463095の間が正解とわかりますよ。

ユーザーID:9745549547
関数電卓でできます
ひらの
2008年11月21日 6:35

2^(1/12) を求めてください。
Windows なら、
スタートメニューからファイル名を指定して実行
calc (Enter)
表示−関数電卓
2 X^Y (1/12) =

ユーザーID:2108383817
logをつかう
A列車
2008年11月21日 8:35

2の十二乗根は2^(1/12)なので、対数をとってexp((1/12)*ln2)と表したらよいのではないでしょうか?ln2やeの値は、何かの本に詳しく出ていると思います。

ユーザーID:3904520307
数学の知識
まお
2008年11月21日 9:33

数学の知識がなかったら
マクローリン展開やテイラー展開やニュートン法を
計算すること自体できないのではないでしょうか?

三角関数や極限値など
大学レベルの知識が必要かと思います。

ユーザーID:7198603070
ずばり高校の教科書
マス南野
2008年11月21日 9:45

高校の数学の教科書の対数のところを見れば計算法が書いてあると思います。
2の1/12乗をxとして、その対数をとれば、logx=log(2の1/12乗)=1/12log2で対数表からlog2=0.3010なので、これは1/12・0.3010=0.02508・・・となりますので、また対数表を逆に引いてその対数が0.02508となる真数xを求めると、1.0594となります。

このような計算方法が高校のどの教科書にも乗っているはずです。
ただ、このように対数表を引くのでは、あまり計算という感じがしなくておいやでしょうか?

ユーザーID:8615129330
こんなかんじでは
naru
2008年11月21日 10:10

2の12乗根は
2^(1/12)になりますよね。
=10^log(2^(1/12))ですよね。
=10^0.025085833
=1.05946309

これでどうでしょうか?

ユーザーID:3598617386
2分法
gN
2008年11月21日 10:27

ニュートン法より収束が悪いですが、二つの数の間を探る方法。

1 と 2の間に解があるというのはわかっているとして、
1 と 2 ではじめて、この半分の1.5ではどうだろう?と、12回かけてみて、
1.5の12乗の方が2の12乗より2に近いな、として、
1と 1.5を得ます。

これを繰り替えして、

1 2
1 1.5
1 1.25
1 1.125
1 1.0625
1.03125 1.0625
1.046875 1.0625
1.0546875 1.0625
1.05859375 1.0625
1.05859375 1.060546875
1.05859375 1.0595703125
1.05908203125 1.0595703125
1.059326171875 1.0595703125
1.0594482421875 1.0595703125
1.0594482421875 1.05950927734375
1.0594482421875 1.059478759765625
...
という感じで進めると、1.059463... というようになっていきます。

ユーザーID:2595135096
うーんと。
ゆずみかん
2008年11月21日 10:39

関数電卓を使えばすぐできます。
では、なく(笑)
ルート2とマイナスルート2の2乗根の3乗根を求めたら12個答が出てきます。
レッツトライ。

ユーザーID:1614020078
詳しくはありませんが
もちょー
2008年11月21日 10:39

ちょっと混乱なさってるようですので、整理しましょう。

素数は、1とその数以外に(整数の)約数を持たない数です。一方累乗根ですが、「yがxのn乗根である」とは「yをn回掛け合わせるとx」になるという以上の意味は無く、xが素数であろうと無かろうと累乗根は存在します。たとえばよく知られているように2は素数ですが、その平方根(2乗根)は1.41421356…となることはご存知ですよね。

さて計算法ですが、ニュートン法はコンピュータを用いて方程式を解く方法の一種ですので、いきなりニュートン法を用いて2の12乗根を計算するのは難しいでしょう。原理は比較的簡単なんですが。

テイラー展開(マクローリン展開はその一種)は、非常に大雑把に言うと、複雑な関数を、簡単な式(級数)で近似する方法です。微分が出来るのであれば、ニュートン法よりは現実的でしょう。

しかしながらより簡単な計算法もあります。「開平法」「開立法」を調べてみてください。前者は平方根、後者は立方根を筆算で計算する方法です。「2の12乗根」は「「「2の平方根」の平方根」の立方根」ですから、開平法と開立方を組合せると計算できます。

ユーザーID:0829449647
単に数字を求めるだけなら
nasu
2008年11月21日 10:45

単に数字を求めるだけなら電卓でいいでしょう。
グーグルでもよいので、例えば
2^(1/12)
と入力すれば12乗根は求められます。
一般的に
x^(1/y)
の式でxのy乗根が求められます。
数学からしっかりやって求めるのは少し難しく、
理系大学教養程度の数学知識:マクローリン展開やテイラー展開など
コンピューターでの数値計算知識:ニュートン法など
それらの計算を実際に行う知識:プログラミング
などが必要だと思います。

探究心に対してチャレンジすることは立派だと思います。
がんばってください

ユーザーID:5234189290
数Iの知識で
りんぐぷる
2008年11月21日 10:55

変数 x の y 乗根の求め方

解を、z として、

z = y■x (yが上にあると思ってください)

対数をとって、
ln(z) = ln( x ) / y (ln は自然対数)

再び、指数をとって
exp( ln(z) ) = z = exp( ln( x ) / y ) (exp は、e の累乗の関数の意味)

ということになります。ここで、x に2を、y に12をそれぞれ代入して求めます。

windows の電卓では、
[2][ln][/][1][2][=]
で、ln(2)/12を求めておいて、[M+]を押してメモリに記憶。
自然対数の底はキーに無いので、
2.71828183
を入力して、[x^y]を押し、メモリに溜めておいた[MR]を押して[=]を押して解を得ます。

別に数学が専門ではありませんが、PCでカンタンに求めるには、こんな感じでしょうか?
ただ、どうしても、手計算で求めたい、というのならば、別の方法になりますが ...。
まずは、グラフでイメージできるか否か、ではないかと思います。
文字だけでは表現しづらいので申し訳ありませんが、こんなところで。

ユーザーID:4928215868
あれれ
かぴばら
2008年11月21日 12:01

2の12乗根ですよね?

対数表を使って求めるのではだめなのかな?

ユーザーID:5268619233
 
現在位置は
です