趣味・教育・教養

数学に詳しい方〜2の12乗根の求め方

レス67
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ぷぺ

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先日、ある本を読んでおりましたところ、
-----
2の12乗根=1.0594……になる
-----
と書いてありました。

その本は数学ではなく音楽に関する本でしたので、あくまでも2の12乗根の数値が重要であり、計算方法はまでは解説していませんでした。私は数学が苦手なのですが、なぜか本を読み終わってからも素数である2の累乗根をどうやって計算するのか気になって仕方ありません。

ネットで調べたところ、マクローリン展開やテイラー展開やニュートン法で計算できるらしいのですが、それらに関する知識がないので、数式を見ても分かりませんでした。今日、書店に行って、代数、複素数、指数関数、微分・積分の本(店員さんのアドバイス)を数冊拾い読みしましたが、やはり数学の知識を欠いているせいなのか、欲しい情報が探せませんでした。まあ、そのものズバリが書いてあるとは思っていませんでしたが……。

そこで、数学に詳しい皆様!
2や3のような数字が大きくない素数の累乗根の計算方法が分かる書籍をご紹介いただけませんか?何冊か読まなくてはいけないかもしれないし、理解するまで時間がかかると思いますが、自分で計算してみたいのです。
素因数分解や簡単な因数分解は分かります。

無謀なチャンレジかもしれませんが、どうぞ宜しくお願いいたします。

ユーザーID:6971337562

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レス数67

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  • 対数を使うと簡単です

    2の常用対数をとって、それを12で割り、その値の10のベキ乗をとれば出ます。
    計算式で書けば
     2の12乗根 = 10^((log2)/12)
    です。^はベキ乗の記号です。
    Windowsのアクセサリにある電卓の表示を関数電卓モードにして
     2 log / 12 = MS
     10 x^y MR =
    と押してみてください。もっと長〜い答えが出ますよ。

    このやり方で何乗根でも計算できます。例え整数でなくても9.9乗根でも出ます。あっ、難し過ぎ?!失礼しました。

    ユーザーID:5750892155

  • 解答ではありませんが

    開平(二乗根の計算方法)なら、学校教育で教わっているはずです。

    三乗根以上の解法は私も知らないのですが、「大きくない素数」に限定するのはなぜでしょう?

    一般的な解法があれば、どんな数字であろうと(もちろん整数に限らず)計算できるのではないでしょうか。

    ユーザーID:6838634841

  • 向学心は素晴らしい

     その向学心は素晴らしいと思いますが、素因数分解・因数分解レベルからのスタートでは少々厳しいかなと思います。

     テイラー展開は、まず微分がしっかり分からないと理解できません。マクローリン展開はテイラー展開を拡張したものなので、さらに分からないと思います。

     ウィキペディアのニュートン法はご覧になりましたか? ここに書かれている説明がお分かりになると良いのですが。本当はグラフ付きで書かれていると分かりやすいんですけどね。

    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E6%B3%95

     ウィキペディアに書かれている式を、

    f(x)=x^2−2 ⇒ f(x)=x^12−2
    f'(x)=2x ⇒ f'(x)=12x^11

    と置き換えて、例えばExcelなど使って計算すれば値は求まります。

     それから、対象の数字が素数かどうかというのは、この計算には全く関係ありません。多分、元の数字が2の12乗だったら、12乗根は2になるといったことで言われているのだとは思いますが。

    ユーザーID:1810936526

  • 関数電卓を使われては?

    ぷぺさん、こんにちは。関数電卓を使われてはどうでしょう?
    Windowsをお使いであれば、スタート→プログラム→アクセサリ→電卓
    を起動します。そのあと表示で「関数電卓」にします。
    2の12乗根は2の(1/2)乗なので、入力は「2」→「x^y」→「(」→「1」→「/」→「1」→「2」→「)」→「=」で計算できます。
    あるいはエクセルを起動して、どこのセルでもいいので =2^(1/12) と入力すると計算できます。1.0594630943593となりますね。
    この関数電卓は2進法だとか色々表示できて面白いですよ。

    ユーザーID:4114595871

  • あの〜

    テイラー展開もマクローリン展開も要りませんよ?
    指数表記に直して、一般の指数関数を自然指数関数に直す式にいれて、後は電卓叩くだけです。
    昔、この方法で10のマイナス6乗まで問題なく計算できました。

    ユーザーID:6315742848

  • twelfth root of two@wiki

    英語でもよければ、wikiをのぞいてみてはどうでしょう?
    簡単な計算方法も視覚的にわかります。
    明代の王子、音楽家で数学者の朱載[土育](Chu Tsai-Yu、1536-1610)のことも紹介されていますよ。

    さらに詳しい計算方法や十二平均律などは、とりあえず英語・中国語・日本語版ウィキペディアのリンクでお楽しみくださいね♪

    ユーザーID:7381598308

  • テーラ展開は大学の教養レベルの数学ですね

    数学は全くの素人でしかも何十年もご無沙汰状態ですので全く自信はありませんが、2のn乗根でしたら(1+x)の1/n乗という関数をマクローリン展開すれば計算出来るような気がします(そしてxとして1を代入)。もし間違っていたらすいません。

    ちなみにマクローリン展開というのはテイラー展開の特別な場合ですので、両者は同じようなものだと思って頂いて良いと思います。テイラー展開自体は大学の教養課程の解析学の初歩で学んだような気がしますので、もしそこを理解したいということでしたら一般的に「解析入門」のような題の本を探せば説明があると思います。しかし今回の質問でしたらテイラー展開の証明を理解する必要はないと思いますので、ご自分で(1+x)の1/n乗をマクローリン展開の公式に当てはめて計算出来ればそれで十分だと思います(それでも高校の微分の知識は必要だと思いますが)。それか、もしトピ主さんの周りに理工系の学生か卒業生がいらっしゃれば普通に教えてもらえると思うのですが。

    もしご自分で計算されるのでしたら、まずは答えのわかっている2や3の平方根から初めてみてはいかがでしょうか?

    ユーザーID:5252733532

  • 対数表を利用したらどうでしょうか

    対数表を利用したらいかがでしょうか。任意の数をmとし累乗根の数をnとすると、(1/n)×log mで表せるので、今回の数字m=2,n=12から0.0250858を得て、対数表からこの数値に合う数を求めれば、1.059453……が出てきます。
    説明が下手で申訳ありません。対数で検索すると色々出てきます。

    ユーザーID:6336632965

  • 簡単なやり方

    ニュートン法は定番ですが、数学に詳しくない方用に、効率は悪いですが、以下の方法があります。

    2の12乗根の場合、
    (1)この数よりは正解は大きいという下限の数を決めます。適当でOKです。今回は1を使います。1の12乗は1で、2より小さいので、正解よりは小さいことがわかります。

    (2)この数よりは正解は小さいという上限の数を決めます。適当でOKです。2とします。2の12乗は2よりずーっと大きいので正解より大きいことがわかります。

    (3)(上限+下限)÷2で得られる数をXとして、Xの12乗を計算します(頑張ってください)。今回の例ではXは1.5です。Xの12乗はまだとても大きな数(正解の2より大きい)です。

    (4)このXが正解より上ならXを新しく上限にします。正解より下なら下限にします。で、ステップ3に戻ります。正解ぴったりなら計算は終わりで、Xが答えです。今回の例では、下限は1のまま、上限は1.5になります。ステップ3で(1+1.5)÷2=1.25となります・・・。

    Excel使いましたが、31回繰り返すと1.059463094と1.059463095の間が正解とわかりますよ。

    ユーザーID:9745549547

  • 関数電卓でできます

    2^(1/12) を求めてください。
    Windows なら、
    スタートメニューからファイル名を指定して実行
    calc (Enter)
    表示−関数電卓
    2 X^Y (1/12) =

    ユーザーID:2108383817

  • logをつかう

    2の十二乗根は2^(1/12)なので、対数をとってexp((1/12)*ln2)と表したらよいのではないでしょうか?ln2やeの値は、何かの本に詳しく出ていると思います。

    ユーザーID:3904520307

  • 数学の知識

    数学の知識がなかったら
    マクローリン展開やテイラー展開やニュートン法を
    計算すること自体できないのではないでしょうか?

    三角関数や極限値など
    大学レベルの知識が必要かと思います。

    ユーザーID:7198603070

  • ずばり高校の教科書

    高校の数学の教科書の対数のところを見れば計算法が書いてあると思います。
    2の1/12乗をxとして、その対数をとれば、logx=log(2の1/12乗)=1/12log2で対数表からlog2=0.3010なので、これは1/12・0.3010=0.02508・・・となりますので、また対数表を逆に引いてその対数が0.02508となる真数xを求めると、1.0594となります。

    このような計算方法が高校のどの教科書にも乗っているはずです。
    ただ、このように対数表を引くのでは、あまり計算という感じがしなくておいやでしょうか?

    ユーザーID:8615129330

  • こんなかんじでは

    2の12乗根は
    2^(1/12)になりますよね。
    =10^log(2^(1/12))ですよね。
    =10^0.025085833
    =1.05946309

    これでどうでしょうか?

    ユーザーID:3598617386

  • 2分法

    ニュートン法より収束が悪いですが、二つの数の間を探る方法。

    1 と 2の間に解があるというのはわかっているとして、
    1 と 2 ではじめて、この半分の1.5ではどうだろう?と、12回かけてみて、
    1.5の12乗の方が2の12乗より2に近いな、として、
    1と 1.5を得ます。

    これを繰り替えして、

    1 2
    1 1.5
    1 1.25
    1 1.125
    1 1.0625
    1.03125 1.0625
    1.046875 1.0625
    1.0546875 1.0625
    1.05859375 1.0625
    1.05859375 1.060546875
    1.05859375 1.0595703125
    1.05908203125 1.0595703125
    1.059326171875 1.0595703125
    1.0594482421875 1.0595703125
    1.0594482421875 1.05950927734375
    1.0594482421875 1.059478759765625
    ...
    という感じで進めると、1.059463... というようになっていきます。

    ユーザーID:2595135096

  • うーんと。

    関数電卓を使えばすぐできます。
    では、なく(笑)
    ルート2とマイナスルート2の2乗根の3乗根を求めたら12個答が出てきます。
    レッツトライ。

    ユーザーID:1614020078

  • 詳しくはありませんが

    ちょっと混乱なさってるようですので、整理しましょう。

    素数は、1とその数以外に(整数の)約数を持たない数です。一方累乗根ですが、「yがxのn乗根である」とは「yをn回掛け合わせるとx」になるという以上の意味は無く、xが素数であろうと無かろうと累乗根は存在します。たとえばよく知られているように2は素数ですが、その平方根(2乗根)は1.41421356…となることはご存知ですよね。

    さて計算法ですが、ニュートン法はコンピュータを用いて方程式を解く方法の一種ですので、いきなりニュートン法を用いて2の12乗根を計算するのは難しいでしょう。原理は比較的簡単なんですが。

    テイラー展開(マクローリン展開はその一種)は、非常に大雑把に言うと、複雑な関数を、簡単な式(級数)で近似する方法です。微分が出来るのであれば、ニュートン法よりは現実的でしょう。

    しかしながらより簡単な計算法もあります。「開平法」「開立法」を調べてみてください。前者は平方根、後者は立方根を筆算で計算する方法です。「2の12乗根」は「「「2の平方根」の平方根」の立方根」ですから、開平法と開立方を組合せると計算できます。

    ユーザーID:0829449647

  • 単に数字を求めるだけなら

    単に数字を求めるだけなら電卓でいいでしょう。
    グーグルでもよいので、例えば
    2^(1/12)
    と入力すれば12乗根は求められます。
    一般的に
    x^(1/y)
    の式でxのy乗根が求められます。
    数学からしっかりやって求めるのは少し難しく、
    理系大学教養程度の数学知識:マクローリン展開やテイラー展開など
    コンピューターでの数値計算知識:ニュートン法など
    それらの計算を実際に行う知識:プログラミング
    などが必要だと思います。

    探究心に対してチャレンジすることは立派だと思います。
    がんばってください

    ユーザーID:5234189290

  • 数Iの知識で

    変数 x の y 乗根の求め方

    解を、z として、

    z = y■x (yが上にあると思ってください)

    対数をとって、
    ln(z) = ln( x ) / y (ln は自然対数)

    再び、指数をとって
    exp( ln(z) ) = z = exp( ln( x ) / y ) (exp は、e の累乗の関数の意味)

    ということになります。ここで、x に2を、y に12をそれぞれ代入して求めます。

    windows の電卓では、
    [2][ln][/][1][2][=]
    で、ln(2)/12を求めておいて、[M+]を押してメモリに記憶。
    自然対数の底はキーに無いので、
    2.71828183
    を入力して、[x^y]を押し、メモリに溜めておいた[MR]を押して[=]を押して解を得ます。

    別に数学が専門ではありませんが、PCでカンタンに求めるには、こんな感じでしょうか?
    ただ、どうしても、手計算で求めたい、というのならば、別の方法になりますが ...。
    まずは、グラフでイメージできるか否か、ではないかと思います。
    文字だけでは表現しづらいので申し訳ありませんが、こんなところで。

    ユーザーID:4928215868

  • あれれ

    2の12乗根ですよね?

    対数表を使って求めるのではだめなのかな?

    ユーザーID:5268619233

  • エクセルなら

    ぷぺさんの好奇心と挑戦意欲には敬意を表します。

    エクセルなら=2^(1/12)で一発なのですが、”自分で計算してみたいのです”
    ということは計算方法を理解した上での計算が質問の趣旨でしょうから、
    私にはお手上げです。
    だったら投稿するなと言われそうですが
    枯れ木も山の賑わいということで。

    ユーザーID:4415538388

  • 昔は数2 今は多分数1かな

    数値計算だけで良いのですよね??
    対数を使えば簡単です。
    多分対数の知識は高卒以上なら有るはずです。

    安い関数電卓
    対数表<図書館でどうぞ>
    LL尺の付いた計算尺
    いずれかが有ればOK

    x=2^(1/12)
    log(x)=(1/12)*log(2)

    電卓で
     2を入れる
     logを押す。 (0.3010)
     12で割る。   (0.025)
     10^xを押す(Inv log)  (1.059463)
    です。

    10の対数を使ったけどeの対数でも同じ。
     2を入れる。
     linを押す   (0,693)
     12で割る     (0,05776)
     e^xを押す(iNV Lin)  1.059463

    ニュウトン法は、プログラムしないと出来ませんよ。
    マクローリン展開も延々計算になります。

    ユーザーID:2504526317

  • 常用対数表

    関数電卓でしゃらっと、出すわけに行かないから、ここに出されてるわけですよね:
     12■2=1.059463094..

     数式を使わずに比較的簡単に求めるには、常用対数表が楽です。
    log2=0.301029995
    を12で割って、logx=0.025085832 のxの値を表から求めます。6桁くらいしか出ないと思いますが、対数表そのものは今や骨董品並で、本屋にあるかどうかわかりません。
    あと、12=3x2x2を利用して、3乗根(公式があったように記憶)、平方根を2回、と言う方法もあります。ただしこの方法では13乗根はできません。

    たぶん、平均律の半音間の周波数の比が知りたかったために調べられたのでしょう。

    ユーザーID:9127924039

  • 簡単なのはNewton法

    f(x)=x^12-2 に対するNewton法の反復公式(大学1年生の微積分)を自分で計算できますか? 公式が作れれば、あとは電卓で数値計算が可能で、f(x)=0の根がx=2^(1/12)になります。

    そもそも質問の趣旨から見て、指数関数y=a^x(高校数学II)が理解できていないようです。「2の12乗根」とは、y=2^x という関数のx=1/12における値であり、もはや素因数分解の概念では説明できず、「4096=2^12 → 4096^(1/12)=2」と同じように整数だけを用いて計算することはできません。 したがって、本格的に理解するとしたら、高校数学IIから復習する必要があります。

    Newton法の解説書は多数ありますが、たまたま手元にあって参照しているのは、戸川隼人「ザ・数値計算リテラシ」(サイエンス社)です。数学は積上げが重要な学問なので、これが理解できない場合は、必要なレベルまで順次さかのぼらなければならないでしょう。

    ユーザーID:2633917511

  • 関数電卓


    追加

    Winのアクセサリーに電卓があります。
    電卓を起動する。
    表示で関数電卓を選ぶ。

    2を入力
    logをクリック  log(2)
    /をクリック
    12を入力
    =をクリック    log(2)/12
    Invをチェック
    logをクリック  2の12乗根 

    n!もあるので級数展開でしこしこ計算は可能ですね。
    H20年版理科年表 1012ページに

    e^xとlin(1+x)の級数展開が公式として載ってますが

    ユーザーID:2504526317

  • 筆算

    平方根と三乗根は筆算で計算できます。

    2の12乗根は、2の平方根の平方根の三乗根ですから、
    3回の筆算で求めることができます。

    手計算に慣れてない人にはなかなか骨ですので、少し工夫して
    表計算ソフトでやると計算過程が見えて面白いですよ。

    ユーザーID:9963990121

  • 素人レベルですが

    周波数が2倍となる1オクターブを12等分して求める
    平均率のお話ですよね♪

    多乗根の開平と言うようですが、ある程度以上の
    数学知識が必要だと思います。
    ぶべさまが言われる計算の意味がよくわかりませんが、
    高校の学習レベルですが、やはり対数を使うとよいと
    思います。
    指数関数と対数関数の知識はおありでしょうか?

    判りやすいように書きますと、ある数xを12乗すれば
    2となるのですから、xの12乗=2です。
    これの対数をとりますと、log(X^12)=log(2)
    お約束で、12*log(X)=log(2)、よって、log(X)=1/12*log(2)
    エクセルの関数を使えば右辺は出ますから、log(X)の
    式を作りXを近似値的に求めていくと、計算してる気には
    なれますよ(笑)

    ユーザーID:6870326599

  • 展開式


    2の12乗根は、音階の話ですよね。「絶対音感」でしょうか?

    2のx乗を、x=0のまわりで展開すると、

    1+ln(2)*(1/12)+1/2*ln(2)^2*(1/12)^2+1/2/3*ln(2)^3*(1/12)^3
    +無限に続く

    となります。lnは自然対数、^は「乗」をあらわします。
    上の行はgoogleで計算でき、 1.05946263となり、
    ほとんど正しい値になります。もっと先まで計算すればより正確です。

    無限級数にも音楽のような美しさがありますね。

    ユーザーID:8898721828

  • ありがとうございます、トピ主です〜1

    皆様ありがとうございます。
    レスを1つずつじっくり読ませていただいています。
    超がつくほど数学が苦手なので、まずはヒントになる本のご紹介だけでも……と思っておりましが、具体的な計算式や解説を書いていただいた方もいらっしゃって、恐縮です。

    私は音大に進学したので数学は全く必要なし。ということで苦手な数学の授業はサボっていました。。。数学の本に隠して楽典の本を読んだり。高校の数IIレベルのお話なのですね。20年以上前のツケが回ってきた気持です。

    マクローリン展開やテイラー展開は「2の12乗根」のワード検索でヒットしたページで見つけましたが、私がその方法で解けるとは思っておりません(汗)。まずは対数表やそれに関する情報を探して読んでみます。

    ロビンさんとかもめさんが仰る通り、ピタゴラス音階や平均率の周波数比に関する本です。
    計算方法は知らなくても本の内容はきっちり理解できるのですが、何と言うか、お手軽にやり過ごしてはいけないような気がして、計算方法を勉強しようと思いました。ウチにいる理系の人に聞いたら「忘れた」「でも、関数電卓はあるよ」とのこと。

    また後ほどお返事いたします。

    ユーザーID:6971337562

  • トピ主です〜2

    素人笛吹さんも平均率について言及されていましたが、お名前を見落としてしまい大変失礼いたしました。音楽がご趣味の方には2の12乗根はやはりピンとくるものなのでしょうか。嬉しかったです。

    常用対数表をDLして関数電卓での計算はしました。ウチにいる理系の人には、
    2 SHIFT x1/y 12

    という方法を教えてもらいましたが、何となくズルしているような後ろめたさがありました。対数表を使うひと手間をかけると、少しだけ自分で計算している気分を味わえました。数学に携わっている方は関数電卓を効率良く利用していらっしゃるのですね。ツールを使いこなすという意味で勉強になりました。

    理系教員さんがおっしゃっていた↓はその通りだと思っています。
    > 数学は積上げが重要な学問なので、これが理解できない場合は、
    > 必要なレベルまで順次さかのぼらなければならないでしょう。

    ぜひ、さかのぼって勉強したいと思います。音響学の解説書にもsin、cosなどが出てきます。これも計算方法まで知る必要はないレベルの本ですが、理解度に差が出るような気がします。

    この週末から開平に取り組んでみます!

    ユーザーID:6971337562

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