算数好きの方、算数・数学の教育に携わる方、語り合いましょう!

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DITA

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  • 誰か教えて

    算数はとっても得意で好きで、
    センター試験は満点。円周率は1000桁覚えてますが、
    一つだけ分からない問題があります。

    1/3=0.3333333...
    両辺に3をかけると
    1=0.999999...

    どこがおかしいのでしょうか。
    どなたか教えてください。

    ユーザーID:0129368106

  • 円周率の近似

    39歳男さん:
     あの騒ぎはナンセンスというか「ゆとり」の象徴にされてしまいましたね。実は小数点以下2桁の計算を扱わないという制限のもとでももうちょっとましなのがあって、それは22/7を円周率の近似値として使う方法です。でも、なぜか学校数学ではこれを使おうとはしません。数ある謎のひとつです(笑)。

     そうでなくても、概数、近似値、有効数字はなんとなく継子扱いされている印象があります。概数で計算して大体のあたりをつけるというのは結構重要なテクニックだし、数の感覚を養うという意味でもいいと思うのですが。そうでなくても計算尺とかやらなくなって(実際に使うことはもうなくなっちゃったけど)そこら辺手薄なのに。

     ちなみに円周率の近似値として■10 というのもあります。πの自乗なんかが出てくる計算(まあ、そうあるもんじゃないですが)のときなんかに結構使えます。

    ユーザーID:9181712611

  • 汗顔の至り

    トピ主様

     仰せの通りで当方の早合点でした。
    考えていたのは,「△ABCと△A'B'C'があり,■A=■A',■B=■B',AC=A'C'であれば,必然的に■C=■C'であるから(→二角夾辺相等となって),△ABC■△A'B'C'」ということでした。しかしもし,等しい辺が「AC=A'C'」でなくて「AC=B'C'」などであったとしたら合同条件は成立しないわけで,2つの三角形は相似としか言えないということになります。結局,本質的には矢張り「二角夾辺相等」は必要で,「穴があったら入りたい」の典型であります。大変失礼致しました。

     しかし,同じく三角形の合同条件でも,直角三角形の「斜辺と一辺が相等であれば合同(二辺夾角でなくてよい)」というのは,真の妙味だと思われます。これは,直角三角形の場合は,三平方の定理から,二辺の長さが決まれば自動的に残りの辺の長さが決まるためですが,この特別な合同条件を初めて認識した時は,「目から鱗」という思いだったことを記憶しております。

    ユーザーID:6734188034

  • 数学はゲーム?

    41歳女さん:
    20世紀に変わるころヒルベルトという大数学者が、そんなようなことを唱えています。「形式主義」といって、「数学は決められたルール(公理と推論法則)に従って行われるゲームである」とする立場です。公理に出てくる言葉は無定義語といってその意味は一切問いません。彼はその立場から矛盾のない数学的体系を証明しようとしましたが、ゲーデルの不完全性定理によってその望みはあえなくついえました。とはいえこの流れの研究は数学基礎論として大きな発展を遂げ、アルゴリズムやプログラミング言語を扱う計算機科学の元になっています。
     問題は常識ではそれぞれ、0/1=0, 1/0=(無限大または無定義)ですが、そうならないのも考えようと思えば考えられなくもないからなぁ(笑)。

    ぴいさん:
    大学ということなので、多分群とか体とかの話の中でしょうか。おそらく、加法の単位元と逆元、乗法の単位元と逆元(それぞれ、0, -a, 1, 1/a)の存在と一意性を証明するとかやるんだと思いますが、それだけではなんとも。

    ユーザーID:9181712611

  • これなら分かる!

    問題1、0/1=0

    問題2、1/0=0

    ユーザーID:0985441885

  • 負の数(と虚数)

    実は負の数がまともに取り扱われるようになったのはそんなに古いことではないようです。最初にきちんと扱われたのは7世紀ころのインド(0の発見がインドでとされてることからも当然かも)ですが、その後アラビアに伝わり10世紀ころには借金に負の数がつかわれていました。それが十字軍によりヨーロッパに伝わってもなかなか受け入れられず、デカルトは負の解が出てくると偽の解と呼び、大数学者オイラーですら抵抗を示していました。18世紀後半くらいになってやっとまともな数として認められたようです。

     虚数はイタリアのジェローラモ・カルダノ(あのちょい悪イタリア親父と同じ名前)が3次方程式を解くときに導入したのが最初とされています。その弟子のフェラーリ(これもあれと同じ名前)は4次方程式の解法で知られています。が、数学者全般に受け入れられたのは、近代数学の父といわれたガウスによる複素平面(この発見自体は別の人ですが)が広まった19世紀前半以降のようです。

     と、こういういわくのあるものを、中学高校で理解しなくちゃいけないわけです(笑)。

    ユーザーID:9181712611

  • あの問題

    >例の問題も、もし、「カード」が問題を解くのに影響するのなら、例えば、
    ・上下ひっくり返すこともあります
    ・裏返すこともあります
    ・重ねることもあります
    のような説明がつきます。

    算数クイズならそうですが「小学6年生の算数の問題」では説明は必要ないです。そもそも小学6年で並べ替え問題を習っているのでしょうか?

    >説明がついていないということは、たんに「2,4,6,0と小数点を全て1回ずつ使った数は何通り作れますか」ということです。イメージをつかみやすくするために「カードを並べる」という状況設定にしただけです。

    「イメージをつかみやすくするために」と言いながら、なおさらいくつもの解釈ができる変な問題にしてしまいましたね。最初から「2,4,6,0と小数点を全て1回ずつ使った数は何通り作れますか。最後に0はつかない」でいいんです。

    出題者はカードと言いながら、紙に書いて数えろという趣旨だったのでしょう。出題ミスです。
    教師の質も小学6年のレベルも低くなりましたね。「数学」で考える人が多かったですが「算数」だったんですね。

    ユーザーID:7244352935

  • この問題は簡単ですか?



    問題1、  0/1=


    問題2.  1/0=

    ユーザーID:6663845764

  • 無題

    1, 1, 9, 9 を1つずつ使って10を作りなさい

    まだ出ていませんが19−9×1
    もありますよ!!

    実はこれしか思いつかなかったんですが(笑)

    ユーザーID:5785756236

  • 切符の数字

    難問がでているのですが、ヨコですみません。
    数学は全然なのですが、算数は好きだった(はず)で興味があり、
    トピを楽しませていただいてます。
    トピ主さんのレスにありました、切符の4つの数で10を作る。
    これ、必ずやってました!それはもうムキになって。

    そのことに関しての質問ですが、10を作ることのできる場合のほうが多かったのか少なかったのか、フト疑問に思いました。あと、パッと見てこの組み合わせはダメだと判断できるものだったのかなぁと。お時間がありましたら教えてください。コツが存在していたとわかるだけでも嬉しいです。

    ユーザーID:0237231298

  • トピ主です。「マイナス1」と、そのイメージについて(1)

    ただ、マイナスという数学の概念そのものが分からない、となると、
    ちょっとつまづいている感じがしますね。

    温度計など、普段から「マイナス何℃」のように使っているものだといかがでしょう?
    アイスクリームには「-18℃以下で保存してください」みたいな表記がありますね。
    「なぜ、温度にはマイナスが存在するんだろう?」
    「温度が0℃というのはどういうことだろう?」と聞いてみると、
    どんな反応が返って来るんでしょうか。
    やがて、ゼロというのはある基準でしかなく、
    プラスとマイナスは基準からの方向と考えられることに気が付く…と、いいなぁ。

    指導要領にも、
    ・正の数と負の数について具体的な場面での活動を通して理解し,その四則計算ができるようにする。
    とあり、教科書には何がしかの「具体的な場面」が載っているはずですので、
    それをベースに理解されると良いかと思います。

    「500文字制限」にめげそうなDITAでした(笑)。
    連投失礼しました。

    ユーザーID:3716159584

  • トピ主です。「マイナス1」と、そのイメージについて(0)

    2つめの理由は、「数学は、それ単体で体系化され、理論的な整合性が取れている学問である」からです。
    この表現が適切かどうか自信がないのですが、
    イメージできようとできまいと、数学は数学として純粋に成立しています。
    たとえば、足し算を理解させるのに、果物を使った例を出しますが、
    果物がないと加法演算が成立しない訳ではなくて、
    演算を理解する手助けとしてイメージさせる訳です。
    ある時点からは、足し算をするのに、いちいち物をイメージすることはなくなりますよね。
    ですので、イメージできないことが、数学を理解していないことになるか、というと、
    あまりそんな気がしません。

    特に、中学・高校と、数学の教育が進んで行くにつれ、
    イメージとの対応付けがどんどん難しくなっていくかと思います。
    (虚数などは高校数学での最たる例かも知れません)
    機械的に計算していくうちに、あとから理解が付いてくることだってあります。
    「言葉をそのまま暗記して解いているだけ」というのも、
    時と場合によっては、最善の手段かも知れないです。

    ユーザーID:3716159584

  • トピ主です。「マイナス1」と、そのイメージについて(-1)

    中学校で「負の数」が登場し、そこでつまづく生徒は結構いるんじゃないかと想像します。
    それは今も昔も変わらないと思うのですが…。
    どうやって克服するのか、親切な方々が私に代わって答えて下さることを希望します〜。

    > どうして何もないところからさらに1個減った状態がイメージできるのか

    私は2つの理由で「イメージできなくても大丈夫」と答えたいです。

    1つの理由は、テーブルに置かれている果物の数を計算する場合、
    答えがマイナスになるような非現実な結果にはならないからです。

    実際、私も「みかんがマイナス1個」をストレートにイメージできておりません(汗)

    私の脳内イメージですが、みかん0個から1個減らそうとした時点で、
    ただの負の数として考えるようになります。
    今までイメージしていた、みかんとテーブルが消えて、
    数直線のイメージに切り替わる、とでも言うのでしょうか。
    単に「−1」という数字があって、そこに「個」という単位をくっつけた感じです。

    中にはマイナス1個のみかんが「見える」人もいると思いますが、
    見えなくても間接的にマイナス1という数量が把握できるなら不便は感じません。

    ユーザーID:3716159584

  • 高校までの数学はクイズみたいで楽しかった

    算数の面白さ、簡単なのだとツルカメ算ですよね。文字(方程式)を使わずに解く問題。大人になって解こうとすると逆に頭を使いました。
     ・ツルとカメが合計6匹いる。足の合計が16本。さて、カメは何匹?

    あとは大学2年時の数学の試験問題。いまだに正解がわかりません。(単位が取れたので復習しないまま…)
     ・「1−1=0」を証明せよ。

    わかる方、ぜひ教えてください。

    ユーザーID:5465410459

  • 負の数は自然数の概念では無理

    物を数える時に使う数は「自然数」です。 負の数は「自然数」には含まれないので、ものの数を数えるイメージで負の数を考えるのは無理です。
    物の数ではなく、数直線。 「温度、向きのある速度、金の貸し借り」などがイメージとして浮かびやすいのでは。

    またマイナス×マイナス=プラス のイメージとしては。

    後ろ向きに歩いている人を考えます。 この人が過去いた場所は今の場所より前にいますよね。

    というのはいかがでしょう。

    ユーザーID:6187248823

  • なるほどねー

    私も算数、数学大好きな学生時代で理系でしたが、感覚で解いていたので家庭教師などのバイトも一切したことなく人に説明するのはきっと出来なかったと思うので、つまるところあほなんだと思います。

    で、負の数を乗ずると正になる、の説明。。。。39歳男さんの説明に納得、、、いまさらながらすっきり。(ね、あほでしょ?)
    面白いですこのトピ!


    私は数学をゲームだと思っていたので、解くための、ゲームをするための条件と思ってました。
    TVゲームをするのに、このボタンを押して前にすすむのはどうしてか、早くなるのはどうしてか、なんていちいち考えないですよね??
    でもきちんとわからない事を追求すれば勉強すればもっと賢くなってたかもしれないですね(笑)

    ユーザーID:6663845764

  • トピ主です。まとめレス。

    まとめてのレスですみません。

    ●小町爺さん

    ○○算って結構あるのですね。
    よくいろいろな名前をつけたものです。

    あと、鉄1kgと綿1kgは同じ重さで良いのですよね?

    ●現代の無責任男さん

    2つの図形の合同条件を満たして初めて、2つの図形について、全ての頂点の対応関係が特定されるはずですが、
    「二角一辺」には、「一辺」をどこの一辺とするかを明示するニュアンスがなく、
    合同かどうかを評価する前に、一辺の位置を特定するために2つの図形の頂点の対応を必要としている点で、
    証明として不十分な気がするのですが、これは問題ないのでしょうか。

    ●バルサ命さん

    算数や数学の意義を感じたことはあまりなかったですね〜。
    逆に、不必要だとも思ったことはなかったのが幸いでしたが…。

    理性的に考えたり、一般化して考える訓練にはなったと思います。
    「自分の生活の中で、自分なりに活かされている」程度ではありますが…。

    ●nodさん

    最近、強く感じたのは、
    「小学算数において、厳密にしない基準は意外と厳密だなー」
    ということです。
    ちょっとパラドックス的な表現ですね(笑)。

    ユーザーID:3716159584

  • 気のせいです。

    >私は算数がすごく好きでしたし理解力もあったほうだと思います。

    誤解だと断言できます。計算だけできたのでしょう。
    もう一度お子さんと一緒に勉強したら、今度はきっときちんと理解できますよ。

    ユーザーID:6402484983

  • 捨象の訓練

    以上のような比較の仕方をすると、状況設定が影響を与える問題のほうが題意が明確で良さそうな気がしてしまいますが、影響を与えない問題も重要な訓練を兼ねています。
    それは捨象の訓練です。

    【捨象】
    [名](スル)事物または表象からある要素・側面・性質を抽象するとき、他の要素・側面・性質を度外視すること。(大辞泉)

    例えば、「アメ玉」の問題なら、抽象すべきは「個数として数えられること」であり、度外視すべきは「食べたり人にあげたりしたら数が減ってしまうこと」です。
    このような問題に対して、「お菓子は弟と半分に分けなさいとお母さんに言われている」などと言う子供がいますが、彼/彼女はふざけているわけではありません。根気良く「今はその言いつけは守らなくていい」と教えてやる必要があります。

    この捨象のレベルは、段階を踏んで高度になっていくべきものだと思います。
    したがって、学年に合わせた程よい状況設定が施されているのが望ましい問題だと思います。

    [電卓問題の解答]
    4!×4=96通り
    (5!−4!=96通りと考えるほうが自然かもしれません)

    ユーザーID:7063437247

  • 状況設定が問題に影響を与える場合

    一方、次の問題は、「電卓」という状況設定が解答に影響を与えます。

    (1) まず電卓のCA(クリアオール)を押します。
    (2) 次に、2,4,6,0と小数点を任意の順番にそれぞれ1回ずつ押します。
    (3) 最後に「=」を押します。
    以上の操作により、何通りの数が作れますか。

    この問題なら、複数の解釈が発生することはないと思います。
    (2)で、最初に小数点を押せば、それは「0.」の意味になります。
    最初に0を押せば、次が小数点ならその0は残り、小数点以外なら消えます。
    最後に小数点を押せば、整数の意味になります。
    最後に0を押せば、「=」を押したときにその0は消えます。
    たぶん全機種共通だと思います。

    答えは次のレスの最後に書きます。

    ユーザーID:7063437247

  • 状況設定が問題に影響を与えない場合

    算数を習い始めのころに、「太郎君はアメ玉を9個、花子さんはアメ玉を6個持っています。2人合わせて何個のアメ玉を持っているでしょう。」のような問題を解きます。この問題における「アメ玉」には、解答者が具体的なイメージを持ちやすいようにという以上の意味はありません。つまり、たんに「9+6=」という問題です。

    もし、「アメ玉」が問題を解くのに影響するのなら、例えば、「太郎君は3分に1個、花子さんは4分に1個、アメ玉を食べます。12分後には2人合わせて何個のアメ玉が残っているでしょう。」のように、「アメ玉」がどう問題に影響するのかの説明がつきます。

    例の問題も、もし、「カード」が問題を解くのに影響するのなら、例えば、
    ・上下ひっくり返すこともあります
    ・裏返すこともあります
    ・重ねることもあります
    のような説明がつきます。

    説明がついていないということは、たんに「2,4,6,0と小数点を全て1回ずつ使った数は何通り作れますか」ということです。イメージをつかみやすくするために「カードを並べる」という状況設定にしただけです。

    ユーザーID:7063437247

  • 数字ではなく数として

    1, 1, 9, 9 を1つずつ使って10を作りなさい

    の答えですが、数字ではなく数として考えると、

    (1+1/9)x9

    ですね。

    ユーザーID:1572692197

  • 答えと解説(ってちょっとえらそげ)

    nodさん: 正解にしますが、普通のやり方にするようにフォローはします。

    トピ主さん: (1+1/9)×9 これはわりと有名(笑)、切符のは私もやりました。最近はナンバープレートですが娘はのってくれません(苦笑)。

    自分の: 英語でプライム、日本の中学高校数学ではダッシュ。もともとはイギリス発祥でイギリス・インドでも使っているという説もありますが、アメリカではまったく通用しないので、数学を使う仕事してる人は多分使ってないと思います。どうせ高校中学の数学でしか使わないので、日本でもプライムと読ませようという意見もありますが、ぜんぜん盛り上がっていません(笑)。

    理子さん: −1個の林檎を想像するのは難しいので個数から考えると納得できない子は多いです。ーが逆の操作ということがわかると結構納得するので、右にいくのを+、左に行くのをーとか量を使って説明するといいかも。借金は後で借金x借金がなんで+? というのが出てくるので不可(笑)。
    実は、有理数と同じように、2つの自然数からなるペアを使って数を負の数に拡張することができますが議論はすごく抽象的になります(笑)。

    ユーザーID:9181712611

  • 答えがいっぱいのトピ主です。

    え〜〜〜〜っと…。

    難問を出します。

    「1, 1, 9, 9 を1つずつ使って10を作りなさい」といういい加減な問題を出した私ですが、
    果たして私はいったいどんな問題を出したかったのでしょうか。
    私の気持ちになって考えてください(笑)。

    「知るか!」とか言わないで〜。

    ユーザーID:3716159584

  • つづき

    (私の疑問)
    以前、アンチゆとりキャンペーンで「(円周率3.14)が(約3)になる」(コンマ以下2桁の掛け算を習わないため)といって大騒ぎになったことがありましたが、私はこれは受験産業の営業トークだと思っています。
    日本の科学力低下、など極端な議論もありましたが、上位層(円周率の概念・概数の概念が掴めている層)にとっては特にデメリットはない(円周率は所詮3.14ではない(無理数)、また中学に行けばパイになって3.14などつかわない)、むしろ計算が楽になる分面積などイメージがつかみやすくなる。すなわち科学力は落ちたりはしない。
    「ハンケイかけるハンケイかけるサンテンイチヨン」と念仏のように唱えて回答を機械的に出している子供に「3」と「約3」の違いを説明するのが難しい、というのならまだ解るのですが。
    どう思われますか?

    ユーザーID:9944599784

  • おもしろいですね

    (nodさんの問題)
    私が採点者ならもちろん正解です。(文系ですが数学は好き)
    「マルで囲む」のは「正解の記号を特定する」という意味でしかないですよね。
    ただし三角で囲んだり(正解でないとの意思表示か)、花丸で囲んだり(ふざけてるのか)といった誤解をまねく危険のある方法はお勧めできません。

    (トピ主さんの問題)
    19-9/1
    でどうでしょう。

    (理子さんの問題(?))
    個数ではなく、日常生活で負の値をとる数値(金額、温度等)で説明されては?
    また、「負数x負数=正数」は「一つ売ると30円赤字になる逆ざや商品を、卸し元に3個返品したら90円の得」という説明はどうですか?

    ユーザーID:9944599784

  • ちょいまて

    鐘を打つには準備動作が必要です。

    「キリキリキリキリ…ご〜〜ん」
    これを6回繰り返すと5秒が掛かるのだから、
    12回繰り返すならば10秒です。

    ●をハンマー
    □を鐘とすると

    A)初期状態
    □●

    B)5/6−δ秒後。バネか何かの力に逆らって、ハンマーを移動し終わりました。
    □  ●

    C)5/6秒後。バネか何かの力によって、ハンマーが鐘を叩きます
    □● ご〜〜〜ん

    また、このB→Cを繰り返すのに必要な時間は常に一定であるとすると。

    6回叩くのにかかる時間が5秒ならば、12回叩くのにかかる時間は10秒です。

    12対のハンマーと鐘があれば、『2回目以降の』B→Cの時間の考慮が不要になりますが、1回目の時間は不明であるために計算することができません。
    ですので、ハンマーと鐘は1対である、と捉えるのが妥当かと思われます。

    ユーザーID:2293259910

  • 答えがたくさん

    DITA様

    「1, 1, 9, 9 を1つずつ使って10を作りなさい」ですが

    1)11−9/9
    2)(91−1)/9
    このあたりが算数的。

    指数の形でもよければまだまだありますね。
    3)9の1乗+1の9乗
    4)(9+1)/1の9乗
    5)(9+1)x1の9乗
    6)9x1の9乗+1
    ・・・

    ユーザーID:1984691627

  • (トピ主です)’

    ある父 さん、A’は先生も生徒も「エーダッシュ」と読んでいた記憶があります。
    コンテキストによって「Aの微分」と読み換えていました。
    さらに微分するとツーダッシュ・スリーダッシュみたいな感じで
    ま、いっか的な発想(汗)。

    さて、国語辞典で「ダッシュ」を引くと
     * 数字・文字などの右肩につける符号。「A′」「1′」のように用いる。
    という項があり
    英和辞典で "prime" を引くと
     * プライム符号、ダッシュ記号◆「A'」(エー・ダッシュ)の「'」記号のこと
    という項がありました。
    この英和辞典によると、A primeには「エー・ダッシュ」という対訳があるらしいです。

    英語として通用することを重要視するか(これならエープライムかな?)
    日本で使用する範囲を想定するか、
    はたまた微分であればライプニッツの当時の読み方までさかのぼるのか(これはさすがに極端ですね)
    何を基準にして「正しさ」を判断するかは意外と難しそうです。

    私は通じれば何でも良いと思って、
    ついついごまかしてしまうテキトー派です(笑)

    ユーザーID:3716159584

  • トピ主です。時を打つ時間

    > ある時計が6時の鐘を鳴らすのに5秒かかります。
    > では12時の鐘を鳴らすのに何秒かかる?

    私も鳴っている時間を意識してしまって、
    「何か条件あるのでは?」と勘繰ってしまいました…(笑)。

    さて、ある父 さんのヒントを元に少し調べてみたら、
    柱時計の時報を題材にした植木算の問題は、入試問題として実際に出題されたようです。
    (洛南高付属中)

    ただ、ほんっと〜〜に微妙な表現の違いなのですが、
    「時計」ではなく「柱時計」と書かれていて、
    「鐘を鳴らす」の代わりに「鐘を打つ」という言葉が使われています。
    鐘を鳴らすのは鐘を打つことに他ならないですし、
    「鐘を打つ」よりも「鐘を鳴らす」ほうが自然な語法にも思えるのですが、
    あえて「打つ」と書くことで、無視できる一瞬であることを想起させる
    出題意図があるのかも知れませんね。

    たまたま最近、ミニッツ・リピーターを搭載した腕時計を触ったことがあり、
    鐘の音で時刻を知らせる機能にもいろいろあるんだなぁと思っていたので、
    私にとってはタイミングの良い題材でした。

    ユーザーID:3716159584

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