算数好きの方、算数・数学の教育に携わる方、語り合いましょう!

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DITA

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  • では、こんなのは

    私が小学生だった時に先生が出した問題です。

    [設問1]
    3を5つ使って合計が100になるような式を作ってください。

    [設問2]
    ある時計が6時の鐘を鳴らすのに5秒かかります。
    では12時の鐘を鳴らすのに何秒かかる?


    ちょっと難しいですね。

    ユーザーID:6837578071

  • 解釈

    DITAさん、こんにちは。
    別トピの算数の問題、なかなかおもしろかったです。
    正解は1つのはずなのに、いろんな回答があって、
    当然1つ以外は間違いのはずなのに、皆さん自信を持って答えて
    おられる。トピ主さんが正解を提示したあと、間違えた人は
    問題の文章が悪いとか、算数ではなく数学ならこうだとか
    結構長く続いています。

    小学6年生の算数の問題と言うことを前提にすれば、ある程度
    答えは限定されるのですが、提示された問題文を言葉通り
    解釈すれば、いく通りかの解釈が可能なのも確かです。

    こんなことは、教室の現場でもしょっちゅうあって、こんな
    ときは先生の決定で正解が決まります。テストなんかだったら
    返却時に自分はこう解釈したと主張すれば、優しい先生なら
    △くらいくれるかもしれませんが、今回の問題の場合は
    正解以外は×にされそうです。

    ユーザーID:1984691627

  • なんかネタ振るのかと待ってたのに

    先に問題が出ちゃったようなので、とりあえずpon太さんの問題の答を。
    [1]: 33×3 + 3/3 他にあるかどうかは知りません(笑)
    [2]: 10秒から11秒の間。問題の表現が不明確。出題の意図としては11なんでしょうけど。時計の鐘が鳴っている時間とか考え出すと小学生じゃ混乱するだろうに(笑)。鐘を鳴らすという表現もちょっとあいまいだし、素直に植木算で出すかきちんと条件をつけるかだと思います。授業で使ってきちんとフォローがあるならこの問題でもいいかもですが。

    では、わたしから(算数でも数学でもないです)

    数学の式の中で「A’」と出てきたらなんと読みますか?

    知ってる人は知ってる類の話ですが。 

    ユーザーID:9181712611

  • pon太様

    1.33x3+3/3かな。
    2.これは昔よくありました。最近は鐘の鳴る時計が少ないので
    あまり見かけなくなりました。
     1秒間隔で鳴るわけだから、12時は11秒。

    算数の問題と言うより、クイズによく出るパターンですね。

    ユーザーID:1984691627

  • むかしむかし

    小学校で習う文章題が大好きですね
    旅人算、植木算、鶴亀算、濃度算、、
    文章題は正確に正しく図を書くと答えが解りますよね。
    気付いた時は嬉しかった。

    昔、塾で方程式を習った友人が急に満点を取りました。
    あまり成績が良い子ではなかったので、皆がびっくりしました。

    担任の先生は男の子を大いに褒め、塾の事を非難しませんでした。
    後でとても良い先生だったと思いました。強烈に覚えています。

    昔で言うところの 数3がこれまた大好きです。
    微分、積分、統計と確率?、微分方程式 にやけて来ます。
    花瓶の体積を積分で解く 良いですね。

    好きな問題
    「鉄1kg綿1kgはどちらが重いでしょうか?」

    小学生低学年に試してください。
    今でも時々高3の娘に出し、オヤジギャグとゲラゲラされます。

    ユーザーID:8377056459

  • 或る思い付き

    1.三角形の合同条件のうち「二角夾辺相等」については,「夾辺」の必要はない。直接証明するのは「二角一辺相等」でよい。
    何故なら,「二角」が相等ならば残りの一角も必然的に相等である。従っ て,これと一辺の相等を証明すれば自動的に「二角夾辺」が証明される。

    2.係数が全て実数の二次方程式の判別式に関して,その符号と解の存在形態は1対1に対応する。即ち,
       判別式が正⇔解は異なる実数
       判別式が0 ⇔重解
       判別式が負⇔解は複素数
    であるが,高次方程式の場合はこれは成り立たない。判別式の符号によらず実数解も複素数解も存在し得る。四次以上の方程式については,
       判別式が正⇔偶数組(含・0)の共役複素数解がある
       判別式が0 ⇔重解がある
       判別式が負⇔奇数組の共役複素数解がある
    としか言えない。
       

    ユーザーID:6734188034

  • 何のための数学?

    多分トピ主さんの意向にはそぐわないとは思いますが。皆さん何のために数学を勉強していたか、いるか?って考えたことありますか?小生はある時感じました(正解ではないのかもしれないので感じたと表現してます)
    結局、全ての学問は真理を追究する哲学の種類の1つである。数学は論理形成をするための方法論でしょう。どうやって宇宙が生まれたか?どうして生物が生まれて、人類まで進化したか?って数学と関係ないと思うかもしれないけど、論理思考は結構使ってますよね。で、何が言いたいかというと、こういう数学的な論理思考は色々な分野で役に立っているし、大変重要です。もちろん数学だけが重要ではないので、結局は真理を追究する手段の1つであり、、、。こういう観点で数学を見直すと、勉強しがいがあるかと個人的には思います。数学は好きだけど良い点数は取れません1個人です。

    ユーザーID:5713862173

  • ことば

    某トピで、DITAさん始め何人かの方々のやり取りを興味深く拝見していました。
    で、その感想としては、算数・数学ではなく(というより、数字や数式ではなくと言うべきか)、まず言葉をどう解釈するかという、教科としてはむしろ「国語」の分野の問題なのかなと思いました。算数・数学=論理的、国語=情緒的という一般的なイメージがあると思いますが、実は、その「算数・数学=論理的」の根底には、国語(ことば)の能力が重要な位置を占めているのではないかと、某トピを拝見して感じたような次第です。

    このトピが、雑談トピのように感じられましたので、トピずれではないかと思いつつも、門外漢の自分も勝手な感想を書き込みました。

    さらにトピずれかもしれませんが、以前ラジオで聞いた話ですが、算数・数学系の方はどうお考えになりますか?

    ある子供がテストを受けた。問題文に「正しいものの記号をを○で囲め」とあったので、その子供は、正解の記号「ア」の周りを一つの円で囲む(外接円)のではなく、「ア」の周囲に小さな円をたくさん書いた(外接円の円周上に小さな円を書いて埋めた)。これは正解とすべきなのでしょうか?

    ユーザーID:8446255318

  • シンプルに

    「エイ・ダッシュ」ですか?

    あまり自信はないですけど。

    ユーザーID:0985441885

  • 負の数の考え方

    私は算数がすごく好きでしたし理解力もあったほうだと思います。
    そんな私が今、中1の娘の母です。

    娘は算数が苦手なので時々見てやるのですが説明が難しいです。
    私は肌で感じて直感で解いてきたところがあるので、娘にとってどこが理解できないのかがわかりません。

    今直面しているのは負の数の考え方。

    4個、3個、2個、1個、0個と、一つずつ減っていって、0個からさらに1個減ると-1個になるというのが理解できないようです。

    「どうして何もないところからさらに1個減った状態がイメージできるのか」といいます。

    「負の数と負の数を掛けあわせると正の数になる」というのは頭で理解したのではなく、その言葉をそのまま暗記して解いているだけで、答えは出せますが理解はできていないそうです。

    負の数についてどのように説明したら算数が苦手な娘にうまく伝わるでしょうか。

    質問になってしまってすみません。

    ユーザーID:6001156867

  • トピ主です。3を5つで100を作る問題

    pon太さん初めまして。早速の出題ありがとうございます。
    すでに参加されている方からのレスもありますので、私のレスは出題単位にします。
    しかも、ゆるーいおしゃべりを目指します(笑)。

    > 3を5つ使って合計が100になるような式を作ってください。

    私も 99 と 1 を作って足す、と考えて解けました。
    過去にやったかも、というおぼろげな知識がアシストしているのかも知れません。

    似たような問題として、
    「1, 1, 9, 9 を1つずつ使って10を作りなさい」
    というのもあります。
    (これは、当時解けなかった記憶があります)

    ところで、私が中学生だった頃、
    切符に印刷された4桁の数字を使って10が作れればラッキー、
    みたいなことをやっていましたが、
    今やすっかりプリペイドカード化されてしまい、
    数字を見ることはめっきりなくなってしまいましたね〜。

    ユーザーID:3716159584

  • トピ主です。時を打つ時間

    > ある時計が6時の鐘を鳴らすのに5秒かかります。
    > では12時の鐘を鳴らすのに何秒かかる?

    私も鳴っている時間を意識してしまって、
    「何か条件あるのでは?」と勘繰ってしまいました…(笑)。

    さて、ある父 さんのヒントを元に少し調べてみたら、
    柱時計の時報を題材にした植木算の問題は、入試問題として実際に出題されたようです。
    (洛南高付属中)

    ただ、ほんっと〜〜に微妙な表現の違いなのですが、
    「時計」ではなく「柱時計」と書かれていて、
    「鐘を鳴らす」の代わりに「鐘を打つ」という言葉が使われています。
    鐘を鳴らすのは鐘を打つことに他ならないですし、
    「鐘を打つ」よりも「鐘を鳴らす」ほうが自然な語法にも思えるのですが、
    あえて「打つ」と書くことで、無視できる一瞬であることを想起させる
    出題意図があるのかも知れませんね。

    たまたま最近、ミニッツ・リピーターを搭載した腕時計を触ったことがあり、
    鐘の音で時刻を知らせる機能にもいろいろあるんだなぁと思っていたので、
    私にとってはタイミングの良い題材でした。

    ユーザーID:3716159584

  • (トピ主です)’

    ある父 さん、A’は先生も生徒も「エーダッシュ」と読んでいた記憶があります。
    コンテキストによって「Aの微分」と読み換えていました。
    さらに微分するとツーダッシュ・スリーダッシュみたいな感じで
    ま、いっか的な発想(汗)。

    さて、国語辞典で「ダッシュ」を引くと
     * 数字・文字などの右肩につける符号。「A′」「1′」のように用いる。
    という項があり
    英和辞典で "prime" を引くと
     * プライム符号、ダッシュ記号◆「A'」(エー・ダッシュ)の「'」記号のこと
    という項がありました。
    この英和辞典によると、A primeには「エー・ダッシュ」という対訳があるらしいです。

    英語として通用することを重要視するか(これならエープライムかな?)
    日本で使用する範囲を想定するか、
    はたまた微分であればライプニッツの当時の読み方までさかのぼるのか(これはさすがに極端ですね)
    何を基準にして「正しさ」を判断するかは意外と難しそうです。

    私は通じれば何でも良いと思って、
    ついついごまかしてしまうテキトー派です(笑)

    ユーザーID:3716159584

  • 答えがたくさん

    DITA様

    「1, 1, 9, 9 を1つずつ使って10を作りなさい」ですが

    1)11−9/9
    2)(91−1)/9
    このあたりが算数的。

    指数の形でもよければまだまだありますね。
    3)9の1乗+1の9乗
    4)(9+1)/1の9乗
    5)(9+1)x1の9乗
    6)9x1の9乗+1
    ・・・

    ユーザーID:1984691627

  • ちょいまて

    鐘を打つには準備動作が必要です。

    「キリキリキリキリ…ご〜〜ん」
    これを6回繰り返すと5秒が掛かるのだから、
    12回繰り返すならば10秒です。

    ●をハンマー
    □を鐘とすると

    A)初期状態
    □●

    B)5/6−δ秒後。バネか何かの力に逆らって、ハンマーを移動し終わりました。
    □  ●

    C)5/6秒後。バネか何かの力によって、ハンマーが鐘を叩きます
    □● ご〜〜〜ん

    また、このB→Cを繰り返すのに必要な時間は常に一定であるとすると。

    6回叩くのにかかる時間が5秒ならば、12回叩くのにかかる時間は10秒です。

    12対のハンマーと鐘があれば、『2回目以降の』B→Cの時間の考慮が不要になりますが、1回目の時間は不明であるために計算することができません。
    ですので、ハンマーと鐘は1対である、と捉えるのが妥当かと思われます。

    ユーザーID:2293259910

  • おもしろいですね

    (nodさんの問題)
    私が採点者ならもちろん正解です。(文系ですが数学は好き)
    「マルで囲む」のは「正解の記号を特定する」という意味でしかないですよね。
    ただし三角で囲んだり(正解でないとの意思表示か)、花丸で囲んだり(ふざけてるのか)といった誤解をまねく危険のある方法はお勧めできません。

    (トピ主さんの問題)
    19-9/1
    でどうでしょう。

    (理子さんの問題(?))
    個数ではなく、日常生活で負の値をとる数値(金額、温度等)で説明されては?
    また、「負数x負数=正数」は「一つ売ると30円赤字になる逆ざや商品を、卸し元に3個返品したら90円の得」という説明はどうですか?

    ユーザーID:9944599784

  • つづき

    (私の疑問)
    以前、アンチゆとりキャンペーンで「(円周率3.14)が(約3)になる」(コンマ以下2桁の掛け算を習わないため)といって大騒ぎになったことがありましたが、私はこれは受験産業の営業トークだと思っています。
    日本の科学力低下、など極端な議論もありましたが、上位層(円周率の概念・概数の概念が掴めている層)にとっては特にデメリットはない(円周率は所詮3.14ではない(無理数)、また中学に行けばパイになって3.14などつかわない)、むしろ計算が楽になる分面積などイメージがつかみやすくなる。すなわち科学力は落ちたりはしない。
    「ハンケイかけるハンケイかけるサンテンイチヨン」と念仏のように唱えて回答を機械的に出している子供に「3」と「約3」の違いを説明するのが難しい、というのならまだ解るのですが。
    どう思われますか?

    ユーザーID:9944599784

  • 答えがいっぱいのトピ主です。

    え〜〜〜〜っと…。

    難問を出します。

    「1, 1, 9, 9 を1つずつ使って10を作りなさい」といういい加減な問題を出した私ですが、
    果たして私はいったいどんな問題を出したかったのでしょうか。
    私の気持ちになって考えてください(笑)。

    「知るか!」とか言わないで〜。

    ユーザーID:3716159584

  • 答えと解説(ってちょっとえらそげ)

    nodさん: 正解にしますが、普通のやり方にするようにフォローはします。

    トピ主さん: (1+1/9)×9 これはわりと有名(笑)、切符のは私もやりました。最近はナンバープレートですが娘はのってくれません(苦笑)。

    自分の: 英語でプライム、日本の中学高校数学ではダッシュ。もともとはイギリス発祥でイギリス・インドでも使っているという説もありますが、アメリカではまったく通用しないので、数学を使う仕事してる人は多分使ってないと思います。どうせ高校中学の数学でしか使わないので、日本でもプライムと読ませようという意見もありますが、ぜんぜん盛り上がっていません(笑)。

    理子さん: −1個の林檎を想像するのは難しいので個数から考えると納得できない子は多いです。ーが逆の操作ということがわかると結構納得するので、右にいくのを+、左に行くのをーとか量を使って説明するといいかも。借金は後で借金x借金がなんで+? というのが出てくるので不可(笑)。
    実は、有理数と同じように、2つの自然数からなるペアを使って数を負の数に拡張することができますが議論はすごく抽象的になります(笑)。

    ユーザーID:9181712611

  • 数字ではなく数として

    1, 1, 9, 9 を1つずつ使って10を作りなさい

    の答えですが、数字ではなく数として考えると、

    (1+1/9)x9

    ですね。

    ユーザーID:1572692197

  • 状況設定が問題に影響を与えない場合

    算数を習い始めのころに、「太郎君はアメ玉を9個、花子さんはアメ玉を6個持っています。2人合わせて何個のアメ玉を持っているでしょう。」のような問題を解きます。この問題における「アメ玉」には、解答者が具体的なイメージを持ちやすいようにという以上の意味はありません。つまり、たんに「9+6=」という問題です。

    もし、「アメ玉」が問題を解くのに影響するのなら、例えば、「太郎君は3分に1個、花子さんは4分に1個、アメ玉を食べます。12分後には2人合わせて何個のアメ玉が残っているでしょう。」のように、「アメ玉」がどう問題に影響するのかの説明がつきます。

    例の問題も、もし、「カード」が問題を解くのに影響するのなら、例えば、
    ・上下ひっくり返すこともあります
    ・裏返すこともあります
    ・重ねることもあります
    のような説明がつきます。

    説明がついていないということは、たんに「2,4,6,0と小数点を全て1回ずつ使った数は何通り作れますか」ということです。イメージをつかみやすくするために「カードを並べる」という状況設定にしただけです。

    ユーザーID:7063437247

  • 状況設定が問題に影響を与える場合

    一方、次の問題は、「電卓」という状況設定が解答に影響を与えます。

    (1) まず電卓のCA(クリアオール)を押します。
    (2) 次に、2,4,6,0と小数点を任意の順番にそれぞれ1回ずつ押します。
    (3) 最後に「=」を押します。
    以上の操作により、何通りの数が作れますか。

    この問題なら、複数の解釈が発生することはないと思います。
    (2)で、最初に小数点を押せば、それは「0.」の意味になります。
    最初に0を押せば、次が小数点ならその0は残り、小数点以外なら消えます。
    最後に小数点を押せば、整数の意味になります。
    最後に0を押せば、「=」を押したときにその0は消えます。
    たぶん全機種共通だと思います。

    答えは次のレスの最後に書きます。

    ユーザーID:7063437247

  • 捨象の訓練

    以上のような比較の仕方をすると、状況設定が影響を与える問題のほうが題意が明確で良さそうな気がしてしまいますが、影響を与えない問題も重要な訓練を兼ねています。
    それは捨象の訓練です。

    【捨象】
    [名](スル)事物または表象からある要素・側面・性質を抽象するとき、他の要素・側面・性質を度外視すること。(大辞泉)

    例えば、「アメ玉」の問題なら、抽象すべきは「個数として数えられること」であり、度外視すべきは「食べたり人にあげたりしたら数が減ってしまうこと」です。
    このような問題に対して、「お菓子は弟と半分に分けなさいとお母さんに言われている」などと言う子供がいますが、彼/彼女はふざけているわけではありません。根気良く「今はその言いつけは守らなくていい」と教えてやる必要があります。

    この捨象のレベルは、段階を踏んで高度になっていくべきものだと思います。
    したがって、学年に合わせた程よい状況設定が施されているのが望ましい問題だと思います。

    [電卓問題の解答]
    4!×4=96通り
    (5!−4!=96通りと考えるほうが自然かもしれません)

    ユーザーID:7063437247

  • 気のせいです。

    >私は算数がすごく好きでしたし理解力もあったほうだと思います。

    誤解だと断言できます。計算だけできたのでしょう。
    もう一度お子さんと一緒に勉強したら、今度はきっときちんと理解できますよ。

    ユーザーID:6402484983

  • トピ主です。まとめレス。

    まとめてのレスですみません。

    ●小町爺さん

    ○○算って結構あるのですね。
    よくいろいろな名前をつけたものです。

    あと、鉄1kgと綿1kgは同じ重さで良いのですよね?

    ●現代の無責任男さん

    2つの図形の合同条件を満たして初めて、2つの図形について、全ての頂点の対応関係が特定されるはずですが、
    「二角一辺」には、「一辺」をどこの一辺とするかを明示するニュアンスがなく、
    合同かどうかを評価する前に、一辺の位置を特定するために2つの図形の頂点の対応を必要としている点で、
    証明として不十分な気がするのですが、これは問題ないのでしょうか。

    ●バルサ命さん

    算数や数学の意義を感じたことはあまりなかったですね〜。
    逆に、不必要だとも思ったことはなかったのが幸いでしたが…。

    理性的に考えたり、一般化して考える訓練にはなったと思います。
    「自分の生活の中で、自分なりに活かされている」程度ではありますが…。

    ●nodさん

    最近、強く感じたのは、
    「小学算数において、厳密にしない基準は意外と厳密だなー」
    ということです。
    ちょっとパラドックス的な表現ですね(笑)。

    ユーザーID:3716159584

  • なるほどねー

    私も算数、数学大好きな学生時代で理系でしたが、感覚で解いていたので家庭教師などのバイトも一切したことなく人に説明するのはきっと出来なかったと思うので、つまるところあほなんだと思います。

    で、負の数を乗ずると正になる、の説明。。。。39歳男さんの説明に納得、、、いまさらながらすっきり。(ね、あほでしょ?)
    面白いですこのトピ!


    私は数学をゲームだと思っていたので、解くための、ゲームをするための条件と思ってました。
    TVゲームをするのに、このボタンを押して前にすすむのはどうしてか、早くなるのはどうしてか、なんていちいち考えないですよね??
    でもきちんとわからない事を追求すれば勉強すればもっと賢くなってたかもしれないですね(笑)

    ユーザーID:6663845764

  • 負の数は自然数の概念では無理

    物を数える時に使う数は「自然数」です。 負の数は「自然数」には含まれないので、ものの数を数えるイメージで負の数を考えるのは無理です。
    物の数ではなく、数直線。 「温度、向きのある速度、金の貸し借り」などがイメージとして浮かびやすいのでは。

    またマイナス×マイナス=プラス のイメージとしては。

    後ろ向きに歩いている人を考えます。 この人が過去いた場所は今の場所より前にいますよね。

    というのはいかがでしょう。

    ユーザーID:6187248823

  • 高校までの数学はクイズみたいで楽しかった

    算数の面白さ、簡単なのだとツルカメ算ですよね。文字(方程式)を使わずに解く問題。大人になって解こうとすると逆に頭を使いました。
     ・ツルとカメが合計6匹いる。足の合計が16本。さて、カメは何匹?

    あとは大学2年時の数学の試験問題。いまだに正解がわかりません。(単位が取れたので復習しないまま…)
     ・「1−1=0」を証明せよ。

    わかる方、ぜひ教えてください。

    ユーザーID:5465410459

  • トピ主です。「マイナス1」と、そのイメージについて(-1)

    中学校で「負の数」が登場し、そこでつまづく生徒は結構いるんじゃないかと想像します。
    それは今も昔も変わらないと思うのですが…。
    どうやって克服するのか、親切な方々が私に代わって答えて下さることを希望します〜。

    > どうして何もないところからさらに1個減った状態がイメージできるのか

    私は2つの理由で「イメージできなくても大丈夫」と答えたいです。

    1つの理由は、テーブルに置かれている果物の数を計算する場合、
    答えがマイナスになるような非現実な結果にはならないからです。

    実際、私も「みかんがマイナス1個」をストレートにイメージできておりません(汗)

    私の脳内イメージですが、みかん0個から1個減らそうとした時点で、
    ただの負の数として考えるようになります。
    今までイメージしていた、みかんとテーブルが消えて、
    数直線のイメージに切り替わる、とでも言うのでしょうか。
    単に「−1」という数字があって、そこに「個」という単位をくっつけた感じです。

    中にはマイナス1個のみかんが「見える」人もいると思いますが、
    見えなくても間接的にマイナス1という数量が把握できるなら不便は感じません。

    ユーザーID:3716159584

  • トピ主です。「マイナス1」と、そのイメージについて(0)

    2つめの理由は、「数学は、それ単体で体系化され、理論的な整合性が取れている学問である」からです。
    この表現が適切かどうか自信がないのですが、
    イメージできようとできまいと、数学は数学として純粋に成立しています。
    たとえば、足し算を理解させるのに、果物を使った例を出しますが、
    果物がないと加法演算が成立しない訳ではなくて、
    演算を理解する手助けとしてイメージさせる訳です。
    ある時点からは、足し算をするのに、いちいち物をイメージすることはなくなりますよね。
    ですので、イメージできないことが、数学を理解していないことになるか、というと、
    あまりそんな気がしません。

    特に、中学・高校と、数学の教育が進んで行くにつれ、
    イメージとの対応付けがどんどん難しくなっていくかと思います。
    (虚数などは高校数学での最たる例かも知れません)
    機械的に計算していくうちに、あとから理解が付いてくることだってあります。
    「言葉をそのまま暗記して解いているだけ」というのも、
    時と場合によっては、最善の手段かも知れないです。

    ユーザーID:3716159584

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