算数好きの方、算数・数学の教育に携わる方、語り合いましょう!

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DITA

学ぶ

DITAと申します。
トピを開いてくださってありがとうございます。

とある算数の問題を解いているうちに、
算数で扱う範囲、考え方、教え方など、いろいろ興味が出てきてしまいました。
一言で「算数の常識」と言うのも、その中身には奥深さがあるんだなぁと。

といいながら、そんな堅苦しい話でなくても、
算数をテーマにした情報交換、お悩み相談など、
語り合いませんか?

ユーザーID:3716159584

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  • トピ主です。「マイナス1」と、そのイメージについて(1)

    ただ、マイナスという数学の概念そのものが分からない、となると、
    ちょっとつまづいている感じがしますね。

    温度計など、普段から「マイナス何℃」のように使っているものだといかがでしょう?
    アイスクリームには「-18℃以下で保存してください」みたいな表記がありますね。
    「なぜ、温度にはマイナスが存在するんだろう?」
    「温度が0℃というのはどういうことだろう?」と聞いてみると、
    どんな反応が返って来るんでしょうか。
    やがて、ゼロというのはある基準でしかなく、
    プラスとマイナスは基準からの方向と考えられることに気が付く…と、いいなぁ。

    指導要領にも、
    ・正の数と負の数について具体的な場面での活動を通して理解し,その四則計算ができるようにする。
    とあり、教科書には何がしかの「具体的な場面」が載っているはずですので、
    それをベースに理解されると良いかと思います。

    「500文字制限」にめげそうなDITAでした(笑)。
    連投失礼しました。

    ユーザーID:3716159584

  • 切符の数字

    難問がでているのですが、ヨコですみません。
    数学は全然なのですが、算数は好きだった(はず)で興味があり、
    トピを楽しませていただいてます。
    トピ主さんのレスにありました、切符の4つの数で10を作る。
    これ、必ずやってました!それはもうムキになって。

    そのことに関しての質問ですが、10を作ることのできる場合のほうが多かったのか少なかったのか、フト疑問に思いました。あと、パッと見てこの組み合わせはダメだと判断できるものだったのかなぁと。お時間がありましたら教えてください。コツが存在していたとわかるだけでも嬉しいです。

    ユーザーID:0237231298

  • 無題

    1, 1, 9, 9 を1つずつ使って10を作りなさい

    まだ出ていませんが19−9×1
    もありますよ!!

    実はこれしか思いつかなかったんですが(笑)

    ユーザーID:5785756236

  • この問題は簡単ですか?



    問題1、  0/1=


    問題2.  1/0=

    ユーザーID:6663845764

  • あの問題

    >例の問題も、もし、「カード」が問題を解くのに影響するのなら、例えば、
    ・上下ひっくり返すこともあります
    ・裏返すこともあります
    ・重ねることもあります
    のような説明がつきます。

    算数クイズならそうですが「小学6年生の算数の問題」では説明は必要ないです。そもそも小学6年で並べ替え問題を習っているのでしょうか?

    >説明がついていないということは、たんに「2,4,6,0と小数点を全て1回ずつ使った数は何通り作れますか」ということです。イメージをつかみやすくするために「カードを並べる」という状況設定にしただけです。

    「イメージをつかみやすくするために」と言いながら、なおさらいくつもの解釈ができる変な問題にしてしまいましたね。最初から「2,4,6,0と小数点を全て1回ずつ使った数は何通り作れますか。最後に0はつかない」でいいんです。

    出題者はカードと言いながら、紙に書いて数えろという趣旨だったのでしょう。出題ミスです。
    教師の質も小学6年のレベルも低くなりましたね。「数学」で考える人が多かったですが「算数」だったんですね。

    ユーザーID:7244352935

  • 負の数(と虚数)

    実は負の数がまともに取り扱われるようになったのはそんなに古いことではないようです。最初にきちんと扱われたのは7世紀ころのインド(0の発見がインドでとされてることからも当然かも)ですが、その後アラビアに伝わり10世紀ころには借金に負の数がつかわれていました。それが十字軍によりヨーロッパに伝わってもなかなか受け入れられず、デカルトは負の解が出てくると偽の解と呼び、大数学者オイラーですら抵抗を示していました。18世紀後半くらいになってやっとまともな数として認められたようです。

     虚数はイタリアのジェローラモ・カルダノ(あのちょい悪イタリア親父と同じ名前)が3次方程式を解くときに導入したのが最初とされています。その弟子のフェラーリ(これもあれと同じ名前)は4次方程式の解法で知られています。が、数学者全般に受け入れられたのは、近代数学の父といわれたガウスによる複素平面(この発見自体は別の人ですが)が広まった19世紀前半以降のようです。

     と、こういういわくのあるものを、中学高校で理解しなくちゃいけないわけです(笑)。

    ユーザーID:9181712611

  • これなら分かる!

    問題1、0/1=0

    問題2、1/0=0

    ユーザーID:0985441885

  • 数学はゲーム?

    41歳女さん:
    20世紀に変わるころヒルベルトという大数学者が、そんなようなことを唱えています。「形式主義」といって、「数学は決められたルール(公理と推論法則)に従って行われるゲームである」とする立場です。公理に出てくる言葉は無定義語といってその意味は一切問いません。彼はその立場から矛盾のない数学的体系を証明しようとしましたが、ゲーデルの不完全性定理によってその望みはあえなくついえました。とはいえこの流れの研究は数学基礎論として大きな発展を遂げ、アルゴリズムやプログラミング言語を扱う計算機科学の元になっています。
     問題は常識ではそれぞれ、0/1=0, 1/0=(無限大または無定義)ですが、そうならないのも考えようと思えば考えられなくもないからなぁ(笑)。

    ぴいさん:
    大学ということなので、多分群とか体とかの話の中でしょうか。おそらく、加法の単位元と逆元、乗法の単位元と逆元(それぞれ、0, -a, 1, 1/a)の存在と一意性を証明するとかやるんだと思いますが、それだけではなんとも。

    ユーザーID:9181712611

  • 汗顔の至り

    トピ主様

     仰せの通りで当方の早合点でした。
    考えていたのは,「△ABCと△A'B'C'があり,■A=■A',■B=■B',AC=A'C'であれば,必然的に■C=■C'であるから(→二角夾辺相等となって),△ABC■△A'B'C'」ということでした。しかしもし,等しい辺が「AC=A'C'」でなくて「AC=B'C'」などであったとしたら合同条件は成立しないわけで,2つの三角形は相似としか言えないということになります。結局,本質的には矢張り「二角夾辺相等」は必要で,「穴があったら入りたい」の典型であります。大変失礼致しました。

     しかし,同じく三角形の合同条件でも,直角三角形の「斜辺と一辺が相等であれば合同(二辺夾角でなくてよい)」というのは,真の妙味だと思われます。これは,直角三角形の場合は,三平方の定理から,二辺の長さが決まれば自動的に残りの辺の長さが決まるためですが,この特別な合同条件を初めて認識した時は,「目から鱗」という思いだったことを記憶しております。

    ユーザーID:6734188034

  • 円周率の近似

    39歳男さん:
     あの騒ぎはナンセンスというか「ゆとり」の象徴にされてしまいましたね。実は小数点以下2桁の計算を扱わないという制限のもとでももうちょっとましなのがあって、それは22/7を円周率の近似値として使う方法です。でも、なぜか学校数学ではこれを使おうとはしません。数ある謎のひとつです(笑)。

     そうでなくても、概数、近似値、有効数字はなんとなく継子扱いされている印象があります。概数で計算して大体のあたりをつけるというのは結構重要なテクニックだし、数の感覚を養うという意味でもいいと思うのですが。そうでなくても計算尺とかやらなくなって(実際に使うことはもうなくなっちゃったけど)そこら辺手薄なのに。

     ちなみに円周率の近似値として■10 というのもあります。πの自乗なんかが出てくる計算(まあ、そうあるもんじゃないですが)のときなんかに結構使えます。

    ユーザーID:9181712611

  • 誰か教えて

    算数はとっても得意で好きで、
    センター試験は満点。円周率は1000桁覚えてますが、
    一つだけ分からない問題があります。

    1/3=0.3333333...
    両辺に3をかけると
    1=0.999999...

    どこがおかしいのでしょうか。
    どなたか教えてください。

    ユーザーID:0129368106

  • 算数好きの方 教えてください

    25年か30年前に
    『DIP式算数』
    と言う教材があったと記憶してます。

    少し前から捜しているのですが
    見つかりません。

    どなたかご存知ありませんか?

    ユーザーID:3637870092

  • 1-1=0の証明?

    1-1=0の証明できました。(本当?)
    多分、間違ってます。
    勝手に加群を仮定しました。
    加群と整域の関係については、忘れました。
    すべて、忘却の彼方へ。

    [証明]
    aを加法に関する0でない単数とすると
    a+(-a)=0
    (-a)を(-1)aと書くことにすると
    a+(-a)=a+(-1)a=1・a+(-1)・a=0
    分配則が成り立つとすると
    1・a+(-1)・a=(1+(-1))・a=0
    整域とすると、a \not= 0より
    1+(-1)=0
    1+(-1)を1-1と書くことにすると
    1-1=0 //

    ユーザーID:5950584319

  • 構造として理解すること

    文系で数学が得意で好きだ、という人にあったので、
    「じゃあ、複素数(の集合)って何?」と聞いたら、
    「いろいろ定義はあるけど…、
    例えば実数体に不定元:Xを添加して(X^2+1)で割った商体とか?」
    と答えられました。
    簡単すぎる問題を出して失礼なことをした、と思いました。

    負の数にしても、分数の割り算にしても、複素数にしても、
    暗記すること(計算が出来ること)と、感覚として理解すること、
    そして、構造として理解するということは異なりますね。
    高校までの数学では、構造まで踏み込めなくても
    せめて感覚として理解して欲しいです。

    「1-1=0を証明せよ」ですが、
    出題の意図によって答えは異なるでしょう。
    代数の授業であれば、
    1-1は定義により、1+(-1)であり、
    -1は定義により1の加法についての逆元なので 1+(-1)=0である
    ということになるでしょう。
    (つまり、1と加え合わせた時に0になる数、というのが-1の定義です。)
    数学基礎論のテストで出た問題ならまた話は別です。

    ユーザーID:6402484983

  • 基礎の基礎

    理系で大学、大学院と進み、
    大学まではどんどん式が複雑になり、多重積分、微分方程式・・・
    それが、大学院のとある講義(情報理論という名前だった)で、
    「自然数とは、『0』『自然数+1』だけで定義される」
    「足し算では0、掛け算では1が??数で、このように二つの演算子でそれぞれ特異な数を持つ体系で・・・」
    「足し算、掛け算は自然数で閉じるが、引き算は整数になる。割り算は有理数になり・・・」
    とか「体」とか「環」とか、数字の世界の定義、定理を習い、
    複雑な数式の極限にたどりついた後、一気に「数字の始まり」に戻った気分でした。

    でもそれがやたら難しかった。
    数学、おもしろいです。

    ユーザーID:2167175708

  • 1=0.999・・・の証明?

    センター数学40/200でしたが、
    証明できました。(正しいか?)

    0.999… = \lim_{n->\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{9}{10^k}
    =(9/10)\lim_{n->\infty}\frac{10-(1/10)^n}{9}
    =(9/10)(10/9)=1

    [注意]
    算数・数学好きと称した場合、パスワードに
    ・フィボナッチ数
    ・円周率
    ・…
    を、絶対に使用しないこと。危険です。

    ユーザーID:4513213923

  • トピ主です。数字カードの話(1)

    ugougoさん、こちらに来ていただいてありがとうございます。
    あちらでのレスができず、申し訳ありません。

    直接お話しさせていただいたのは「ジレンマ」からだと思いますが、
    まずugougoさんと私の考えの違いは、
    ただし書きに、どこまで記述するかという基準または常識があるのか、
    あるいは出題者のさじ加減でいいのか、
    というところだと思いますが、合っていますでしょうか。

    また、ただし書きより上の行に書かれているであろう出題の本文としては、
    例の出題文そのものではなく、「数を作る」ことが明記されている仮定の上
    ということで良いでしょうか。

    私はさじ加減が存在すると考えておりまして、理由は以下の通りです。
    ・原則として、出題は算数の概念のみで解くようにする(算数で閉じる)べきである
    ・ただし、文章題は日常的な題材を扱うため、特に小学生に解かせる場合、
     日常との乖離で児童が混乱しないよう、出題文に注意を払うことは望ましいことである
    ・題材も出題形式も有限ではないので、ただし書きとして何を書くか、
     ある程度、出題者の自由度が生まれる(同時にセンスでもある)

    ユーザーID:3716159584

  • トピ主です。数字カードの話(2)

    ugougoさんのレスを拝見して疑問に思うのですが、
    小数点の位置を、捨象の対象としなかったのはなぜでしょう。
    小学生が目にする頻度について、何がしかの基準があって、それに従ったのでしょうか。
    つまり「よく目にする」であれば「よく」の基準です。

    私としては、
    zero-paddingの注釈については
    「要らないんじゃないのかな。書いたらヒントバレバレだし」
    小数点の位置の注釈については
    「なくても大丈夫だろうけど、大したヒントにはならないから入れてもいいかな」
    くらいの違いだと思っています。

    あと別レスになります。
    (zero-paddingを注釈とすべき理由として書く訳ではありません)

    ストップウォッチは、00'00"00 という表現が一般的かと思いますが、
    「コンマ何秒」と表現する通り、秒以下のセパレータに小数点を使うことがあります。
    (「コンマ」という呼び方が適切かどうかはともかく)
    キッチンタイマーについては、0X.XX というパターンでなく、
    「十の位をゼロで埋めている数」と断ったうえで挙げています。
    時刻以外なら、交通量調査のカウンターなんかもありますね。

    ユーザーID:3716159584

  • 結局のところ…

     0.999…というのは,
     a(n) = 0.9*(1/10)^n  (n=0,1,2,3,…)
    という等比数列a(n)による無限級数と考えることができ,
     lim {a(0)+a(1)+a(2)+a(3)+…+a(n)}
    n→∞
     =0.9/{1-(1/10)} (初項が0.9,公比が1/10の等比数列の和の極限値)
     =1
    従って,
     0.999… = 1
    なる結論に至る,と教わった記憶があります。

     尚,円周率に関しては,「ゆとり(「3」と教える)の見直し」はいいとしても,近頃の傾向を見ていると,何だか,「小数点以下何桁まで記憶しているかの競い合い」に堕すように思えて気掛かりであります。肝心なことは,
    「円周率というのは,『整数÷整数』という形で表すことができない数だ(そのような数が存在する)」ということなのですが…。従って,例えば円の面積の教え方も「半径×半径×『円周率』」とすべきで,『』を単なる数値で覚えさせたのでは,事の本質を理解させることはできないと思われます。

    ユーザーID:6734188034

  • トピ主です。まとめレス(1) 10を作る話

    「1, 1, 9, 9」の問題を出し、
    二立さん、39歳男さん、ある父 さん、Smartweedさん、akina243さんから解答をいただきました。

    いずれも正解ですが、
    「1, 1, 9, 9を1桁ずつ使って四則演算をして、10を作りなさい」というつもりでした。
    字数制限で書けませんでした(←うそつけ!)

    この場合の正解もいただいていますが、(1+1/9)×9 が正解です。

    ●usiさん

    このトピに「ヨコ」という概念は、たぶんありません(笑)。
    遠慮なさらずに。
    ただ算数からあまりにもかけ離れたり、難しい問題だとはぐらかされる恐れがあります(汗)。

    さて10を作る話。
    コツではないですが、1という数字があれば±1として使えるので便利、程度しか思いつきません。

    10を作れる組み合わせがどちらが多いかは分かりませんが、
    もし私が求めるとしたら、全通り計算させちゃいそうです。

    ユーザーID:3716159584

  • トピ主です。まとめレス(2)

    ●むー太郎さん

    準備動作にかかる時間をδ秒とし、
    1回目の鐘の準備動作開始から、6回目の打鐘の瞬間までが5秒だったとすると、
    1回目の鐘の準備動作開始から、12回目の打鐘の瞬間までの時間は、11-(6/5)δ秒ですよね。

    植木算のように、δ=0と見なして答えを11秒とするなら分かるものの、
    δが消えて10秒になることはないと思うのですが、何か前提条件違っていますでしょうか?

    ●現代の無責任男さん

    「斜辺と一辺が相等であれば合同」は、私も妙味と感じます。

    ●41歳女さん

    0/1の答えは0でしょうね。

    1/0についてですが、ウィキペディアで「ゼロ除算」を読んでみてはいかがでしょう。
    それによると「算数レベルでは、無意味または未定義」となるそうです。

    関連して、「0の0乗」というページもありました。

    ユーザーID:3716159584

  • トピ主です。まとめレス(およそ3)

    ●39歳男さん

    ゆとり教育が提唱された背景や、何が行われたかは私はほとんど知らず、
    蚊帳の外状態でした…。

    円周率については、3.14 を「およそ3」とすることで、
    果たして簡単になったと言えるのか疑問なのですが…。

    ところで、偶然にも、このトピの7月4日時点のアクセス順位は314位でした(笑)。

    ●ある父 さん

    数学史のお話などなど、いつもありがとうございます。

    カルダノは16世紀の数学者なので、方程式がある以上、
    負の数は当時から普通に使われていたのかなと思っていましたが、
    普及は18世紀後半だったのですか。

    では温度計はどう表記されていたんだろうと調べてみると、
    摂氏温度(℃)が考案されたのは1742年で、ちょうど18世紀の後半に差し掛かる頃なのですね。

    それまでは華氏温度やレーマー温度などが用いられていたそうで、
    当時、恐らく一番低い温度ができるとされていた塩水の凝固点を「0レーマー度」としていたようで
    いかに負の数を避けようとしていたかが伺えますね。
    今の中学生が負の数を避ける気持ちも分かるわぁー(違うか)

    ユーザーID:3716159584

  • 1-1=0の証明

    博士様

    整域では、
    「1の逆元は-1」<=>「-a=(-1)・a」
    は正しいでしょうか?

    (<=)前掲
    (=>)
    1・a+(-1)・a = (1+(-1))・a
    ここで、1+(-1)=0だから、
    a+(-1)・a = 0
    ゆえに
    (-1)・a = -a//

    ユーザーID:1586063521

  • トピ主です。1万年と2千年前から愛してる話

    某アニメを想起された方ごめんなさい。鶴亀算の話です。
    ツルは2千年だったのかとか、ツルとカメが同時にいるなら合わせても1万年でしかないだろう、
    いう類のツッコミはスルーさせていただきます(笑)。

    ●ぴいさん

    > ツルとカメが合計6匹いる。足の合計が16本。さて、カメは何匹?

    これ、ケアレスミス王者である私は、
    カメとツルの足の本数の差を考慮するのをときどき忘れます(笑)。

    とりあえず全部ツルだとして、
    6匹だから、合計は12本。
    16−12=4だから、答えは4匹!(え〜〜っ!)

    答えは、足の本数の差が4本だから、カメは2匹ですね。

    > 「1−1=0」を証明せよ。

    私は、大学での計算演習としては、
    主にザンクとかゴッパとかの点数計算くらいでしたので、
    「分かりませーん!」と開き直ります(笑)。

    石ころ さんのレスを拝見すると、
    「数字の始まり」は、なかなか興味深いですね。
    (「興味深い」という表現に留めてしまうズルさ)

    ユーザーID:3716159584

  • トピ主です。9がいくつあるんだろうな話

    ●ネギトロさん

    ウィキペディアに、そのものズバリ「0.999...」という項目があります。

    |"0.999..." という記号は "1" という記号が表すのとまったく同じ数を表現しているということである。
    |この数が2通りの表現を持っているというように言い換えることもできる。

    ちなみにこの「0.999...」というページは、
    百科事典の内容として完成度が高いという評価を受けていて、
    2007年にウィキペディアの「秀逸な記事」に選ばれ、
    一時期、ウィキペディアのトップページでも紹介されていたことがあります。

    「教育現場でのとまどい」というセクションもあり、
    どこで引っかかりやすいのかというのも分かりやすく、おすすめです。

    ユーザーID:3716159584

  • ありがとうございます!

    もしかしたら、ものすごく面倒くさいことを聞いているのではないかと
    思っていたのですが、やっぱりそうでしたか。
    疎いとその判断すらできなくて…。

    コツがないと聞け、逆にコツコツ挑めそうです(笑)。
    難問の答えの出し方は初めて気づいたことなので、
    10を作る攻略法は増えたと思っています。
    ご解答ありがとうございます!

    ユーザーID:0237231298

  • 分かりづらかったかしら

    初期状態では、槌は鐘のすぐ横にあります。
    このままでは槌は鐘を叩けません。バックスイング(?)が必要です。

    で、槌は歯車からの力で『ゆっくりと』鐘から遠ざかっていきます。
    この時間をαとし、槌がバネの力で勢いよく鐘に叩きつけられる時間をδとすると、

    (α+δ)×6=5
    という式になります

    この問題では、鐘は1秒間隔ではなく、5/6秒間隔で鳴るんです。
    だから12回だと10秒。

    重要なのは、1回鐘を打ったら、時計さんは休んだり待ったりせずに即座に次の準備に入ると言う事です。

    ご理解いただけるでしょうか?

    そういう機構を持つ時計は実在します。
    私は最初にそのイメージが出てきます!!

    δを無視するのは良いとしても、αを無視してしまうと、鐘は一瞬で連打されることになります。


    ところで。

    円周率の近似値って 355÷113 がよく知られていると思いますが…
    113355と覚えやすく、小数点以下第6位までの精度を持っているスグレモノです。
    日常生活では、これで困ることは無いでしょう。
    決して等しいワケじゃない事は言うまでもありませんが。

    ユーザーID:2293259910

  • 整域じゃなくても

    別に一般の環で正しいと思いますけど。

    ユーザーID:6402484983

  • 負の数(と虚数)の補足

    認められるとか受け入れられるとか書いてしまったのでちょっと誤解を招いてしまったかもしれません。

    どちらもその以前から、盛んに使われてはいたんだと思います。ただ、計算上の方便であるとか、使えば便利だけれど実体はないとか、なんというか数学としてまともに扱う対象ではないみたいな存在だったのかなという感じです。あと、お気づきかと思いますが、私のネタ元もほとんどゐきぺぢあでございます(笑)。

    以下駄、温度で負の数を説明しようとするのは危険です。ちょっと知ってる生徒なら絶対零度なんてものを知ってたりするので、じゃあ負の数は-273.15で終わっちゃうんだとかまぜっかえされかねません(笑)

    ユーザーID:9181712611

  • ありがとうございます

    ある父さん、有難うございます。ゲームだと思ってたのはまんざら悪くもなかったのかな。少なくともそのおかげで学生時代数学大好きって思えてたんですものね!

    0/1=、1/0=、の問題は私が高校に入学して初めての数学の授業で先生が出題されました。私の頭が??だったとき先生は一人の生徒を指名しました。その生徒は「0/1=0、1/0=答えられない」と答えました。 先生は「その通り!0に何かをかけて1になる数などありません!」とおっしゃいました。私にとって衝撃で今でもはっきり覚えています、、、。
    「ゼロ除算」ウィキって見ましたが、あの日の衝撃にはかないません(笑)

    ユーザーID:6663845764

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