算数好きの方、算数・数学の教育に携わる方、語り合いましょう!

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DITA

学ぶ

DITAと申します。
トピを開いてくださってありがとうございます。

とある算数の問題を解いているうちに、
算数で扱う範囲、考え方、教え方など、いろいろ興味が出てきてしまいました。
一言で「算数の常識」と言うのも、その中身には奥深さがあるんだなぁと。

といいながら、そんな堅苦しい話でなくても、
算数をテーマにした情報交換、お悩み相談など、
語り合いませんか?

ユーザーID:3716159584

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  • トピ主です。鳴らすのはあな〜た〜な話

    補足説明ありがとうございます!

    むー太郎さんとの違いは「打鐘直後の休み時間を無視できるかどうか」のようですね。

    鐘を打つ構造にもよると思いますが、ハンマーをピックアップ→リリースという仕組みなら、
    リリース後、次のピックアップまでのタイムラグはあるのではないでしょうか。
    そうでないとリリースしたエネルギーをピックアップ部分で受けることになり、
    ピックアップ部とハンマー軸に結構な疲労がかかることになりますよね。

    ・ハンマーを鐘にぶつけて、運動エネルギーを失わせる
    ・運動エネルギーが失われた後、次の準備動作に入る

    という2つのプロセスに分けられると思いますが、
    その間のタイムラグを0と見なしてしまって良いのですか?

    仮に、実在する柱時計で0秒に近いものがあったとしても、
    この間を0としないと柱時計の報時機能が成り立たないとは思えず、
    常に0として計算して良いかはちょっと疑問です。

    むしろ、この時間を一定時間確保することにより、報時機能の寿命も長くなると思うので、
    もし、むー太郎さんのように柱時計の機構までも考慮されるなら、
    ここはむしろ0とみなさないほうが望ましい気がします。

    ユーザーID:3716159584

  • 1=0.999...

    数学偏差値40未満さんにトピ主さんありがとうございます。

    1=0.999...
    は正しいんですね。同じ数字の別な表現ということですか。
    20年以上、間違っていると思い、どこがおかしいのか、と
    悩んでいました。

    ちなみに、円周率はパスワードには使っていませんが、
    クルマのナンバーには使ってます。

    ユーザーID:3289198056

  • マーチンガードナー

    十数年前に高校生の頃に、マーチンガードナー著の
    数学ゲームI,II,III,VI
    というのを読んで、とてもおもしろかったのですが、
    もう絶版で手に入らないんですよね。

    ユーザーID:3289198056

  • 小学生のかけ算の問題

    以前から疑問に思っていたのですが,小学校で「80円のりんごを5個買うといくらになるでしょう」といった問題では,式の立て方として

    1) 80×5=400

    が正解で

    2) 5×80=400

    だと間違いとされるそうですが,そんなにいけないことなんでしょうかね。

    日本語だから単価×個数が自然ですが,2) の式を一般的に使う国も多いので,本質的に間違いなわけではないと思うのですが…。

    ユーザーID:9872219564

  • 数学と物理

    高校生の頃、それこそマーチンガードナーの本に
    「ある電球とスイッチがあり、
    最初の1分は点灯し、次の30秒は消灯、次の15は点灯と
    点灯、消灯を繰り返し、その時間は半分になる。
    さて、2分後は電球は点灯しているか消灯しているか。」
    という問題があり、「分からない」となるのを承知で
    数学の先生に質問したら
    「無限大が奇数か偶数かという問題に帰着し、不定である」と無難な回答をされましたが、
    物理の先生に聞いたら
    「電球のスイッチング回路が壊れる」
    と言われ、納得しました。

    昔々、フランスの数学者ピエール・シモンド・ラプラスが
    「数学は物理を解くための道具だ」と言ったそうな。

    ユーザーID:2167175708

  • うちの子

    うちの子(小学4年生)に、
    「3を5つ使って100になるように式を作れ」
    と問題を出したら、正解にはたどり着きませんでしたが、
    「6つならできる」と言い出したので、どうするのか尋ねたら
    「(333-33)÷3」
    なるほどとちょっと感心しました。

    ユーザーID:3289198056

  • 小学生の掛け算について

    これは、小学校では何の何倍かを明確に考えるからだと思います。
    答えとしては同じ400になるのですが、小学校の場合、おそらく
    個対個の関係を引きずっているので(だから算数??)80円の
    5倍という意味をはっきりさせるために順番をきちんとしているのだと
    思います。この場合、5は5個というよりも5倍の5と考えると
    わかりやすいと思います。

    ユーザーID:4092579601

  • ほんとですか?5×80

    >2) 5×80=400
    >だと間違いとされるそうですが

    スカラーが前の方がむしろ数学的だし、そもそも乗算は可換なんだから間違いもくそも無いと思います。

    指導要項は、先生が教えにくい(られない)ものはNGになる傾向があります。子供の"何で?"攻撃に破綻してしまうからです。一時期、高校の一次変換が無くなったのも、教えられない、ということが起因していました。
    結局、概念的なことより操作に落とし込めるところで良しとしてしまうのでしょうが、それでバツをつけてしまう教師はどうなのかと思います。

    小学校で、体育や音楽は専門の教師がいるように。数学もそれを設けるという話が昔あったのですが、その後どうなったんですかね。

    ユーザーID:4339992216

  • 小学生 掛け算?

    トピずれですみませんが、
    クラスNPさんの問題で、私も同じで???

    1) 80円×5個=400円個
    2) 5個×80円=400個円=400円個
    となり、どちらも同じではないかと思うのですがどうなのでしょうか?

    なぜ5個ではなく5倍という考えなのかわかりません?
    80円のお金の塊をを5塊集めたらいくらになるかなら、5倍でもいいと思いますが?

    どなた、教えていただければありがたいです。

    ユーザーID:6668992075

  • 公式が日本語だから

    小学校で掛け算習いたての頃の掛け算とは
    「かけられる数xかける数=答え」
    です。
    文章題を解くヒント的なものであり、上述の通り混乱のもとでもあります。
    しかし、「ひっくり返してもOK」ということの証明を掛け算習いたてではしません。(四則演算のルールとなるので、割り算習得後になります)

    なので、四則演算の三則目である掛け算習得の段階では、掛け算の式に意味を与えて演算に慣れさせているので
    80円のリンゴx5個=400円
    が正しく、
    5個x80円のリンゴ=400円
    ではダメなのです。

    小学校の段階で5x80=400がダメと教わっていてもいずれ後学する数学で上書きされます。
    今ここで書き込まれてる方々のように。

    上書きされたあとからだと確かに変ですが。

    ユーザーID:6816460365

  • 小学生の算数は順序あり

    >スカラーが前の方がむしろ数学的だし、そもそも乗算は可換なんだから間違いもくそも無いと思います。
    全く同意です。
    この議論については、

    http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2004/0607/002209.htm?o=0&p=0
    このトピが参考になります。


    結論は、単位をつけろ、です。

    「80円のりんごを5個買うといくらになるでしょう」

    80円/個×5個=400円

    5個×80円/個=400円

    これならどっちでもokです。

    上記トピの宇宙まで100kmさんの下記レスがすべてを表しています。

    >掛け算の順序と単位の考え方をリンクさせる方が
    >問題です。本来関連のないものなのですから。
    >順序に関係なく単位量を考えることはできるし、
    >考えられないようでは困ります。

    ユーザーID:7782813567

  • 数学とは何か?

    > 昔々、フランスの数学者ピエール・シモンド・ラプラスが
    >「数学は物理を解くための道具だ」と言ったそうな。

    どういう背景で出た言葉なのかは知らないのですが、この手の格言に疑問を感じます。

    例えば、日本語をしゃべるイタリア人が
    「日本語は女の子をナンパする道具だ」
    と言ったら、言語学者はみんな納得するのかなあ?

    単に、その人が数学をどう使っているかを説明しただけのように思えます。

    大学の一般教養で「数学とは何か?」という題のレポートが出ました。
    化学科の友人は「数学は科学の道具だ」というようなことを書いて単位を取得し、
    数学科の友人達は「問題が難しすぎる」として提出せず単位を諦めました。

    ユーザーID:6402484983

  • 掛け算の順序と数学(ってまた大げさな)

    掛け算の順序については、下手すると宗教論争になるのでどこでもループする話題のようです。
    http://www.inter-edu.com/forum/read.php?903,1013957
    なんかもあります。私のスタンスは
    http://daiba-suuri.at.webry.info/200906/article_1.html
    に近いですが。

    数学とそのほかの科学との関係を言った言葉にはいくつかあります。
    「数学は科学の言語である」というのは結構わかりやすい。もうちょっと過激になると「数学は自然科学ではない」というのもあります。確かほとんどの自然科学は数学で記述されることによって精緻になりますが、数学自体はなんらかの具体的自然現象ではないですからね。で極めつけは
    「数学は科学の女王にして奴隷」(本のタイトルです)かな。ということで私の中では数学は科学の中の究極のツンデレです(笑)

    ユーザーID:9181712611

  • 数学

    博士様 大変失礼しました。
    確かに、数学のすべてが物理の道具ではなく、ほんの一部だと思います。
    数学は数学で独自の世界を築き、
    物理で使われる数学⊂数学
    ってとこでしょうか。

    ところで、数学は、文系なのか理系なのか、以前、友人と議論したことがあります。
    理系とは「自然科学を解明すること」
    文系とは「新たな世界を想像すること」
    と定義すると、数学は文系科目になります。
    まあ、理系と文系に分けること自体どうかという意見もありますが。

    どう思いますか?

    ユーザーID:3289198056

  • 小学生のかけ算の問題

    かけ算の式に関してコメントをくださった皆様,ありがとうございます。

    日本の算数で,同じ数値のものがいくつもあるときに 数値×個数 と式を立てるということは分かります。後に交換できない行列のかけ算も出てくることですし,教えられた通りに式を立てるのが重要だということも分かります。

    しかし,算数や数学では後に習う解法や別の方法で解いても間違いとまではしませんよね。それからすると後に正しいと分かる 個数×単価 の式だって間違いとまで言わなくてもいいのではないかという気もするのです。

    かけ算にすべきところを足し算にしてしまったら当然間違いですが,かけ算の順序の違いがそれと同じ評価では,生徒の算数嫌いを増やしてしまうのではないだろうというか,かけ算の順序を守ることはそこまでして教え込む意義があるのだろうかと疑問です。

    単位をつけるべきというお話もありますが,他の文章題で単位なしで式を立てていて,このような問題だけ単位付きの式を書くべきというのも難しいのではないでしょうか。それに「円/個」という単位は,小学校では習わないのではないかと思いますが…。

    ユーザーID:9872219564

  • 小学生の算数

     80x5の計算をさせるわけだから、3年生か4年生の問題で
    しょうか。
     問題を理解している子はいいんですが、80+5=85
    という式を立て、回答する子がいたらどう指導しますか。

     問題文をちゃんと読まない、読んでもちゃんと理解できない
    子がクラスの半分近くいるようなときもあります。こんなとき、
    問題文の意味をどう読み取るか国語の指導にもなります。

     問題文をちゃんと読まない子は、ともかく出てきた数を
    使って式をたてようとします。80+5であったり、5+80
    であったり、80x5であったり、まあこの場合は80−5は
    あまりいないのですが、足し算の文章題を解いてきた子達が、
    掛け算の文章題に遭遇したとき、問題の意味をあまり理解せず
    式をたてることはよくあります。

     こんなことがないよう、1個あたりの値段がかけられる数、
    個数がかける数というように、問題文の読み取り方を授業中に
    指導しているとすると、5x80というのはやはり、授業中の
    指導をちゃんと理解していないことになるわけです。

     答えがあっていればいいというものではありません。

    ユーザーID:1984691627

  • トピ主です。かけ算の順序について

    小2で掛け算を導入してから、同じく小2で掛け算の交換法則を学ぶまでの間、
    式を立てさせるためのテンプレートとして使われ、それに従った数式を模範解答としているようです。
    かける数とかけられる数が一意に定まる問題文だけ(!)を与えて、その読解力を問うている感じでしょうか。

    各種論争を見ていると、単位を使った例を挙げ、
    ことさら順序を守る必要性を論じているサイトもありましたが、
    そこに意義を求めれば求めるほど、逆に後で困るというか、
    交換法則を受け入れにくい児童を育てることにならないでしょうか。

    さんざん順序に意味を持たせ、児童に×まで食らわせた挙句
    「実は単位の整合性さえ保てればどっちでも良かった」
    という違う事実に直面させるのなら
    最初から「どっちもOKだけど、式の立て方が分からない人はこれに沿ってね」くらいに留めたほうが違和感ありません。

    ぽてじさんが紹介されたトピで、テンプレの呪縛にとらわれて、
    同様に習ったはずの交換法則が実社会で活かされない状況を目の当たりにすると、弊害のほうを大きく感じてしまいます。

    ただ、どうも教育委員会レベルでの方針のようで、根は深そうですが…。

    ユーザーID:3716159584

  • かけ算の順序

     初めまして。「かけ算の順序」に関して、ずっと調べている者です。確認できた事情は以下の通りです。

     教科書には、(1つ分)×(いくつ分)で定義していますが、文科省に電話したところ、「逆にしてはいけない」と教えるように指導はしていないし、指導要領にも書いていないとのこと。ただし、「逆にしたら誤答、という指導をしてはいけない」とも言っていない。

     「かけ算の意味を理解させるために、順序にこだわる」という指導法が存在するようです。ただし、あくまで「意味を理解させる」という目的のための手段に過ぎません。

     例えば、私自身は塾で教えるときに、速度の問題で「みはじ」を使わないように指示することがあります。このように、ローカルルールとして、その場での約束事を作ることは一般には否定できないと考えます。

     だから、この件に関しても、算数・数学において、かけ算に順序があるのかどうか、とは別に、順序にこだわる教え方と、こだわらない教え方、どちらが教育法として優れているかという議論は成り立ちうると思います。私は、こだわる教え方には懐疑的ですが、それについてはここでは保留しておきます。

    ユーザーID:8503241366

  • かけ算の順序、つづき

    「4人に蜜柑を3個ずつ分ける。蜜柑の数は?」これを、「4×3ではなく、3×4と立式するように」という指導の是非は、教育的効果で判断されるべきです。算数・数学的には、4×3も3×4も正しいです。(1つ分)×(いくつ分)という順序は、最初にかけ算を導入するときには重要ですが、交換可能なことが理解できればどちらでも構いません。また、仮に(1つ分)×(いくつ分)の順序のみが正しいとしても、蜜柑を1個ずつ4人に配り、2個目を配り、3個目を配ったとしたら、「4が3つ」という解釈も可能で、(1つ分)と(いくつ分)は視点の違いで容易に逆転します。

     ところが、「意味を理解するため」の方便に過ぎない「かけ算の順序」に、何か重大な意味があると思いこむ人が、教員の中にもいるようです。さらに、文章題でどちらが1つ分でどちらがいくつ分かわからない生徒がいるというので、「左側の数の単位=答えの単位と覚えるように」と指導する教員もいます。この段階で手段に過ぎない「かけ算の順序」が、目的になってしまいます。さらに、「左側の数の単位=答えの単位」というルールがあると思いこむ人までいるようです。

    ユーザーID:8503241366

  • 掛け算の順序

    A)1個80円のリンゴを5個を買いました
    B)5個のリンゴを1個80円で買いました

    AとBの「正解」が違うってこと?
    掛け算の最初に「それは同じ事だよ」って教わったような気が…。

    AとBで正解が同じなら完全に意味不明。


    ところで。
    「80円のりんごを5個買うといくらになるでしょう」
    私なら80円と答えます。
    その問題文だと、リンゴ取り放題80円です。

    『1個当たり』と明記されていませんから!!リンゴ全体で80円に決まっている!!!!!
    文脈から分かる?いや。『私には』わからん。

    「80円のリンゴ」って言われたら「へー、リンゴ幾つでも80円なんだ」と『私は』思います。

    屁理屈なんて言うんじゃない!詭弁と言いなさい!!


    最大限自分が得するように解釈するものじゃないですか?
    ※ 「売りました」だったら単価であると認識します(ヒデぇな

    ユーザーID:2293259910

  • 現在の価値観で過去を断じない。

    交換法則も知っていて、後に出てくるであろう公式も知っている我々大人からすれば「変」と断じられるでしょう。
    でもそれは「後出しじゃんけん」ではないでしょうか?
    教育課程での学習内容を「知っている」から。

    教育は最初から「100」を教えるものではなくて、1,2,3と段階を追って最終的に100に到達するもの。
    その途中ではどうしても矛盾や「とりあえず覚えておけ」ということは少なからずあるかと。その段階では理解できない道理が必要な場合があるかと。(プログラム組みますが、いつの時代もC言語のinclude文は「最初はおまじない」としてです。最初にアレは理解できません)

    逆にあとから交換法則を学習することで「やっぱりな、気づいていたZE
    !」と自信を持つ子や「お〜なるほど〜。すげぇ」とやる気になる子もいるでしょう。
    クラス内に30人も個性があっては教師だってどうしようもないでしょう。どうしても子供が納得していないなら、家で親が自分の子供の個性に合わせて説明すればいいかと。
    (うちの親は小3で割り算習った後、2乗根の筆算を教えてくれた。流石にわけわからなかった。)

    ユーザーID:6816460365

  • 正しい単位

    >「左側の数の単位=答えの単位と覚えるように」

    これは明確に誤りですね。
    一般に1つ目の因子も2つ目の因子も右辺の因子とは一致しませんし。
    りんごの例でも、
    80(円/個)×50(個) = 400(円)
    が正しい単位でしょう?
    80(円)×50(個) = 400(円)
    は誤りです。

    ユーザーID:6402484983

  • 訂正

    あ、80(円/個)×50(個) = 400(円)ではなく、
    80(円/個)×5(個) = 400(円)でした。失礼しました。

    ユーザーID:6402484983

  • 単位の問題もあるんかな

    割り算を習っていない2年生では。

    単価の単位である「円/個」が理解できない。

    と言う事もヤヤコシイことになる一因かと思われます。


    1個の値段(円)×数(単位無し)=金額(円)

    という正直大人には意味分からん式ができ上がってしまう。

    どう考えても
    数量(個)×単価(円/個)=金額(円)
    でしょうに。自営業やっているところの子供はこれくらい知っていたりしませんかね?

    ユーザーID:2293259910

  • 本当に必要な指導法なのだろうか?

     私自身は、かけ算の順序をうるさく言われた記憶がありません。

     例えば、「20÷7=2あまり6 という計算は、分数などを勉強したあとでは、20/7とすればいいので、あまりの計算などやめるべきだ」というつもりはありません。

     「かけ算の順序」を疑問に思うのは、「後で使わない不要なことだから」ではありません。

     メリットとされることと比較して、あまりにデメリットが大きいからです。

     デメリットの一つが、方便に過ぎない「かけ算の順序」が一人歩きして、あたかもそれが原則であるかのようになってしまう。さらに、そこから派生した「左側の数の単位=答えの単位」などといる明白に間違った「ルール」までが捏造される。そうして教える側の人がそのよう「ルール」を信じ込んで、それを教え込むことの腐心する。

     そうして、最初は「かけ算の考え方、意味を理解するための道具」が強固な「ルール」となって、高学年まで延々これをうるさく言う。長方形の面積を横×縦にすると誤答にする例まで出てくる。

     「意味さえ分かっていればどっちでもいい」という方が遙かにましだと思います。

    ユーザーID:8503241366

  • 「かけ算の順序はどっちでもいい」は、抽象化思考の1つ

    http://anothertrack.hp.infoseek.co.jp/others/0028.htm
    http://anothertrack.hp.infoseek.co.jp/others/0029.htm
    http://www.eonet.ne.jp/~mnzbo645/kakekakerare.htm

    サンドイッチだの、警察と泥棒など、こういうことで生徒に、「かけ算の順序」や「かける数・かけられる数」を指導して、いったい何の意味があるのだろうか?

    「3を4つ足すことと、4を3つ足すことは、見かけ上異なるが、本質的に同等である」ということは、大変面白いところだと思う。「指数関数と三角関数が同じである」というのと似ている。

     見かけ上異なることが、本質的に同じ事であるということを発見するのは算数・数学での面白さの中でも、かなり上位に位置すると思う。そうやって、数学で重要な「抽象化」を学ぶことになる。

     それを逆に、「本質的に同じであることを、違うと認識するように」という指導は、「抽象化するな」という指導となりかねず、大いに疑問である。

    ユーザーID:8503241366

  • トピ主です。かけ算の順序 親としての対応を考えるなら?

    ●積分定数さん

    投稿ありがとうございます。
    (反映が遅くてさぞ驚かれたことでしょう)

    数学的な議論(mixiの数学コミュの1000レスなど)も読んで、
    おおむね、議論がどう進むのか(あるいはどう進まないのか)が分かりました。

    積分定数さんは実際の教育に携わっていらっしゃるそうですので、
    本論とは別に、お伺いしたいことがありますが、よろしいでしょうか。

    問題を矮小化する意図は全くないのですが、
    仮に、実際に、かけ算の順序を徹底する先生がいたとして、
    児童が×をもらったとしたら、その児童を持つ親としては、
    どういう(子供のケアを含む)対応をすれば良いと思われますか?

    私は小2の親ではありませんが(それ以前に人の親でもありませんが)
    このことで子供がやる気を失ったり、
    夫婦喧嘩にでもなったりしたら非常に残念なことで、
    「先生や小学校教育を問う」とまではいかなくても、
    1人の親という観点で、自分の子供(だけ)のことを考えた場合、
    どのような対応が望ましいか知りたいです。
    かけ算を習うにあたり、事前のケアもあると良いのでしょうか。

    本論は本論でいくつかレスをしたいと思います。

    ユーザーID:3716159584

  • 「かけ算の順序」を教えることが正当化される必要条件

     「方便に過ぎない。本当はどっちでもよい。」ということを教える側が理解していて、教わる生徒もいずれこの認識になることが必要条件である。もちろん必要条件なので、これが満たされたら正当化される、というわけでもない。

    現実はどうであろうか?

    http://komachi.yomiuri.co.jp/link/link.jsp?url=http%3A%2F%2Fkomachi.yomiuri.co.jp%2Ft%2F2004%2F0607%2F002209.htm%3Fo%3D0%26p%3D0
    をざっと読んだが、「正しい順序がある」「左の単位と答えの単位が同じ」と思いこんでいる人がいる。
    http://kurilin.moo.jp/diary2006-11-2.html 11月16日(木) 11月21日(火) の日記もすごい。
    http://q.hatena.ne.jp/1197768804 小学校教員の質問だが、「かけ算の順序」が方便以上のものであるかの如く思いこんでいるのがわかる。

    勘違いしている人がいること自体、「かけ算の順序」を教えることの弊害である。

    ユーザーID:8503241366

  • 素朴な疑問

    1−1=0の証明は背理法じゃ駄目なの?

    背理背理♪ほれ♪背理法〜♪はっは〜。

    ユーザーID:6816460365

  • 厳密さより

    正しいかどうかですが、かけ算を習ったばかりで、割り算とか
    分数とかはまだ、というレベルの生徒に、

    80(円/個)×5(個) = 400(円)
    が正しい単位でしょう?

    というのは無理でしょう。4,5年生で、算数は苦手だと
    言う生徒も却って敬遠するでしょう。

    それに対して
    「左側の数の単位=答えの単位」
    というのは、わかりやすい指標です。

    以下は、余分な要素が入っていますから、生徒のレベルによって
    は難問です。

    1冊80円のノートが5冊入ったケースが3個あります。
    1.1ケースの値段は何円ですか。
     80円x5=400円
    2.ノートは全部で何冊ありますか。
     5冊x3=15冊

    このとき、「答えの単位の数を左」というヒントがあれば
    格段に式が立てやすくなります。

    文章題で、問題文の意味を読み取って、式を立てるというのは
    なかなか難しいのです。読解力・国語力の問題でもあります。

    小学生に英語なんかやらせている場合ではありません。
    算数の文章題を正しく読解できる国語力をきっちりつけさせる
    ほうが先決です。

    ユーザーID:1984691627

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