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算数好きの方、算数・数学の教育に携わる方、語り合いましょう!

DITA
2009年7月1日 9:23
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このトピックはレスの投稿受け付けを終了しました。
タイトル 投稿者 更新時間
数学を理解していない人が算数を教えることの弊害
積分定数
2009年7月11日 1:39

 かるさんの立場がよくわからないのですが、「現在の価値観で過去を断じない。 2009年7月8日 12:16」では、どの程度の「順序の拘り」を想定しているのでしょうか?

 順序への拘りは、交換法則を習うまでではなく、延々高学年まで続くことがあるのです。長方形を横×縦では誤答、とする教師までいます。

 それは行き過ぎなのか、それも「見方によってはあり」なのか、お聞きしたいです。

 数学を専攻した小学校教員が「自分は納得できないが、学校の方針なので順序を指導しなくてはならない」と言っていた例もあります。
正しく理解している人が、多数が数学を理解していないので、嘘とわかっていても嘘を教えなくてはならないと言うのは、苦痛だと思います。数学を理解していない人が数学以外の場所(つまり算数教育現場)にいることで、このように苦痛を感じる人が生まれるというのは、弊害といえると思います。

 また数学を理解していない人が算数を教えるのが一概に悪いとは言えないのですが、指導書通りの説明しか出来ない、やり方をたたき込むことしかできない教員はやはり困りものです。

ユーザーID:8503241366
結果の一意性
博士
2009年7月11日 2:22

(掛け算の順序の件)
算数や数学で大事なのは、結果の一意性であって過程の一意性ではないはずです。
もちろん、教育上の配慮で特定の形式を教え込むということはあって良いのですが、正しいものを×にするというのは算数・数学観を歪める恐れがあると思います。

現場の全ての先生にそこまでの見識を求めるのは無理ですから、指導要領できちんと説明して欲しいですね。

ユーザーID:6402484983
矛盾
二立
2009年7月11日 9:58

掛け算の順序と筆順というのは似ているように思います。
筆順は、一応の手引きが示されてはいますが、正しい筆順というのは
ありません。書きやすいように書けばいいんです。

文部省が手引きとして出している筆順と書家の筆順は違います。楷書の筆順と
行書の筆順も違います。右と言う字の筆順は、筆で書くときとボールペンで
書くときとでは書きやすさが違うので、現在では横棒から書いてもなんら
問題はありません。
実際に皆さんは右と左で書き順を変えていますか?

掛け算の順序も、80x5でも5x80でも出てくる答えは同じだし
どちらが正しいというものでもありません。

しかし、ぼくは学習上の過程で、落ちこぼれや算数嫌いを減らすために掛け算
の順序にある程度の指標を定めた方がいいと言う立場です。
筆順にしても漢字を習得していく過程で、ある程度指標があるほうが
学びやすいと思います。

ところが、掛け算の順序にこだわらない人が、筆順にこだわるのは矛盾して
いるように思います。右という漢字を横棒から書いてXをもらった場合、
なぜ抗議しないんですか?

ユーザーID:1984691627
トピ主です。疑問への回答ありがとうございます
DITA(トピ主)
2009年7月11日 10:12

●かるさん

疑問点へのレス、ありがとうございます。

かるさんの意図とは違う気がしますが、
いただいたレスを都合よく(失礼)抜粋すると、

 教育的価値がないばかりでなく、
 他の先生にとって悪影響をもたらす内容を、
 タスクとして教えている公務員がいる

と読めてしまい、これは大きな問題だと思います。
(もちろんその問題の矛先はその公務員1人に留まらない訳ですが)

ただ、その一方で、他のレス(7月10日 12:05など)を拝見すると、
算数の観点から、この順序でないといけないようなことも書かれています。

これらを踏まえると、いただいたレスの後半は、
「もし教育的効果がなかったとしても」という仮定の話でしょうか?
少なくても、もし、かけ算の順序に正当性があるのであれば、
それを教える教員の志望動機は問題にならないはずです。

あと、(3) のご回答についてはとても参考になりました。
かけ算の順序を徹底したとして、それが上書きされる時期が不明確であり、
時には上書きされるかどうかすら不徹底であることも、
他の「知識の上書き」に比べて批判の多い理由の1つに挙げられそうです。

ユーザーID:3716159584
1から9の数字を全て使って
数学犬
2009年7月11日 11:11

ここ数週間答えを見つけ出せずに悩んでいる問題です。
 次の式のA〜Iに1〜9の数字を全て使って式を完成しなさいという問題です。どなたかエレガントな解法(理論的な)を教えてください。
問題:1
 (A/BC)+(D/EF)+(G/HI)=1
問題:2
 (A/B*C)+(D/E*F)+(G/H*I)=1
アメリカの某数学者は、数分で解いたそうです。

ユーザーID:5297300341
y=ax
ugougo
2009年7月12日 1:49

DITAさん、いつも丁寧なご返事ありがとうございます。
ご質問の主旨がよく分かりました。
私が「極めて実務的」と書いたのは、「難易度の調整」のためではなく、たんに「あいまいさを除くために必要最小限の但し書きをつけた」という意味です。
大変失礼いたしました。

ところで、掛け算の順序ですが、その先生の念頭には正比例の式y=axがあるのではないでしょうか?
今回の場合はa=80、x=5だと。
「係数」、「変数」という言葉を使うわけにもいかないので、「かけられる数」、「かける数」という微妙な説明になってしまっているだけだと思います。

一方、「長方形の面積を横×縦では誤答」というのは、論外な気がします。
長方形の面積は、むしろ、交換法則を教えるための恰好の材料ですよね。長方形を横から見れば、さっきまで縦だった辺が横になり、横だった辺が縦になるわけですから。

ユーザーID:7063437247
サッパリわからん!
むー太郎
2009年7月12日 3:56

ええい!メンドクサイ!!
プログラム書いた方が早い!私はプログラマーなんだ!!

ってことで。総当たりプログラムをちゃちゃっと書いて実行したところ以下のような結果が出ました。(今のパソコンならこの程度一瞬で解ける)
コンピュータって便利★(もはや算数ぢゃない…

問題1
5/34 + 7/68 + 9/12 = 1

問題2
1/(3*6) + 5/(8*9) + 7/(2*4) = 1

これの入れ替えパターンしか無いですね。
ってことは上手い事すればちゃんと解けるって事ですかね?

尚、問題2は ((A/B)*C)+((D/E)*F)+((G/H)*I)=1 であると解釈すると(本来そのはず)、解無しですね。
たぶん式の書き間違いでしょう。

論理的な解き方私も知りたい。


数分で解いた数学者も「そんな事はコンピュータにやらせれば良い」だったりしませんよね(笑

ユーザーID:2293259910
生兵法は怪我のもと
積分定数
2009年7月12日 14:09

 どうも色々調べていくと、「かけ算の順序」は数学の真理とは関係ないようですね。教える側が、方便であることを自覚しているならさほど問題はないのかもしれません。ただ、学校単位や教育委員会、指導書などで「順序を教える」となると、よくわかっていない教員までもがこれで教えることになって、弊害が出てくるようです。

 これを回避するために、学校で「かけ算の順序」の指導を禁止したらどうか?禁止されたらやめてしまう指導法なら、所詮その程度の指導法というわけです。付和雷同の人は、この教え方をやめることになります。

「かけ算の順序は優れた指導法である」と確信を持っている人は、禁止されてもやるでしょう。「違法行為」をするのだから、様々な批判にも反論できるだけの根拠をもつことになるでしょう。かけ算の順序が不必要な理解している生徒に強要することもしないでしょう。「今まで順序をうるさく言ってきたけど、本当はどっちでもいいのです。」と「上書き」もするでしょう。

 現実味はありませんが、一律に教員に順序の指導を強要して、長方形の面積を横×縦にしては駄目、などというアホな自体よりはましだと思います。

ユーザーID:8503241366
トピ主です。二立さんへ
DITA(トピ主)
2009年7月12日 22:42

参考として、他教科に類例を求めるのは良いことと思いますが、
他教科との比較をもって「矛盾」とするのはどうなのでしょう。
極論すると「道徳では答えは1つとは限らない」のような話にもなりますが…。

特に、論理の一貫性を求めるのに、書家の筆順という芸術的要素までを含める必要があるのでしょうか。

なお、低学年では「書写」に相当すると思いますが、指導要領では1・2学年の書写について、
「点画の長短,接し方や交わり方などに注意して,筆順に従って文字を正しく書くこと」
という項目があります。
少なくても書写において筆順はどうでも良いとは思えません。

> しかし、ぼくは学習上の過程で、落ちこぼれや算数嫌いを減らすために掛け算
> の順序にある程度の指標を定めた方がいいと言う立場です。

目的は賛成できますが、「ある程度の指標」が、
・指標そのものの数学的な合理性
・カリキュラムとしての妥当性
・指標の強制力
などのバランス次第と考えます。

私の「7月9日 19:20」の冒頭で、賛成する例を書きましたが、
一律統制は、指標がさほど合理的でもないのに強制力が大きく、バランスを欠いていると思います。

ユーザーID:3716159584
トピ主です。むー太郎さんさすが!
DITA(トピ主)
2009年7月12日 22:58

まずは、数学犬さん、面白い問題をありがとうございます。
1問目については、移項して公約数の問題にしようとしましたが、
数式を一般化しようとすればするほど、
最も重要な制限事項である「1〜9の数字を1回ずつ」という観点から外れて、
有理数の範囲で雲をつかむようなものになってしまうんですよね。

1/2 + 1/3 + 1/6 = 1

などを出発点としましたが、ダメでした。

そして、むー太郎さん、コンピュータといえど素晴らしい!

> 論理的な解き方私も知りたい。

基本的には覆面算の一種だと思いますが、
答えを見てしまったら、もう17という素数しか頭に浮かばない(汗)。

ああーー。
「さっぱり分からん!」というレスタイトルに答えが載っているとは思わなかった…(笑)。

ユーザーID:3716159584
y=axについて:言語と掛け算の順序
博士
2009年7月13日 0:01

y = ax においては a は作用素(例えば「5をかける」という操作)
とみなせるので、a=5, x=80 の方がむしろ自然と言うことになります。

以前に聞いた話ですが、ヨーロッパ言語では動詞(作用素に相当)
は目的語の前に来るので、y = ax としたそうです。
それが今では万国共通で使われています。
もちろん逆の順序でも問題ありません。

X,Yが列ベクトルの場合は、
同様に行列Aを用いてY = AX と書くことが多いですが、
日本語では動詞が最後に来るので、昔の日本ではこの式を転置して、
Y' = X' A' のように書いたことが多かったようです。

なお、回帰分析の分野ではYとXが大きな行列になり
係数ベクトルβが最も重要な対象ですが、
βが列ベクトルである方が何かと便利なので、万国共通で
Y = X β
と書くことが多いです。

非可換な行列の場合ですら、状況に応じて転置して
掛け算の順序を入れ替えることが日常的に行われていることが
よく分かりますね。

ユーザーID:6402484983
かけ算の順番について
カワリーノ
2009年7月13日 15:05

数学的な議論はともかく小学生に指導するということに限って言えば順番が逆なら×とするべきだと思います。
そもそも「2+2+2のように2を3回足すことを2×3と表記する」というのがかけ算の導入です。
問 1mあたり7kgの棒が5mある。全部で何kgか。
答 7kgの棒が5つ分あるから7+7+7+7+7=7×5
と指導(子供は理解)するんです。
ですから5×7では5+5+5+5+5+5+5という意味になるので×としているのです。
少なくともa×5=5×a=5aと書くと習う中学までは立式の段階では順番を気にするべきだと思います。
(筆算する際、上下逆にして計算し易いようにするのは大いに結構だと思いますが)
大人はオフィスで紙をくっつけるのにスティックのりを使うでしょう。
でも幼稚園児が工作するのに、手が汚れるから、すぐに乾かないから・・・といってスティックのりを使わせるべきでしょうか?
幼稚園児がでんぷんのりを使うのには教育的な意味があるんですよ。
かけ算の話も同じ事です。
かけ算の順番は理解度を測る方法の一つとして重要な意味を持つものだと思います。

ユーザーID:1511092203
トピ主です。「作法」にレスがあったので(笑)
DITA(トピ主)
2009年7月13日 16:00

●ある父 さん

「作法」というのは、まあ、なんというか、皮肉のつもりです(笑)。

なお、かけ算の順序については、「算道の作法」とまでは思っていなくて、
個人的には、あくまでも、その小学校の授業での「良く分からない、非数学的な何か」というイメージです。

もし、算数や数学の作法であれば、作法を守らなくても数学的に正しい限り、
やっぱり×にはして欲しくないなーと思います。

ただ、指導はなされても良いでしょうね。
ある作法があり、それを守っている人が少なくなければ、
読みやすさへの配慮から、作法に従って記述することが望ましい、
という場合も多々ありそうですし。

なお、私が感じる「数学の作法」としては、a, b, c のサイクリック表記:

 ab + bc + ca

があります。
代数的に等価である限り、どう書こうが不正解にはならないであろうものの、
そこはかとなく記述の対称性に美意識が感じられる、というのが、
いかにも「作法」な感じで(笑)。

ユーザーID:3716159584
トピ主です。底上げの効果ってどのくらい?
DITA(トピ主)
2009年7月13日 16:34

●積分定数 さん

> 「かけ算の順序」は数学の真理とは関係ないようですね。

大半が教育上の理由なのは間違いないでしょうね。
二立さんもおっしゃっていますが、クラス全体の底上げを図る狙いがあるのかと。

かけ算の順序を徹底するやり方が普及していて、それを変革しようとするならば、
「底上げという効果」と「統制による弊害」とのバランスを、
どの程度、客観的かつ定量的に評価できるかがポイントではないかと思います。
(数学的に云々な話は「弊害」に含まれるでしょう)

特に「現状、かけ算の順序を教えることにより、底上げの成果がどれだけ挙がっていて、そのうち一律統制による(プラスの)成果はどのくらい」
という評価が必要と感じます。

そうでないと、あたかも、
 「かけ算の順序の一律統制をやめる = 底上げをやめる」
という図式が出来上がってしまい、
「底上げを優先するか、できる子を優先するか」のような、
本来二極化すべきでない議論を招きかねません。
さらには「できない子を見捨てるのか!」のような感情的な話になったらお手上げです(笑)。

このあたり、客観的に評価する方法ってあるのでしょうか?

ユーザーID:3716159584
「順序はどうでもいい」と発想できる積極的意義がある。
積分定数
2009年7月14日 2:45

(1)かけ算を、まず最初は、(1つ分)×(いくつ分)で導入する。
(2)その後、交換法則もやり、(いくつ分)×(1つ分)という解釈でもいいとなる。
(3)そのうち、(1つ分)×(いくつ分)も、(いくつ分)×(1つ分)も同じ事だとわかり、気にしなくなる。
(4)(1つ分)×(いくつ分)とか(いくつ分)×(1つ分)から飛躍した、「かけ算」という概念を獲得する。

これは私が考える、小学校でのかけ算習得のプロセスです。少なくとも、6年までにはかけ算の順序はどうでもいい、と積極的に思えないとまずいと思います。
4×5を見て、「4が5つ」という発想しか出来ないのはまずいと思います。

 もちろん、(1)の段階が理解できない子には、そこを徹底する意味はあるかと思いますが、全員に一律で小6まで、(1)の段階を強要するのは行きすぎだと思います。

 先ほど、5×7を(1つあたり)×(いくつ分)とする強引な解釈を述べましたが、こんな強引な解釈を持ち出さなくても、かけ算を文章題によらず常に数に抽象化し面積で置き換えて考える生徒には、順序云々はナンセンスなわけです。

ユーザーID:8503241366
自然数の計算を理解していない子がいても、高学年では分数を習う
積分定数
2009年7月14日 3:18

 直前の書き込みに書き忘れましたが、これは、DITAさんの問題提起への1つの回答です。

 私自身は、効果と副作用のバランスを比較する客観的データはありませんが、

小学校卒業までに、「かけ算は本質的に可換な演算であり、順序に意味はない」となっているべきです。

 かけ算導入時の(1つ分)×(いくつ分)を十分消化していない生徒がいることを理由に、全体に対してこの順序を延々強要することは、

 自然数の四則演算が不十分な生徒がいるから、と高学年になっても分数を教えないのと同様に思えます。

 それまでの学習内容が不十分である生徒への配慮は必要です。しかし、高学年では高学年で定められた内容はやらなくてはなりません。

 高学年での分数と同様に、「順序の解除」が積極的に行われるべきです。「(1つ分)×(いくつ分)が正式だけど、今後は余り気にしなくてもいいよ」ではなくて、「実はどっちでもよかった。騙していてごめん。3×4は3が4つというイメージだけでは駄目だよ。4が3つというイメージも大切。イメージが浮かぶようじゃ駄目だな。『4×3は4×3』と思えないと」という具合。

ユーザーID:8503241366
教師の指導に従うべき
二立
2009年7月14日 9:27

統制は弊害でしょうか。
統制というと言葉は悪いのですが、教室では教師の指導に従う
べきです。底上げの効果と教師の指導に従わせることの可否に
ついては、教師の責任において教師の判断で行うべきです。

学校の教師より、塾の先生がこういったといって、教師の
指導に従わないような生徒が出てくると、学級崩壊につながり
かねません。

教師が非常識な指導をするようだったら、校長なり教育委員会を
通じて是正を図るべきですが、ある時期、生徒の理解度を
判断した上で、指導上の流れで掛け算の順序を定めて指導する
ことは、非常識にはあたらないと思います。

ユーザーID:1984691627
出題者(評価者)が何を見ようとしているか
カワリーノ
2009年7月14日 16:40

分かってる子にとって順番を強制することがさも理解にブレーキをかけるかのように思っていらっしゃる方がいますが、その程度のことはきちんと理解できている子にとっては何ら障害となるものではありません。
意味も分からずにただ問題文に出てきた数字をかければいいと思っている子ときちんと意味を理解している子を区別する手段として有効なものであると思います。
きちんと分かっている子にとってはむしろ歓迎すべきことではないでしょうか?

ユーザーID:1511092203
積分定数さんに賛成
二立
2009年7月14日 17:06

RESの反映が遅いので、前後するかもしれませんが、僕は
基本的には積分定数さんの4つの段階論に賛成です。
(1)かけ算を、まず最初は、(1つ分)×(いくつ分)で導入する。
(2)その後、交換法則もやり、80X5も5X80も答え同じ
ということを理解する。
(3)そのうち、(1つ分)×(いくつ分)も、(いくつ分)×(1つ分)も同じ事だとわかり、気にしなくなる。
(4)「かけ算」という概念を獲得する。

つまり、1の段階では順序が違うとXでもやむをえない。
2以降の段階で順序が違ってもOK。この段階移行については
教師が判断し、その指導に従うということです。

僕は交換法則云々ということより、文章題の文章をろくに
読まないで式をたてる生徒が多いのが心配です。
かれらは、言葉という抽象的なものから、具体的な概念を想起
する力が弱いのです。

そのため、問題文にイラストをつけるとか、単位に注目させる
とか現場ではいろんな実践があります。

自分の教室の生徒の力をよく知っているのは教師です。
指導方法や段階移行は教師に任せていいのではないでしょうか。

ユーザーID:1984691627
トピ主さんの言う通り
数学偏差値40未満
2009年7月14日 23:52

かけ算の順序徹底による「底上げ効果」を厳正に評価すべきです。

順序徹底が完全に普及していないならば
徹底された生徒と、されなかった生徒で
6年時の算数の成績を比較できると思います。

おそらく、違いはでないと思います。
かけ算が、算数つまずきの、トップ10に入るなら
違いが出るかもしれませんが。

有意差がない場合は、順序の徹底は止めた方がよいと思います。
教師側への悪影響が気がかりだからです。

たとえば、
台形の面積=(上底+下底)×高さ/2
で指導した場合
台形の面積=2つの三角形の和
をバツにしそうで恐ろしいです。

文章題に弱いのは、慣れの問題と思います。

ユーザーID:1586063521
 
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