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算数好きの方、算数・数学の教育に携わる方、語り合いましょう!

DITA
2009年7月1日 9:23
古いレス順
レス数:341本

このトピックはレスの投稿受け付けを終了しました。
タイトル 投稿者 更新時間
誰も相手してくれないので寂しい
ヨーデル
2009年7月15日 0:00

仕方がないので自分自身で相手をします。

1−1≠0と仮定したのですから、当然この背理法の証明は成り立ちません。

なぜ?

それはやっぱり自分で考えて下さいね。
わかっている人には当然のことなのですが、当然じゃない証明をしようとしたから意外と盲点なのですかね。

ユーザーID:8204791556
程度と段階の問題
積分定数
2009年7月15日 0:05

 順序の指導は全面的に否定されるべきとか、全面的に肯定されるべきとかではなく、段階と程度の問題だと思います。

 長方形の面積を縦×横として誤答、高学年で3つの積や簡単な文字式(指導要領解説を見たら、小6で文字導入だそうです)をやる高学年まで指導するのは行き過ぎだと思う。

だから、二立さんの見解とそれほど違いはないと思います。

 ただ、最初の段階も、無条件にバツではなくて、何故その式を立てたのか、生徒に確認してほしいとは思います。

 例えば、かけ算を教える前の段階で、「7人に2個ずつ蜜柑を」という問題で、「2+2+・・・」とやって、「大変だな」と思った生徒が、ふと、「7+7でも求められる」と気づかないとも限りません。かけ算の記号を導入した後も同様のことがあり得ます。

 むしろかけ算を教える前に、実質的な交換法則をこのように気づかせるのもいいと思います。式にしてしまうと、□×○と○×□が混乱するわけで、「□を○個足す」と「○を□個足す」では、違いは一目瞭然。でも、なぜか答えが同じ、という部分で不思議さを感じ、なぜなのか考えることが出来れば面白いと思います。

ユーザーID:8503241366
指導方法は正答の一例
博士
2009年7月15日 0:35

私は教育上の理由で特定の解法で指導することは最初から否定して
いませんが、問題になっているのは、交換法則を教えた後なのに、
80×5=400だと正解で、5×80=400だと不正解
になることではないのですか?

つまり既習の内容の範囲内で解法は一通りではないのに、
授業で教えた方法しか正解にならないのはおかしいのでは、
と言うことです。

ユーザーID:6402484983
コンピュータに脱帽
数学犬
2009年7月15日 4:26

むー太郎さま、トピ主さまへ
失礼しました。問題2はご指摘の通り、正しくは
A/(B*C)+D/(E*F)+G/(H*I)=1 でした。
それでは追加の問題です。今度は紙と鉛筆で挑戦してください。
同様に1〜9の数字を全て使ってください。
 問題3:ABCDE-FGHI=3333
問題4:ABCD*E=FGHI
1〜8の数字を全て使ってください。
 問題5:ABC*D=EFGH
数学犬は、問題3は何とか解くことができました。問題4と5は挑戦中です。

ユーザーID:5297300341
トピ主です。一般的な指導法の話(1)
DITA(トピ主)
2009年7月15日 12:51

7月14日 9:27の二立さんの投稿では、教育についての一般論的な話をされているようですので、それに追随したレスをします。
二立さん、いつも真摯なコメントをありがとうございます。

(1)算数教育として、どのような指導法が望ましいか
(2)指導法にどれだけ従うのが望ましいか、または、指導方法に標準を定める是非
(3)望ましい望ましくないにかかわらず「そもそも教師と児童との関係」的な議論

私はおおむねこの3つを分けて考えています。
時々ごっちゃになりますが(笑)

前後しますが、(3)について、学校生活の中で「先生と児童の立場をわきまえる」という点においては、
私はおおむね二立さんと似た立場だと思います。
児童は先生に敬意を払い、指導に従うべきで、親としてもそう教えていくのが望ましいと思います。
(先生にもいろいろいるでしょうから、あくまでも一般論としてです)

また、算数教育そのものに道徳的要素を持たせることには(総論として)賛成し兼ねますが、
算数教育を優先するあまり、道徳がないがしろになってしまうのは有害と考えます。

ユーザーID:3716159584
トピ主です。一般的な指導法の話(2)
DITA(トピ主)
2009年7月15日 12:55

次に、(2)についても、児童の理解度、それから個性も一様ではないので、
教師の裁量が求められることは多々ある、という点で恐らく二立さんと似通っています。
ただ、教科書や教材作成にあたっては「標準的な児童(層)」は少なからず意識されているでしょうから、
標準を考えることなく、教師の裁量だけを正とするのは良くないと思います。
熱意をもって創意工夫にあふれた算数教育をする先生もいるであろう、その一方で、
かるさんから、機械的に教えている先生の存在も指摘されているという点でも、
標準的な指導となる指標の存在価値は大きいと考えます。

そして、(1)ですが、現状の指導法が最善であり続ける保証もありませんし、そもそも最善かどうかも分かりません。
ですので、望ましい指導法に関する議論は、常にあるべきと思います。

その上で、かけ算の順序は、まさに(1)の議論ではないかと思います。
「教師に従うべき」という主張をもって、理想の指導法についての結論を導くべきではないと考えます。

最後に「統制は弊害でしょうか」ですが、かけ算の順序についての統制に限れば、
私はどちらかというと害のほうが大きいと考えます。

ユーザーID:3716159584
「順序」の有用性について
積分定数
2009年7月15日 13:33

>台形の面積=2つの三角形の和
>バツにしそうで恐ろしいです。

 私が懸念するのもそこです。指導書にはかなり丁寧に別解が載っているので、これも載っていいるとは思います。「だから、教えた方法以外で解いたからバツと言うことではない」と市教委の人は言うのですが、「別解にない=誤答」ともなりかねません。

実際、公式に当てはめさせるのが算数だと思っている教員も多いようです。近所の小学校であった実例です。

適当な言葉を書く問題。 (1)直方体の体積=□×□×□ (2)立方体の体積=□×□×□   ある生徒が両方、縦×横×高さ としたとこと、(1)は正解だが後者はバツ。(2)一辺×一辺×一辺 が正解とのこと。(1)に関しても、高さ×横×縦 だったらどうなっていたのか?とふと思いました。

ユーザーID:4580501431
「算数・数学とは、公式・解法を覚えて、当てはめる事」の蔓延
積分定数
2009年7月15日 14:02

 高校生に教えていて感じるのは、「問題ごとに解法・公式を当てはめるのが数学の勉強」という考えの根強さです。順列組み合わせの問題で「これはC?P?、『取り出す』だから、やっぱりP?」と質問されるたびに悲しくなります。自分で公式や解法を見つけだす、という態度は理系の生徒にも欠如しています。

 指数・対数を理解していない文系の生徒に、指数を一通り教え、対数の定義を教えて

3^(log38)=?

を出題したら、程なく解けました。理系の多くの生徒は、公式をこね回して、結局挫折しました。

 「教えられた解法・公式に従って問題を解くことが算数・数学」という考えが蔓延し、そういう人が教員になり「教えた解法・公式に従って問題を解かせることが算数・数学」となって、ますますこの傾向が蔓延する、というのが心配です。

 算数・数学の面白さは、試行錯誤して考えて正解に行き着くことだと思います。「順序」を重視する人の多くもこれは否定しないというか、むしろ「然り。考え方が大切だから順序が大切」と言うのですが、現状の「順序」の指導は、それとはだいぶ違ってきているように思えます。

ユーザーID:8503241366
問題4と問題5
博士
2009年7月15日 14:04

答えが二つずつあるようですね。
エレガントな解法は思いつきません。。。

ユーザーID:6402484983
大人が期待する答えは書けるようにしておいた方がいい
カワリーノ
2009年7月15日 14:41

連立方程式単元のテストで食塩水問題が出たとしましょう。
答えを求めるだけならいちいち連立方程式など立てずに数直線をかけばすぐ求まります。
しかし、出題意図を考えるとやはり式がないと(あるいは間違っていると)×でしょう。
十分理解している子は出題のねらい・評価者が何を見ようとしているのかを分かっています。
そして大人が期待する答えを書きます。

小学生の文章題はかけ算を習ってるときはかけ算ばかり、わり算を習ってるときはわり算ばかり出てきます。
わり算については順序を逆にすると答えも違ってくるから教師も親もまた本人も理解できてないということを知ることができます。
しかし、かけ算は「今かけ算を習っているから出てくる2つの数字をかけておけばいいんだろう」と適当にやっても順序が違っても答えが合ってしまうのです。
私は順序を理解していた側の子供でしたから、「順番が違う子は×にしてほしい」と思ってましたね。
適当にかけ算して答えを求めた人と同じ評価をされるのはイヤですから。
理解できている子とそうでない子を峻別する意味でも小学生の段階ではかけ算の順序にこだわるべきだと思います。

ユーザーID:1511092203
トピ主です。別の指導例を紹介します。
DITA(トピ主)
2009年7月15日 15:52

こちらは某知恵袋での議論です。
ある分数の問題(内容は不明ですが、穴埋め問題ではなく計算問題とします)で、
答えとして1/7と書いたところ、バツをもらい、
その理由を先生に聞くと「約分を教えていないから3/21と書かなければ間違いです」という答えが返ってきたとのこと。

・「教えていない」はバツにする理由に(どの程度)なり得るか?
・この先生が行った指導は望ましいものか?
・親としてはどう行動するか?

皆さんいかがでしょう。

私の思想は、約分を教えていないのなら
・極力、答えが既約分数になる出題が望ましい
・答えが可約分数になる場合、約分前後の両方を正解とすべき
・約分した答えを不正解とするのは、学習意欲を失いかねないトラップであり、望ましい指導とは思えない
です。
ただ自分が親だったら、具体的にどう行動するかは少々悩みます。

これも意見が分かれそうですが、かけ算の問題よりは先生の裁量の要素が大きいので、若干考えやすいかと思います。

もちろん、これをもって「かけ算の順序」の結論に当てはめるつもりはありません。「これはこれ」という感じで。

追伸:ヨーデルさんごめんなさーい!

ユーザーID:3716159584
問題による
二立
2009年7月15日 17:58

約分を教えていない段階だから、かなり低学年ですね。

1/21+2/21という問題で、分数の足し算は分子を
足すということを指導している段階だったら、あるかも
しれません。

クラスの中に男子が3人、女子が18人います。
男子は全体のどれだけにあたるか、分数で表しなさい。

なんていう問題でもありでしょうね。

問題の内容がわからないし、その教師がどのように指導して
いたのかわからないので、3つの質問はなんともいえない
ところですがXにすることはありうると思います。

ユーザーID:1984691627
問題3, 4, 5
数学偏差値40未満
2009年7月15日 21:28

私のintelプロセッサは
問題3. 6個
問題4. 3個
問題5. 19個
の答えがあることを示唆しています。

手計算でする場合の目安になるかと思います。

ユーザーID:1586063521
出題ミス
数学犬
2009年7月15日 21:45

今朝出題した問題3に誤りがありました。正しい問題は
 ABCDE - FGHI = 33333
です。
申し訳ありませんでした。

ユーザーID:5297300341
正解なのに×って、、、ちょっと怖い
文句言いのおっさん
2009年7月15日 22:48

DITA(トピ主)さんの[2009年7月15日 15:52]に対してのレスです。

> 答えとして1/7と書いたところ、バツをもらい、
> その理由を先生に聞くと「約分を教えていないから3/21と書かなければ間違いです」という答えが返ってきたとのこと。

これって、何?
分数を理解しているからこそ「3/21」を「1/7」って書くのでしょ。
教えてもらっていない一歩先のことを考えて回答した子の考える力を否定していますよね。

以前のレスに「左側の数の単位=答えの単位」って言うのがありましたけど、
「ここに5個のりんごがあります、一個80円で買いました。全部でいくらでしょう。」と言う問題なら、右側の数の単位が答えの単位ですよね。。
それでも左側の単位が答えの単位なので400個が正解なのでしょうか?

実生活で『りんご5個買って来て』ってお母さんに頼まれたとします。
おつかいの子供『りんご5個ください』
お店の人『一個80円ですよ』
⇒⇒『5個×80円=400個』???

正解なのに型にはめようとして×を付けられてしまうのは怖いですね。

ユーザーID:0435647298
習う側が何を目的としているか分かろうとしない教師
北のおっさん
2009年7月15日 23:43

 大学教養時の解析及び線形代数学の教師達がそうでした。なにも安易に単位を出せとか思っているのではないのです。はりきりすぎて一年生に位相空間論を展開したり、群論ばかり教えたがった。
 やはり専門科目を学ぶに不自由しない数学力を付けさせるのが教養時の目的なわけで、高い理屈はさておき、ある程度の線形微分方程式、簡単なフーリエ級数、ちょっとした程度のベクトル解析の知識がある、行列の固有値・固有ベクトルが求められる等を目標にすべきです。
 こういうことを言うと、おそらく、「学ぶということの目的は・・・、実用だけに価値が有る訳ではない・・・、計算できてもダメだよ・・・」などと答えが返ってくるのでしょうが、いったい基礎課程の数学の授業で何がしたいのか?大天才のことは分からないが、私などの凡才が物事を身につける過程は
 理屈を理解する→できる
    ではなく
 何とか見よう見まねでできる→頭と体になじんでくる→理解できたと思う
であります。
 応用数学(工業数学、物理数学)を極めて軽視する大学の数学の先生方の態度は日本の科学技術の発展に大きな妨げとなっていると思います。

ユーザーID:5707571289
分数の例は、微妙ですね
積分定数
2009年7月15日 23:47

 2/4と1/2にします。約分を習う前でも、その子が「羊羹を4等分したうちの2つ分と、2等分したうちの1つ分は、切れ目が入っているかどうかの違いがあるが、羊羹の量としては同じ」と自分で気づいていたのなら、バツにするのは酷だと思います。まづは、理由を聞いても良かったように思います。

 ただ、塾や兄弟に教えて貰っていた場合(こういうケースが多いのでしょうが)は、「知らないふりをする」というのが、不文律のようにも思います。バツにすることもないような気もするし、バツにしたくなる気持ちも分からなくはない。出来なくてバツならともかく、背伸びしてバツだと「生意気なことするな!」と言われている気もして、ショックかもしれませんが、算数の授業は、「予習などしないでその場でみんなで考える」というのが、本来の姿だとは思うのです。

 ところでかけ算の順序ですが、色々理由を述べましたが、結局私自身が「順序はどっちでもいい」と教わってきたので、抵抗感が大きいのかもしれません。私は70年代に今日学校時代を過ごしました。「かけ算の順序」が、ここ10年ぐらいで広がった印象があるのですが、どうなんでしょうね?

ユーザーID:8503241366
時計と約分
むー太郎
2009年7月16日 3:11

勘の良い子だったら、約分の概念に気付くと思うんですけど。
それを否定してしまうとしたら問題だと思います。

「5min=12分の1h」ということは、時計を見ればすぐに分かりますよね。
でもって、「1min=60分の1h」と照らし合わせると、「60分の5」と「12分の1」が等しい事が分かります。

それが『約分』であると知らなくても、『気付くことができる』はずです。

それを「まだ習っていない事をするな!」と抑え込むのは教育としてどうなんでしょう?


問)
3^(log38)=x
のxを求めよ

log38=a …(1)とすると
3^a=8 …(2)

元の式に1を適用すると
3^a=x …(3)

式2と3から
x=8

(1)式から(2)式への書き換えこそが対数の定義なわけで。
「理解」していれば、何も難しい事は無いと思う。本当に解けないんですか?


さて。コンピュータ禁止ですか…

問題3)
下3桁繰り下がり無しで考えてすぐに答えが出る。

問題4)
E={3, 4}ってとこまでやった。(笑

問題5)
D≠1、E≠{8, 7}。さぁ、それからどうする?

ユーザーID:2293259910
トピ主です。別の指導例の補足
DITA(トピ主)
2009年7月16日 13:12

問題文が不明なのは残念ですが、今回の設定については、
約分前の値が3/21になる任意の計算問題であるとして構いません。
そして、3/21を不正解とする根拠については、
「(その出題の合理的な解釈には触れておらず)約分を習っていないから」です。

その範囲で、自説があれば、自説をより際立たせる設問を想定してくだされば十分です。

上の設定で考えると、同分母の加法は4年、異分母の加法は5年ですので、
だいたい4年生くらいのレベルではないかと思います。
通分・約分は異分母の加法のあたりで導入されますが、
「異分母で大きさの等しい分数」があることは4年生のうちに習いますので、
「約分」という言葉自体や、その具体的手法を知らなくても、
3/21は1/7という簡単な形で表せることに気が付く児童はいるかと思います。

なお、この話のベースとなる実際の投稿はありますが、そこに私のいくつかの想定を加えています。
どうか、これをもって「今の算数教育は…!」のように怒らず、
1つのシミュレーションとして考えていただくことを希望します。
オリジナルの問題が何であったかは、出題形式も含めて不明です。

ユーザーID:3716159584
>本当に解けないんですか?
積分定数
2009年7月16日 15:04

 これまで多くの生徒にこの問題をやらせましたが、きちんと明確に解けたのは、その文系の生徒と、もう1人いたかどうか、という感じです。散々ヒントを与えた結果、とか、根拠はなくてテキトーに答えて、というなら何人かいるのですが。

 ちなみに、log48を求めるような問題は、理系の生徒は公式で難なく解けますが、その文系の生徒に、公式を教えないでやらせたところ、定義からきっちり解けました。

 私もこの仕事をするようになって驚いたのですが、トップレベルの進学校理数系の生徒に「三角形の内角の和はなぜ180°?」というと、「わからない」と言うのです。

 理系の生徒は当然、x^nの微分は、nx^(n-1)と答えられますが、「なぜ?」と聞くと、「公式だから」がほとんど。

 10年ほど前、東大入試で「加法定理を証明せよ」というのがありました。正答率が気になります。

 恐ろしくなるぐらいに、根本原理への興味・関心が欠落しています。わからない問題に出会ったときに、「いきなり一般論だとわからないから、n=3の場合は・・」と何とか正解に行き着こうという執念も弱いようです。

ユーザーID:8503241366
 
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