算数好きの方、算数・数学の教育に携わる方、語り合いましょう!

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DITA

学ぶ

DITAと申します。
トピを開いてくださってありがとうございます。

とある算数の問題を解いているうちに、
算数で扱う範囲、考え方、教え方など、いろいろ興味が出てきてしまいました。
一言で「算数の常識」と言うのも、その中身には奥深さがあるんだなぁと。

といいながら、そんな堅苦しい話でなくても、
算数をテーマにした情報交換、お悩み相談など、
語り合いませんか?

ユーザーID:3716159584

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  • 方便を一切認めないとは誰も言っていないでしょう

    カワリーノさん。

    > (1) 1mあたりの重さが3kgの棒が5mあります。全部で何kgか。

    → 5×3

    > (2) 1mあたり2.4kgの棒が5m

    → 5×2.4

    > (3) 1mあたり2.4kgの棒が3.5m
    → 3.5×2.4

    と『してはいけない』とする理由は何でしょうか?


    「理解できないかもしれないからバツにする」ではありませんよ。
    『たとえ理解していようともバツにする』のは何故ですか?
    理由をお教えください。

    ユーザーID:2293259910

  • 科学教育は普遍的なルールを教えるところです

    かるさん:
    >そもそも、方針として「『順序に拘れ』とはしてないが『順序に拘るな』ともしてない」という現行ルールであるならば、もう、そこは担任の「これでいいのだ!」に任せられているわけで。

    では、「知的創造説を教えてはいけないと書かれていない」という教師が出てきたらどうしますか?
    「順序に拘るべき」というのは知的創造説と同様に明確な科学的誤謬なので、これは揚げ足取りでも何でもありません。

    >社会人でこの手の壁にぶつからない人間なんているのか?

    理由になっていません。国策で偏ったイデオロギーを教えることが誤りであるのと同様、似非科学を教えることは明確な誤りです。

    カワリーノさん:
    >(1個あたり量)×(個数)を徹底させていれば説明する側にも、説明を受ける側にとっても単純で分かりやすいものだと思います

    誰も、説明の便法として順序を教える側で統一することに反対してはいないと思います。問題は、方便に過ぎないその「順序」を本質的なものであるかのように過度に強調したり、あまつさえその「順序」を子供に強要することです。

    ちなみに、その順序に拘るならmgではなくgmと書くべきですね。

    ユーザーID:4828386237

  • 他にも色々書きたいことがあるのですが、とりあえずこれだけ

    二立さん、7月24日 8:41のご説明は本当ですか?

    足し算は、同質の数同士でしか成り立たない演算です。
    1個80円のりんごを5個買うといくら?という問題に対して80+5と式を立てるということは、とりもなおさず、この子は足し算を理解していないということです。
    足し算を理解していない子に、掛け算もへったくれもないと思いますが。

    かけられる数とかける数というのは、少なくとも、足し算をきちんと理解していて、この問題に対して80を5回足せば答えが求まると分かっている子用の説明の仕方ではないですか?
    このとき、80をかけられる数、5をかける数と言い、80×5と式を立てる。あとは九九を使えば答えが求まる。
    この流れで説明するためのものだと思います。

    ついでに、しつこいですが、のちに正比例を習ったときに、かけられる数は係数、かける数は変数という言葉に「上書き」されると思っています。
    つまり、言葉が変わるだけで、一生使う概念だと思います。掛け算を習いたてのときだけに必要な概念ではありません。

    ユーザーID:7063437247

  • 学校の先生になる人って

    中学からはそれぞれの教科専門の先生に分かれるから数学はテキトー?
    小学校の先生は、文系が多いのかもしれない。「小学生の算数ぐらいは自分でも教えられるサ」程度の軽い気持ちで教師になるから、教師用のあんちょこ(教科書の要点が書いてあり、<教師が自分で調べたり考えたりする必要がない>本)の通りにしか教えられない。数学に詳しい教師なら、その本に書いてある以外の考え方や答え方でも○をつけることができ、×をつけるという発想自体がありえないことだと理解できる。
    数学が理解できない教師に限って「そういう風に教えろとここに書いてある。これは国のエライ人達がそう決めたんだ!」と、自分もエラそうに言う。そして、「進学した先の学校にも×をつける教師がいるんだぞ。」と。
    いやはや・・一昔前は、日本の「英語教育」、最近は「算数教育」が変なわけね。
    理工をめざす息子に聞いたら、「なにそれ?算数でそんな(おかしい)教え方はされなかったよ。」と言うので、息子は被害を受けていないらしい。
    先生によるんだね、やっぱり。確か、うちの子供は2人とも小学校で数年間、「本当は理科専門の先生」(と娘が言った)が担任だったなぁ。

    ユーザーID:8388433265

  • 中学生です

    数学好きで、先取りしている中学生の沙羅と申します。

    トピずれだと思いますが、もしよければ教えてください。
    2の正の四乗根を
    4■2(4は本当は小さい)
    と書くと参考書にあったのですが
    これはどう読みますか?

    ユーザーID:4418100975

  • 中学受験する子に聞いてみればいい

    小学校の算数は数学への導入教科であると同時に国語力(読解力)を養うための教科でもあるのです。
    別に(個数)×(1個あたり量)に統一するならそれでもいいと思います。
    ただ、現時点ですべての(と言っても過言ではない)教科書・問題集で100円3個は100×3としているから、現実問題として変更するのは難しいと思いますがね。
    私が言いたいのは100円3個は100×3と書き、別の問題で200円4個は4×200と書く子に対してどうすべきかということです。(その都度確認すればいいという意見がありましたが公教育でそこまでできるわけがない)

    私の言っていることがさも子供を混乱させ負担をかけるかのように言っている方がいますが、中学受験をするレベルの子であれば意識せずに100×3と書くはずです。(逆なら違和感を感じるでしょう)
    筆算で計算するときまでその順序でやれと言っているのではありません。

    私はかけ算の順番を意識させることは算数教育界の良き伝統・習慣だと思っています。(それによって底上げにつながっている)

    ユーザーID:1511092203

  • かけ算の順序の争点はどこ?

    1.教育的な便宜から、かけ算の順序を導入
    2.数の基本的性質に反するため、想定外の正解が必然的に現れる
    3.2への対処
     3.1.想定外の正解を許容する
     3.2.想定外の正解を許容しない
     3.3.かけ算の順序を廃止する

    3.1と3.3はまともな対応に見えるが
    現在、「何故か、3.2が優勢」という点が争点でしょうか?

    3.2が優勢だと、個人や法人が
    防衛的に対応せざるをない点で、非常に問題と思います。
    是正してほしいです。

    ユーザーID:1586063521

  • 「かける数」「かけられる数」の双対性

    ugougoさん:
    >ついでに、しつこいですが、のちに正比例を習ったときに、かけられる数は係数、かける数は変数という言葉に「上書き」されると思っています。

    しかし、たとえば線型(正比例)関数はf(x) = axのように書くのが普通だと思います。この場合aが係数、xが変数なので、その言葉の置き換えでいくと「かけられる数×かける数」になります。

    また、f(x, y) = xyという双線型関数(変数両方に比例する関数)はどうでしょうか。f(x, y)の値はxについても、yについても比例します。どちらが「かける数」でどちらが「かけられる数」なのでしょうか?

    つまり、「かける数」「かけられる数」という概念を固定して考えてしまうことが間違いなのです。「かける」という演算は左右両方から行い得るからです。

    このとき、「左からかけられる数」は「右からかける数」、「右からかけられる数」は「左からかける数」とそれぞれ読み替えられます。そして実数の掛け算は可換だから「左から」「右から」の区別が無意味で、結局「かける数」「かけられる数」という概念自体が無意味になるという話なのです。

    ユーザーID:4828386237

  • おおきくなれよ

    タイトルで動画サイトを検索すれば懐かしいものが見られます。歌っていたのは上条恒彦でほんとはハイリじゃなくてハイディのようです。ということで背理法(笑)

    >>トピ主様
    >>「背理法」を、論理学や数学を使わずに説明するときって、どうすればいいのでしょうか?

    以下の言い方で通じるかどうかは怪しいですが。主張したいことをAとすると

    1. もしAじゃないとすると、こうこう、こうなるじゃん。
    2. でも、それってありえないじゃん。
    3. だから、Aだったんだよ。

    数学では1.の論証部分、2.の矛盾の部分を厳密にやるからわかりにくくなるのかも。そこらへんをてきとうにやってるのなら、日常的に割とよくある理屈の流れのような気もしないではありません。「Aじゃないなんてありえない」とほとんど論証抜きで(笑)

    ユーザーID:9181712611

  • 数学記号の読み方は

    実は慣用的なもので、これでなければならないと定めたものはないようです。たぶん、いろいろレスがつくでしょうが

    >沙羅さん

    フォントがつぶれていたのでいわゆるルート記号だと思いますが、「4乗根2(よんじょうこん、に)」とかそのまま「2の4乗根」読むと思います。表記として確定していればいいみたいなところがあるので、読むときはわりといいかげんで、人によっていろいろだったりします。こんなサイトもあるので参考までに(http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/report/suusiki/suusiki.htm

    コンピュータとかも興味があって好きなら、LaTeXを勉強してみるのもいいかもしれません。(中学生じゃちょっと早いかもしれませんが)読み方は別にして、ほとんどの数式を書くことができます。基本ただだし。もちろん参考書代とかはかかりますが。

    ユーザーID:9181712611

  • あくまで冗談ではあるが、

    >>指導要綱に「順序に拘るな」と記載しろとか?
    >そう思います。

    そうすると今度は、

    「一方の順序に偏らないように、1つ分×いくつ分 と いくつ分×1つ分 が半々の比率になるように」とか
    「3×4=4×3=12、という具合に必ず両方の順序を書くように」
    「これは、掛け算に順序は関係ないことを生徒に定着させるために有効な指導法だ」

    とか言い出す教員がいたりして。

    ユーザーID:5102345290

  • >中学生です

    正式な読み方は決められていません。

    一般には、「4乗根2」と言われています。

    16の4乗根で実数のものは、−2と2ですが、
    「4乗根16」は、2です。

    「平方根」と「ルート」、に対応するのが
    「○の△乗根」と「△乗根○」です。

    ユーザーID:8503241366

  • 同質の数

    ugougo様

    >足し算は、同質の数同士でしか成り立たない演算です。

    あなたは、「同質の数」ということを小学生に説明できますか?

    単位が同じだったら同質ですか?

    バケツ2杯の水とコップ3杯の水は、合わせて何杯ですか?
    鉛筆5本と松の木2本で合わせて何本ですか?

    5+2にしてしまえばだれでも計算できますが、文章に書かれたものを
    式にする段階でつまづいている子はたくさんいます。

    犬が2匹と猫が3匹、合わせて何匹ですか。
    犬が2匹と蝉が3匹、合わせて何匹ですか。

    犬と蝉は足し算できますか?

    実際には、同質かどうかそんなに真剣に考えないで、とりあえず問題に
    でてきた数を使って式を立てているのではありませんか。

    1個80円のりんごを5個買うといくら?という問題に対して80+5と式を
    立てる子の存在が信じられませんか?

    現場の先生に聞いてみたらどうですか。

    ユーザーID:1984691627

  • 中学生 さま

    2の4乗根の小数点での値は、
     a_1 = 1.0
    とおいた後、
     a_{n+1} = a_{n} - (a_{n}*a_{n}*a_{n}*a_{n}-2)/(4.0*a_{n}*a_{n}*a_{n})
    を6回ほど繰り返すと、高い精度で求められます。
    これをニュートン・ラプソン法といいます。

    暇なときに、確かめられると面白いかもしれません。
    (数列の表示がよく分からなかったらごめんなさい。)

    ユーザーID:1586063521

  • いや、その前に

    >>>>指導要綱に「順序に拘るな」と記載しろとか?
    >>>そう思います。
    >>
    >>そうすると今度は
    >>(中略)
    >>とか言い出す教員がいたりして

    教科書とアンチョコにはAxBしか記述されていない。コレは要綱と違う!!
    要綱と教科書検定が別のことを言っている。よって業務(授業)ができない!!
    って裁判起こす教員が出てくる。

    個人的に教員に高望みしてません。
    実際塾のバイトで小学生を受け持ったときは、第一優先は「クラス維持」(崩壊させない)でしたし。
    その第一優先のためには、多少強引であっても「ルールはルール」「コウだって言ったらコウ!」ガなければ
    やっていけませんでした。

    >>世界共通のルールと俺ルールは違います
    日本のローカルルールで野球をしてても、国際舞台に立つ選手はいます。
    まず「ルールを守る」これが最優先です。
    小学校で教えるべきはこの「ルールを守ること」だと思います。

    ユーザーID:6816460365

  • >ある父さん、積分定数さん

    >ある父さん

    お返事ありがとうございました。
    おっしゃる通り、つぶれていたフォントはルート記号です。

    実はLaTeXはお年玉を使って購入しましたが、挫折してしまいました。
    でも、貼り付けてくださったサイトを除いてみたら
    分かりやすそうだったので、もう一度頑張ってみます。
    LaTeXに再チャレンジする機会をありがとうございました。

    >積分定数さん
    お返事ありがとうございました。
    平方根とルートに対応する読み方の微妙な差も解り、嬉しかったです。

     

    ユーザーID:8634602177

  • 寝る理由

    > 小学校で教えるべきはこの「ルールを守ること」だと思います。

    算数・数学以前の問題として、
    小学校ではそういうこともあるかも知れませんね。
    算数ではなくルールを守ることを教えているのだと。

    実際には算数・数学と言うのは言語のようなものであって、
    文法を守る必要はあるが、文法を守っている限りは自由に
    それを操って、問題を解いたり他の人と議論したりできるものです。
    (掛け算の順序を入れ替えることは文法に反しません。)
    私は、その楽しさを知ってから、数学が好きになり、同時に、
    ルールに従って当てはめていくだけの数学の授業は聞かなくなりました。

    このトピで掛け算の議論が始まってから、
    私のアイコンが zzz になっているのはそのためです。

    ユーザーID:6402484983

  • 算数 vs. 国語ですね

     算数の話をしている人と国語の話をしている人が入り混じっているというか、算数と国語で議論しているために、収拾がつかなくなっていますねぇ。

     順序重視の方々の主張は、文章問題を理解する能力が重要というところまでは分かります。しかし、たとえば80円のリンゴが5個のときの価格を求める問題で、80+5と書いた子供と5×80と書いた子供と、どちらが算数をより理解していると、順序重視の方々は思うのでしょうか。

     算数の能力を底上げするとは、1個当たりの価格に個数を掛けると全体の価格になるということを理解する(させる)ことで、1個当たりの価格を個数よりも先に書くことではないと思いますが。

    ユーザーID:3316067009

  • >「2の4乗根」読むと思います。

    この読みはしないそうです。それだと、±4■2, ±4■2i の意味になってしまいます。

    昔、教科書会社に電話して確認したことがあります。

    5C2 5P2 log35 

    これらも、私が高校の時は、「シーノゴーニイ・ピーノゴーニイ・ログテイサンノゴ」と習ったのですが、今は「ゴシーニ・ゴピーニ・ログサンテイノゴ」の読みが主流で、やりづらいです。

    昔習ったことは染みついてしまってなかなか切り替えられない。 

    ユーザーID:8503241366

  • ルートだけに根本的?

    確かに2の4乗根それだけだと複数の解を意味することが多々あって、数値としてを強調するときには大抵4乗根2ということがほとんどなのですが。ただ「αは2の4乗根(のうち正の実数となるもの)なので、1<α<2の平方根(うち正のもの)」と()の中を省いて言うこともあるので文脈によると思います。(わかってて指摘されてるとは思います)

    log_3 5 (TeX流)は「ろぐ・さんのご」で「底」は言ってなかったです。(底は英語でbaseだけど塁じゃ累とまぎらわしいかとか思ってたり思わなかったり)もっと簡単なのでは「f(x)は普通「えふえっくす」だけどきちんと「かっこ」を入れて読む人もいるし(あまり数学が出来そうには聞こえないところがみそ、笑)

    まあ、数学の「まともな」試験では、数式のふりがな問題は出ないと思いますので読み方にはそんなこだわらなくていいのでは(というのが私の考え、それより英語で読めって言われるとけっこうパニック)

    ユーザーID:9181712611

  • 元問題児さんへ(1/3)

    コメントありがとうございます。
    説明不足の部分をほとんど洗い出して下さったので、引用の形で補足させていただきます。

    先に、一番重要な点を補足します。
    私は、
    ・かけられる数とかける数を区別することを教えるべきかどうか

    ・その区別を掛け算の順序で表現することは適切かどうか
    は、まったくの別問題だと考えています。

    前者については、教えるべきだと考えています。
    後者については、他に適切な表現の仕方があるのなら、それでもまったく構わないと思います。
    ただ、今は、現実として、掛け算の順序で表現するように教えていると思います。私は、とりあえずそれを認めているという立場です。

    ユーザーID:7063437247

  • 二立さんへ

    二立さん、お返事ありがとうございます。

    私の質問の仕方が紛らわしかったのですが、お尋ねしたかったのは、
    ・1個80円のりんごを5個買うといくら?という問題に対して80+5と式を立てる子は本当にいるのですか?
    ではなく、
    ・かけられる数、かける数というのが、80+5と式を立てる子用の説明だというのは本当ですか?
    ということです。

    私は、かけられる数、かける数というのは、2年生にとってはかなり高度な概念だと思っています。
    少なくともこの問題に対して80+80+80+80+80と式を立てることができるレベルの子でないと、この概念は理解できないと思うのですが。

    ユーザーID:7063437247

  • >わかってて指摘されてるとは思います

     もちろんわかった上なんですが、実は以前、「教える立場の人は、正確な言葉を使うべきか?」という議論があって、

    「日常では、時刻の意味で『時間』、質量の意味で『重さ』と言うのは普通。高校生に説明するときに『ルートか平方根か』が問題ではなく、『ルートか?2乗か?』「平方根か?3乗根か?』という状況では、ルートと平方根は混同して使うことはある。」と発言したところ

    「ルートと平方根は違うので、使い分けるべき」と指摘されました。その人は数学専門ではなくて、中学までしか教えないようなのでそのような発言になったようです。

    そのやりとりで、「ルートと平方根の使い分けは中学でやるが、3乗根、4乗根、などはそもそも両者を言い分けることはしない」と発言したのですが、気になって教科書会社に問い合わせたところ、「○の△乗根」と「△乗根○」で一応使い分けているらしいことが判明。

    数学用語で驚いたのは「求まる」。普通に使っていたら連れ合いに「そんな言葉はない」と指摘された。調べたら、数学ではよく使うが一般には使わないらしい。「求めることが出来る」なんていちいち言ってられないから仕方ない。

    ユーザーID:8503241366

  • トピ主です。留守にしておりました。

    週末、旅行に出かけていてネットにつなげず気がかりでしたが、
    いつものペースで安心しました。
    皆様に御礼申し上げます。

    さて、まずは、たまっている私宛のレスから…と思ったら少ない(笑)。

    ●ある父さん・かるさん

    > 1. もしAじゃないとすると、こうこう、こうなるじゃん。
    > 2. でも、それってありえないじゃん。
    > 3. だから、Aだったんだよ。

    背理法として正しい説明かどうかというのはもちろんのこと、
    他人に説明するからには「へ〜背理法って便利だね〜」と言わしめたいという願望があります(笑)。

    あまりにも簡単すぎる例だと「別に背理法じゃなくてもいいんじゃん?」と言われそうで。
    否定を仮定するとあら不思議、みたいな例はないかなぁと。

    とはいえ、日常生活で何かを推理する場合「Aじゃないとすると」という仮定を暗黙のうちに行っている、
    つまり無意識に背理法を使っているのでしょうか?

    母:「お風呂掃除してくれた?」
    父:「ああ、しといたよ」
    母:「うそ!お掃除ブラシ、濡れてなかったわよ!」

    みたいな。

    ●二立さん

    分数のレスは書いている途中ですので、もう少々お待ち下さい。

    ユーザーID:3716159584

  • 過去レス

    ugougo様

    ・かけられる数、かける数というのが、80+5と式を立てる子用
    の説明だというのは本当ですか?
    ということです。

    この子達は毎回80+5と式を立てるわけではありません。似たよ
    うな問題でもあるときは80X5だったり、あるときは5X80、
    場合によっては80/5だったりします。

    要するに、問題文をちゃんと読まないで、出てくる数字を適当に
    組み合わせて式を立てるのです。なぜそんなことをするのか。
    それは、式の立て方がわからないからです。

    問題文を読解して式にする過程の話は何度も出ています。
    具体的な値を抽象的な数に置き換える段階でつまづいていることが
    多いのです。このあたりの議論については、このトピの
    次の私のレスのあたりを再読願います。

    2009年7月7日 9:00
    2009年7月9日 11:40
    2009年7月11日 9:58
    2009年7月14日 17:06
    2009年7月17日 9:07

    ユーザーID:1984691627

  • トピ主です。二立さんへ

    二立さんの想定は
     複数の設問に分かれ、
      ある1つの設問について児童が理解せずに約分したことを、
       他の設問の答えによって伺い知ることができるところの問題(の集合)
    ですね。
    この前提自体はとりあえず問題にしないとして、
    その設問をもってしても、二立さんは約分後の解答を○にするほうとのことなので、
    個人的な感覚の対立はほとんどなさそうですね。

    その上で「人数が多いとき」等、個別の事情を加味すると×もあり得る、という二立さんのスタンスに対し、
    私は、セカンドベストの是非に(あえて)踏み込まない、という違いのようです。

    「理解も様々な児童たちを前に、なぜ1/7が○なのかという説明は困難である」
    ということは私も理解していますが、
     だから×にする先生もいる vs だからといって×にするのはどうかと思うよね
    という対立ではないかと。

    個人的には「どうして1/7は○で、2/8は×になんだろう?」と一度は考えてほしいので、
    理解していなくてもやっぱり○にしたいところ。

    ちなみに(A)を両方とも×にする、というケースがありませんでしたが、これについてはどのように思われますでしょう?

    ユーザーID:3716159584

  • トピ主です。根の深い話

    ● 沙羅さん、積分定数さん、数学偏差値40未満さん、ある父さん

    数学記号の読み方、難しいです(笑)。
    私も「4乗根」程度で考えていました。

    確かに3乗根までの記号は、(square) root, cubic root と、
    図形(幾何)になぞらえて呼んでいて、
    日本語でもそのままカタカナ読みしていますから、
    「キューブの次は何なのか?」ということになりますよね。
    リベンジとかプロフェッサーとか?(大嘘)

    > 「平方根」と「ルート」、に対応するのが

    余談なのですが、これって、日本語だから区別できるんですよね。
    英語ならば、両方とも square root だと思うのですが、
    英語では、概念そのものと、数学記号の呼称をどうやって区別しているのでしょうね…。
    (ネタ振りだけですみません)

    あと、これまた余談ですが、2の12乗根を求めるというトピがありますので、紹介します。
    「平均律」という音楽の分野と関連していて、なかなか面白いです。
    http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2008/1120/213699.htm?o=0&p=1

    ユーザーID:3716159584

  • 根がいいかげんなのでつっこんでみる

    英語読みに関してはhttp://ese.cc.sophia.ac.jp/HowToReadAndGlossary.pdfがありました。本もいくつか出版されています。ちなみに xの3乗は x cubed と読むのが正しいらしい。過去分詞になって形容詞化してるのかな。4乗は x to the fourth power で序数になるのがみそ。が、1/4 は one quarter で 1/5が one fifth とここでも序数が(笑)。2/5 だと two fifths と複数になってたりします。

    ルートのほうですが、単数複数冠詞定冠詞で使いわけるようです。ルート2は、the square root of 2, 2の平方根のうち1つは、a square root of 2, 両方を言うなら the square roots of 2 でしょうか。こうなってくると数学の話じゃないような気もしてくる(笑)

    ちなみに英語Wikiのcube root の頁は日本語版の立方根の頁のそっけなさに比べて格段にきれいです。リーマン面の図もあったりするし。

    ユーザーID:9181712611

  • 問題です

    5本のクジの中に2本の当りクジが入っています。
    A.B.C.D.Eの5人がそのクジを引く時、

    当りを引く確立が一番高いのは何番目の人でしょう?

    また、1番目から5番目の確立の式も書いてください。

    みなさんにとったら簡単すぎますかね♪

    ユーザーID:8839714688

  • クジ引きと引く順番

    5人全員がクジを引き、引いたクジを戻さないならば
    クジの当たり易さは、引く順番に関係ないと思われます。

    ユーザーID:1586063521

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