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発言小町

新しいトピを作成
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算数好きの方、算数・数学の教育に携わる方、語り合いましょう!

DITA
2009年7月1日 9:23

DITAと申します。
トピを開いてくださってありがとうございます。

とある算数の問題を解いているうちに、
算数で扱う範囲、考え方、教え方など、いろいろ興味が出てきてしまいました。
一言で「算数の常識」と言うのも、その中身には奥深さがあるんだなぁと。

といいながら、そんな堅苦しい話でなくても、
算数をテーマにした情報交換、お悩み相談など、
語り合いませんか?

ユーザーID:3716159584  


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レス数:341本

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タイトル 投稿者 更新時間
念のため
ugougo
2009年9月8日 1:34

私の9月3日のレスは、もちろん冗談です。
紛らわしくてすみませんでした。

元トピからすべて含めて、私が一番好きなのは6月19日 14:34のこばさんのレスです。
こばさんは、もちろん、カードをひっくり返すのがアリだと本気で思っているわけではありません。
抑制の効いたジョークです。
私もこの線を狙ったのですが、見事に外したような気がします。

そして、こばさんのカッコいいところは、その後、何のフォローもしていないところです。
本気だと思われても別に構わないという態度が男らしい。
気の弱い私には無理でした。

ユーザーID:7063437247
ugougoさんへ
j11l
2009年9月3日 18:29

12時については鐘は12個なるが、13時については鐘は1個しかならないとの前提で答えを出されていますね。
当たり前といえば当たり前ですが、なんかひどい引っかけの問題だったのですね。 奥が深い。

ユーザーID:0847065825
すっかり忘れていました(2/2)
ugougo
2009年9月3日 0:38

この問題のポイントは2つあります。
1つ目は、鐘の鳴る継続時間を気にしないで済む設問になっている(純粋な植木算になっている)ことです。12時のときは、これだけで片が付きます。
2つ目は、12時以外のときは、最後の鐘が鳴り始めてからさらにもう1秒待たないと時刻が確定できないことです。(6時の場合は、(6−1)×1+1=6秒だということです。)

[設問2]は、私の推測では、正しくは次のようだったのではないかと思います。

[設問2’]
ある時計の鐘の音で6時であることを知るのに5秒かかります。
では、12時であることを知るのには何秒かかる?

これなら、鐘の鳴る継続時間に関係なく、答えは(12−1)×5/6=55/6秒です。
おそらく、6時のときに5秒という設定は、6時のときも単純な植木算で済むと早合点させる(7回目が鳴るか鳴らないかを確認しなければいけないことに気づかせないようにする)ための罠だと推測します。
この推測が当たっているとすれば、かなり意地悪な先生ですけど(笑)


「推測」でさらに思い出しましたが、文字化けの原因、DITAさんのご推測通りなら早く対処して欲しいですよね。

ユーザーID:7063437247
すっかり忘れていました(1/2)
ugougo
2009年9月3日 0:35

[設問2]ですが、pon太さんの先生は、多湖輝の頭の体操が念頭にあったのではないでしょうか?
設定が酷似している問題があります。
pon太さんがこの問題を紹介された直後にレスすればよかったのですが、当時は例のカードの問題で手一杯でした。
その後すっかり忘れていましたが、j11lさんのおかげで思い出しました。

手元に本書がないのですが、記憶によれば確か以下のようだったと思います。

[元ネタ?]
鐘の鳴る回数で時刻を知らせる時計がある。
鐘の鳴る間隔は1秒である。
この時計により12時であることを知るためには何秒必要か?
また、6時であることを知るためには?

答えは、
12時であることを知るためには11秒必要(12回目が鳴り始めた瞬間に分かるから)
6時であることを知るためには6秒必要(7回目が鳴るか鳴らないかは、6回目が鳴り始めてから1秒たたないと分からないから)
です。

ユーザーID:7063437247
トピ主さん、満点です
j11l
2009年9月1日 23:22

私の質問に答えてくれて有り難うございます。 満点です。 普通は10の答えがなかなか思いつかないのですが、今話題の 1/3 = 0.333…(3が無限に続く)をみてこの質問を思い出しました。
他の数字では別の回答例(6=3*3−3,8=(3!/3)^3,9=3+3+3等)もありますね。(^はべき乗です)

時報のことですが、たしかに余韻を考慮するとトピ主さんの答えもありますね。 私が前レスで言いたかったのは、階段の問題と違って11秒という答えは間違いですということでした。

ユーザーID:0847065825
トピ主です。お久しぶりです(2)
DITA(トピ主)
2009年9月1日 7:45

●j11lさん(続き)

3を3つで0〜10を作る問題ですが、階乗を使って良いなら、

f=3!=6

Z=(3−3)=0
U=(3÷3)=1
D=f÷3=2
A=(3+3)=6

とおいて、

0:Z×3
1:3−D
2:3−U
3:A−3
4:f−D
5:f−U
6:f×U
7:f+U
8:f+D
9:A+3

で良さそうです。

10ですが、3×3.(3) でいかがでしょうか。
ただし 3.(3) は循環小数 (3.333...) を表します。
3の上にドットをつけたものを表記したかったのですが、テキストで表現できる別の方法にしました。

あと、負×負=正 については、
中学生が理解できる証明というのはなさそうなので、
「そういうもんだ」と覚えれば十分で、あとはj11lさんのような説明で補えればなお良し、と考えています。

ユーザーID:3716159584
トピ主です。お久しぶりです(1)
DITA(トピ主)
2009年9月1日 7:41

●かるさん

なるほどー。私は「ある数字」として適当な自然数を想定してしまったので、チャリンさんと同じように思っていました。

x = 0.999... として、
(10x - x) で小数点以下を消去する方法を、小学生向けに説明したものですね。

●j11lさん

「鳴らす」を、「鳴り始めてから鳴り終わるまで」と解釈するなら、
おっしゃる通り、その時間 x については、x > 0 ですね。

ただし、

> なぜなら時計は、 ボーン スペース ボーン スペース ...と鳴ります。

「鳴ります」と断定されているものの、
私の考えでは、打鐘と打鐘の間の鳴っていない時間(スペース)が存在するというのは1つの仮定に過ぎなくて、
2回目以降の打鐘が、振動している間に行われるなら、
「スペース」が存在しないばかりか、最後の「ボーン」だけ長いってことになりますね。
この場合だと5<z<11かな。

「現実はこうだ」というモデルを想定して解くのは良いのですが、
そのモデルがどこまで現実に即しているかというと、
「打鐘の時間を無限小とする」という植木算モデルと五十歩百歩、という気がしなくもないです。

ユーザーID:3716159584
素人的な 負x負=正 の考え
j11l
2009年8月30日 0:32

話題としては昔に終わってますが、こんな考えが浮かんだのでレスします。

前提はある部分を基準として、ある動作を正、反対の動作を負とします。
ここでは、行く=正 行かない=負、また、本当=正、本当ではない(うそ)=負 とします。

1 行く   x 本当 = 行く   で 正 x 正 =正
2 行く   x うそ = 行かない で 正 x 負 =負
3 行かない x 本当 = 行かない で 負 x 正 =負
4 行かない x うそ = 行く   で 負 x 負 =正

これを算数にもあてはめるとすると、4の結果から 負x負=正 が導かれますが、この方法で小学生に理解させるのはやはり無理ですかね。

ユーザーID:0847065825
なつかしい問題
j11l
2009年8月30日 0:12

話題にとけ込めていない中で、なつかしい問題を出します。

問題: 3を3個使って、0から10の数字を作りなさい。 数学で使うあらゆる算術(この表現で正しいか不明ですが、+−*/,log、べき乗、ルートなど)を使用可。 また33などの表記も可。
例題: 4の例を示します。 4=3+(3/3)

ユーザーID:0847065825
古い話ですが、時計の問題の件
j11l
2009年8月29日 2:20

[設問2]
ある時計が6時の鐘を鳴らすのに5秒かかります。では12時の鐘を鳴らすのに何秒かかる?

この答えは、10秒以上11秒未満が正解ですね。
なぜなら時計は、 ボーン スペース ボーン スペース ...と鳴ります。 ここでx=ボーン、y=スペース とすると
  6時: 6x + 5y = 5秒
 12時:12x +11y = z秒  です。
これからzを求めると z=y + 10 となります。
ここで x>0 ですから yの範囲は 0<=y<1 です。
結果として zは 10=z<11 となります。

階段を上るケースと勘違いしてはいけません!

ユーザーID:0847065825
あの算数クイズは
かる
2009年8月27日 14:53

あの算数クイズは、
1/3x 3 =1

0.9999…=1
の説明に使えるかな〜と考えたもので、
なので「ごり押し」って話が出てくるので。

初めに思い浮かべる数字が0.999999…という「無限に9が続く」数字の場合
それを10倍したりできるか…
9.99999…ー0.99999…の答えが「9」にたどり着くかどうか…

そこんところが対小学生用汎用兵器としてはイマイチかもしれずんば…?

ユーザーID:2469691962
柔軟体操
チャリン
2009年8月21日 12:48

頭も体もコチコチに凝り固まっていました、いやはや(汗)

一昨日から柔軟体操を始めましたら、筋肉痛で普通に動けず挙動不審になっています。
頭の体操は何から始めたらよいものか・・・かるさんの算数クイズでかなり初期化されたんじゃないかなーと思います。
でも不思議。何度やっても同じ数字になるんですねー。

ユーザーID:3809464351
トピ主です。文字化け、分かったような…。
DITA(トピ主)
2009年8月20日 14:27

●ugougoさん

文字化けはずっと気になっていたので、何かの機会にまとめて知る機会があればと思っていました。

私もシグマをタイプした際、数学記号ではなくギリシャ文字のほうを選んだのに文字化けしていて不思議に思っていましたが、
ugougoさんのレスをヒントにし、法則がつかめた気がします。
どうも1つの文字(の形)に対し、複数のSJISコードが割り当てられているものが文字化けを引き起こすようです。

数学記号で言うと8790〜879Cまでの、

◎ニアリーイコール
◎合同記号
◎積分記号
・閉路積分記号
◎シグマ
◎ルート
◎垂直記号
◎角度記号
・直角記号
・直角三角形記号
◎理由・根拠(なぜならば)
◎積集合
◎和集合

の13文字が対象で、そのうち◎印をつけた10文字が文字化けする機種非依存文字と思われます。
(残り3文字は機種依存文字のみに存在)

推測ですが、システムはJavaで、内部的にはUnicodeで管理しており、
表示時に再度SJISに戻す際、複数のSJISコードを持つものについては、
機種依存側のコードに変換されてしまい、そこでフィルタがかかるのではないかと…。

ユーザーID:3716159584
さらに反省
ugougo
2009年8月20日 1:49

DITAさん、お手間をおかけしました。
私が書きたかったのは0x81BFです。
0x879Bがこれと同じ記号らしく、8月18日 1:36で化けたのは多分こちらだったのだろうと思い、8月19日 1:44ではコードを直打ちしてみたのですが、やっぱり化けてしまったという次第です。
以上、反省というより言い訳です。

ところで、ここ最近あらためて感じるのは、算数(数学)の問題を作るのは難しいということです。
・題意が明確で、
・解くのに不必要な情報がなく、
・解かせたい解法がその問題を解くのに最も効率的な解法であり、
・教育的効果の高い
問題を作るのは至難の業だろうと思います。

授業に「問題作成」を取り入れてみるというのはどうでしょうね?
隣の子と交換して、解いてみた感想を言い合ってみると面白いと思います。

ちなみに、前に出題した【問題2】の一般解の導出は上の4つをかなり満たしていますが(これも実は元ネタがあります)、シグマが文字化けするので解答を紹介するのが難しいというオチがつきます(笑)

ユーザーID:7063437247
トピ主です。文字化けについて
DITA(トピ主)
2009年8月19日 17:46

小町サイトの文字コード体系はSJISなので、
8141〜81FCまでの機種依存しない記号なら大丈夫なのかと思いきや、そうでもないのですね。
試しにいくつか列挙してみます。つぶれていたら使えない文字です。

≠ Not Equal To
≦ Less-Than Over Equal To
∞ Infinity
∴ Therefore
∈ Element Of
⊂ Subset Of
■ Union
■ Intersection
∧ Logical And
∨ Logical Or
∀ For All
∃ There Exists
■ Angle
■ Identical to
■ Approximately Equal To Or The Image Of
≪ Much Less-Than
■ Square Root
∝ Proportional To
■ Because
■ Integral

さすがにギリシャ文字は大丈夫と思いますが。

Λ Lambda
■ Sigma
π Pi

確認して送信すると文字化けになるって、プレビュー機能の役目を果たしていない気が…(汗)。

ユーザーID:3716159584
算数クイズ
かる
2009年8月19日 16:52

1.ある数字を思い浮かべて〜〜。
思い浮かべた?

2.じゃ、その数字を10倍しよ〜〜。
10倍した?

3.じゃ、10倍した数字から、最初に思い浮かべた数字を引いてみよ〜〜。
ちゃんと引き算できた?

4.最後に〜、引き算した答えを9で割ってみよ〜〜。
割り算できた?

割り算の答えが最初に思い浮かべた数字と一緒になったでしょ?
……え?ならない??

フフフ。
これは、最初に思い浮かべた数字と、最後の割り算の答えが「同じ」って意味のクイズなんだよ〜。

最後はごり押しで。
手順2.や3.で小学生に…無限に続く数字の処理ができるのかってあたりで使えないかもしれない。

ユーザーID:6816460365
反省をいくつか
ugougo
2009年8月19日 1:44

また、数学偏差値40未満さんの解答を読んで、「6」が余計だったと改めて後悔しました。
「数字は分からないけどとにかくスペードだった」という設定にすればよかったです。この設定でも答えは同じです。
適当な数字を入れたほうが問題文を短くできるので「6」にしてしまっただけです。すみません。

私自身は、ごく簡単に、
 A:1枚目がスペード(数字は問わない)
 B:2枚目がスペード(〃)
 Pr(B)=13×51P1/52P2
 Pr(A■B)=13P2/52P2
 Pr(A|B)=Pr(A■B)/Pr(B)=12/51
と考えていました。

なお、昨日の(1/2)で文字化けしているのは「■」です。(今回も化けてたらどうしよう。)
また、Pr(D)は、=2×4P4/5P5=2/5です。
(1/2)は(2/2)の前フリなので、訂正したところであまり意味はないのですが。

ユーザーID:7063437247
皆さん、レスをありがとうございます
ugougo
2009年8月19日 1:41

昨日、(1/2)の後に(2/2)というのも投稿したのですが、なぜか掲載拒否されてしまい、少々へこみました。
しかし、皆さんにレスをいただいたので、差し引きプラスです。

qqさんのインチキ賭け事の問題とDITAさんのモンティ・ホール問題は、たぶんまったく同じですよね。

n個のうちr個が当たりだとして、まず1個目を無作為に引いた後、
(a) 2個目を無作為に引いたところ、それが外れだった場合、
 1個目も3個目以降も、当たりの確率はr/(n-1)
(b) どれが当たりでどれが外れか知っている人が、2個目にわざわざ外れを引いた場合、
 1個目が当たりの確率はr/n、3個目以降が当たりの確率はr(n-1)/n(n-2)
ということで合っていますか?
(どちらの場合も、3個目以降は無作為に引いたとします。)
うーん、奥が深いですねえ。

あと、約分はしなくても構いません。

ユーザーID:7063437247
トピ主です。残暑見舞い申し上げます(3)
DITA(トピ主)
2009年8月18日 16:06

●qqさん

私は、ugougoさんの出題から、モンティ・ホール問題を思い浮かびましたが、
それに近いでしょうか?

あと、樹形図ですが、枝葉の末端(すべて展開した結果)を上から順に拾っていくと、
後ろの方から動いているように見えそうですので、見方にもよるのかも知れません。

●加減乗除さん

0.333333...=1/3

本来は、これを3倍すること自体が、

0.999999...=1

であり、0.999999... は1に等しい、という証明になっているはずですが、
「0.999999...」を、「1より小さいが、1に限りなく近い値」という解釈ありきで考えると、
等式が等式たり得なくなってしまいますね。

その「解釈ありき」の部分をどう崩すかというところかなと思います。

●ugougoさん

私の誤記のお目こぼし、ありがとうございます〜。
(後ほど間接的に指摘されるとは思いますが…)
これは残暑のせいということに。

レスを読んで、思わず恩を仇で返しそうになってしまいましたが、やめます(笑)。

ユーザーID:3716159584
小学生にかぁ
むー太郎
2009年8月18日 15:53

1/3 = 0.333…(3が無限に続く)
右辺に3を掛けると 0.999…(9が無限に続く)
1との差は0.000…

最後に1が、、、ありません。
※ゼロが「無限」に続くのですから、「最後」が無い。

即ち差は0。
よって等しい。

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