算数好きの方、算数・数学の教育に携わる方、語り合いましょう！

私の9月3日のレスは、もちろん冗談です。
紛らわしくてすみませんでした。

元トピからすべて含めて、私が一番好きなのは6月19日 14:34のこばさんのレスです。
こばさんは、もちろん、カードをひっくり返すのがアリだと本気で思っているわけではありません。
抑制の効いたジョークです。
私もこの線を狙ったのですが、見事に外したような気がします。

そして、こばさんのカッコいいところは、その後、何のフォローもしていないところです。
本気だと思われても別に構わないという態度が男らしい。
気の弱い私には無理でした。

ユーザーID：7063437247

１２時については鐘は１２個なるが、１３時については鐘は１個しかならないとの前提で答えを出されていますね。
当たり前といえば当たり前ですが、なんかひどい引っかけの問題だったのですね。　奥が深い。

ユーザーID：0847065825

この問題のポイントは２つあります。
１つ目は、鐘の鳴る継続時間を気にしないで済む設問になっている（純粋な植木算になっている）ことです。１２時のときは、これだけで片が付きます。
２つ目は、１２時以外のときは、最後の鐘が鳴り始めてからさらにもう１秒待たないと時刻が確定できないことです。（６時の場合は、（６−１）×１＋１＝６秒だということです。）

[設問2]は、私の推測では、正しくは次のようだったのではないかと思います。

[設問2’]
ある時計の鐘の音で６時であることを知るのに５秒かかります。
では、１２時であることを知るのには何秒かかる？

これなら、鐘の鳴る継続時間に関係なく、答えは（１２−１）×５／６＝５５／６秒です。
おそらく、６時のときに５秒という設定は、６時のときも単純な植木算で済むと早合点させる（７回目が鳴るか鳴らないかを確認しなければいけないことに気づかせないようにする）ための罠だと推測します。
この推測が当たっているとすれば、かなり意地悪な先生ですけど（笑）


「推測」でさらに思い出しましたが、文字化けの原因、DITAさんのご推測通りなら早く対処して欲しいですよね。

ユーザーID：7063437247

[設問2]ですが、pon太さんの先生は、多湖輝の頭の体操が念頭にあったのではないでしょうか？
設定が酷似している問題があります。
pon太さんがこの問題を紹介された直後にレスすればよかったのですが、当時は例のカードの問題で手一杯でした。
その後すっかり忘れていましたが、j11lさんのおかげで思い出しました。

手元に本書がないのですが、記憶によれば確か以下のようだったと思います。

[元ネタ？]
鐘の鳴る回数で時刻を知らせる時計がある。
鐘の鳴る間隔は１秒である。
この時計により１２時であることを知るためには何秒必要か？
また、６時であることを知るためには？

答えは、
１２時であることを知るためには１１秒必要（１２回目が鳴り始めた瞬間に分かるから）
６時であることを知るためには６秒必要（７回目が鳴るか鳴らないかは、６回目が鳴り始めてから１秒たたないと分からないから）
です。

ユーザーID：7063437247

私の質問に答えてくれて有り難うございます。　満点です。　普通は１０の答えがなかなか思いつかないのですが、今話題の　1/3 = 0.333…（3が無限に続く）をみてこの質問を思い出しました。
他の数字では別の回答例（６＝３＊３−３，８＝（３！／３）＾３，９＝３＋３＋３等）もありますね。（＾はべき乗です）

時報のことですが、たしかに余韻を考慮するとトピ主さんの答えもありますね。　私が前レスで言いたかったのは、階段の問題と違って１１秒という答えは間違いですということでした。

ユーザーID：0847065825

話題としては昔に終わってますが、こんな考えが浮かんだのでレスします。

前提はある部分を基準として、ある動作を正、反対の動作を負とします。
ここでは、行く＝正　行かない＝負、また、本当＝正、本当ではない（うそ）＝負　とします。

１　行く　　　ｘ　本当　＝　行く　　　で　正　ｘ　正　＝正
２　行く　　　ｘ　うそ　＝　行かない　で　正　ｘ　負　＝負
３　行かない　ｘ　本当　＝　行かない　で　負　ｘ　正　＝負
４　行かない　ｘ　うそ　＝　行く　　　で　負　ｘ　負　＝正

これを算数にもあてはめるとすると、４の結果から　負ｘ負＝正　が導かれますが、この方法で小学生に理解させるのはやはり無理ですかね。

ユーザーID：0847065825

話題にとけ込めていない中で、なつかしい問題を出します。

問題：　３を３個使って、０から１０の数字を作りなさい。　数学で使うあらゆる算術（この表現で正しいか不明ですが、＋−＊／，ｌｏｇ、べき乗、ルートなど）を使用可。　また３３などの表記も可。
例題：　４の例を示します。　４＝３＋（３／３）

ユーザーID：0847065825

[設問2]
ある時計が6時の鐘を鳴らすのに5秒かかります。では12時の鐘を鳴らすのに何秒かかる？

この答えは、１０秒以上１１秒未満が正解ですね。
なぜなら時計は、　ボーン　スペース　ボーン　スペース　．．．と鳴ります。　ここでｘ＝ボーン、ｙ＝スペース　とすると
　　６時：　６ｘ　＋　５ｙ　＝　５秒
　１２時：１２ｘ　＋１１ｙ　＝　ｚ秒　　です。
これからｚを求めると　ｚ＝ｙ　＋　１０　となります。
ここで　ｘ＞０　ですから　ｙの範囲は　０＜＝ｙ＜１　です。
結果として　ｚは　１０＝ｚ＜１１　となります。

階段を上るケースと勘違いしてはいけません！

ユーザーID：0847065825

あの算数クイズは、
1/3ｘ 3 ＝1
と
0.9999…＝1
の説明に使えるかな〜と考えたもので、
なので「ごり押し」って話が出てくるので。

初めに思い浮かべる数字が0.999999…という「無限に9が続く」数字の場合
それを10倍したりできるか…
9.99999…ー0.99999…の答えが「９」にたどり着くかどうか…

そこんところが対小学生用汎用兵器としてはイマイチかもしれずんば…？

ユーザーID：2469691962

頭も体もコチコチに凝り固まっていました、いやはや（汗）

一昨日から柔軟体操を始めましたら、筋肉痛で普通に動けず挙動不審になっています。
頭の体操は何から始めたらよいものか・・・かるさんの算数クイズでかなり初期化されたんじゃないかなーと思います。
でも不思議。何度やっても同じ数字になるんですねー。

ユーザーID：3809464351

DITAさん、お手間をおかけしました。
私が書きたかったのは0x81BFです。
0x879Bがこれと同じ記号らしく、8月18日 1:36で化けたのは多分こちらだったのだろうと思い、8月19日 1:44ではコードを直打ちしてみたのですが、やっぱり化けてしまったという次第です。
以上、反省というより言い訳です。

ところで、ここ最近あらためて感じるのは、算数（数学）の問題を作るのは難しいということです。
・題意が明確で、
・解くのに不必要な情報がなく、
・解かせたい解法がその問題を解くのに最も効率的な解法であり、
・教育的効果の高い
問題を作るのは至難の業だろうと思います。

授業に「問題作成」を取り入れてみるというのはどうでしょうね？
隣の子と交換して、解いてみた感想を言い合ってみると面白いと思います。

ちなみに、前に出題した【問題２】の一般解の導出は上の4つをかなり満たしていますが（これも実は元ネタがあります）、シグマが文字化けするので解答を紹介するのが難しいというオチがつきます（笑）

ユーザーID：7063437247

１．ある数字を思い浮かべて〜〜。
思い浮かべた？

２．じゃ、その数字を１０倍しよ〜〜。
10倍した？

３．じゃ、10倍した数字から、最初に思い浮かべた数字を引いてみよ〜〜。
ちゃんと引き算できた？

４．最後に〜、引き算した答えを９で割ってみよ〜〜。
割り算できた？

割り算の答えが最初に思い浮かべた数字と一緒になったでしょ？
……え？ならない？？

フフフ。
これは、最初に思い浮かべた数字と、最後の割り算の答えが「同じ」って意味のクイズなんだよ〜。

最後はごり押しで。
手順２．や３．で小学生に…無限に続く数字の処理ができるのかってあたりで使えないかもしれない。

ユーザーID：6816460365

また、数学偏差値40未満さんの解答を読んで、「６」が余計だったと改めて後悔しました。
「数字は分からないけどとにかくスペードだった」という設定にすればよかったです。この設定でも答えは同じです。
適当な数字を入れたほうが問題文を短くできるので「６」にしてしまっただけです。すみません。

私自身は、ごく簡単に、
　A：1枚目がスペード（数字は問わない）
　B：2枚目がスペード（〃）
　Pr(B)=13×51P1/52P2
　Pr(A■B)=13P2/52P2
　Pr(A|B)＝Pr(A■B)/Pr(B)=12/51
と考えていました。

なお、昨日の(1/2)で文字化けしているのは「■」です。（今回も化けてたらどうしよう。）
また、Pr(D)は、=2×4P4/5P5=2/5です。
(1/2)は(2/2)の前フリなので、訂正したところであまり意味はないのですが。

ユーザーID：7063437247

昨日、(1/2)の後に(2/2)というのも投稿したのですが、なぜか掲載拒否されてしまい、少々へこみました。
しかし、皆さんにレスをいただいたので、差し引きプラスです。

qqさんのインチキ賭け事の問題とDITAさんのモンティ・ホール問題は、たぶんまったく同じですよね。

n個のうちr個が当たりだとして、まず1個目を無作為に引いた後、
(a) 2個目を無作為に引いたところ、それが外れだった場合、
　1個目も3個目以降も、当たりの確率はr/(n-1)
(b) どれが当たりでどれが外れか知っている人が、2個目にわざわざ外れを引いた場合、
　1個目が当たりの確率はr/n、3個目以降が当たりの確率はr(n-1)/n(n-2)
ということで合っていますか？
（どちらの場合も、3個目以降は無作為に引いたとします。）
うーん、奥が深いですねえ。

あと、約分はしなくても構いません。

ユーザーID：7063437247

1/3 = 0.333…（3が無限に続く）
右辺に3を掛けると 0.999…（9が無限に続く）
1との差は0.000…

最後に1が、、、ありません。
※ゼロが「無限」に続くのですから、「最後」が無い。

即ち差は0。
よって等しい。

ユーザーID：2293259910

【問題１】（改定前）の答えは1/4です。

DITAさんがほとんど説明して下さいましたが、念のため補足すると、
Ｄが引いたクジが当たりである確率Pr(D)=2×5P4/5P5=2/5
ＤとＡが引いたクジが共に当たりである確率Pr(D■A)=2P2×3P3/5P5=1/10
題意の確率は、「Ｄが引いたクジが当たりである条件下でのＡが引いたクジが当たりである条件付確率」なので、
Pr(A|D)=Pr(D■A)/Pr(D)=1/4
です。

ここで、39歳男さんの解答のBのところを見てみます。

> Bが当たりを引く確率は、(Aが当たりでBも当たり）+（Aが外れでBは当たり）
> 2/5*1/4+3/5*2/4=2/20+6/20=8/20=2/5

この中の「Bも当たり」にご注目下さい。
39歳男さんは字数の制限から簡単に「Bも当たり」で済ませていますが、正確には「Ａが引いたクジが当たりである条件下でのＢが引いたクジが当たりである条件付確率」のことです。
この値は1/4で、【問題１】（改定前）の答えともちろん同じです。
これが、「クジ引きは引いた順番によらない」という言葉の真の意味です。

ユーザーID：7063437247

DITAさん、解答とコメントありがとうございます。

【問題１】ですが、実はこの問題には元ネタがあります。私がウン十年前に解いた問題集に出ていました。
改定前の【問題１】はチャリンさんの問題の設定を借用していましたが、先のレスに書いたとおり分かりにくいかも知れないと思い、元ネタの設定に戻しました。
これで分かりにくければ、それは元ネタが悪いということで、、、
この問題はある大学の入試問題ですが、その問題集の解説によれば、某社の入試問題解答集が13/52を答えとしていたそうです。そんなこともあるのかと思ったのをよく覚えています。

ところで、DITAさんが考えて下さった反論は素晴らしい。
私が考えていた反論は、３行目を
「引き続き、残りの５１枚の中からさらに１３枚カードを引き抜き、表を確認すると、１３枚全部スペードでした。」
に変えてみたら？　という流れでした。
「６」を選んだ理由は特にありません。適当です。

ユーザーID：7063437247

小学生の時に悩んだ問題です。

1/3 = 0.33333333・・・

ですよね。

両辺に3かけると、

左辺は (1/3)*3 = 1
右辺は 0.333・・・*3 = 0.999・・・・

で「1」ではありません。
何で？
高校生になって等比級数の和を習って、上の右辺が「1」に等しいと納得できましたが、
小学生にも分かる説明ってありますかね？

ユーザーID：7314325777

A、Bをそれぞれ
　A:1枚目がスペード
　B:2枚目がスペード6
の事象とすると
　P(A)*P(B|A)＝1/4*12/(51*13)
　P(-A)*P(B|-A)＝3/4*39/(51*39)
ベイズの定理より
P(A|B)＝P(A)*P(B|A)/{P(A)*P(B|A)+P(-A)*P(B|-A)}
＝12/51＝4/17

ベイズの定理には、日頃、お世話になっていますが
(スパムフィルタ等)
よい機会なので、仕事にも使いたいものです。
この問題に使うのは、どうだかなという感じですが。

ユーザーID：7228677427

つづきです

問題の出題者が一つの解答を持っているとき、回答者にその一つの解答にたどり着いて欲しい、という思いで発した「式を書いてください」
その一言に出題者の願いがこめられています。

出題者は×ではなく○をあげたいのです。
私が「（私が用意した）式を書いてください」にはそのような背景があります。
私は数学偏差値４０未満さんの説明の一部を”あげつらった”つもりは毛頭ございませんでした。
もしそのように感じさせてしまったのなら、大変申し訳ないことをしました。それもこれも、私の「どうにか正解してほしい」気持ちのなせる言葉だと理解していただきたい。

私のニアリーイコールを読み取ってくださったDITAさんならお分かりではないでしょうか。

ユーザーID：8839714688

>チャリンさま
樹形図(数え上げ)でないとすっきり解けない問題は、どうされます?
「式がねーよ(怒)」って怒っても、実は(そんなにすっきり)式にはならねーよ、って問題。
ぱっと思いつく所で問題を述べてみますと
「1、2、3の３人について、それぞれA席、B席、C席の順に
座るように決められている。
このとき、３人全員が間違った席に座る方法は何通りあるか」

これは一応公式もあます。「そいつに代入すればいいじゃん」と解くのは
確かにアリだけど、ちょっとねえ、証明するのには別の知識が必要なので
お手軽には公式を使いにくい、と。

ユーザーID：5099725830

>ugougoさま
確率1/4ですか?
幼い頃、読んだお話にありました。
３つのコップの中に、一つだけ玉を入れておいて、賭け事をする問題。
カモ(客)がコップを一つ選んだ後にインチキ胴元が、
玉が入っていないコップを一つあけてみせるのです。
「これで平等だろ?」ってね(笑)
カモは「おっかしいなあ・・・どうしてオレは負けるんだろう???」と
頭を抱える問題。

>数学偏差値さま
5!という公式を習う時の教科書の説明を思い出してみると
樹形図でしたよね?
挙げられていらした例は、後ろの方から動かしてありましたので、
そういった意味では教科書の説明には忠実ではなかったとは思います。
が、数え上げが発達してPやCの公式になっていったであろう事から判断しても
グーな答案だと私は思いました。

ユーザーID：5099725830