算数好きの方、算数・数学の教育に携わる方、語り合いましょう!

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DITA

学ぶ

DITAと申します。
トピを開いてくださってありがとうございます。

とある算数の問題を解いているうちに、
算数で扱う範囲、考え方、教え方など、いろいろ興味が出てきてしまいました。
一言で「算数の常識」と言うのも、その中身には奥深さがあるんだなぁと。

といいながら、そんな堅苦しい話でなくても、
算数をテーマにした情報交換、お悩み相談など、
語り合いませんか?

ユーザーID:3716159584

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  • みんなわかってて書いてないだけでしょ

    A,B.C.D.Eの5人が順にくじを引く。
    Aが当たりを引く確率:2/5

    Bが当たりを引く確率は、(Aが当たりでBも当たり)+(Aが外れでBは当たり)
    2/5*1/4+3/5*2/4=2/20+6/20=8/20=2/5

    Cが当たりを引く確率は、(A当・B外・C当)+(A外・B当・C当)+(A外・B外・C当)
    2/5*3/4*1/3+3/5*2/4*1/3+3/5*2/4*2/3=2/20+2/20+4/20=8/20=2/5

    Dが当たりを引く確率は、(A当・B外・C外・D当)+(A外・B当・C外・D当)+(A外・B外・C当・D当)+(A外・B外・C外・D当)
    2/5*3/4*2/3*1/2+3/5*2/4*2/3*1/2+3/5*2/4*2/3*1/2+3/5*2/4*1/3*2/2
    =2/20+2/20+2/20+2/20
    =2/5

    Eが当たりを引く確率は、、(A当・B外・C外・D外・E当)+(A外・B当・C外・D外・E当)+(A外・B外・C当・D外+E当)+(A外・B外・C外・D当・E当)
    【字数足りないので省略】
    =2/5

    ユーザーID:9944599784

  • 追試

    数学偏差値40未満さんの再挑戦に拍手を送ります。
    が!ただやみくもに並べ立てまくっても点数は差し上げられませんねえ。

    式を書いてください。式を。。。

    ユーザーID:8839714688

  • 問題文について

    積分定数さんの疑問にお答えします。

    ■ややこしいという理由で問題を否定するのはいかがなものでしょう?
    ■普通2人でクジをひくことはございません。2人の場合はじゃんけんしてもらいます。
    この問題はあくまで5人でひくクジですので。
    引いた順にしても、公開した順にしても、手に持ったクジのあたりはずれに変わりはございません。
    「正しい解答」の基準とは?
    あらゆる可能性を数学の問題に加味されすぎますと、それこそ♪黒ヤギさんたら読まずに食べた〜♪ですヨ。

    積分定数さんの、場合分けせざるを得ない問題「サイコロを・・・・・」
    私には読解力不足で分かりません。

    ユーザーID:8839714688

  • トピ主です。「小学校はルールを教えるところ」について(2)

    いくつか極端な例を挙げましたが、
    具体的に、算数・数学という学問を教育するにあたり、そのルールがどうあるべきか、またどのように守らせるべきかとなると、

     「数学的真理を(できるだけ)歪めるものでないこと」

    は1つの重要な観点と考えます。

    「どうしても教育的要因により数学的真理を歪めざるを得ない」というようなトレードオフでもない限り、
    数学的真理が「最大限」優先されるのが望ましいのではないでしょうか。

    元問題児さんの言葉を借りれば「嘘」であろうルールに対し、
    「ルールを守る」ことを最優先とする、という根拠(のみ)を元に、
    その内容や手段を問わず、正当なものとする主張があるとしたら、
    その主張は、やはりバランスを欠いているように思えるのです。

    実際問題としては、算数教育がどうこう以前に、
    「常識的なルールすら守らない」児童への指導のほうがはるかに大変なので、
    教育現場としての見地であれば、かるさんのおっしゃる「ルールを守らせる」ほうに、どうしても重点が置かれてしまうという現状は理解できるのですが…。

    ユーザーID:3716159584

  • トピ主です。「小学校はルールを教えるところ」について(1)

    「小学校はルールを教えるところ」という意見には総論として賛成ですが、
    「ルールを守ることが最優先」とまで言ってしまうと、具体的な全てのケースにおいて最優先とは決して思えず、
    個別のケースを考えるにあたり、ルールを教える手段や、ルール自体の内容について議論されるべきと考えます。
    (で、その議論をしていたものと思っています)

    手段として端的な例としては体罰がありますね。
    ルールを教える目的で児童に体罰を与えることに対しては否定的な見解が少なくありませんが、
    その「否定的な見解」は、ルールを教えること自体の否定ではなく、ルールを教える手段の否定です。

    ルールの中身についても同じで、「俺ルール」であれば、その妥当性については検討されるべきと思います。
    「ルールなら何でも守れ」という教育が絶対的に良いものではない、というのは恐らく先生も把握していて、
    実際、私が小さい時にも「先生が死ねって言ったら死ぬのか?」と言っていた先生は何人かいました。
    つまり「俺ルールでも、ルールなんだから従え」とは相反する指導もあるということです。
    まあ、死ね云々は極論であり、要はバランスなのでしょうけどね。

    ユーザーID:3716159584

  • くじ引きの問題と掛け算の順序(2/2)

    本来はどちらの解法でもよく、どちらが素早く解けるかの判断こそが重要なはずなのですが、この問題は無理やり樹形図(手間がかかる方)で解かせようとしており、あまり出来のいい問題ではありません。

    ただし、確率を習いたての生徒に対する練習問題だとすれば、それなりの教育的意義はあると思います。
    一度あえて地道に樹形図を書く経験をしておけば、例えば、同じ設定で「AとBが当たりを引く確率は?」という問題を出されたときに、うっかり2/5×2/5=4/25と答えてしまうことはないと期待できます。

    一方、例の「1個80円のりんごを5個買うといくら?」という問題に、「ただし、かけられる数×かける数の形で立式すること」という明示的な但し書きがついているとすると、この但し書きは、国語の問題(私の言葉でいえばモデル化の問題)を追加しているだけになります。
    つまり、この但し書きがあってもなくても(算数的には)解法は変わりません。

    つまり、「それぞれの確率の式も書け」と「かけられる数×かける数の形で立式すること」という但し書きは、それぞれの問題における意味合いがかなり異なると思います。

    ユーザーID:7063437247

  • くじ引きの問題と掛け算の順序(1/2)

    二立さん、レスをありがとうございます。
    伺いたかったのはそのお話でもないのですが、どう書けば私の意図をお伝えできるのか、何度も下書きをしてみたのですが、もう、訳が分からなくなってきました。
    たぶん、私の中できちんと論点が整理されていないのだと思います。考えがまとまったら再度レスさせていただきます。

    ところで、チャリンさんのくじ引きの問題は、かなり微妙な判断が必要です。

    もし問題文が「AからEのそれぞれが当たりを引く確率は?」だけなら、「AからEいずれも2・4P4/5P5=2/5」という解答で構わないはずです。(この式は、くじを5人同時に引いても順番に引いても同じです。)
    一方、「それぞれの確率の式も書け」が追加された場合、私なら「条件付確率と考えて解け(樹形図を書いてそれを式に表せ)」という意味だと解釈します。AからEの式が全部同じという解答が求められているとは思えないからです。

    ユーザーID:7063437247

  • クジ引きに再挑戦・・・部分点ください

    クジをa,b,c,d,eとし、aとbがあたりとする。
    クジが引かれる標本空間は
    {abcde,abced,abdce,abdec,abecd,abedc,…}
    で元は5!個。
    1番目に当たりクジがくる事象は
    {abcde,abced,…,bacde,bcade,…}
    の2×4!個。よって
    1番目が当たる確率は
    2×4!/5!=2/5.
    2番目以降は,文字制限のため同様に2/5.
    (うーむ。ここも減点だな。)

    ユーザーID:1586063521

  • 減点

    数学偏差値40未満さんは、答えは合っているものの、式を書いていないので、100点とはいえませんね。
    常識を式にする作業も楽しいものです。いや、難しいものです。

    ユーザーID:8839714688

  • くじ引きの問題

     高校の定期テストで、この手の問題(くじを引くのは2人だけでしたが)は、「1人目の当たり・はずれの場合分けで2人目の確率を出さないと駄目」と事前に言われたという例があります。いきなり2/5とするのは、「5本で2本があたりだから」とテキトーに解答したと見なされるようです。

    ■3人以上だと場合分けがややこしくなる。
    ■「1人目がくじを引いてそれを見ないでおいて(あるいは、自分だけこっそり見て公開しない)、2人目がくじを引いてあたりかはずれかを見て公開して、そのあと1人目のくじを見る」だと、場合分けはくじを引いた順か、公開した順か、不明確。
    「かけ算の順序」と同じで、「正しい解答」の基準が曖昧。

    など疑問が出てくる。

    「あるくじが2人目に引かれる確率をpとする。どのくじも対等だから、5p=1。だから、・・・」とでもすればいいのかな?

    生徒に場合分けをさせたいなら、「サイコロを振って偶数が出たら1回、奇数が出たら2回コインを投げる。少なくとも1回コインの出る確率は?」という具合に、場合分けせざるを得ない問題を出してほしい。

    ユーザーID:8503241366

  • トピ主です。クジ引きの問題

    ●チャリンさん、数学偏差値40未満さん

    ちょっとナナメ方向から(笑)。

    > 5人全員がクジを引き、引いたクジを戻さないならば
    > クジの当たり易さは、引く順番に関係ないと思われます。

    他の条件がなければ、当然、全員2/5になる訳ですが、
    各々の確率の式も書いてください、とのこと。

    実直に5人分の式を書いた人が○をもらえ、
    「5人同時に引いて一斉オープンした場合と等価」と考えて、式を立てるまでもなく答えた人は×になるという、
    (今までのトピの流れに沿った?)出題ではないでしょうか…?

    ユーザーID:3716159584

  • クジ引きと引く順番

    5人全員がクジを引き、引いたクジを戻さないならば
    クジの当たり易さは、引く順番に関係ないと思われます。

    ユーザーID:1586063521

  • 問題です

    5本のクジの中に2本の当りクジが入っています。
    A.B.C.D.Eの5人がそのクジを引く時、

    当りを引く確立が一番高いのは何番目の人でしょう?

    また、1番目から5番目の確立の式も書いてください。

    みなさんにとったら簡単すぎますかね♪

    ユーザーID:8839714688

  • 根がいいかげんなのでつっこんでみる

    英語読みに関してはhttp://ese.cc.sophia.ac.jp/HowToReadAndGlossary.pdfがありました。本もいくつか出版されています。ちなみに xの3乗は x cubed と読むのが正しいらしい。過去分詞になって形容詞化してるのかな。4乗は x to the fourth power で序数になるのがみそ。が、1/4 は one quarter で 1/5が one fifth とここでも序数が(笑)。2/5 だと two fifths と複数になってたりします。

    ルートのほうですが、単数複数冠詞定冠詞で使いわけるようです。ルート2は、the square root of 2, 2の平方根のうち1つは、a square root of 2, 両方を言うなら the square roots of 2 でしょうか。こうなってくると数学の話じゃないような気もしてくる(笑)

    ちなみに英語Wikiのcube root の頁は日本語版の立方根の頁のそっけなさに比べて格段にきれいです。リーマン面の図もあったりするし。

    ユーザーID:9181712611

  • トピ主です。根の深い話

    ● 沙羅さん、積分定数さん、数学偏差値40未満さん、ある父さん

    数学記号の読み方、難しいです(笑)。
    私も「4乗根」程度で考えていました。

    確かに3乗根までの記号は、(square) root, cubic root と、
    図形(幾何)になぞらえて呼んでいて、
    日本語でもそのままカタカナ読みしていますから、
    「キューブの次は何なのか?」ということになりますよね。
    リベンジとかプロフェッサーとか?(大嘘)

    > 「平方根」と「ルート」、に対応するのが

    余談なのですが、これって、日本語だから区別できるんですよね。
    英語ならば、両方とも square root だと思うのですが、
    英語では、概念そのものと、数学記号の呼称をどうやって区別しているのでしょうね…。
    (ネタ振りだけですみません)

    あと、これまた余談ですが、2の12乗根を求めるというトピがありますので、紹介します。
    「平均律」という音楽の分野と関連していて、なかなか面白いです。
    http://komachi.yomiuri.co.jp/t/2008/1120/213699.htm?o=0&p=1

    ユーザーID:3716159584

  • トピ主です。二立さんへ

    二立さんの想定は
     複数の設問に分かれ、
      ある1つの設問について児童が理解せずに約分したことを、
       他の設問の答えによって伺い知ることができるところの問題(の集合)
    ですね。
    この前提自体はとりあえず問題にしないとして、
    その設問をもってしても、二立さんは約分後の解答を○にするほうとのことなので、
    個人的な感覚の対立はほとんどなさそうですね。

    その上で「人数が多いとき」等、個別の事情を加味すると×もあり得る、という二立さんのスタンスに対し、
    私は、セカンドベストの是非に(あえて)踏み込まない、という違いのようです。

    「理解も様々な児童たちを前に、なぜ1/7が○なのかという説明は困難である」
    ということは私も理解していますが、
     だから×にする先生もいる vs だからといって×にするのはどうかと思うよね
    という対立ではないかと。

    個人的には「どうして1/7は○で、2/8は×になんだろう?」と一度は考えてほしいので、
    理解していなくてもやっぱり○にしたいところ。

    ちなみに(A)を両方とも×にする、というケースがありませんでしたが、これについてはどのように思われますでしょう?

    ユーザーID:3716159584

  • 過去レス

    ugougo様

    ・かけられる数、かける数というのが、80+5と式を立てる子用
    の説明だというのは本当ですか?
    ということです。

    この子達は毎回80+5と式を立てるわけではありません。似たよ
    うな問題でもあるときは80X5だったり、あるときは5X80、
    場合によっては80/5だったりします。

    要するに、問題文をちゃんと読まないで、出てくる数字を適当に
    組み合わせて式を立てるのです。なぜそんなことをするのか。
    それは、式の立て方がわからないからです。

    問題文を読解して式にする過程の話は何度も出ています。
    具体的な値を抽象的な数に置き換える段階でつまづいていることが
    多いのです。このあたりの議論については、このトピの
    次の私のレスのあたりを再読願います。

    2009年7月7日 9:00
    2009年7月9日 11:40
    2009年7月11日 9:58
    2009年7月14日 17:06
    2009年7月17日 9:07

    ユーザーID:1984691627

  • トピ主です。留守にしておりました。

    週末、旅行に出かけていてネットにつなげず気がかりでしたが、
    いつものペースで安心しました。
    皆様に御礼申し上げます。

    さて、まずは、たまっている私宛のレスから…と思ったら少ない(笑)。

    ●ある父さん・かるさん

    > 1. もしAじゃないとすると、こうこう、こうなるじゃん。
    > 2. でも、それってありえないじゃん。
    > 3. だから、Aだったんだよ。

    背理法として正しい説明かどうかというのはもちろんのこと、
    他人に説明するからには「へ〜背理法って便利だね〜」と言わしめたいという願望があります(笑)。

    あまりにも簡単すぎる例だと「別に背理法じゃなくてもいいんじゃん?」と言われそうで。
    否定を仮定するとあら不思議、みたいな例はないかなぁと。

    とはいえ、日常生活で何かを推理する場合「Aじゃないとすると」という仮定を暗黙のうちに行っている、
    つまり無意識に背理法を使っているのでしょうか?

    母:「お風呂掃除してくれた?」
    父:「ああ、しといたよ」
    母:「うそ!お掃除ブラシ、濡れてなかったわよ!」

    みたいな。

    ●二立さん

    分数のレスは書いている途中ですので、もう少々お待ち下さい。

    ユーザーID:3716159584

  • >わかってて指摘されてるとは思います

     もちろんわかった上なんですが、実は以前、「教える立場の人は、正確な言葉を使うべきか?」という議論があって、

    「日常では、時刻の意味で『時間』、質量の意味で『重さ』と言うのは普通。高校生に説明するときに『ルートか平方根か』が問題ではなく、『ルートか?2乗か?』「平方根か?3乗根か?』という状況では、ルートと平方根は混同して使うことはある。」と発言したところ

    「ルートと平方根は違うので、使い分けるべき」と指摘されました。その人は数学専門ではなくて、中学までしか教えないようなのでそのような発言になったようです。

    そのやりとりで、「ルートと平方根の使い分けは中学でやるが、3乗根、4乗根、などはそもそも両者を言い分けることはしない」と発言したのですが、気になって教科書会社に問い合わせたところ、「○の△乗根」と「△乗根○」で一応使い分けているらしいことが判明。

    数学用語で驚いたのは「求まる」。普通に使っていたら連れ合いに「そんな言葉はない」と指摘された。調べたら、数学ではよく使うが一般には使わないらしい。「求めることが出来る」なんていちいち言ってられないから仕方ない。

    ユーザーID:8503241366

  • 二立さんへ

    二立さん、お返事ありがとうございます。

    私の質問の仕方が紛らわしかったのですが、お尋ねしたかったのは、
    ・1個80円のりんごを5個買うといくら?という問題に対して80+5と式を立てる子は本当にいるのですか?
    ではなく、
    ・かけられる数、かける数というのが、80+5と式を立てる子用の説明だというのは本当ですか?
    ということです。

    私は、かけられる数、かける数というのは、2年生にとってはかなり高度な概念だと思っています。
    少なくともこの問題に対して80+80+80+80+80と式を立てることができるレベルの子でないと、この概念は理解できないと思うのですが。

    ユーザーID:7063437247

  • 元問題児さんへ(1/3)

    コメントありがとうございます。
    説明不足の部分をほとんど洗い出して下さったので、引用の形で補足させていただきます。

    先に、一番重要な点を補足します。
    私は、
    ・かけられる数とかける数を区別することを教えるべきかどうか

    ・その区別を掛け算の順序で表現することは適切かどうか
    は、まったくの別問題だと考えています。

    前者については、教えるべきだと考えています。
    後者については、他に適切な表現の仕方があるのなら、それでもまったく構わないと思います。
    ただ、今は、現実として、掛け算の順序で表現するように教えていると思います。私は、とりあえずそれを認めているという立場です。

    ユーザーID:7063437247

  • ルートだけに根本的?

    確かに2の4乗根それだけだと複数の解を意味することが多々あって、数値としてを強調するときには大抵4乗根2ということがほとんどなのですが。ただ「αは2の4乗根(のうち正の実数となるもの)なので、1<α<2の平方根(うち正のもの)」と()の中を省いて言うこともあるので文脈によると思います。(わかってて指摘されてるとは思います)

    log_3 5 (TeX流)は「ろぐ・さんのご」で「底」は言ってなかったです。(底は英語でbaseだけど塁じゃ累とまぎらわしいかとか思ってたり思わなかったり)もっと簡単なのでは「f(x)は普通「えふえっくす」だけどきちんと「かっこ」を入れて読む人もいるし(あまり数学が出来そうには聞こえないところがみそ、笑)

    まあ、数学の「まともな」試験では、数式のふりがな問題は出ないと思いますので読み方にはそんなこだわらなくていいのでは(というのが私の考え、それより英語で読めって言われるとけっこうパニック)

    ユーザーID:9181712611

  • >「2の4乗根」読むと思います。

    この読みはしないそうです。それだと、±4■2, ±4■2i の意味になってしまいます。

    昔、教科書会社に電話して確認したことがあります。

    5C2 5P2 log35 

    これらも、私が高校の時は、「シーノゴーニイ・ピーノゴーニイ・ログテイサンノゴ」と習ったのですが、今は「ゴシーニ・ゴピーニ・ログサンテイノゴ」の読みが主流で、やりづらいです。

    昔習ったことは染みついてしまってなかなか切り替えられない。 

    ユーザーID:8503241366

  • 算数 vs. 国語ですね

     算数の話をしている人と国語の話をしている人が入り混じっているというか、算数と国語で議論しているために、収拾がつかなくなっていますねぇ。

     順序重視の方々の主張は、文章問題を理解する能力が重要というところまでは分かります。しかし、たとえば80円のリンゴが5個のときの価格を求める問題で、80+5と書いた子供と5×80と書いた子供と、どちらが算数をより理解していると、順序重視の方々は思うのでしょうか。

     算数の能力を底上げするとは、1個当たりの価格に個数を掛けると全体の価格になるということを理解する(させる)ことで、1個当たりの価格を個数よりも先に書くことではないと思いますが。

    ユーザーID:3316067009

  • 寝る理由

    > 小学校で教えるべきはこの「ルールを守ること」だと思います。

    算数・数学以前の問題として、
    小学校ではそういうこともあるかも知れませんね。
    算数ではなくルールを守ることを教えているのだと。

    実際には算数・数学と言うのは言語のようなものであって、
    文法を守る必要はあるが、文法を守っている限りは自由に
    それを操って、問題を解いたり他の人と議論したりできるものです。
    (掛け算の順序を入れ替えることは文法に反しません。)
    私は、その楽しさを知ってから、数学が好きになり、同時に、
    ルールに従って当てはめていくだけの数学の授業は聞かなくなりました。

    このトピで掛け算の議論が始まってから、
    私のアイコンが zzz になっているのはそのためです。

    ユーザーID:6402484983

  • >ある父さん、積分定数さん

    >ある父さん

    お返事ありがとうございました。
    おっしゃる通り、つぶれていたフォントはルート記号です。

    実はLaTeXはお年玉を使って購入しましたが、挫折してしまいました。
    でも、貼り付けてくださったサイトを除いてみたら
    分かりやすそうだったので、もう一度頑張ってみます。
    LaTeXに再チャレンジする機会をありがとうございました。

    >積分定数さん
    お返事ありがとうございました。
    平方根とルートに対応する読み方の微妙な差も解り、嬉しかったです。

     

    ユーザーID:8634602177

  • いや、その前に

    >>>>指導要綱に「順序に拘るな」と記載しろとか?
    >>>そう思います。
    >>
    >>そうすると今度は
    >>(中略)
    >>とか言い出す教員がいたりして

    教科書とアンチョコにはAxBしか記述されていない。コレは要綱と違う!!
    要綱と教科書検定が別のことを言っている。よって業務(授業)ができない!!
    って裁判起こす教員が出てくる。

    個人的に教員に高望みしてません。
    実際塾のバイトで小学生を受け持ったときは、第一優先は「クラス維持」(崩壊させない)でしたし。
    その第一優先のためには、多少強引であっても「ルールはルール」「コウだって言ったらコウ!」ガなければ
    やっていけませんでした。

    >>世界共通のルールと俺ルールは違います
    日本のローカルルールで野球をしてても、国際舞台に立つ選手はいます。
    まず「ルールを守る」これが最優先です。
    小学校で教えるべきはこの「ルールを守ること」だと思います。

    ユーザーID:6816460365

  • 中学生 さま

    2の4乗根の小数点での値は、
     a_1 = 1.0
    とおいた後、
     a_{n+1} = a_{n} - (a_{n}*a_{n}*a_{n}*a_{n}-2)/(4.0*a_{n}*a_{n}*a_{n})
    を6回ほど繰り返すと、高い精度で求められます。
    これをニュートン・ラプソン法といいます。

    暇なときに、確かめられると面白いかもしれません。
    (数列の表示がよく分からなかったらごめんなさい。)

    ユーザーID:1586063521

  • 同質の数

    ugougo様

    >足し算は、同質の数同士でしか成り立たない演算です。

    あなたは、「同質の数」ということを小学生に説明できますか?

    単位が同じだったら同質ですか?

    バケツ2杯の水とコップ3杯の水は、合わせて何杯ですか?
    鉛筆5本と松の木2本で合わせて何本ですか?

    5+2にしてしまえばだれでも計算できますが、文章に書かれたものを
    式にする段階でつまづいている子はたくさんいます。

    犬が2匹と猫が3匹、合わせて何匹ですか。
    犬が2匹と蝉が3匹、合わせて何匹ですか。

    犬と蝉は足し算できますか?

    実際には、同質かどうかそんなに真剣に考えないで、とりあえず問題に
    でてきた数を使って式を立てているのではありませんか。

    1個80円のりんごを5個買うといくら?という問題に対して80+5と式を
    立てる子の存在が信じられませんか?

    現場の先生に聞いてみたらどうですか。

    ユーザーID:1984691627

  • >中学生です

    正式な読み方は決められていません。

    一般には、「4乗根2」と言われています。

    16の4乗根で実数のものは、−2と2ですが、
    「4乗根16」は、2です。

    「平方根」と「ルート」、に対応するのが
    「○の△乗根」と「△乗根○」です。

    ユーザーID:8503241366

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