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数学?の問題

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ぽてりこ

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「1円玉、10円玉、50円玉、あわせて100枚で500円あります。
それぞれ何枚でしょう?」という問題がありました。

中学ぐらいまでは数学に覚えのあった私。さっそく解いてみようと
1円玉:x枚、10円玉:y枚、50円玉:z枚とおいて…とやったところ
あれ、連立方程式立てようと思ったら変数3つなのに式が2つしかない、
と詰まりました。

50円玉は0枚〜9枚のどれかだから、全部試せば答えは出るはず、と
やって、答え自体は出たのですが、本当にこうやって解くしかない
のでしょうか?
何かもっとうまく解く方法がありそうな気がします。

この問題の正しい?解き方をご存知の方、教えてください。

ユーザーID:1708344517

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レス数29

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  • これでどう

    まずは条件から
    (1) a+10b+50c=500
    (2) a+b+c=100

    (1)-(2)
      9b+49c = 400

    これを変形して
      9(b+c) = 40(10-c)
    すべて整数だから
      10-c = 9  ゆえに c = 1
      b+c = 40  ゆえに b = 39
    (2)からa = 100-(b+c) = 60

    つまり
     1円玉 60枚 10円玉 39枚 50円玉 1枚

    ユーザーID:7283880526

  • 初等整数論

    x:一円玉の数 y:10円玉の数 z:50円玉の数
    x+y+z+100, x+10y+50z=500
    x,y,z∈Z(整数)
    の解x,y,zを求めなさいという数学の問題ですね。
    xを払って、
    9y+49z=400  …(1)
    となります。
    (1)を総当りで解くのも良いのですが、ここは便利な初等整数論にて。
    (1)を9で割った余りは、左辺4z、右辺4です。これは数学で
    4z■4 (mod9)
    と表現します。
    更に4と9は互いに素なので、zは”9余り1”となる数です。
    数学では、 z■1(mod9) と表現します。
    zは0から9までの範囲なので、解はz=1だけになります。

    ユーザーID:5279308405

  • 変数は一個減。

    Z=100−(x+y)
    で連立方程式にすれば解決ではないかと。

    小学生がよくする○○算などを使えば、もっと簡単かもしれないっす。その辺は中学受験してないのでよくわかりません

    ユーザーID:5513777856

  • これでいいかな?

    式1 X+10Y+50Z=500
    式2 X+Y+Z=100
    式1の両辺から式2の両辺を差し引くと、9Y+49Z=400
    ここから式3 Y=(400-49Z)/9が得られます。
    Zは1から9までの数なので(題意より0枚はないものとします)
    1から9までの値を代入してみると、Yの値が正の整数になるのは
    Z=1のときだけ、
    よって1円玉40枚、10円玉39枚、50円玉1枚の場合です
    X,Y,Zが一意に定まらないのは、解の組み合わせが、
    この場合は一つだけですが、一般的に複数有り得るからです。

    ユーザーID:0926295460

  • 一例

    整数論が絡むのでやっかいですね。

    x+y+z=100 ・・・1 これを50倍します

    50x+50y+50z=5000 ・・・1'
      x+10y+50z= 500 ・・・2  これを辺々引きます

    49x+40y    =4500 ・・・3  これを20で割ります
    49x/20+2y  = 225 ・・・3'

    すると、xは20の倍数でなければならず、また、xが40の倍数だと
    3'の式の値が必ず偶数になるため不適です。
    つまり、0≦x≦100の間では、xは20か60か100です。

    a)x=20の場合、y=88,z=−8
    b)x=60の場合、y=39,z=1
    c)x=100の場合、y=−10,z=10

    というわけで、x,y,zすべてが0から100の整数という条件を満たすのは
    bということになりますね。

    0から100の整数という条件を外すと解は無数にあるので、方程式だけでは
    解けないんですよね。

    ユーザーID:2152669888

  • ディオファントス方程式

    トピ主のように,1円玉の枚数を x,10円玉の枚数を y, 50円玉の枚数を z
    とします。

     x + y + z = 100
    x + 10y + 50z = 500

    という式がたてられます。下の式から上の式を引くと

     9y + 49z = 400

    となり,正数値 y,z を求める方程式が得られます。このような方程式をディオファントス方程式と呼びます。

    一般的な解き方がありますが,この場合は次のように変形します。

    9y + 9z = 400 - 40z

    つまり

     9(y + z) = 40(10 - z)

    です。左辺は 9 の倍数ですから,右辺も 9 の倍数である必要があります。
    40 は 9 の倍数ではありませんから,(10 - z) が 9 の倍数でなければなりません。左辺は正の数ですから,z の値は 1 か 10 になります。 10 のときは50円玉だけで 500 となりますので適していません。したがって z = 1 と決まります。で,順次 y = 39, x = 40 と決まります。

    ユーザーID:5710155442

  • パズル

    算数の問題じゃなくてパズルですよ。
    答えも1つじゃなくて、複数存在するかもしれません。
    各コインが満たす条件を考えて、1つ1つ検証するのが正しい解法です。

    最初から分かる条件。
    50円玉:9枚以下
    10円玉:49枚以下
    1円玉:0、10、20、30、40、50、60、70、80、90枚

    ユーザーID:7720811073

  • 不定方程式の整数解の問題?

    題意を整理して、9y+49z=400の整数解で0<=y<=50, 0<=z<=10の条件を満たすものを考えます。表記を簡単にするために、f(y,z)=9y+49zと置きます。
    9と49に対してユークリッドの拡張互除法を用いると
    49=9*5+4
    9=4*2+1より
    1=9-4*2=9-(49-9*5)*2=9*11+49*(-2)なので、f(11,-2)=1。数tに対してf(yt,zt)=tf(y,z)なので、f(4400,-800)=400(特解)が求められます。特解の求め方は一例で、例えば、適当に代入してみてf(-1,1)=40だからf(-10,10)=400、とかでも結構です。この特解を、(y,z)=(y0,z0)と置きます。
    f(-49,9)=0で、49と9は互いに素なので、9y+49z=400の整数解は、整数nを用いて(y,z)=(y0-49n,z0+9n)と表せます。
    あとは、はじめの不等式から条件を満たすnを求めて代入すると、x,y,zが求められます。

    x,yをzの式で表して、自然数になる条件を合同式で表して、という方法でも、代入は必要ですが、それなりに速いと思います。

    ユーザーID:1925022475

  • 訂正

    "9余り1"→"9で割った余り1"の間違いです。すみません。
    それと■は表示されていませんね。三本線です。合同という意味です。

    ユーザーID:5279308405

  • これでどうでしょうか

    つるかめ算の発展みたいなものですね。
    もしかしたらおかしなやり方かもしれませんが、自分はこんな風に解きました。

    仮に100枚全部1円玉だとすると合計は100円で、500円との差額は400円。
    差額分を10円と1円の差額(9円)、50円と1円の差額(49円)で補おうとき、10円玉をx枚、50円玉をy枚とすると、9x+49y=400 => 9x=400-49y

    xとyはどちらも正の整数なので、400-49yが9の倍数になるyを求める。

    400-49y を9の倍数+余りの形にすると、400-49y = 9*44+4-(9*5+4)y = 9*(44-5y) +4*(1-y)
    400/49=8.16...で50円玉が8枚を超えることはない。

    8までの整数で、余りの部分、4*(1-y)が9の倍数になりうるのは y=1 のときのみ。
    したがって、50円玉の数 y=1 枚。

    yに1を代入すると、9x=400-49=351。351/9=39で、10円玉の数 x=39 枚。

    コインは全部で100枚だから、1円玉は100-39-1=60枚

    答、50円玉x1 10円玉x39 1円玉x60

    ユーザーID:5723722792

  • きちんとした答えは、昔の中学生さんだけですね

    ミスターXさん
    解が唯一であることを示しておく必要があるのでは?

    世捨て人さん
    『(1)を9で割った余りは、左辺4z、右辺4です。』という表現は、問題があります。
    zが3以上の場合、4zは9以上になり、余りとはいえませんね。
    この段階でこけているので、その先のことを言っても仕方ないですが、
    『更に4と9は互いに素なので、zは”9余り1”となる数です。』というのも
    ほとんど説明になってませんね。

    ぱんだ子さん
    方程式2本しかないので、どうにもならのいの判りますか?

    ということで、大昔の中学生さんだけが、きちんとした答えになってますね。
    おめでとうございます!

    ユーザーID:9864710416

  • 整数という条件

    ミスターXさんの解答に少しだけ補足(蛇足?)させて頂きます。

    >9(b+c) = 40(10-c)
    9と40は互いに素なので
    b+cは40の倍数、10-cは9の倍数になる
    0≦10-c≦10なので
    10-c = 9

    以下同じです。

    ユーザーID:0303324306

  • >これでどう

    >  9b+49c = 400
    ここまではたどりつきました。

    >これを変形して
    >  9(b+c) = 40(10-c)
    この変形が正しいのはわかるのですが、どうやってこの変形を
    思いつくのでしょうか?

    問題が「あわせて110枚で1000円」だと、
    a+10b+50c=1000
    a+b+c=110
    から、
    9b+49c=890
    となり、
    9(b+c)=890-40c
    となって破綻するような気がします。

    偶然に助けられないとだめなのでしょうか?

    ユーザーID:1708344517

  • >初等整数論

    >4z■4 (mod9)
    >と表現します。
    >更に4と9は互いに素なので、zは”9余り1”となる数です。

    この問題ではたまたま両方が4になりましたが、
    4z■3 になったり 4z■6 になったりしたらやっぱり総当りに
    なる気がします。

    やはり偶然に助けられないとだめなのでしょうか?

    ユーザーID:1708344517

  • >不定方程式の整数解の問題?

    これに真理がありそうなので、私の頭で解読してみました。

    (1)問題を「9円玉と49円玉あわせて100枚以内で400円にする」と変更する。
    (2)4円玉を新たに導入する。9円玉5枚と4円玉1枚で49円玉に両替できる。
    (3)1円玉を新たに導入する。4円玉2枚と1円玉1枚で9円玉に両替できる。
    (4)まず1円玉400枚で400円にする。
    (5)1円玉をなくすため、4円玉を800枚借金してきて、9円玉400枚に両替する。
    (6)4円玉の借金を返済するため、49円玉を800枚借金してきて、9円玉4000枚と
    4円玉800枚に両替する。
    (7)この時点で9円玉4400枚と49円玉の借金800枚がある。
    (8)9円玉49枚で49円玉の借金9枚が返せるので、4400÷49=89あまり39から
    9円玉4361枚を49円玉801枚に両替して800枚を返済に回す。
    (9)最終的に9円玉が39枚と49円玉1枚になり、もう両替できないので答えは
    これで確定。

    この解釈であってるでしょうか?
    これならたしかに枚数にかかわらずに解けそうな気がします。

    ユーザーID:1708344517

  • これでどう パート2

    上から目線で証明が足りないといわれてますが、厳密な証明をした
    かったわけじゃないんでねぇ。

    10-c=9で cは正の整数という条件があるわけだからcは1以外ありえない
    と思うのだけどどう証明すればいいんでしょうね。

    あわせて110枚で1000円の場合は、

    9b+49c=890 から 9(b+c) = 40(20-c) + 90 と変形して

    9(b+c-10) = 40(20-c)

    cは2 又は 11 となります。
    で、最終的には
     1円玉 20枚 10円玉 88枚 50円玉 2枚
    または
     1円玉 60枚 10円玉 39枚 50円玉 11枚

    これを見るとむりやり9の倍数にする方法があるような気がしますが
    1円玉、10円玉、50円玉あわせてn枚でm円のときの一般的な解法は
    「きちんとした答え」をご存知であろう人にまかせます。

    ユーザーID:7283880526

  • 一次合同式の解法

    >4z■3 になったり 4z■6 になったりしたらやっぱり総当りに
    なる気がします。

    大丈夫です。
    4z三3(mod9)これは一次合同式と呼んでおります。一般解法があります。拡張ユークリッド互除法を使います。
    【定理】
    1次合同式「ax三b(mod p)」が解を持つための必要十分条件は、aとpの最大公約数gcd(a,p)がbを割り切る。


    拡張ユークリッド互除法による解法が、新潟大HPに載っています。
    http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tbasic/BackGround/ExEuclid.html

    ユーザーID:5279308405

  • 横ですけど

    ほお〜さん、計算方法の道筋を書いただけですけど。

    >『(1)を9で割った余りは、左辺4z、右辺4です。』という表現は、問題があります。
    ではこんな所で「9を法にして合同」の説明?混乱しますよ。

    >『更に4と9は互いに素なので、zは”9余り1”となる数です。』
    この詳細証明すると混乱しますよ。”9余り1”の表現は間違いです。すみません。でも訂正しておいたでしょ。

    ユーザーID:5279308405

  • 一円玉の数から考えます。

    1の位を決めるのは一円玉だけで、その値は0なので、一円玉の数は10の倍数になります。また、十円玉と五十円玉合わせて五十枚未満にならなくてはいけません。従って、一円玉は60、70、80、90のいずれかになります。
    五十円玉の枚数をx、一円玉がy枚のとき、十円玉は100-x-y枚で、合計が五百円なので、
    50x+10(100-y-x)+y=500
    整理して
    40x=9y-500
    yが60、70、80、90のうち、9y-500が40の倍数となるのは、y=60のときだけで、x=1
    従って、一円玉が60枚、十円玉が39枚、五十円玉が1枚です。

    ユーザーID:1390959164

  • 9と49が互いに素が要点に違いない

    > トピ主さま
    > これならたしかに枚数にかかわらずに解けそうな気がします。

    学生Aさんのユークリッドの互除法を逆に辿る方法を一般化すると、a, bの最大公約数dは、ある整数x, yを用いて
     ax+by=d
    と書ける、になります。
    今回の場合、a=9、b=49が互いに素だからd=1で
     ax+by=1 
    と右辺が1となることが本質的なのだと思いました。

    枚数にかかわらずにこの方法が適用できるためには
    aとbが互いに素であることが必要です。

    ユーザーID:1594509208

  • すみません。間違いました

    すみません。先ほどのレス間違いました。訂正します。

    「枚数に関わらず解けるにためには、a、bが互いに素であることが必要」

    などと書きましたが

    「合計金額(現在400円)に関わらず解けるにためには、a、bが互いに素であることが必要」

    の間違いでした。申し訳ありません。

    ユーザーID:9036134484

  • 学生Aさん、おめでとうございます。

    特殊解を用いて一般解を機械的に表示することで、
    解を一意的に表示することに成功しています。
    大昔の中学生さんの場合、数値代入による試行が必要でしたが、
    学生Aさんの場合、解を表現することに成功しています。
    これは、ブレークスルーです。

    さてここで質問ですが、特殊解の導出についてです。
    『ユークリッドの拡張互除法』により機械的に特殊解が
    得られているような錯覚に陥りそうですが、
    はたしてそうなのでしょうか?

    49=9*5+4
    9=4*2+1

    と、今回の場合、余りが1となりましたが、
    そうならなかった場合はどうなるのか?
    仮に10円玉ではなく30円玉だったら、どうなるのか?

    49=29*1+20
    29=20*1+9

    トピ主さん、わかりますか?
    確かに進歩はしていますが、一番やっかいな、特殊解を求める点で
    『偶然に助けられている』のです。

    最もコインの問題に限定する限り大きな偶然ではないかもしれません。
    コインには区切りのいい数値の物しかありませんよね。
    33円玉とか73円玉ってないです。
    コインの場合、問題自体が最初からある種の数値的構造を持っている訳です。

    ユーザーID:9864710416

  • やはりこの方法がよさそう

    >仮に10円玉ではなく30円玉だったら、どうなるのか?
    >49=29*1+20
    >29=20*1+9

    ここからさらに、

    20=9*2+2
    9=2*4+1

    と、やればいいのだと思います。

    (1)元の問題が「29円玉と49円玉あわせて100枚以内で400円」になる。
    (2)20円玉を導入する。20円玉と29円玉で49円玉に両替できる。
    (3)9円玉を導入する。9円玉と20円玉で29円玉に両替できる。
    (4)2円玉を導入する。2円玉と9円玉2枚で20円玉に両替できる。
    (5)1円玉を導入する。1円玉と2円玉4枚で9円玉に両替できる。
    (6)まず1円玉400枚で400円にする。

    ユーザーID:1708344517

  • やはりこの方法がよさそう:続き

    (7)2円玉1600枚を借金してきて、9円玉400枚に両替する。
    (8)20円玉1600枚を借金してきて、9円玉3200枚と2円玉1600枚に両替して、
     2円玉の借金を全額返済する。この時点で9円玉3600枚。
    (9)20円玉をさらに3600枚借金してきて、9円玉とあわせて29円玉3600枚に
     両替。この時点で20円玉の借金は5200枚。
    (10)49円玉を5200枚借金してきて、29円玉5200枚と20円玉5200枚に両替して、
     20円玉の借金を全額返済する。
    (11)この時点で29円玉は8800枚で49円玉の借金は5200枚。
     (29×8800-5200×49=400)
    (12)8800÷49=179あまり29なので、29円玉8771枚を49円玉5191枚に両替
    して全額返済にあてる。
    (13)最終的に29円玉29枚と49円玉の借金9枚が残り、ここからどう両替しても
     借金を返せないので、答えは存在しない。
    となる、という理解です。

    学生Aさんの方法は答えがある場合には必ず出そうに思えます。

    ユーザーID:1708344517

  • 自然数と+、−が分かれば・・・・

    解いてみました。
    x+y+z=100・・・1
    x+10y+50z=500・・2
    2よりx=10(50-y-25z)
    x>1より50-y-25z >0でz=1となり
    x+y=99・・・1‘
    x+10y+=450・・2‘
    1'と2’よりy=39、x=60です。
    何故2を変形する事がわかるのかは理屈をつければ、合計の1円の桁が0だから、xは10の倍数だからです。でも、本当は勘ですね。

    遠い、遠い昔に予備校の先生に言われました。「どうして、この式を変形したら答えがでるのかわかるのは、勘です。」って!!!

    ユーザーID:2105921374

  • ほお〜さま

    > 仮に10円玉ではなく30円玉だったら、どうなるのか?
    >
    > 49=29*1+20
    > 29=20*1+9
    >
    >トピ主さん、わかりますか?

    トピ主さんではないですが、わかりませんでした。
    49と29は互いに素ですので。

    ユーザーID:9036134484

  • 手続きだけ

    合計n枚、合計金額m円ならば一般的に解けます。
    手続きだけを記します。
    1.7×(m-n)を9で割った余りをqとする。
    「9を法とする4の逆元は7のため。4×7=28三1(mod9)
      4z三(m-n) (mod9)を解くことになるから、両辺に7をかける。」
    2.z=q,q+9,q+18,…が解候補 zはm/50までの値なので有限個
    3.解候補を元の式(合計n枚、合計金額m円)に入れてx,yを求め、x,yが非負のものを選択(解)
    a円玉、b円玉、c円玉となりますと、やらしくなります。

    ユーザーID:5279308405

  • 整数は、門外漢でも触りやすいけど奥が深くて苦手なのです…

    ぽてりこさんの「借金」「49円玉」という表現、斬新でした。
    みなさん、字数制限を感じさせない文章で、なんだか恥ずかしくなっちゃいます。

    おっさんさん、互いに素の条件の補足、ありがとうございます。御指摘通り、そこ、重要だと思います。
    ただ、この問題の場合、解が存在する必要条件として、合計金額はコインの額面(元の問題だと49円と9円のこと)の最大公約数を約数に持たなくてはなりません。なので、解が存在する場合は、全てをその最大公約数で割ることで互いに素な問題に帰着できます。すると拡張ユークリッドの互除法で解くことができます。
    つまり、整数解が存在するか否かは公約数を見るだけでわかるということです。すごくパワフルな定理だと思います。自然数解が存在するかは調べなくてはわかりませんけど。

    それと、ユークリッドの互除法の表記がヘタクソで、誤解を招くものになっていました。すみません。これは、
    a/b=cあまりd
    b/d=eあまりf
    d/f=gあまりh
    というように、あまりがaとbの最大公約数になるまで繰り返すという作業ですので、49円玉と29円玉のときは、お手数ですが、もう一手間お願いいたします。

    ユーザーID:1925022475

  • すみません。計算間違えてました。

    すみません。
    自然数と+、−でと書いた人生色々です。
    途中計算を間違えていました。

    ユーザーID:1403495083

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