確率がわかる方、教えてください

レス49
(トピ主5
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トピ主

初めての投稿で無作法があったらごめんなさい。
確率がわからなくて、知り合いと意見が分かれてしまいました。

問題は、4つの並んだ数字を足すと、足した数字の一桁目が2になる数は、ランダムに4つの数字をピックアップしていくと、どれだけの確率で当たるのか、です。
例えば、パッと出てきた数字 7519 を足すと 22 になってしまいます。
また、0002 なら 2 です。

4つの数字を足した数が、2、12、22、32、42、‥‥ と、2で終わる数は、本当は何分の一の確率で当たるのでしょうか?。

私は単純に10分の1の確率。Aさんは5分の1の確率で出てくる、と言い。Bさんはもっと何十分の1とかの低い確率になるはず。と言い、けっきょく答えが出せないまま、スッキリせずに話が終わってしまいました。

どなたか計算に強い方、ランダムに出てくる4つの数字を足した数の、一桁目が2になる確率を教えてください。
よろしくお願いします。

ユーザーID:3180206658

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  • 足した数字の一桁目が2になる確率は10分の1

    簡単ですよ。
    ランダムで良くても、考える時は小さい方から並べると楽です。

    例えば、
    0000,0001,0002,・・・・,0008,0009の数字の各々の合計は、
    0,1,2,・・・・,8,9だから、2になるのは、10回の内の一回。
    次の10個の数字の、
    0010,0011,0012,・・・・,0018,0019の数字の各々の合計は、
    1,2,3,・・・・,9,10だから、一桁目が2になるのは、10回の内の一回。
    ・・・
    752番目に確認する、
    7510,7511,7512,・・・・,7518,7519(トピ文に登場)の数字の各々の合計は、
    13,14,15,・・・・,21,22だから、一桁目が2になるのは10回の内の一回。
    1000番目に確認する、
    9990,9991,9992,・・・・,9998,9999の数字の各々の合計は、
    27,28,29,・・・・,35,36だから、一桁目が2になるのは9995の時で、やっぱり10回の内の一回。

    0000が対象外なら一桁目が2になる確率は1000/9999です。
    って、これ、夏休みの宿題じゃないよね?

    ユーザーID:4052991501

  • 面白いトピですね。

    私も確率は苦手なので、他の方のレスが楽しみです!

    ちなみに私は一応、1/10に一票。

    理由は、0002、0011、0020、0039、0048、0057、0066、0075、0084、0093までで、10/100ですよね。
    その次の0101〜0192まで、も、10/100で出てきます。

    0000〜9999までの組み合わせで良ければ、ランダムであっても組合せは10000通りになります。
    また、上記の0192までを考えると、規則性があり(確率は本当に不得意なので、式はわからないのですが)ますので、
    1/10であると、私は考えてました。

    ユーザーID:8850878670

  • 計算に強くはありませんが、1/10 だと思います

    任意の4つの数字の組み合わせは10X10X10X10 の10,000通りもあります。
    だから1/10より多く思う人や少なく思う人がいるのでしょうね。

    4番目の数字が1ずつ増えていく組み合わせを見てみてください。
    0/0/0/0 0/0/0/1 0/0/0/2 0/0/0/3 0/0/0/4 0/0/0/5 0/0/0/6 0/0/0/7 0/0/0/8 0/0/0/9
    この10個の組のうち、末尾が2になるのは1つだけです。

    次の組は先頭を0の代わりに1に置き換えたもの、次は2に、9までいったら2番目の数字を1増やして1番目をまた0から9まで。
    どの組も1番目から3番目の数字のいずれかを1増やしますので合計値も1ずつ増えます。
    ちなみに最後の組は
    9/9/9/0 9/9/9/1 9/9/9/2 9/9/9/3 9/9/9/4 9/9/9/5 9/9/9/6 9/9/9/7 9/9/9/8 9/9/9/9
    になります。
    繰り上がりがあっても 末尾は0-9のいずれか一つです。

    こんな説明で AさんやBさんは納得してくれますか?

    ユーザーID:8582161267

  • 問題がおかしい

    7519は並んだ数字とは言いません。4つに並べた数字です。また数字が重複してよいのか明記が必要です

    ユーザーID:6651532899

  • そりゃぁ

    例えば、最初の3つが000だった場合、残りの1つは0〜9の10通り。
    そのときの答えは0〜9の10通りなので、下一桁が2になるのは1/10の確率。

    最初の3つが831だった場合、残りの1つは0〜9の10通り
    答えは12〜21の10通り。下一桁が2になるのは1/10の確率。

    …というように、最初の3つをどんな値にしたところで、最後の1つが0〜9の10通りあって、そのときの答えの下一桁も当然ながら0〜9の10通りあります。

    よって答えは1/10の確率。

    なお、設問の
    「4つの並んだ数字を足すと」
    というのは紛らわしくて勘違いされそうですね。
    「並んだ」が余計です。つまり「並んだ」と書くと「1234」とか「6789」といった「連続した数値」と勘違いしそうです。
    例えばBさんは、そういう受け取り方をしているのかもしれません。
    (私も最初はそう思いました。しかし、続きの文章に「ランダムに」という記載と例示があったのでわかりましたが)


    あと、4つの数値なので答えの最大は36です。トピ主さん例示の「42」は、ありえません。

    ユーザーID:9402202484

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  • うーん

    4つの数の組み合わせは10x10x10x10で
    10,000通り有りますよね。

    次に足して一の位が2になる組み合わせを見ていくと、
    2の場合、 0002、0020、0200、2000の 4 通り、
    12の場合、(1119)、(1128)、・・・
    最大数9999のため、9x4=36より、同様のことを32まで確認して
    (2〜32の組み合わせの数の和)/10,000 が確立ですね。

    分子の計算が楽に出来ないかしら。

    ユーザーID:3463011053

  • 1/10です。

    ・結論は1/10です。
    ・まず0001、0002のように一桁の場合、1/10となるのは一目瞭然です。
    ・次に0010、0011のように二桁の場合はどうでしょうか。10の位が1の時、4つの数字を足した計算結果の1の位(以後結果と表記)が2となるのは、1の位が1の時だけで1/10の確率です。10の位が2の場合は1の位が0、10の位が3の場合は1の位が9の時のみ、結果が2となります。すなわち、1/10の確率です。
    ・三桁の場合はどうでしょうか。三桁の場合は、1「百の位の数値」と2「10の位の数値+1の位の数値」の和(足し算の計算結果)と考える事ができます。1は0〜9までが1/10の確率であり、2も0〜9までが1/10の確率であります。(2桁の場合、結果が2になるのは1/10。0〜9までの他の数値も同様です。)
    ・つまり、三桁の場合も二桁の場合と同じく、結果が2になる確率は1/10です。
    ・四桁の場合は、「千の位の数値」と2「百の位の数値+10の位の数値+1の位の数値」の和になる為、三桁や二桁の場合と同じです。

    ユーザーID:1063739470

  • 1/10でしょう

    ここで重要になるのは各数字がランダム(0から9までの数字が
    1/10ずつの確率で選ばれる)という前提です。

    仮に最初の3数字の合計の一桁目が8だったとします。(合計は8か18)

    4個目が0ならば4数字の合計の一桁目は8です。
    4個目が1ならば4数字の合計の一桁目は9です。
    4個目が2ならば4数字の合計の一桁目は0です。
    4個目が3ならば4数字の合計の一桁目は1です。



    4個目が9ならば4数字の合計の一桁目は7です。

    そして、最初の3数字の合計の一桁目が8以外でも4数字の合計の一桁目は
    4個目の数字によって0から9のいずれかになる事がわかります。

    ゆえに、最初の3数字が何であっても4数字の合計の一桁目は1/10ずつの確率で
    0から9のいずれかになります。

    何個の数字を足しても和の一桁目を考える限り同じ事になります。

    ユーザーID:6993669630

  • 1/10だと思います

    確率は強くないのですが、トピ主さんの直観通り1/10で良いと思います。

    1.1ケタ目に或る数字が有り、2ケタ目に0〜9の数字が同じ確率で来る場合、
    1ケタ目と2ケタ目の合計の末尾に2が来る確率は1/10です。

    例えば、頭が1なら次も1の時だけ、頭が2なら次が0の時だけ、合計の末尾が2になります。
    (2ケタなら紙に書いて確認できます。)

    2.これを、3ケタ。4ケタと増やしていっても良いのですが、
    もっと簡単に、4ケタを3ケタ+1ケタと考えるなら、

    3ケタの合計の末尾が何らかの数字になっていて、4ケタ目に0〜9の数字が同じ確率で来ると考えても同じことです。
    そうなると上の1と同じことで、末尾が2になる確率は1/10になると思います。

    ユーザーID:2339641222

  • 1/2500

    4桁の数字を選べる和は0000〜9999の10000通り

    各桁の数字を足した合計の最大の数は9+9+9+9=36、最小の数は0+0+0+0=0
    合計の数0〜36までのうち、1桁目が2になるのは、2、12、22、32の4通り

    よって確率は、4/10000=1/2500となります

    ユーザーID:5142764510

  • 結局1/10なのでは?

    数を何個足そうとも下一桁の値の確率は全部同じだと思う

    なぜなら二個ランダムの値を足したら一桁目の数は1/10になるのは簡単に証明できるし後はその繰り返しだから

    ユーザーID:2552911272

  • 1/10であってます

    0〜9までの値をとる4つの数字a,b,c,dがある。
    まず、a+bを考えてみると、
    a=0のとき、bが0〜9の値をとると、a+bは0〜9となる。
    a=1のとき、bが0〜9の値をとると、a+bは1〜10となる。
     すなわち、a+bの1の位の値は1〜9,0
    a=2のとき、bが0〜9の値をとると、a+bは2〜11となる。
     すなわち、a+bの1の位の値は2〜9,0,1
    以下同じで、
    a=9のとき、bが0〜9の値をとると、a+bは9〜18となる。
     すなわち、a+bの1の位の値は9,0〜8

    つまり、a+bの1の位がとりうる値は0〜9で、どれも確率は1/10。(組み合わせは全部で百通り。そのうち、それぞれの値は十通りずつ。)

    数字が3つ以上になった場合も同じで、a+bの1の位の値を"A"とおいて、a+b+cをA+cと読み替えれば、A+cについてさきほどの議論が当てはまる。dが増えた場合も同じ。

    どうでしょうか?

    ユーザーID:0643492802

  • 単純に

    完全ランダムの場合、以下の10パターンに集約されます。
    a+b+c+0=k+0
    a+b+c+1=k+1
    a+b+c+2=k+2
    a+b+c+3=k+3
    a+b+c+4=k+4
    a+b+c+5=k+5
    a+b+c+6=k+6
    a+b+c+7=k+7
    a+b+c+8=k+8
    a+b+c+9=k+9

    a, b, cがどんな整数であろうとも、この中に10進数1桁目が2である数字となるのは1つしかありません。
    これは、並び順無視でも重複禁止でもそうなります。

    並び順無し、かつ数字の重複なしの場合だと偏りが生じてしまうためその限りではありません。
    全パターン数:10! / ((10-4)! × 4!)=(10*9*8*7)/(4*3*2)=210
    !は階乗です。中学で習うんだっけ…?

    で、合計の一桁目が0、2、4、6、8となる組み合わせは、それぞれ22です。
    一桁目が1、3、5、7、9となる組み合わせは、それぞれ20となります。
    算出方法を思いつかなかったので数えました。


    尚、最大の数は9+9+9+9=36なので、『42』には絶対になりませんよ。

    ユーザーID:0565869238

  • 数学ではなく日常算数で・・

    数学的には数値の出現のルール、ランダム性が適当に定義されていないと考えようもないのですが、その辺は適当に常識に照らして補うとすると・・・。

    和の十の位が「2」になる確率って、同じく和が「1」になる確率や「3」や「4」や「5」や・・・や「9」や「0」になる確率と同じですよね。


    なら、それら10種類の確率の和が1(100%)であり、それぞれ等しいなら1/10(10%)でなければいけませんよね。

    1/10以外になるとおっしゃる方には、「では、3になる確率は?4になる確率は?」と順に聞いていけば誤りに気づいてくれるでしょう。

    ユーザーID:1133881071

  • <こんな計算は?

    面白いトピですね。

    皆様のレスを読むとなるほどと感心します。
    私も考えました。

    1・ 4つの数字の合計が 偶数になる組合せは、
    奇奇奇奇、奇奇偶偶、偶偶偶偶(奇数、偶数が共に偶数個、順不同)の3通り

    2・ 同じく合計が 奇数になる組合せは、
    奇奇奇偶、奇偶偶偶 (奇数、偶数が共に奇数個、順不同)の2通り

    3・ よって4つの数字の合計が 偶数になる確率は 3/(3通り+2通り)

    4・ 末尾が偶数の2となる確率は、1/5 (0,2,4,6,8)

    よって、求める確率は 3/5 X 1/5 = 3/25 (ゼロ4個を含む)

    0001〜9999の場合の確率は 3/25 X 0.9999 となります。

    こんな考え方は如何でしょうか?

    ユーザーID:0446020303

  • 答えは10分の1

    組み合わせは0000から9999まで1万通りあります。4つの数字を足した結果の一桁目が2になるのは1000通りです。

    0000=0
    0001=1
    0002=2
    0003=3
    ...
    0009=9
    (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

    0010=1
    0011=2
    ...
    0018=9
    0019=0
    (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0)

    002x : (2,3,4,5,6,7,8,9,0,1)

    512x : (8,9,0,1,2,3,4,5,6,7)

    ユーザーID:4901699860

  • なぜ1/10なのか考えてみました

    数値計算で確率が1/10であることを確認したあとで、ロジックを考えてみました。

    最初の3つの数字が何であっても、4つを合計して下一桁が2になる4つ目の数字は1つだけ必ず存在します。例えば、最初の3つの数字が、2、0、7なら足して下一桁が2になる4つ目の数字は3だけです。そして、4つ目の数字が3になる確率は1/10になります。

    同様に任意の3つの数字に対して、4つの数字の和の下一桁を2にする残り1つの数字はただ一つ必ず存在し、それが出現する確率は1/10ですから、問題の答えは1/10となります。

    同じロジックで下一桁が2以外のある数字になる確率も1/10になります。確率の分布が一様なのは、下一桁だけを取り上げているために、3つまでの数字を任意に選べるからです。例えば4つの数字の和そのものの出現確率を考えると、3つの数字の和が3だった場合、残りの数字をどう選んでも、4つの和を2には出来ませんので、下一桁の場合のような単純な扱いは出来ません。実際、4つの数字の和が2である確率は0.001、20である確率は0.0633、30である確率は0.0084と偏ることになります。

    ユーザーID:0689230114

  • 4つに並べた数字

    0 0 0 0 から 9 9 9 9 、
    4×1万個=4万
    ということでしょうか?

    ユーザーID:1723123533

  • 元理系受験生

    4つの数字では手間が膨大になるので
    2つの数字で手順(案)を提案します。

    2つの合計が2 1+1、2+0、0+2 ・・・3通り
    2つの合計が12 6+6、5+7、7+5、4+8、8+4
           3+9、9+3・・・7通り
    2つの合計が22 は無い
    2つの数字をランダムにピックアップするのは10×10=100通り

    1ケタ目が2になるのは 3通り+7通り/100通り=1/10

    これを4つの数字で行うのは 勘弁して下さい。

    ユーザーID:2224429179

  • 何桁であろうと10分の1(と思う)

    例として、0002が挙げられているので、
    最初の桁にゼロが来ても良く、また数字が重複しても良い、という条件ですね。

    いきなり4桁ではなく、1桁の場合から始めてみます。
    数字1つピックアップした場合は疑いなく1/10ですね。

    数字2つ目をピックアップして和を取ると、1つ目の数字に0〜9までの数字が足されます。
    数直線上では、1つ目の数字のゾーン(0〜9)が右にスライドしていくイメージです。
    このとき、和の下一桁が2になるケースは、0+2, 1+1, 2+0, 3+9, ... というように、1つ目の数字に対応して1つずつしかありません。ですので、やっぱり1/10になります。

    同様に、2桁の和の下1桁(0〜9)は、どの数字も均等に1/10であることが分かります。
    つまり1つ目の数字を選んだ状態と全く同じ確率分布です。

    ですので、3桁の場合でも、2桁の和の下1桁を取ってから3桁目の数字を足しこむことで、
    1桁→2桁のケースがそのまま当てはまります。
    これを繰り返すと、1桁であろうと、100桁であっても、和の下1桁が2になる確率は常に1/10ではないでしょうかね…?

    ユーザーID:2547719206

  • 4万個で考えてみる

    この場合の重複の意味がよく分からないので
    4つ並べた数字の合計の1桁が2になるのが重複しない、という事にして考えてみました。
    ランダムを整数というのにして考えてみてみました。

     0〜9999 

    面積を出す要領とおなじ出し方で4万個とも考えられそうです。

    これを面倒だったけど、いちいちエクセルで表にしてみました。
    昨日の深夜家族が寝静まってから開始して後は家族の世話や家事が終わった合間にやりました。あほな事を自分はしたなあと、やりながら思いました。
    南京錠の4つ数字を並べるののパターンってこのような面倒くささがあったのですね、もしかして。

    でその票ができたんですけど、
    この考え方だと4つ並んだ数字の合計で一桁が2になるのは、4万個分の( )、という確立になると思います。

    ( )は保留にしています。

    でさらに考えたのですが、

    それはガラケーなどの暗証番号ですか?
    それともキャッシュなんちゃらの?
    そんなことも考えてしまいました。

    うちの夫はガラケーなので暗証番号の割り出し方はこの方法で(ロックをされたら)いけそうです。

    ユーザーID:1723123533

  • 10%

    0から9までの値が同確率にて出現し、これを4回繰り返し、その和が2になる確率は1/10です。

    4回の数字を横に並べると0000から9999までの10000通り。
    この4つの数字を足すと0+0+0+0=0から9+9+9+9=36まで。
    1の位が2になるのは2,12,22,32の4パターン。
    したがって、それぞれの組み合わせ数の和を10000で割ったものが求める確率になります。

    ガリガリ計算すれば全部で1000通りになります。

    ちなみに
    2になるのは10通り
    12になるのは415通り
    22になるのは540通り
    32になるのは35通り


    でも面倒なのでもう少し直感的に。

    0から9までの数値をもつルーレットを考えます。
    人生ゲームなどで使うアレです。
    どの目がでる確率も1/10です。

    4回の数字の和の1の桁が2とは、
    最初に0を指すこのルーレットを、4回まわした時に2に止まっている確率と同等です。
    どこから始めようが、そして何回まわそうが2になる確率は1/10です。


    久しぶりに頭使いました。

    ユーザーID:4639263285

  • 遷移を数学的帰納法で考えれば1/10が自明です

    簡単すぎる問題です。

    一個の場合 2など任意の数になる確率は 1/10

    nこの数を足して一ケタ目が2など任意の指定した数になる確率が1/10の時、n+1こを足して2になる確率は、

    10*(1/10)*(1/10)
     (とある数から、任意の指定した数に遷移する確率 を足し上げます。

    よって、1/10

    よって、数がいくつであっても一ケタ目が2など 特定の数である確率は1/10 です。

    ユーザーID:1995819805

  • すごろくに例えてみます。

    すごろくのマスを想像してみます。

    10両編成の電車がすごろくのマスに置かれているとします。
    車両は1両ごとに1マス使っていて、電車は10マスを占めています。

    そして、すごろくには、10マスごとに赤いマスがあります。
    この時、赤いマスに止まっている車両は10両のうちたった1両だけですね。

    このすごろくでは、「次の桁を足しこむ」ということは、
    すごろくのマス目を0〜9マス進んでいくということです。

    どんなにのろのろ進んでも、ハイスピードで進んでも、
    赤いマスに止まっている車両が2両になったり、
    赤いマスに止まる車両がなくなることは絶対にありません。
    どんな場合でも、10両編成のうち1両が赤いマスに止まります。

    ですので答えは 1/10、という説明ではいかがでしょう?

    ユーザーID:2547719206

  • トピ主です1

    皆様、こんな私に噛み砕くように教えていただき、ありがとうございます。
    どうやら 1/10ということのようですね。

    実は、車のナンバーの4つの数字ですが、今の番号が、足して12なんです。
    足して2、12、22、32、(42は無しでした)は縁起が悪いと聞き、早急にナンバーをかえることにしました。
    陸運局で普通に申請すると1500円くらいで当日できるが、ナンバーは選べない。
    希望ナンバーを指定すると 4200円掛かり、しかも5日後になる。

    それならば、ハズレは 1/10の確率だから普通に申請して大丈夫と思ったら、Aさん(実は陸運局のお兄さん)が「もしハズレたら。新たに1500円支払い取り直してください」と言います。

    1500円でハズレるとまた1500円で、3000円。
    ノーリスクで番号指定すると4200円
    このようなセコいことを考えてました (笑)

    続く

    ユーザーID:3180206658

  • トピ主のコメント(5件)全て見る
  • 4 37

    9+9+9+9=36
    0+0+0+0=0

    0から36までだと37個ある

    2,12,22,32

    ゆえに 4/37

    ユーザーID:7040123643

  • 既に

    多くの方のレスにより1000/10000と正しく解が出ていますが,
    4桁くらいなら表計算ソフトで実際に計算させてみてはいかがでしょう。

    コピー&ペーストを使って数分で表ができるでしょう。
    もちろん,答えが変わることはありません。

    AさんやBさんの,そう思った根拠を聞いてみたいです。

    ユーザーID:0684418466

  • 失礼しました

    先ほどのは違うみたい。失礼しました。

    例えば、合計が0になるのと4になるのとでは確率が異なる。

    ユーザーID:7040123643

  • 10分の1

    4つの数字が0でも可, 重複しても可なら、ランダムに選び出された数字なら、答えは10分の1です。

    1の位が2になる確率は、0、1,2,3,4,5,6,7,8,9 の10通りの中の1回だからです。

    ユーザーID:3733325975

  • 2桁で試してみる


    0 00 1ko
    1 01 10 2ko
    2 20 02 11 3ko
    3 21 12 03 30 4ko
    4 40 04 22 31 13 5ko
    5 50 05 14 41 32 23 6ko
    6 60 06 51 15 42 24 33 7ko
    7 70 07 61 16 52 25 43 34 8ko
    8 80 08 71 17 62 26 53 35 44 9ko
    9 90 09 81 18 72 27 63 36 54 45 10ko
    10 91 19 82 28 73 37 64 46 55 9ko
    11 92 29 83 38 74 47 65 56 8ko
    12 93 39 84 48 75 57 66 7ko
    13 94 49 85 58 76 67 6ko
    14 95 59 86 68 77 5ko
    15 96 69 87 78 4ko
    16 97 79 88 3ko
    17 98 89 2ko
    18 99 1ko


    2は3個 12は7個 で合計10個
    全体では100個
    10/100=0.1

    ユーザーID:7040123643

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