中学数学の問題の÷の扱いについて

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趣味・教育・教養

数学おじさん

●中学の数学で見付けた問題です。数学の先生のご意見をお伺いします。
a÷a=1 です
ab÷ab= はどうなるのでしょうか。
1)ab÷ab=ab/ab=1 を期待した設問ですが
2)ab÷ab=a×b÷a×b=b自乗 になってしまいます。
したがって1を正解にするための正しい問題の出し方は
ab÷(ab)=ですね
分数をここで記載できないので省略しますが、複雑計算式の途中に÷が入っていて同じような混乱をもたらす設問が多数見られました。
掛け算記号を省略した場合、÷よりも優先されるという決まりでもあるのでしょうか。

ユーザーID:1758174947

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  • 教師ではありませんが

    そもそも、×と÷の記号を用いて指導をしているのが根底となっているのが
    間違いと言えば間違いで問題なんですね。

    ÷だけに注目するとトピ主さんの疑問が湧きあがるのです。
    ・と/で初めから指導していればそのような問題にはならないのですが…

    で、結論からすると演算記号を記載する際に×も省略はされてないのです。
    aかけるbの記載はa×bのままなのです。a・bではないのです。

    これが実に曖昧で問題なのですが
    分数式の計算という単元も厳密には高校数学の単元なのです。
    (一応単元的には分母に文字がある式の計算を指します)

    しかし、中学で文字式の「表し方」という曖昧な単元として扱っている。
    おそらく中1の反比例と中2の等式の変形に必要だからだと思われる。

    よって、abというのは数量として1つの値として考えさせるこじつけの論理です。

    ですから÷記号だけでなく
    ab・cはab×cと記して数量abと数量cの積を文字式のルールで表すとabcとする。
    というような考え方なんですね。

    ×も÷も演算記号として省略せず、abとかa/bはこれで1つの数量として扱う。
    これが中学数学のルールとされてますね。

    ユーザーID:8270442706

  • 返事します

    2の式ですがこれが正しいと思います。

    a(b÷a)b=a*(b/a)*b=b自乗
    間違いないだったらすみません

    ユーザーID:1040440048

  • 多項式

    abは、「多項式」といって、「一つの項」として数えます。
    a×bは、二つの項を掛け合わせたものです。

    a×bとabでは、結合力が違うのです。
    ab÷abは、a×b÷a×bでは、ありません。
    間の÷より、abの結びつきの方が優先されます。

    なので、まさしく、1)が正しいのです。

    ただ、問題は、「掛け算記号が省略された部分は、優先して計算される」ことがきちんと説明してある教科書は一つもない、という事ですね。
    の割に、正解する人が意外と多いのは何故なんだろう?

    ユーザーID:3879908143

  • 個人的な感覚ですが。

    個人的な感覚で申し訳ありませんが、ab÷abの場合、掛け算記号を省略しているabは、より結び付が強く、一つの数字のように扱うか(a×b)と同義となるように感じます。

    従って、「÷」だけでなく、掛け算記号省略部分は他よりも優先して計算してしまいます。

    上記はあくまで個人的な感覚ですので、正しいとは言い切れません。
    一方、どこの世界でも暗黙の了解というものがあります。

    abのように掛け算記号を省略した場合、(ab)として扱うとの暗黙の了解が、圧倒的に多くの人の中で成立していれば、ab÷ab=ab/ab=1となるのではないでしようか。

    何か数学上の定義があれば、教えて頂ければ幸いです。

    ユーザーID:3116264820

  • なりません

    >2)ab÷ab=a×b÷a×b=b自乗 になってしまいます。

    なりません。

    たとえば・・・

    12÷12=1ですが、素因数で書き換えると・・・

    2×2×3÷2×2×3 なので 分数では 2・2・3/2・2・3です。

    ・が×の意味なのはご存知ですよね?

    2と2 3と3は それぞれ割ることができるので、結果として1になるってわかるでしょう?

    あなたはそれを 2×2 と 3÷2 と 2×3 にわけて計算すると?

    元々は12÷12だったのに、それは無視?

    abを分けて計算しているあなたは、それと同じことをしているんですよ?



    >掛け算記号を省略した場合、÷よりも優先されるという決まりでもあるのでしょうか。

    どういう意味?

    abは×なんですから、切り離すことはできません。

    abはあくまでも文字に置き換えているだけ。

    (ab) という風に( )をわざわざつけなくても、です。

    優先もなにも・・・それがルールですから。

    こういうルールだと、中学になって最初に習ったでしょ?

    もう忘れたの?

    ユーザーID:1943511559

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  • そのことも学校で教えていました

    結論から書くと、

    「x」や「・」を省略した場合には、「( )」でくくられたものと同じ意味合いになります。
    これは数学の表記法のルールです。

    なので、

    a x b を ab と書いた場合、 ab = (ab) となります。

    例えば、数字と文字の積、 3 x a を 3a と書くことを考えるほうが少し考えやすいかもしれません。
    ab ÷ 3a = ab / 3a
    と少しは自然に感じられませんか? 

    実は私も中学生の頃に混乱した思い出があるので、教師になったときにはこのことはきちんと説明するようにしていました。中1の教科書にも明確に書かれていないのですよね。

    計算順序として、乗除より先に( )を計算することになっていますので、1)が正しいことになります。

    ユーザーID:0859038872

  • 主さんの仰る通りです

    私は数学の先生ではありませんが、技術者です

    加減乗除においては、加算と減算の優先順位は同じ。乗算と除算の優先順位は同じ。加減算より乗除算の優先順位のほうが高い。
    ここまでは恐らく義務教育の範疇でしょう。(近年の義務教育カリキュラムを仔細には存じませんが…)

    そして数学の慣例的記法として

    ab = a×b

    を表す。すなわち「ab」は「a×b」と等価。であるからには、

    ab÷ab = a×b÷a×b = a÷a×b×b = b^2(bの二乗)

    に、なってしまいます。

    よって、主さんご指摘の通り、出題の仕方が悪いです。

    答に =1 を期待しての出題なら、当然、これも主さんご指摘の通り、

    ab÷(ab) = a×b÷(a×b) = 1

    でなくてはいけません。

    中学レベルでこういう悪問を出されると、多くの生徒さんは混乱するでしょうね。

    …と、ここまで書いて思ったのですが、本当に上記設問は、答に1を期待してのものだったのでしょうか?
    逆に、答に=1を誘導して、ハメる設問だった可能性はないですか?

    ユーザーID:6666459413

  • 確か

    だいぶ前塾講してましたが、中学生は・が無いと掛け算とは認識できなかったですよ。÷が/、×が・、に置き換えるのは教わりますが中学では変数同士の掛け算の省略は教わらないのではなかったのでは。
    ab=a×b として出てるんでしょうかそれ。
    指導要項変わったのかな。

    高校では・は内積になるので使わなくなりますが、
    しかし大学では内積も・より別の記法が多くなります。
    記法自体どんどん変わってしまうんですよね。

    ユーザーID:4197244145

  • そうですよ

    abは、先にa×bとなっているので、
    設問を詳細にすれば、
    (a×b)÷(a×b)=1
    となります。

    ユーザーID:6061616919

  • 「四則演算 優先順位」

    とかのキーワードで検索してください。
    山ほどヒットします。
    結論として、数学では「都度定義すればいいので、定義次第でどっちもあり」
    のようです。
    乗算記号を省略した場合を演算順序で優先するというルールも、突っ込んでいくとあいまいです。
    ちなみに、中学校の教科書では、この問題の本質についてはふれていないそうです。
    自分の理解では、この問題を出題されたら、乗算記号を記入するかカッコを付けるかの再出題を要求するか、背景を示して回答を拒否します。

    ユーザーID:6824804230

  • 「ab」の定義によるのでは?

    ÷と×の順序性/優位性はないです。

    1ゼロでない2つの定数a、bという定義であれば、ab÷ab=b×b
    2ゼロでない1つの定数abという定義であれば、ab÷ab=1

    たとえ1でab÷(ab)としても答えは1にはならず、b×bです。

    必要があれば別ですが一般的に英語2文字で1つの数を定義することはないので、素直な問題であれば1になると思います。

    ユーザーID:1829019380

  • 省略ではない

    abはa×bの乗算記号が省略されたのではなく、a×bという演算の結果だと考えてください。そうすると、ab÷abは1以外になりようがありません。

    と書いてみましたが、関数電卓や数式処理などで、ab÷abがa×b÷a×bとされてしまうものもあります。これを根拠にすることは非常に馬鹿らしいことですが、実際に根拠にしようとする人間は存在するので、式を書いた者にその都度確認したほうが良いでしょう。また、自分で式を書く場合には、紛らわしいところには括弧を付けましょう。

    ユーザーID:3802155284

  • ヨコですが、いなちゃんさんへ

    abは多項式と呼びません。「単項式」と言います。

    単項式とは×、÷の記号を文字式のルールに従って表したものを指します。
    ですから、abもabcもa/bも単項式です。

    多項式というのは複数の単項式を+でつなげたもの(単項式の和)です。
    a+b(単項式aとbの和)、7a-b(単項式7aと-bの和)のようなものです。

    ユーザーID:8270442706

  • どの程度までお望みですか

    「ab÷(ab)」にしたとしても、2)の「ab÷ab=a×b÷a×b=b自乗」と同じことになりませんか。(2)にならないようにするには、「(ax10+bx1)/(ax10+bx1)」を教えなくてはならないでしょう。

    なお、「掛け算記号を省略した場合」、中黒丸も教えなくてはならないでしょうね。

    ユーザーID:4592174308

  • それこそ「どういう計算?」

     abがa×bに対して「×」の記号を略記したものである限り,
        ab÷ab = a×b÷a×b = b^2
    ですよ.「×」を省略した場合,そこの掛け算は割り算より先行するなど,聞いたことがありません.「掛け算と割り算だけの式は左から順に計算する」なんていうのは,中学校どころか小学校で学習する事項の筈です.何が「1が正解」ですか?
     12を2×2×3に分割表記するのであれば,
        12÷12 = 2×2×3 ÷(2×2×3)
    と表記するのが至当であって,()を省略したら全然違う計算(要は72÷2と同じ事)になります.

    ユーザーID:3592746892

  • おどろきました

    中学で数学を習ったのはだいぶ昔ですが,ちょっとびっくりしました。
    その表現は教科書でしょうか?参考書?

    いずれにしても,通常の数学のルールを逸脱するような表現はいただけないですね。

    念のため確認ですが,aとbはそれぞれ別の変数で正しいでしょうか?
    ひょっとして二桁の整数の十の位がa,一の位がbだったりして。

    私たちの時代,中学に入ると÷と×は使わなかったように記憶しているのですが,
    今は使っているのですか。これもちょっとびっくり。

    ユーザーID:1764874955

  • 専門家じゃないですが

    高校数学あるいは大学入試レベルまでなら、
    「a×b÷a÷b」と解釈するでしょう。
    たとえば(そんなくだらない問題ありえませんが)
    「a円のものをb個買い、それを一組a人のグループb組で分けたら一人いくつもらえるか」で、ab÷abと答えたら、バツになるでしょう。

    ただ、数学のとある分野でそのような表記をすることはありえるかもしれません。
    専門家のレスが楽しみですね

    ユーザーID:7708649043

  • みなさんありがとう

    ●一部を除いて皆さんの説明のとおりだとおもいます。提示例と同じ設問があったのではなく、問題点を抽出して簡略化して提示しました。

    中学数学は高校数学への橋渡しです。小学校の×÷記号と代数の項の入り混じった、(必要性の乏しい)例題が頻出しています。

    いなちゃん=>「掛け算記号が省略された部分は、優先して計算される」

    居眠り=>掛け算記号を省略しているabは、より結び付が強く

    計算=>abは×なんですから、切り離すことはできません。

    とうことに私は100%納得しているのです。が・・、基礎数学ですから、明快な正解が導かれるべきです。
    指導要領や数学界できちんとした定義づけがなされているのか?と疑問になったしだい。

    ●ジュピターさんの言うとおり、・と/で始めから指導するべきですね。

    ユーザーID:1758174947

  • トピ主のコメント(5件)全て見る
  • 私も知りたい!!!

    分数を正確に表記できませんので、言葉で説明しますと、

    a×b/a×b が、左のa×bを分子、右のa×bを分母とする分数の場合は、答は1になり、
    ab/ab が、左のabを分子、右のabを分母とする分数の場合も、答は1になりますよね。

    ところが、a×b÷a×b の答はbの2乗。
    (2×3÷2×3 を電卓で左から順番に押してくと答えは9)
    では、ab÷ab の答は何? 

    という問題提起なのだと思います。

    やはり「掛け算記号を省略した場合、÷よりも優先される」定義があるんじゃないですかねぇ〜?
    我々いつごろきちんと習ったんでしたかね? どなたか教えてくださるとよいですね!!!

    ユーザーID:9873027293

  • 個人的見解ですが

    abは一つの数であり、単にa×bの×を省略しただけではないのです。
    a=2 b=5とおくと、abは10であり、
    ab÷ab=10÷10=1 であって、
    ab÷ab=a×b÷a×b つまり10÷10=2×5÷2×5 にはなりません。
    トピ主さんのおっしゃる通り、ab÷(ab) の考え方が正しいのですが、
    abは一つの数ですから、わざわざカッコでくくる必要もないのです。
    ab÷(ab) という表記の仕方は 10÷(10) となって、意味のない表記です。

    ユーザーID:4198716102

  • 現中学生より

    abは(a×b)ですよ

    なぜなら
    a=2
    b=3 として
    2×3=6
    2×3ならば6 ですが
    6ならば2×3 ではありません
    それは1×6や、2+4、10−4等の通りが無限にあるからです
    簡単に言うと
    a×bはabですが
    abはa×bではないという訳です
    つまりabは一つの数字であり、二つの数字を仮にくっつけた訳ではないという事です
    なのでabをaとbに分ける事はできないという訳です

    ユーザーID:2671604989

  • レスします

    >ab÷ab= はどうなるのでしょうか。
    このような表記はしていないです。
    ・と/あるいは×と÷という使い方です。
    ・と/の優先順位は同位です。()がありますからそこまで決める必要がないのでしょう。
    意図がちゃんと伝わるように()を使います。
    トピ例のようなものは「問題が悪い」で終わりです。

    >中学数学の問題の÷の扱いについて
    中学数学でこれを出すなら、明白に教師が無能で終わりです。

    特定の場面(ある本の中、特定の分野)ではabが優先というものもありますが一般的ではありません。

    ユーザーID:5800387857

  • では

    5bX5b=b自乗ですか?

    ユーザーID:3061701474

  • 正解(議論の必要なし)

    ab÷ab

    が問題の出し方としてそのまま正しく

    ab÷ab=1

    が正解。

    議論の必要なし。議論したいヒマな人はすればよい。

    ヒマな議論は大切であるよ。但し,独りよがりの不勉強な見解に固執しないようにな。あと,そういう意見のヒトに騙されないように。とくに「問題の出し方が悪い」という意見には要注意。

    ユーザーID:6665707110

  • 省略と結果は区別しましょう。

    abはa×bの省略ではなく結果です。
    だから括弧は必要ありません。

    > 2)ab÷ab=a×b÷a×b=b自乗 になってしまいます。
    > したがって1を正解にするための正しい問題の出し方は
    > ab÷(ab)=ですね

    ここが丸ごと間違い。書くならこうです。

    ab÷ab=a×b÷(a×b)=1


    蛇足ですが、思い返してみると
    ÷を中学校以降使った記憶がありません。
    すべて掛け算に変換してましたね。
    ÷3→×1/3のように。

    ユーザーID:9997243671

  • 勘違い!

    トピ主さまの
    2)ab÷ab=a×b÷a×bはまちがいですよね。
    皆さん、トピ文に誘導されてしまっていますが、
    ab÷ab=は、
    a*b*1/a*1/b 若しくは、a×b÷a÷bでしょう!どちらも答えは、「1」です。
    どうして、abで割るのに、bを最後に掛けて仕舞うのですか?
    算数力の問題ではないと思います。

    ユーザーID:1338841324

  • ab = (a×b) は違うと思う

    乗算記号を省略した記法の優先度については,いろいろな考え方があって確立したルールはないようですね。

    ただ「ab は括弧付きの (a×b) と解釈する」あるいは「ab は1つの数と解釈する」は違うと思うのですが。

    右上の肩に付けるn乗はここでは書けないので ^n と書くことにすると, ab^n は通常 (a×b)^n でなく a×(b^n) の意味です。たとえば円の面積の公式 πr^2 は,(π×r)^2 でなく π×(r^2) です。

    ですから ab と書いたとき (a×b) と解釈すると齟齬が生じますし,中学生にそう教えると誤解の元です。あくまで乗算記号を省略すると割り算より結合度が高いというだけでしょう。

    べき乗は演算子を明示的には書かなくても肩に小さく書くことにより演算があることを示しているので,やはり結合優先度は乗算記号を省略したかけ算より強いとはっきりさせる必要があります。

    他にも階乗 ab! は (a×b)! なのか a×(b!) なのか難しいところですが,少なくとも必ず前者,という合意はないようですね。

    ユーザーID:2093685813

  • abは一つの数字って本当ですか?

    2度目です。

    F=ma という運動方程式は、Fが力、mが質量、aが加速度ですから、どうみてもmaは二つの数字(変数)ですよね。
    数学的には一つの数字だが、自然科学的には二つの数字なんてことがあるのかな? いやこれはないでしょう!!

    ユーザーID:9873027293

  • 数学教育界のコンセンサス

    中高の数学教育の世界では×÷表記より省略した形(掛け算の場合はab,3a、割り算は分数)を優先させるという暗黙の了解があります。
    それ以降ではそもそも×や÷を使うシーンがあまりないため問題が表面化しないのでしょう。
    教科書(中2)には
    15ab÷3a=15ab/3a=(約分の式)=5b
    のような例が載っています。
    また、分数で割る場合も
    〜÷4/3a(aは分数の横)=〜÷ 4a/3=〜×3/4a(4aが分母)=〜
    とあります。
    ×÷表記と省略形が混在する場合は省略形に()が付いているものとして計算するようになっています。
    そのようなことは明文化されていないといった意見はありましょうが、検定を通過した教科書ではそのように扱っています。
    というわけでこのトピの例では1になりますね。

    ユーザーID:6207446188

  • 「項」という概念が必要です

    「数学じいさん」が書かれているように
    議論の余地なく、ab÷ab=1なのですが
    一応説明を。

    この式は、
    「abという単項式を、abという単項式で除する」
    という意味となります。

    abと記した場合、それは一つの単項式ですが
    a×bと記した場合、
    aという単項式と、bという単項式の積を意味し
    数学的には同義ではありません。

    abというのは、単純に「×」を省略したものではないのです。

    中学2年生では、既に「項」「単項式」「多項式」
    という概念を学ぶので
    中学生用の問題としても
    ab÷abという出題でなんら問題ありません。

    このトピの投稿の中で
    「項」という概念のないものは
    基本的に正しくありません。

    ユーザーID:0929889888

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