趣味・教育・教養

この数学の問題の解答について

レス18
お気に入り9

アイリ

学ぶ

数1の問題です。
「角A=120度、AB=3、AC=1である三角形ABCの角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ}

この問題を、線分BCの長さを余弦定理で求め、BD:DCが3:1なので、三角形ADCに余弦定理を使うと、ADの長さは1/4,3/4の二つの解となります。
解は3/4 のみなのは、別の方法(面積)からは求められるのですが、余弦定理ではこの2解がでてしまい、1/4を解として棄却する理由が分かりません。

全国の数学脳のご助言を御願いいたします。

ユーザーID:7878046773

これポチに投票しよう!

ランキング
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
  • 面白い
  • びっくり
  • 涙ぽろり
  • エール

このトピをシェアする

Twitterでシェア LINEでシェア はてなブログでシェア

このトピのレス

レス数18

投稿する
このトピックはレスの投稿受け付けを終了しました
  • 他にも方法は色々あるでしょうが

    三角形ABDにも余弦定理を適用してみなはれ。

    ユーザーID:2557474756

  • 解いてみました。

    数学脳ではないかもしれませんが、トピ主さんが挙げていらした方法で解いてみました。

    う〜ん、確かに三角形ACD側に余弦定理を使うと、1/4と3/4の2通りの答えが出てしまいます。
    三角形の3辺の長さ関係で絞り込むのかな?と思ったけど、残念ながらどちらも該当してしまいそう。
    というわけで、念のため三角形ABD側で同じように余弦定理を使ってみたら…。
    おっ!3/4と9/4が出て、無事に解が3/4に決まりました。
    しかし、もう一度余弦定理を使うのが、何かもったいないというかめんどくさいというか…。
    もう少し楽な方法がありそうな気がします。

    ユーザーID:2896257120

  • お疲れ様です

    一言で言えば、ADを1/4とする三角形が書けないから(定規と分度器を使って三角形ADCを書いてみて、それに三角形ABDをくっつけられるか考えてみてください)なのですが、文字で説明はしにくいですね。
    私もこのタイプの問題で、角DACで余弦定理はやらないですね。
    公式練習の段階なら、角Aが使えるときは面積経由、でいいと思います。
    数学の学習としては、検算の方法を研究するのはいい勉強になると思います。
    がんばってください

    ユーザーID:5064593362

  • 惜しいところでしたね

    BCの自乗=9+1-6cos(120度)=13よりBCは13の平方根。
    そこでDC:BD=1:3より
    DCの自乗=13/16、BDの自乗=117/16となります。
    AD=xとすると
    1+xの自乗-2xcos(60度)=x*x-x+1=13/16
    9+xの自乗-6xcos(60度)=x*x-3x+9=117/16
    が同時に成り立たなければなりません。
    2x-8=-104/16=-13/2より2x=3/2なので
    x=3/4となります。
    このx=3/4は両式を満足させるので解となります。

    ユーザーID:0917949745

  • トピ主です

    にゃごにゃごさんのように、私もなるのです。

    この問題には、
    三角形ABC=三角形ABD+三角形ACD
    の面積を使えば3/4に決まるのです。

    どうして余弦定理だと、この問題はすんなりいかないのでしょうか?

    引き続き、数学脳の皆様のご助言をよろしく御願いいたします。

    ユーザーID:7878046773

  • 懐かしい

    余弦定理なんてすっかり忘れていました。

    質問の三角形ADCで余弦定理の条件を満たすのは2つあるから解が二つあるのは当たり前です。
    だから解を一つにするために三角形ABDでも余弦定理を使う必要があります。

    三角形ADCを考えた時、線分AD上に点Eがあるとして、線分CEと線分CDが同じ長さってことです。
    三角形ACEはAC=1、CE=CD、角A=60度ですね。
    そして今回の場合、線分AEの長さは1/4です。

    ユーザーID:4070894337

  • この計算、間違ってないと良いですが・・・

    ■13 を暗算できるとして、
    AD=1/4 と仮定したら、
    AD+BD<AB となってしまって、
    この3辺では三角形を成し得ません(ADの長さが足りません)。

    この方法は、この問題ではたまたま巧くいきますが、
    いつでも使えるのは三角形ABDに余弦定理を適用する方法です。

    ユーザーID:2557474756

  • 角DABにも余弦定理を使ってみましょう

    トピ主さんは三角形ADCに注目していますが、同じことは三角形ADBでも成り立つはすです。では角DABにも余弦定理を使ってみましょう。
    するとADの解として3/4と9/4が出てきます。題意から求めるADは両方を満たすものでないといけませんから、1/4や9/4は棄却されて3/4が解となります。

    図を描いてみれば直観的にも納得できると思います。できれば1/4や9/4の場合にどのような図になるか描いてみてくださいね。

    ユーザーID:3417168331

  • 三角形が一意に定まらない

    角DACと辺AC,辺DCの長さがわかっても
    三角形が一意に定まらない。

    三角形を決定するには合同条件を考えればいいのですが
    今回の条件は、
    3辺、2辺夾角、1辺両端角
    のどれでもない3条件なので三角形は1個に決まらない。

    よって、
    余弦定理だけでは答えが2つ出る可能性がある
    (角DACと辺AC,辺DCが決まっても、辺ADの長さは2種類ありえる)
    ということだと思います。

    別の何かの条件 (面積、作図など)で解を一つに決める必要がある
    のではないでしょうか?

    ユーザーID:2161684833

  • 懐かしいですね

    【余弦定理では2解がでてしまう理由】
    長さ1の線分ACを描いて下さい。
    線分ACとなす角度が60°となるように、点Aから適当な長さの線を引いて下さい。
    点Cを中心に半径sqrt(13)/4の円を描いて下さい。
    この円と先ほどの線は2点で交わります。
    点Aからこの2点までの長さは、それぞれ1/4,3/4です。
    余弦定理で求められるのはここまでです。つまり、この時点でDの候補が2つあるのは正しい。
    これに対して、最初の余弦定理では「2辺の長さと“その2辺がなす角度”」が決まっていたので残りの1辺の長さが一意に求まりました。違いに注意して下さい。

    【1/4を解として棄却する理由】
    Dにはさらに「辺BC上にある」という条件があります。この条件を満たすのは上記の2つの候補のうち3/4のほうなので、当然1/4のほうは棄却されます。
    (言い換えれば、余弦定理の時点では、Dが辺BC上にあるという条件が入っていないので、2解がでてしまったのです。)

    ユーザーID:2987542988

  • 良い所に気付きましたね

    どうやってその解を求めたのか考えてみましょう。

    三角形ADCの条件は
    ・AC=1
    ・DC=(■13)/4
    ・角DAC=60度
    ですから、余弦定理を用いてAD=3/4またはAD=1/4を得ています。
    確かにどちらでも上記3条件を満たす三角形ADCが得られます。

    しかしこれは(ADを求めるために)三角形ADCの条件のみを考慮した
    結果なので、DがBC上に存在する保証がありません。

    AD=3/4ならばDがBC上に来ますが、AD=1/4ではDがBC上に来ないので
    問題の条件を満足せず、棄てる事になるのです。

    言い換えると問題の条件の一部を無視して求めた解なので、問題の
    条件を満足しない偽の解が入り込んだのです。

    なお求まった解が1個でも検算は重要です。解き方を間違えているかも
    しれないし、「解なし」という意地悪な問題もありますので・・・

    ユーザーID:2113717704

  • 別解ですが

    確かに余弦定理を二回使って解を確認するのはムダな気がします。

    私なら補助線として線分ADを伸ばして長さ3の線分AEを引きます。
    線分AEとABの間は60度ですから三角形ABEは正三角形となります。

    図を書けば分かると思いますが、三角形ADCと三角形EDBは、
    辺の長さの比が1:3の相似形です。
    よって、AD+DE=3とAD:DE=1:3なので、AD=3/4だと分かります。

    多分、学校ではこんな風な解き方で習う気がします。

    ユーザーID:9340731665

  • 棄却の理由と現れる理由

    1/4を棄却する理由は前述の通り。
    1/4という「解ではない解」が現れる理由は、余弦定理が辺の平方で書かれているからです。平方を外したときに±(プラスマイナス)の2通りが出るから。

    面積を使った解き方では、確かに平方を使わないので1通りですが、三角形ABC、三角形ABD、三角形ACDの3つ全てに面積の公式を適用しなければならないという意味で、余弦定理を使った方法と(本質的には)同じです。
    ただし、計算がシンプルと言う観点で、面積を使った方が上手です。

    ユーザーID:2557474756

  • 余弦定理で辺の長さを求めるという事は

     取りも直さず,
       a^2 = b^2 + x^2 - 2*b*x*cosθ 
       (a>0,b>0,0<θ<πは既知)
    なるxの2次方程式を解く事に他ならないので,解は2つ出てくるという事になります.それがこの問題の場合3/4及び1/4というわけです.
     尚,この2次方程式の判別式Dは
       D = (b*cosθ)^2 - (b^2 - a^2)
        = a^2 - (b^2)*{1 - (cosθ)^2} > 0
        = a^2 - (b*sinθ)^2
    となりますが,a,b,xが三角形の3辺をなすからには, 必然的に
         a ≧ b*sinθ
    であり,従ってD≧0,即ち必ず解は得られることになります(D=0の時は,bを斜辺とする直角三角形).
     但しx>0は保証されず,仮にx<0となった場合は,答えは|x|で,θに相当する頂点の角度はπ-θの三角形になります.

    ユーザーID:0093488872

  • 三角不等式

    三角形の2辺の和は、他の1辺より大きくなければなりません。
    さもなくば、三角形にならないからです。

    この問題、まず余弦定理でBCを求めると「ルート13」になります。
    ADが角の二等分線であることから、BDは「4分の、3ルート13」、CDは「4分の、ルート13」になります。

    ADが「4分の1」である場合、三角形ABDについて、BD + ADは「(3ルート13 + 1)÷4」で、
    約2.954となり、他の1辺であるABの長さ3に少し足りず、三角形となりません。
    したがって、ADが「4分の1」の場合は題意を満たさず、「4分の3」が答えとなります。

    ユーザーID:0137047795

  • トピ主です

    皆様、ありがとうございます。
    本当に参考かつ勉強になりました。
    数々の有効な御助言に感謝します。
    ありがとうございます!!

    ユーザーID:7878046773

  • 方程式についての話をちょっと・・・。

    x^2-5x^+6=0という方程式があったら解は3,2ですよね。
    「この二つの解は上の方程式をみたす」というのはxを3か2に置き換えたら上の等式が成り立つ、ということです。
    式を解くだけだったらこれでいいんですが、今回のように実際の状況(今回なら三角形)が与えられて式を立てる場合、『求めたい値(ADの長さ)はたてた式(余弦定理)を満たす』ということはわかっているけれど『求めたい値だけが式を満たすとは限らない』んです。
    極端な話、『昨日私は1000円持って行って400円を使いました。残りのお金は600円でした。』という状況だったのを『昨日私はx円持って行ってy円使いました。残りのお金は600円でした。』と言ったらx-y=600をx=1000、y=400は確かに満たすけど、x=1100、y=500だって満たすしx,yに入れられる値の組み合わせは無限にありますよね。

    式を解いて出てきた解、というのはこの値なら式を満たす、という可能性なんです。
    だから実際の状況に合わせてどれが自分の求めたい値かを判断します。
    今回の場合、他の方が書いている三角をつくるための条件等が判断材料になります

    ユーザーID:3368947251

  • すみません訂正です

    もともとの三角形は角Aが120°ですから、角Cは60°未満です。1/4の時は角Cが鈍角になるので棄却されます。間違ったレスしてすみません

    ユーザーID:0539342065

お気に入りに追加しました

レス求!トピ一覧