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フーリエ級数

マスラオ
2016年3月8日 21:07

かなり前ですが高校の数学の先生が熱心な人で、教科書には無いフーリエ級数展開を延々と板書してくれました。(矩形波などの単純なものですが)

パソコンはおろかプリントもままならない時代でしたが、めくるめく興奮を覚えながら必死に書き写しなんとかついていくことができました。

社会人になってから、「フーリエの冒険」という本を買いました。(量子学の冒険も)

昨今本屋を覗いてみるとフーリエ展開の難しい本はありますが、数学物理の復習といった社会人向きの解説本にはフーリエはほとんど触れられていません。

今現在、フーリエの位置づけはどのようなものなのでしょうか?

新しいものに取って代わられて過去のものになった?

十分咀嚼されて過去のものになった?

その他?

ユーザーID:3214791535  


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タイトル 投稿者 更新時間
咀嚼されて、日常的に使われている
年取ったリケジョ
2016年3月9日 2:15

フーリエ展開は、数学、物理学、気象学、電子工学関係の仕事、統計学、どこででも一般的に使われている原理です。

大学で数学を勉強した人は、皆さんお目にかかっているはずで、理系同士の日常会話で、例えば、遠くの地震で起こった津波は、なぜ周波が長いのか、とか、自然現象の説明に話すこともよくあります。一般の人にはおなじみが無いので、相手を選んで話題にしますけどね。

興味がおありだったら、大学の数学の教科書を読んでみたらどうでしょうか。

ユーザーID:1449633268
フーリエ級数楽しいですよね
樽夫
2016年3月9日 2:29

高校でフーリエ級数を教える先生ってすごいですね。
必死で書き写して付いていけるトピ主さんもすごいです。

私は仕事でフーリエ級数を使うことがある者です。

現在のフーリエ級数の位置付けですが,数学の研究対象として見た場合は,
「十分咀嚼されて過去のものになった」が当たっていると思います。
少なくとも,科学・工学で一般に使われている範囲のフーリエ級数については。

一方,応用について言えば,フーリエ級数は過去のものどころか,現在・将来に
わたって科学者・技術者には必須の知識であり続けると思います。

理由はいくつかありますが,最も重要なのはフーリエ級数で使う三角関数
(複素数で言えば指数関数)が,微分演算子の固有関数になっていること。
つまり,微分しても定数倍されるだけで,関数形が変わらないのです。
これは,微分方程式が簡単な代数方程式に変換されてしまうことを意味します。

あと,フーリエ級数の係数が周波数,波数などの物理的意味を持つことも重要です。

フーリエ級数の他の使い方や限界,最近の進展などについては,まだ色々と書くべき
こともありますが,文字数制限があるのでここまでにします。

ユーザーID:8428291212
旧友に会った様な気分です。
Le ouvrier
2016年3月9日 10:57

フーリエ級数は応用物理系のエンジニアには今でも必須アイテム(?)だと思います。実際にはFFT(高速フーリエ変換、高速フーリエ逆変換)のように、コンピュータで処理します。

私はチェーン駆動系の振動解析や平板の超音波解析にFFTを使用していました。昔のことです。

大昔ですが、関数を無限次元関数空間中の一点として表すための基底の選び方は色々あるが、周期関数を三角関数を用いて展開するフーリエ級数が工学部向きで理解しやすいということを、講義で聞いたことがあります。

退職して数年、懐かしい友人に会えました。

ユーザーID:9138554075
そうだっけ
さえば
2016年3月9日 11:10

フーリエの冒険も読んでないですが、今も売ってるしブルーバックスにも
ありますね。

フーリエ変換はこれからも広範な分野で利用されますよ。周波数解析で
得られる情報は非常に有用です。

ただ、、そういう技術がどんどんブラックボックス化されていて見えにくく
なっています。咀嚼されたんじゃなくて、(昔からですが)知らないで
利用されていると言ったほうがいいでしょう。何かと便利な世の中ですが、
その背景知識のある人はとても少ないです。科学技術立国というなら
こういうことをしっかり教えないとねえ。ほとんどの国民は科学に何の興味も
ないというお粗末な話になっていると思います。

ユーザーID:4271792223
あらゆる分野で活用
ひよこぴよ
2016年3月9日 11:32

フーリエ解析はあらゆる分野で活用されていますよ。その数式を現場の社員が直接使うことが少ないから知られていないだけでしょう。

私(59・男)は在職中、電気通信系の官公庁に勤務していましたから フーリエ解析はごく日常でした。現場の工事でその数式が出てくることはほとんどありませんけれど、電気通信回線の「回線試験」「周波数特性」などのデータを読み取るには フーリエ解析の知識が必要になります。

フーリエ解析には フーリエ級数 フーリエ積分・・・さらに複素関数論の知識まで広がります。

私が従事していた電気・通信工学以外ですと 材料力学、土木工学、建築学・・・などにも使われます。

通信工学にしても電話線、電柱の構造力学にも出てきます。道路を走行する自動車から伝わる振動で電柱・電話線がどのように影響するかはもちろん、土木工学では建築物、橋など風による振動、地震による振動解析など非常に幅広いです。

私の専門外である、「生物学」「医学」にも活用されています。

現代の地上デジタル放送、携帯無線電話の理論を理解するにはフーリエ解析は欠かせないです。

ユーザーID:5846895544
電子工学科携帯からの書き込み
アジアの純真
2016年3月9日 17:45

大学の電子工学科ではバリバリ使いますよ。信号解析などはフーリエなくしてできません。高校で習ったとは驚きです。素敵な数学の先生でしたね。

ユーザーID:8866524959
バブルからデフレへ
大ちゃん
2016年3月9日 20:25

1990年あたりのバブルの頃、フーリエ解析が流行りましたね。なぜか。
音楽を聴くのにやたら大きいコンポが売れてましたから、グライコつきの。
雑音を取り除くとかボーカルを強調させようとか、そういうのをやりたかったんでしょう。

ま、デフレもこれだけ長引いて、若者はスマホとイヤホンで音楽聞くしかないのですから、フーリエ解析が忘れ去られるのも仕方ないでしょう。

ユーザーID:3884110263
今でも現役の技術です
kimenzan
2016年3月9日 23:54

微分方程式を解く手段としては、ラプラス変換を使う手もあるし、信号処理などではウェーブレット変換なども使われますが、やはりフーリエ変換は広い分野で使われています。

特にコンピュータで処理する場合の離散フーリエ変換(DFT)は、高速フーリエ変換(FFT)という技術で、文字通り高速に計算でき、計算のためのライブラリも揃っているためよく使われます。

もっとも有名な応用例はコンピュータ断層撮影(CT)でしょうか。発明したアラン・コーマックとゴッドフリー・ハウンズフィールドの2人は物理学者と電子技術者ですが、ノーベル医学・生理学賞を受賞しました。

しかし、フーリエ級数ないしはフーリエ変換は理論面はもちろんのことただ道具として使うにも多少の数学の知識は必要です。といっても理工系の大学初年程度でいいのですが、高校数学とはやはり乖離があるのでしょう。私も理工系の素養のない社会人に説明しろと言われると正直戸惑います。

でも、けっして難しいものでもないので、大学生向けの初級者用の参考書を我慢して読めば、何となく分かるのではないでしょうか。

ユーザーID:1603401791
十分に理解された
よよよ
2016年3月10日 18:01

十分に理解されたという意味では過去のものと言えるでしょう、
でも廃れることはありえないと思いますよ。

おそらく大学初学年で履修する「波動」という物理の授業、
正弦波の性質ばかりを延々と習いますが、
それは、“全て”の物理的な波が様々な振動数・波数を持つ正弦波の和で書けるからです。
これがフーリエ展開が出来るという意味で、物理としての本質です。
言い方を変えると、あらゆる振動数・波数を持つ正弦波達(本当は余弦波達も入れておいた方が書き易い)が正規直交基底をなすということです。

従って、電磁気にせよ量子力学にせよ重力波にせよ波動を扱う限りは、フーリエ展開は必須の基礎事項です。
地震や流体も(私は専門外なので想像ですが)同様です。

ユーザーID:9507724631
工業高校なら習います
ひよこぴよ
2016年3月10日 19:19

フーリエ級数は私(59・男)の世代ですと工業高校で習いました。

私は工業高校・電子工学科卒業の学歴で 電気通信系の官公庁に就職しましたけれど、当時の工業高校ではフーリエ級数を習いました。

工業高校では、数学、物理学を専門科目の中でも習いますから、高校数学の教科書に載っていないことも習いました。

フーリエ級数はもちろん、ベッセル関数、線形代数はもちろん偏微分、重積分、周回積分なども習います。

就職して大卒 (工学部) の学歴の同僚 (つまり私より4歳年上) が、

「君は高卒なのに 俺が大学で習っていないことまで知っているじゃないか 君 その数学書 本当に高校で使ったの?」

なんて退職するまで転勤のたびにアチコチの職場で言われたものでした。

ユーザーID:5846895544
DFT・FFT
賢者
2016年3月11日 9:45

今から40年近く前に、大学の音響工学の研究で、当時の8ビットCPUでFFTを実現して解析道具としていました。

時間軸データを周波数軸データに返還するという意味では、kimenzanさんもご案内のように、現役か引退かというレベルではなく科学や工学の分野の基礎的道具として使われていると思います。

例えば、地球の公転軌道の離心率、自転軸の傾き、自転軸の歳差の変動による周期的日射量の変動がが地球史の長期的な気候変動の要因であるとしたミランコビッチ周期仮説は、発表当時は時間軸データに顕著な特徴が見られなかったので無視・否定されましたが、その後周波数(周期)軸に変換したら見事にそれらしき周期が見つかりましたし、また現在では自動車や建造物の振動の解析にも使われていると想像しています。

ユーザーID:4239709809
こんなトピにレスがこんなに
マスラオ(トピ主)
2016年3月11日 11:17

皆さんがフーリエを自家薬籠中の物とされていることにはある意味羨望の念を覚えます。

フーリエが現在の工学に欠かせないものであることは聞き及んでいます。
(カーナビやGPSでは相対性理論までも・・・)

かの数学の先生は確率統計にも熱心で、○○分布とか誤差のσなど懐かしいです。

私は数学、物理、科学に興味がありますが、専門的な内容は無理です。
そこで今の数学の一般向け本を見ると、確率統計にはかなりページが割かれており(知るよしもなかったベイズとかも)、当時はまだ珍しかった行列や集合も扱われていますがフーリエは見当たらないので、限られたスペースに載せるにはやはり過去のものかと思ったしだいです。

レトロついでに、腕を磨いた計算尺に絡んで対数にも興味があります。(ネイピアという人の名を知ったのは比較的最近でしたが)
これもいたるところで使われていると思いますが、あまり表に出てきませんね。

「フーリエの冒険」は新装改訂版が出ているようですが、この時勢売れるのかな?(本体価格は旧版と同じのようです)

「オイラーの冒険」が出れば買います!

ユーザーID:3214791535
通信放送業界
ひよこぴよ
2016年3月12日 15:57

対数は私(59・男)が在職していた通信・放送業界ですと「日常会話」ぐらいに使います。

「デシベル」という単位を使いますが、慣れてきますと概数ながらも対数計算を暗算でします。通信回線・放送回線の信号レベル、無線送信機の空中線電力、無線受信機の受信入力、その他・・・毎日、レベルメーター (信号周波数、信号レベルに応じて各種あります) を携帯して回線の建設保守に使っていました。

私が入社した1975年当時、事務室での回線設計作業では「計算尺」「ソロバン」を使っていました。1970年代末に職場の先輩から、

「君も そろそろ 関数電卓のひとつぐらい 買えよ」

と言われて、当時は 1台 2万円しました。

しかし、関数電卓は頭の中で ログ(・・・) などと計算式を思いうかべなければならず、しかも当時の電卓は「計算式とおり」ではありませんでしたから、それよりもカーソルをあわせるだけで 簡単に求められる「計算尺」のほうが便利でした。

退職した現在でも 頭の中に「計算尺」が浮かびます。計算尺の「D尺」の中央は「ほぼ 3.16」これは常用対数で「0.5」ですから便利なんです。

ユーザーID:5846895544
 
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