素数はいくつあるのでしょうか?

二千年以上前に証明されている事項です

素数が無数に存在することの証明
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%8C%E7%84%A1%E6%95%B0%E3%81%AB%E5%AD%98%E5%9C%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E

ユーザーID：5925042366

無限にあることが既に証明されてます。
詳しくはその手の専門書、あるいは『お任せ！数学屋さん』『青の数学』等の数学小説を。

ユーザーID：9735293350

下記のテキストに、分かり易い８種類の証明が載っています。

素数の世界(その探索と発見)　共立出版（株）

興味があれば、お読みください。

ユーザーID：4884425751

紀元前３世紀頃（だったかな？）、アレクサンドリアのエウクレイデス（ユークリッド）が
証明しています。

ユーザーID：2684534356

いい質問だとおもいます。

ユーザーID：5225812048

なぜ有限と考えたのでしょう？

仮に有限だとしましょう。
すべての素数を乗じて１を加えた数を考えます。

この数は、どの素数でも割り切れません。
また、どの素数より大きい数となり
乗じた素数とは異なる別の素数となります。

これは仮定と矛盾します。
つまり素数は無限に存在します。

ユーザーID：2781854999

その答えを見つけたらノーベル賞をもらえると思います。
ちなみに
10までには4つ
100までに25
1000までに168
10000までに1229
1億までに5761455
あるそうです

ユーザーID：1149520634

素数の数を示すことがきたら、きっとフィールズ賞が取れますよ！

ユーザーID：3091961575

153コです。

嘘です。知ってる人はいませんよ。

ユーザーID：3035108265

以下、素数が p_1,p_2,…,p_n の有限個であるとして矛盾を導きます。
(p_1×p_2×…×p_n) + 1 について、
明らかにp_1,p_2,…,p_nのいずれでも割り切れないので、実は素数である。
ところで、これはあらかじめ素数をすべて書き出しておいた p_1,p_2,…,p_n
に含まれないので矛盾が生じた。

▲ 素数は無限に存在する。

ユーザーID：5529094807

トピ主さんにとって「ある」の意味が「見えるもの」「ちゃんと例示できるもの」ということなら４９個です。
今年、発見されました。
２千万桁を超えています。
９桁が億単位ですから想像もできないくらい大きな数字です。

目には見えないけど存在が証明されている素数なら「無数」というのが答えです。
数学的には何世紀も前に証明されています。
ただ、出現パタンが発見されていないので、見つけ出すのが大変。

そんなバカでかい素数見つけて何かの役に立つのかよ！と笑って見ていたのですが、暗号化技術に素数が使われているので、新発見は十分意味があるそうです。

ユーザーID：3755578253

無限にあるつまりいくら見つけても見つかるということです。
でも教科書にある証明はむかしアルキメデスというひとが見つけた証明なので
いまではべつの証明もあるそうです。
でもどれも大きな数が無限個あるのを前提としていて、ベルクというひとの説では
それは太陽はひとつなのに毎日ちがう太陽がみられるのと同じなんだそうです。

ユーザーID：8051289982

無限にあります

ユーザーID：4816210251

数字が無限にある場合、素数も無限にあります。

古代ギリシャ時代に証明されています。

素数は、ＰＣ関係の暗号に使われていて研究も盛んです。

ユーザーID：6820755963

素数は無限にあります。

ユーザーID：9750461543

数は無限では？

ユーザーID：2043464636

無数にあるのでは無かったですか？

2の74207281乗 − 1が、今見つかっている最大の素数だった気がします。

ユーザーID：2126796764

無限です。
リーマン予想とか、懸賞金額がかけられた証明とかあるのですよ。
それも、かなりの高額です。

ユーザーID：4891109377

もし最大の素数Aがあったとすると、Aより大きな数字は素数ではないので、
これまで出てきたいずれかの素数で必ず割れるはずです。

ここで、それまでの素数を全部掛けて1足した数字を作ります。

2＊3＊5＊7＊・・・＊A+1

この数はAより大きいにもかかわらず、どの素数でも割ることができません。
よって、「素数」になってしまいます。

というわけで、最大の素数Aが存在すると矛盾が生じるので、
そんなものはない＝無限大に素数が存在します。

ユーザーID：5255078717

数は無限にあるので、素数も無限にあるのですが・・・・。
でも“証明”の仕方が全く思い浮かびません。

ユーザーID：1264074173

素数が、いくつあるか。

知っている人って、この世に居るのかな〜。居れば、会ってみたい。
素数に惹かれる人は、たくさん居ると思います。

永遠の不思議ですよね。

ユーザーID：7050612621

数に限りがないように、素数にも限りがないのでは？

ユーザーID：1567148664

素数は沢山あって、無限にあります。素数は無限にあるのですが、その濃さ（＝無限にある素数の濃さ）は、無限にある自然数の濃さより薄いです。

濃さ同士の比較をしようとすると一気に難しくなってくるんじゃなかったかなぁ。

ユーザーID：5009841505

整数が無限個あるので、素数も無限個あるのではないでしょうか。
証明されているかどうかはあいにく存じ上げませんが、ネットで調べれば分かると思います。

ユーザーID：3868874468

素数は無限に存在することをエクレデウス先生が背理法で証明なさってますね。

もし素数が有限個しかないとすると、全ての素数を掛け合わせたものに１を足した数はどの素数で割っても１余る、つまり割り切れないので新たな素数であって、しかもこの数は有限個しかないと仮定した最大の素数より大きいので「素数が有限個」の仮定に矛盾する、と。

ユーザーID：2542206694

無限にあるのでは？

『100より小さい素数』とか『○桁までの』と範囲を限定すればいくつあるか特定できるのでしょうが、大きい数になると桁を増やせば無限にあるわけですよね。

最大の素数が発見されたといってはニュースになってました。
とんでもない桁数らしいです。

ユーザーID：1036475221

範囲を絞って考えてみてはどうでしょうか。

たとえば１００００までなら素数は１２００個台です。

ユーザーID：4017828770

・素数は無限にあります。

ユーザーID：2406021335

仮に素数の数が有限とすると、全ての素数を掛け合わせた数に1を足します。
全ての素数を掛けているわけですから、その数字は素数でないはずです。
しかし素数でない数は、必ずある素数で割り切れるはずです。
でもどの素数で割っても必ず1余るわけですので、その数字で割り切れる別の素数が存在しないといけません。もしくはその数字が素数となります。

そうするとその新たな素数を追加して掛け合わせて1を足した数字はどうなるか？
これを繰り返すことになり、結局どんどん新しい素数が出てきます。

ユーザーID：8994713278

ネットで検索すれば、調べられることですが・・・

「素数の個数関数」（指定された値 n 以下の素数の数）を計算するには、
実際に素数を数えるより高速な公式が存在する。この公式を使って、
１０の２３乗以下に 1,925,320,391,606,803,968,923個 (約 2×１０の２１乗個)の素数があると計算された。

また別の計算によると、もしリーマン予想が真であれば、
１０の２４乗以下に 18,435,599,767,349,200,867,866個(約 2×１０の２２乗個) の素数が存在する。

らしいです。

ユーザーID：6082907282