×÷ > +− なのはなぜ?(暇)

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高校理科教師

数式の計算では,×÷+−が混在しているとき,×÷を先に計算することになっていますが,なぜそういう規則ができたのでしょうか.


たとえば,xが省略されている場合はその乗算を優先するというのは,見た目からも自然な感じがします(例:「3a + 2」は,「3a と 2の和」と読むのが分かりやすい.「(a + 2)の3倍と読むのは不自然).ですから,そういう規則も納得できます.

しかし,3+2×5を (3+2)×5と読んでも,不自然な感じはしません(ですから,小学校で×優先が徹底的に叩き込まれるのでしょう).+−優先で優先順位を定めても,不都合はないような気がします.どういう理由で,×÷優先ということになったのでしょうか?

別のトピを見ていて思いついた疑問です.そのトピへのレスのなかでもこのことへの言及があり,それにレスする形でお尋ねしようかとも思ったのですが,横ズレしすぎのような気がしましたので,別にトピを立てさせていただきました.ご存知の方,ご教示ください.

なお,優先順位の規則が必要なことは承知しています.
また,乗除優先で特に不都合がないことも承知しています.
この2点に異議を称えているわけではありません.乗除記号優先という規則ができた理由を好奇心で知りたいと思っただけです.

ユーザーID:1086934005

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  • 算数と数学の違い

    私の考えである事をお断りしておきます。

    まず、算数と数学は違います。

    数学には、×÷の概念はありますが、+−の概念はありません。

    (私が勉強した限りでの話です。)

    例えば、20を、1×20、2×10、4×5、5×4、10×2、20×1と表現するのには、数学的意味がありますが、1+19、2+18、・・・、と表現するのに数学的意味はありません。

    要するに、20と2×10は、数学的には同じであるので、×÷を先に計算するべきです。

    (2×10と10×2の違いを探求する分野もあったと思いますが、そこまでは、もう憶えていません。)

    どうでしょうか。

    数学の専門の方が回答して頂けたら私もうれしく思います。

    ユーザーID:5605192134

  • 多項式で便利だからでは

    代数で多項式をよく使うからだと思います。

    多項式は ax^3+bx^2+cx+d といった各項を足す形であり,各項はかけ算や分数が多く使われるので,かけ算・わり算に括弧を付けずにすむ方がごちゃごちゃしないのです。

    まあ,プログラミング言語によっては演算子の優先順位がなく常に左からというものもありますが…。

    ところで演算記号を常に最後に書くRPN(逆ポーランド記法)を使うと演算子の優先順位は決めなくていいのです。たとえば通常

    3+2×5

    と書くところをRPNだと

    3 2 5×+

    と書き,

    (3+2)×5



    3 2+5×

    という書き方をします(空白で数字の区切りを表しています)。これだと「3と2を足して5をかける」のように日本語にそのままあてはまり,この方式の電卓では括弧キーも=キーも不要で便利なので愛用しています。

    ユーザーID:3737841968

  • 勝手に想像

    思いついただけですけれど、2+3×5は英語だとtwo plus three times fiveですよね。

    three times fiveは「5が3回」って意味ですよね。「何回」は独立して考えがちだからでは。

    だから×とついでに÷も優先にしたのかも??

    ユーザーID:4273972559

  • こういうこともある?

    私も同じこと思ってました。数学に詳しい人のレスを期待です。トピ主さん、同僚の数学の先生に聞いてみたら?

    それで、あらためて考えてみると乗除優先でないと都合が悪くなるんじゃないでしょうか。

    たとえば、2=2*1ですよね。この両辺の右側にそれぞれ1を加えると、2+1=2*1+1となります。ここで加減優先の規則を採用すると、右辺では(1+1)が優先されますから、2*1+1=2*2=4になります。左辺は3ですから、3=4になってしまい、これは明らかに不合理です。

    また除算でも同じようなことが起こります。2=2÷1ですから、両辺の右側にそれぞれ1を加えると、2+1=2÷1+1になります。この場合も加減優先の規則を採用すると右辺では(1+1)が優先されますから、2÷1+1=2÷2=1になります。左辺は3ですから、ここでも3=1という不合理なことになります。

    ということで、やはり乗除優先を規則とする必要があるんじゃないでしょうか。

    ユーザーID:6570413943

  • 世界共通

    数式は世界共通ですから、たぶん歴史的な背景があり、現代の国連の現在の「ユネスコ」に相当する機関か、数式が考えられた太古の時代からの習慣が現代も続いているのかもしれません。

    私も知らないです。しかし電卓の機種によっては 答え が違ってしまうのは不便でして、概算で暗算した値と電卓の値が似ているかの確認をしています。

    それにしても、世界共通の数式計算の規則を、小学生で教えていただけるなんてありがたいことです。子供のころから「国際人」になれた気分ですから。

    ユーザーID:4250813266

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  • 計算結果が変わるからです

    普通に計算すると1-1-1+1X5=4ですよね
    加減を先にすると0になってしまいます

    高校理科教師さんの式を小学生向けに変えると「リンゴが3個あります。その横にリンゴが5個入りの箱が2箱あります。
    リンゴは全部でいくつありますか?」   3+2X5=13  しかし(3+2)X5=25になります。

    最初の私の式でー1を食べたとすると言う問題にすると当然結果は一目瞭然
    最後の+1をー1と入れ替えると答えはー4。 高校理科教師さん方法なら0のまま

    乗除を先にする不都合はなくても加減を先にすると負の数値を扱うとき不都合が生じます。

    ユーザーID:9276418288

  • 数学上の国際ルール

    ×÷が優先されるのは、大昔からある数学上の国際ルールだったと記憶しています。

    通常は、計算の主体となる×÷が先に書かれているので気になりませんね。

    ユーザーID:2013228157

  • たとえば、

    買い物を考えて見れば納得しませんか。最初から算数があった訳では、無いと思いますが?。

    ユーザーID:5755446440

  • 考えてみた

    掛け算は同じ数の複数回の足し算になってますよね。

    2X5 = 2+2+2+2+2
    って具合に。

    3+2X5 = 3+2+2+2+2+2 = 13
    になるので、2X5を先に計算しなければだめですよね。

    誰かがドコかの時点で優先を決めたわけではなくて、
    掛け算割り算が出来たときに、既にこういう順番だってなってたんじゃないですかね?

    ユーザーID:0812527112

  • 例えば分り易い数式ですと…

    全ての引き算はマイナスの付加された加法に置き換わりますよね。1ー2=ー1は1+(ー2)=ー1となりますが、
    ー1やー2は敢えて言うならば(ー1)x1や(ー1)x2…と分解出来ます(そもそも全ての数字は1の倍数です)

    ですから、加減法よりも常に乗法を優先していると言っても差し支えありませんよね?

    ユーザーID:0536860825

  • 想像ですが

    元々、乗算は加算の繰り返しを表しているので例えば

    4+4+4+4+4+4+4 → 4×7

    これらが複数組あったとして例えば

    4+4+4+4+4+4+4 → 4×7
    5+5+5+5+5+5 → 5×6
    8+8+8+8 → 8×4
    2+2+2+2+2+2+2+2+2 → 2×9

    それらの総和をとりたい時そのまま書けば

    4×7+5×6+8×4+2×9

    となります。ここから乗法優先が来ているのではないかと思います。

    一旦こう決めると減法は加法の逆演算、除算は乗算の逆演算なので同じレベルとなり
    乗算と除算が加法と減法よりも優先する事になった.....違うかな?

    ユーザーID:0707831410

  • 訂正

    スミマセン!先程の返答内に誤りがありましたので訂正したいです。
    全ての数は〜→全ての整数は〜
    にして下さい。
    他にも不備ございましたら
    お許し願います!

    ユーザーID:0536860825

  • 見落とし

    > たとえば,xが省略されている場合はその乗算を優先するというのは,見た目からも自然な感じがします
    と、おっしゃっていますが、ここで問うべきは「なぜ × が省略されて、+ が省略されなかったのか」ということです。これも乗算を優先していますから、おそらく理由は同じでしょう。

    歴史的な数式の変遷は知りませんが、乗算を優先しないと括弧が増えて大変になりそうな気はします。

    ユーザーID:7284021131

  • 国語力も必要ですね

    かけ算は
    「1あたりの数」×「いくつ分」です。

    ×の記号の前後の数字は上記のような意味がありますので、「1あたりの数」に、先に他の数を加えてはいけないのです。

    数式も文章のようなもので、結構な国語力が必要です。

    ユーザーID:9640996914

  • 私も知りたい

    「話題」カテゴリにある元トピのほうに、私なりの解釈を書き込んでみましたが、圧倒的多数の「ルールだから。以上。」という回答に埋もれてしまい、残念に思っていました。

    理由はまさに「乗除優先で不都合がないから」だと思うのですが、仮に加減優先の記述体系を導入するとなにが起こるのか(どのような不都合が生じる、または我々のよく知る基本的な式変形はどのようになるのか)、興味があります。

    ユーザーID:4800006052

  • え?

    3+ 2 × 5 =13

    (3+2)×5=25

    その式の表す意味を考えましょう。

    ユーザーID:8148295638

  • 実生活において

    加減と乗除のどちらを優先しても数学規則としては矛盾なく定義できます。
    (ついでに言えば、「前から順に」を優先するという方法でもOK)

    では、なぜ乗除を優先すると決めているかというと、(諸説ありますが、)実生活において乗法を優先しその積を加減する計算が多数あるからと言われています。
    つまり「数学的な根拠は特になく、実生活における便宜から定められた」とうのが有力な説です。

    商行為において頻発する「計算」は、単価×数量の積の和を取って合計金額を求めること。
    具体的には、「50円の鉛筆4本と70円の消しゴム3個でいくら」といったときです。

    加減を優先した方が都合が良い式で実生活に現れるのは、
    長方形に縦が2mで、横は途中まで4m、その先は3m。全体の面積は?
    2×4+3 で加減を優先すれば 14平方m。くらいなモンです。

    ユーザーID:5524849377

  • 理科の先生なら細かく説明しなくても伝わると思いますが・・・

    まず、掛け算とは何か?足し算が元に出来た式です。
    たとえば・・・

    3+3=6 これは言い換えると 3が2個 だから 3×2=6

    3+3+3=9 → 3×3=9
    3+3+3+3=12 →3×4=12
    3+3+・・・・以下延々と続くわけです

    式を省略しているのです。

    あなたの式ですと「3 と 2が5個」という意味の式なので 
    3+2+2+2+2+2 → 3+2×5 と書くルールになったのです。
    これを 3+2を先にして 5×5にしてしまったら式の意味が変わってきますね?

    これは、そういうルールにしましょうと決めたのです。
    でなければ、答えが一定になりませんからね。
    割り算も同様です。
    好きな順番で+−×÷をすれば、人によって答えが変わってしまうのですから、計算する意味すらなくなります。
    どんな式でも前から順番に計算していけばいいじゃないか?というとそうもいきませんね?
    そもそも式を書くルールが明確に定義されていないと、人によって書く順番が違ったら答えが変わりますからね。

    それにしても・・・世の中、掛け算がなかったら足し算だらけでしょうね(笑)

    ユーザーID:5826541815

  • さきほどの補足ですが

    先ほどの続きですが

    例題 2×6+3×4 
    本来は12+12=24ですが、
    もし+を先に計算するルールとした場合 
    2×9×4=72 ですね。

    元の式の順番を変えてみましょう。

    6×2+3×4 と、最初の掛け算の前後入れ替えてみました。
    本来の計算方法なら答えは変わりません。
    でも+を先にすると
    6×5×4=120 ですね。

    数字を入れ替えただけで解が安定しませんね?
    複雑な式になれば解がどれほどあるか・・・解の数を求めるための計算が必要になりますね。
    いやそもそも、それがあっているかを誰が決めるのか?

    最初のレスでも書いたように+−を先にするルールにしたら、式を書く順番が重要ということになります。
    こうなると、数学がもっと難しい学問になっていたかもしれません。
    もうそうなったら文法に近いですね。
    誰が解いても、誰が書いても、解が同じになることが重要ですから、順番が違うだけで解が変わってしまっては困ります。
    こういった矛盾点などを考慮して、×÷を先にしようというルールになったのでしょう。
    さらにはカッコを使ったりさまざまな計算方法が出来たんだと思います。

    ユーザーID:5826541815

  • 推測ですが

    「×÷の結果を(全て)+−する」という計算の方が
    「+−の結果を(全て)×÷する」という計算よりも
    出現頻度が高いのではと思います。


    1. 100円のノートを3冊と、50円の鉛筆を10本を買うと代金は
      100×3 と 50×10 の結果を +して 800円。

    2. 一辺5mの正方形と 1辺10mの正方形からなる土地の面積は
      5×5 と 10×10 の結果を +して 125平方メートル。 

    なので、 ×÷が先で+−は後なのだと思います。

    優先順位が逆だったらカッコだらけの式になって面倒だと思います。

    ユーザーID:0423066238

  • 素人の推測

    乗算の交換則が使えなくなるからじゃないですか。

    3+7−5x3  これの5と3を入れ替えたら答え変わっちゃいますよね。

    ユーザーID:2281551028

  • 脱線気味ですが

    > 3+2×5を (3+2)×5と読んでも,不自然な感じはしません

    算数・数学は世界共通語だと理解しています。

    「2人ずつ腰掛けることのできる椅子が5台しかなく満席だったので、他の3人は立っていた」ときの総人数を主さんはどのような式で表しますか。

    ユーザーID:9901660883

  • レスします

    乗除優先にした方が、都合が良い事が多いからです。

    3×4と云う事は、3を4回たす事(つまり 3+3+3+3 )です。
    もう一度言うと、(×)の前にある数字を後にある数字の回数たすと云う事です。
    (これ、掛け算の定義です。)

    例えば、3+2×5 と云う式で考えてみましょう。
    上記の説明で云うと此れは、3+2+2+2+2+2=13 と云う意味です。
    足し算を先にすると、 5+5+5+5+5=25 となって掛け算の定義に反します。

    トビ文に有る様に( )で優先順位を決めても良いのですが、
    中学高校になって、べき数、三角関数、微分席分等が出てくると
    ( )が多くなりすぎて、何の式か解らなくなります。

    「乗除優先で特に不都合がない」では無く、
    「加減優先では不都合が起きる場合がある」のです。

    又、加減乗除があるのは小学校で学ぶ「算数」の世界までです。
    中学校以上の「数学」の世界では、「加」と「乗」しかありません。
    「除」は逆数を乗ずる事で、「減」はマイナスを加える事になります。

    ユーザーID:3953984703

  • ああ!聞いたのに忘れちゃった!だれか〜

    それそれ!学生時代、授業で聞いたことあります!でももう30年も昔のこと!忘れてしまった!
    もしかしたら小学生の時通っていた塾で聞いたのかもしれません。超難関校専門の塾だったので。
    でも!算数の必要ない生活を30年続けているとすっかり忘れてしまいました。
    だれか〜!思い出して!
    とにかく、先生がさらっとすごくわかりやすく説明してくれて、「ああ、だからか」と納得したときの感覚だけ覚えてます。つまり、小学生でもすんなり飲み込める理由だったんだと思います。

    ユーザーID:9730847355

  • 考えてみました

    「乗除よりも加減が優先する」ルールを考えてみました。

    このルールの下では、
    ax+by+c=d
    は、現行ルールでいう
    a(x+b)(y+c)=d
    という意味になり、左辺は因数分解された状態であらわされているということになります。

    因数分解はいつもできるとは限らない(範囲を複素数まで拡張すれば別ですが、中学前半までの履修範囲では無理)ので、このルールだと表現できない式が多数存在してしまいます。

    逃げ道としては、
    (ax)+(by)+c=d
    と必ずカッコをつければよいのですが、それだとこのルールの意味がないですよね。

    ユーザーID:4800006052

  • 文字式にしたとき

    1+2×3 (1+2)×3 1-2÷3 (1-2)÷3
    の1 2 3 の場所に文字を当てはめます。
    a+bc c(a+b) a-b/c (a-b)/c

    掛け算の部分が一つの数(値)として表現されますよね。分数の形で表される割り算も一つの値。
    中学で文字式を習ったとき、ああ そんで加減乗除は乗除が優先なのね〜と思いました。

    これで納得できない人もゴマンといらっしゃるでしょう。

    とても賢い人なのに海外旅行の際のレートの計算ができない知人がいます。計算機でポンッと提示すると、分かってる分かってるけど気持ち悪いんよと言います。

    私は円周率3.14が胡散臭くて嫌でした、πと言われた方が安心できる感じ、だから算数は苦手で数学の方が好き、でも数2以降は謎…という文系人間です。
    納得できない規則って、そういうもんやからと飲み込むしかないんですよね。あー飲み込みたくない!と思いながら取り組む、だから文系なんだなと思います。

    ちなみに子供の水筒カバーを作ろうと型紙をひいて、円周率は3.14だよと納得できました。

    ユーザーID:3050421554

  • どっちだっていいんですよ

    数学ってのは公理を絶対的に正しいものと認めたら、そこからどう論理を発展できるかと言うゲームですから、皆が合意する記述方法があれば、それを採用するだけです。

    歴史的経緯は知りませんが、現在広く採用されている記述方法がたまたま剰余優先で左から右に向かって結合すると合意されているだけです。これを加減優先、右から左に向かって結合と約束するなら、そう書けばよいだけのことです(後者は特に右から左へ向かう横書きが一般的だったら、そうなった可能性はあります)。

    数学では加減は無意味とかの訳の判らない書込みがありますが、全く意味をなしていません。

    またkonkanipeさんの
    2=2*1 → 2+1=2*1+1の例は乗法優先にしないと不合理ですが
    3=2+1 → 3*4=2+1*4では加法優先にしないと不合理です。

    繰り返すと、剰余優先でも加減優先でも、皆(或いは当事者同士)が合意していれば、どんな記述方法でも構いません。上では「*」を乗算の記号として使いましたが、これは多くのコンピュータ言語で(文字セットの都合上)そういう約束になっていて皆が合意しているからで、「×」でも「・」でも何でもよいのです。

    ユーザーID:8860736604

  • ん〜・・・さんへ

    現行ルールでは 2×6+3×4 を 6×2+3×4 と書き換えても式の値は変わらないが
    加減優先ルールでは値が変わってしまうので不都合、とのご指摘ですが、

    「加減優先」の世界では 2×6+3×4 は 2×(6+3)×4 の意なので
    2×(3+6)×4 や 4×(6+3)×2 等に書き換えることが可能です。
    (この場合、現行ルールでは 2×6+3×4 を 2×3+6×4 に変えてしまうと値が変わる)

    すなわち、この式においては、乗除優先でも加減優先でも可換性の優劣はないといえるのでは。



    本来は12+12=24ですが、
    もし+を先に計算するルールとした場合 
    2×9×4=72 ですね。

    元の式の順番を変えてみましょう。

    6×2+3×4 と、最初の掛け算の前後入れ替えてみました。
    本来の計算方法なら答えは変わりません。
    でも+を先にすると
    6×5×4=120 ですね。

    ユーザーID:4800006052

  • 「初めに結論ありき」的レスが多い…

     甚だ非礼ながら,大半のレスに関して表題のような印象です.つまり「”乗除先行が当然”と思い込んでいるから,『加減先行』等ではおかしな事になるように見えるのだ」と私には思える次第です.もし「何算であろうと関係なく左から順に計算する」なる規則を自然の事として受け入れていれば,「3+2×5=13」のような結果がおかしく思える筈だと考えられます(”25”にならなければならない).
     仮に上述のルールであったとしても,本質的には何も不都合はない筈です.もし2×5を先に計算させたければ「3+(2×5)」か「2×5+3」と表記すればよいだけの話ですから.私見では,誰かがたまたま「乗除先行のルールを設定すれば都合がいい」と思ってそれを提唱し,結果的に受け入れられたというだけの事だと考えております.

     それにしても「3+(2×5)=13」の()を省略できることでどれだけの恩恵に浴せているか,合理的な説明はなかなか難しいような気が致します.「掛け算割り算を先に」という規則を覚えるのと,「左から順に,を変更する時は必ず()を付ける」というのとどちらが面倒か,という話に過ぎないように思えますが….

    ユーザーID:1402452560

  • いつ決まったんですかね

     算数臨時講師さんが紹介されている回答は、私もこのトピを見た後で検索して見ていたのですが、ベストアンサーとされている回答は、私には

     AはBである。なぜならAはBだから

    ということを遠回しに言っているとしか思えませんでした。ただし、分配法則の展開式を括弧に使わずに表現できるのがスマートであるということを理由とするなら、それで良いのですが。

     でも、+を×に優先すると、分配法則の展開前の式を括弧を使わずに書けるんですよね。

     ここでこのようにして決まったという説明があると、なるほど!となるんですけどね。

    ユーザーID:3972791397

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