交換法則ってなんですか?

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piyoko

かけざんの交換法則
 2×3=3×2
って証明が必要なことですよね?

おともだちに「あたりまえじゃん」といわれたのですが、あたりまえでしょうか?

数学のできるつもりの夫にきいたら「そもそも自然数というのはピアノの定理で…」という
はなしがはじまって「じゃあ証明がいるんだよね?」ってきいたら
「厳密にはいるけど、小学校の証明はまちがい」っていうんですが
その根拠をただしても「ピアノの公理」になっちゃうんです。
ピアノの公理と小学校の算数はどういう関係なの?ってきいても
にえきれないことを答えるばかりで、とうとう喧嘩になってしまいました(泣)。

夫は理系で◯大工学部卒。数学が得意なつもりでいるようですが
このあいだ大学時代の成績表をみせてもらったらCでした。なので
わかったつもりでいるだけじゃないかとうたがってます。

よろしくお願いします。

ユーザーID:2059647772

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  • ピアノの公理ってなに?

    なんだかわからん!

    2×3と3×2は違うと、指導者に叱られました。
    (例)まんじゅう2個入りの袋が3袋がありました。まんじゅうは幾つでしょう。
    2×3…まんじゅう2個入の袋が3袋
    3×2…まんじゅう3袋のまとまりが2つ

    と言う意味だから不正解なんだそうで。
    どこから「3袋のまとまり」が出てくるんだ、数字は2と3しかないのにと混乱。

    日本の教科書会社の算数的には

    一つ分の数×いくつぶん=全部の数
    (まとまりの数)

    の式の順序なんですって。

    意味わかんない…だから嫌いなのよね〜算数。

    ユーザーID:3231328143

  • ペアノの公理です

    ペアノの公理は自然数とはどんなものかを定めたものです。で、公理とは何かというと、数学におけるルールを定めたものです。この場合ルールは矛盾なく定められておればよく、したがって例えばペアノの公理と両立しない別の公理を定めても構いません。要はどんな公理を採用するかを決めて、その公理から論理的にどんな定理が導かれるかを研究するのが数学という学問です。その点、どんな基本法則が成り立っているかを実験によって確認する必要のある他の自然科学とは異なります。

    ペアノの公理が唯一の選択ではないけど、ペアノの公理と同等な自然数の体系を含めた公理系であるZF公理系もしくはそれに選択公理というのを含めたZFC公理系というのが現代数学では採用されています。なお、ペアノの公理から導かれる定理の方を公理として採用するとペアノの公理のほうが定理となります。

    で、ペアノの公理だけでは自然数の足し算の交換則は導けません。まず足し算を定義してやらないと。しかし、ご主人は説明するのが面倒くさいだけだと思います。現に私も定理と公理の説明だけで文字数が一杯になってしまった。

    ユーザーID:0326041351

  • 小学生に教えるのは反対(面倒くさい)

    ペアノの公理より数学的帰納法は正しい(^の後は上付き文字)

    (補題)0でない任意の自然数nに対してφの合成写像φ^nが一意的に存在して次が成り立つ。
    n = φ^n(0)

    (証明)数学的帰納法を使うためにこれを「任意の自然数nに対してφ(n)で定まるφの合成写像φ^{φ(n)}が一意的に存在してφ(n) = φ^{φ(n)}(0)が成り立つ」と書き換える。n = 0のとき
    φ(0) = φ^{φ(n)}(0) = φ(0)
    よりφ(φ(0))=φである。n∈Nに対して
    φ(n)=φ^{φ(n)}(0)
    と仮定すると、
    φ(φ(n))=φ(φ(n)^{φ(n)}(0))
    であり、φ^{φ(φ(n))} = φ・φ^{φ(n)}となることがわかる。したがって数学的帰納法により証明された。

    φ^0を恒等写像N→Nと定義すると任意の自然数nに対してn=n(0)と考えることができる。

    (定理) 任意の自然数a,b∈Nに対して、それらの加法を
    a + b ■ φ^a・φ^b(0)
    により定義すると
    任意の二元a,b∈Nについて、a+b=b+a

    (証明)上記合成写像の定義より。

    ユーザーID:0326041351

  • 多分ですが

    交換法則が成り立たないとしたら掛け算の単位元だある1をかけても元の数にならないとか1は1ではないとか言うおかしな結果になるので交換法則が成り立たないとしたことが間違いであり、すなわち交換法則が成り立たつということが証明されると思いますよ。

    ユーザーID:9635627975

  • 大学できちんと勉強してください。

    小学校から高校まで,数の厳密な定義と証明をせずに,経験的に成立することを理解して算数,数学,理科,物理等を勉強します。

    ペアノの公理の厳密な内容は,きちんとした数学の素地がないと理解できません。
    この場所で聞くべき内容ではありません。
    知りたければ,インターネットでいくらでも検索できます。
    検索して読んでみましたか?
    もしそれが理解できないのであれば,ここでいくら聞いても,無理です。

    浅田真央さんの4回転ジャンプをすごいなーとテレビで見るのと,実際にやるのとの違いみたいなものです。
    ピカソの絵に感動しますが,同じような絵を描くには,血のにじむような努力を長い年月継続する必要があります。
    数学についても同じような基礎を積み重ねていく必要があります。ぜひ,大学の数学科に合格してから勉強してください。

    そもそも,掛け算の交換法則の証明が分からないとおっしゃっていますが,足し算の交換法則の証明は分かるのでしょうか。そのあたりがあいまいなようですから,こんなところで聞かずに,大学の数学科に合格してから自分で勉強してください。

    ユーザーID:4410814577

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  • 公理とは

    数学では、いくつかの公理を置いて公理から演繹して定理を証明します。
    公理は所与のもので証明する対象ではありません。掛け算、足し算の交換則は公理なので、証明は不要です。
    なお、ピアノ云々は聞いたことがありません。

    ユーザーID:2205219831

  • 工学部では・・・

    よっぽど真面目な学生でない限りペアノの公理や自然数の基本的な定理(交換法則とか)についてしっかり説明・証明できないでしょうね。
    (ピアノではなくてペアノです)

    ペアノの公理は、自然数とはどんなものかを定義づけているのですが、
    簡単にいえば、
    ・1は自然数
    ・自然数の次の数も自然数
    ・ある自然数の次の数と、別の自然数の次の数は同じではない
    ・自然数の世界では数学的帰納法が成立する
    ってことを定式化しています。

    さらに、自然数の加法が定義されていて
    ・自然数に1を足すとその自然数の次の数になる。
    ・自然数Aに1以外の自然数Bを加えるとは、その加える自然数Bを次の数とする自然数CをAに加えてさらに1を加えることである。
    ということが、定式化されています。

    このペアノの公理と加法の定義を使えば交換法則は証明できますが最低「数学の得意な高校生」くらいでないと理解できないでしょう。

    小学生の算数の問題で、
    ・次の三角形と同じものを選びなさい
    といった問題で三角形の合同条件を用いず「これとこれが同じ!」で済ましているのと同じで、教育的には妥当です。

    ユーザーID:3400551888

  • 追伸・・

    ちなみに、「小学校での証明」ってのがどんなものか知らないけど、
    証明だとするなら「まぁ、正直いって、児童・生徒をケムに巻いたウサンクサイもの」でしょう。
    だって、証明に必要な道具が与えられていないんですから。(三角形でいえば、合同条件とか)

    実際に教科書に書いてあるのは、証明ではなくて「交換法則の説明」でしょう。
    説明なら、厳密性は欠けても気持ちに訴えかけ理解を促すモノになってるでしょうから、それは「間違い」ではなく、「厳密ではない」という風に表現すべきです。

    −−
    高校生では極限ってのを習いますが、Xが1に近づくとき、X+1が2に近づくこと、式で書けば
    Lim(X→1){X+1}=2
    を高校数学の範囲では証明できません。
    だって、証明に必要な道具(実数の定義や実数の加法の定義、実数の連続性の公理など)を与えていないからね。
    それでも大学の入試では平気で、極限の問題を解いていますよね。

    交換法則の証明は、それともおんなじなんです。

    ユーザーID:3400551888

  • 数学は得意じゃないけど・・・

    2×3=3×2
    これに証明はいらないような気がします。
    2も3も自然数(ペアノの公理)
    公理は証明がいらず事実として使える事柄だから証明不要。
    2×3=6(積の定義)
    3×2=6(積の定義)
    定義はルール、決め事であるから証明の対象外。
    それらしく書くことができるというだけで証明という程ではない。

    問題は
    a×b=b×a
    これは証明が必要だと思います。
    a、bがペアノが定義した自然数だと条件付けされていれば、数学的帰納法で証明すればいい。
    aやbが行列やベクトルを表している場合は積の交換法則は成り立ちません。
    ただ小学校には「習ったことしか使ってはいけない」というルールがあるので、数学的帰納法による証明は正しい。
    彼氏は小学校ルールを無視して、小学校の交換法則は間違っていると言っている。
    ただ彼が証明の要不要を濁すのは、aやbは、実社会において行列であったりベクトルの外積である可能性は殆ど無く、改めてトピ主が証明したところで、実社会では役に立たないのだから、殊更目くじらを立てる必要は無いと言っているのだと思いますよ。

    ユーザーID:9838163697

  • 証明のあらすじ

    ペアノで定式化する次の数を指定する後継関数をS(n)とします。
    このとき加法の定義は、
    m+1=s(m)
    m+s(n)=s(m+n)
    です。
    また乗法の定義は、
    m*1=m
    m*s(n)=m*n+n
    です。



    乗法の交換法則の証明のあらすじは、
    m+1=1+m であることを数学的帰納法で証明する。  (*1)・・ここだけ下に記載。他は略。
    次にそれを用いて
    m+n=n+m であることを数学的帰納法で証明する。
    次に
    m*1=1*m であることは乗法の定義から明らかなんだけど
    m*n=n*m であることは上記の証明済みの事項と数学的帰納法で証明する。


    (*1)だけ示すと、
    m=1のときは明らか。
    mで与式が成立すると仮定して
    s(m)+1
    =s(s(m)) <加法の定義>
    =s(m+1)  <加法の定義>
    =s(1+m)  <帰納法の仮定>
    =1+s(m)  <加法の定義>
    となり、数学的帰納法に従い、任意の自然数について与式(m+1=1+m)が成り立つ。

    以下、数学の得意な高校生なら乗法の交換法則の証明ができます。

    ユーザーID:3400551888

  • 数学は「あたりまえ」なことも証明する

    2×3 は 2+2+2
    3×2 は 3+3

    これが、なぜ等しくなるのかは、証明が必要ですよね。
    (交換法則って、中学校で習ったように思いますが、証明は忘れました)

    でも、九九を暗記した時点で、2×3=3×2 4×5=5×4 6×3=3×6 って、あたりまえに気がつきます。だから、お友達は「あたりまえ」と言ったのでしょう。

    数学という学問で扱うには証明が必要です。でも、実用としては、「あたりまえ」(経験値で正しい)と言うのでも良いのではないでしょうか。


    数学では、先に経験値(あたりまえ)があってから、その証明がされる場合もあります。

    古代の人も、三角形の3辺の比率を3:4:5で作れば、直角が作れると知っていたようです。これを数学で証明したのがピタゴラスの定義ですよね。

    奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 奇数×偶数=偶数 も、九九をそらんじれば、そうなっていることが自然とわかります。でも、これの証明も中学校で習いました。

    逆に言うと、「あたりまえ」なことをキチンと証明したり定義するのが、数学の始まりだと思います。

    ユーザーID:8138701032

  • そうですよね!

    算数キライさんちょっとまちがってますよ〜。直しました。

    (例)まんじゅう2個入りの袋が3袋がありました。まんじゅうは幾つでしょう。
    2×3…まんじゅう2個入の袋が3袋
    3×2…まんじゅう3個入の袋が2つ

    なので意味はちがいますよね。

     2×3…まんじゅう2個入の袋が3袋 なので おまんじゅうの数は 2×3=2+2+2

     3×2…まんじゅう3個入の袋が2つ なので おまんじゅうの数は 3×2=3+3

    なので

     2×3=3×2

    は証明しなくちゃだめなことですよね?

    なので、おまんじゅうを長方形にならべて比べて証明します。

    これでいいんじゃないの?ピアノの定理なんて使ってないです。

    ユーザーID:2059647772

  • トピ主のコメント(2件)全て見る
  • あたり前だし証明も試みてみました

    1.「あたり前」の説明
    ●の個数を数えます。

    ●●●
    ●●●

    (1)縦に2個の3倍と見て 2個×3 = 6個。
    (2)横に3個の2倍と見て 3個×2 = 6個。
    (3)どちらで計算しても、事実は6個で同じ。

    2.証明
    自然数の掛け算の交換法則の証明を試みます。

    掛け算の分配法則と足し算の交換法則は前提とする。

    (1) n, m までの任意の自然数について
    n × m = m × n
    が成立すると仮定すると
    ・(n + 1) × m = n × m + m = m × n + m = m × (n + 1)
    ・ n × (m + 1) = n × m + n = m × n + n = (m + 1) × n
    ・(n + 1) × (m + 1)= n × m + n + m + 1 = m × n + m + n + 1 =( m + 1) × (n + 1)
    上記の通り、 n + 1, m + 1までについても成立。
    (2)n,m が0の時、 0 × 0 = 0 × 0 (=0)は自明に成立。
    (3)数学的帰納法により証明された。
    ※文献は確認してませんので間違いはあるかも

    ユーザーID:9543151758

  • 小学生の時に習ったのは

    ・・・・・・
    ・・・・・・
    ・・・・・・

    上の点を縦列で括れば3個の点が6列で3×6
    横列で括れば6個の点が3列で6×3
    答えはどちらも18ですね。
    なので、3×6=6×3=18
    と小学生の時には習った気がします。
    小学生向けにはこの程度の説明で良いかと思いますが?

    ユーザーID:9795051156

  • 既に証明されている事

    2×3=3×2が、ある条件下では成立している事は既に証明済み。
    地球が球体であることは証明済み。
    通常の生活の中で地球が球体であることをいちいち証明する必要がありますか?
    証明して見せてと言われたら、超絶面倒臭いヤツと思いませんか?

    知的興味を持って証明していく事は悪いことじゃない。
    でも、一般的な生活において、証明が必要かと問われれば必要ない事がほとんど。

    彼氏は2×3じゃなくて、a×b=b×aをイメージしたのでしょう。
    ペアノの公理は超簡単に言えば自然数の定義。
    abが自然数なら掛け算の交換法則は成立することが証明されている。
    でもabが自然数以外も含むなら、成立しない場合が存在することも証明されている。
    これをあなたに証明して見せるのは超絶メンドいから彼は言葉を濁すのだと思います。

    犬が桃太朗にキビ団子3個入りを2袋という報酬で契約。
    鬼ヶ島で活躍したんでボーナス要求。
    桃太朗がじゃあ一袋増やそうということで、2個入りを3袋にしてあげた。
    犬は一袋増えたので大喜び・・・なんて騙されないように知識として知っておけば良い事は沢山あります。

    ユーザーID:7509672856

  • チュン夫さんのレス、すごい!!!

    >数学は「あたりまえ」なことも証明する 2017年5月29日14:42

    すばらしいレスですね〜!!
    わたしもそういうことだと思います!
    感動したので大事な部分をコピペして私なりに再構成(と加筆)しました。

    -------------------------------------------

     数学では、先に経験値(あたりまえ)があってから、その証明がされる場合もあります。

      2×3 は 2+2+2
      3×2 は 3+3

     これが、なぜ等しくなるのかは、証明が必要ですよね。

     奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 奇数×偶数=偶数 も、九九をそらんじれば、
     そうなっていることが自然とわかります。でも、これの証明も中学校で習いました。

     逆に言うと、「あたりまえ」なことをキチンと証明したり定義するのが、数学の始まりだと思います。

     そして算数には数学の始まりの考え方がふくまれています。

    -------------------------------------------

    なので、ペアノの公理でとしか説明できないひとは「数学がわかっていない」と思います!!

    ユーザーID:1188236777

  • 思い出した

    小学校の頃、これがどうしても理解出来ませんでした

    まんじゅう2個入りの袋が3つあります   2x3
    まんじゅうの袋が3つあり、それぞれに2つずつ入ってます  3x2

    どうして袋が先にしてはいけないのか、小学校の時にどうしても理解出来なかったのを思い出しました

    ユーザーID:6655667986

  • ノアの箱舟さん

    2×3=3×2が、ある条件下では成立している事は既に証明済み。
    地球が球体であることは証明済み。
    通常の生活の中で地球が球体であることをいちいち証明する必要がありますか?
    証明して見せてと言われたら、超絶面倒臭いヤツと思いませんか?

    彼氏は2×3じゃなくて、a×b=b×aをイメージしたのでしょう。
    ペアノの公理は超簡単に言えば自然数の定義。
    abが自然数なら掛け算の交換法則は成立することが証明されている。
    でもabが自然数以外も含むなら、成立しない場合が存在することも証明されている。

    わたしはこんな言い方でおしまいにする人がいたら,超絶つまんないヤツ,実は何も
    わかってないくせに証明済みですましてお高くとまっているだけのヤツ,と思いませんか?
    と思いました。

    ユーザーID:9533932166

  • 追加レスを見て

    何か勘違いしていませんか?
    小学校で教えるのは表す状態が違うので書く順番にも気をつけましょうということなのでは?
    どうしても証明っぽくしたければ、2×3=3×2の左辺と右辺がイコールでないならば、と想定すればいいんじゃないですかね?
    イコールでないとするならば、左辺の2か3右辺の2か3に違いがなければならない。
    左辺の2と右辺の2が違うのであれば、左辺と右辺とで別のルールで表記されていることになるので、どちらかを統一ルールに書き直す必要がある。設問中にそのような記載はないので左辺の2も右辺の2も同じ2。
    3についても同様。
    従ってイコールでない場合は存在せず、2×3=3×2は成立する。

    別の言い方をすれば2×3=6、3×2=6
    トピ主さんは6=6の証明を要求しています。6が6でない場合は存在しない。
    よって6=6は成立。当たり前と言われても仕方がない。
    2と3をどんな数字に入れ替えても交換法則が成立するかは証明がいるでしょうけどね。
    つまりa×b=b×aの証明。
    「どんな数字」というのがクセ者でね。
    数3レベルのabが登場すると関わりたくなくなる(笑

    ユーザーID:2316285315

  • ブフォッ!

    コーヒー吹いちゃったじゃないか!
    キーボード壊れたら弁償してよね(笑

    >なので、おまんじゅうを長方形にならべて比べて証明します
    じゃじゃじゃああ、饅頭工場でも証明してくれる?
    饅頭24個入り100万箱。
    饅頭100万個入っている倉庫24棟。
    饅頭がどちらも2400万個あることを長方形に並べて証明してよ(笑

    あのね。
    とぴ主が言っていることは証明じゃなくて、乗法の定義。ルール。
    並べてみるというのはルールの確認に過ぎず、証明じゃない。
    他の人が既に指摘済みですが、ルールは証明の対象じゃありません。

    彼氏にめちゃくちゃ同情中。
    トピ主さんの発言は小学生レベル。
    2とか3を何に置き換えても交換法則が成り立つか?というのが学問。証明が必要になってきます。
    ところがトピ主さんは、1,2,3・・・と数えられる自然数のみを対象にしている。
    自然数はペアノの公理で定義される、数字の中のほんの一部。
    彼はそれじゃ証明にならないよーと言ってはいるのだが、トピ主さんの数学力は小学生レベルなので、いっつもペアノの公理のところで諦めざるを得ないのでしょう。

    ユーザーID:2884761378

  • チュン夫さんと木鶏さん

    の書いている事に完全同意。

    どなたか書いているように「証明されている」ですますのもありですが
    なんだかつまらない人生になりそうです。

    数学の内容についてはトピ主さんのレスにあるとおりです。

    ペアノの公理など持ち出す必要はないです。
    仮にどうしても持ち出さないと気の済まないひとだとしても
    それがトピ主さんや他の何人かが書いているような算数の説明とどう関係するのか
    をていねいに説明できないようなひとはやっぱり分かってないです。

    算数や数学はどこまでもやさしく説明できる学問です。

    ユーザーID:6329174277

  • もういっこ

    つけたしておくと こういうはなしで教育上とか小学生にはとか
    そういうのを理由にする事はまちがいです。

    教え方のはなしをしているのではないです。

    また教え方についてコメントするためには自分がよくわかってないと資格がないです。
    ペアノの公理を持ち出すしかできないひとはその例に入ります。

    失礼ながらトピ主さんのご主人もその例に入ります。

    ユーザーID:6329174277

  • 横レスすると

    緑鍵盤さんのかいていることはだいたいあってますけど

    >m*1=1*m であることは乗法の定義から明らかなんだけど
     m*n=n*m であることは上記の証明済みの事項と数学的帰納法で証明する。

    はだめです。

     m*1=1*m であることは乗法の定義から明らか

    ではないです。これだって数学的帰納法が要りますよ。

    ユーザーID:6329174277

  • 確認ですけど

    >小学生向けにはこの程度の説明で良いかと思いますが?

    そういうことを聞いてはいないんです〜。念のためですが。

    算数の教科書の説明は証明になっているとわたしは思います。
    でも夫はまちがいというんです(泣)実は大学の数学ではおちこぼれていたようなんですけど(笑)。

    なんでピアノの公理(定理?)を持ち出す必要があるんですか?

    またピアノの公理を持ち出さないと厳密な証明にならないのですか?それはなんでですか?

    そういうことを聞いています。

    ピアノ(ペアノ?)の定理をいっしょうけんめい説明してくださった方には申し訳ないのですが、
    足し算とかけ算とは何か(同じ数を何回かたして得られる数をあらわす)ってことは
    証明しなくてもいいです。

    だって、
    あることを証明するのにはじめからぜんぶ証明しなくちゃいけないなんてことはないでしょ?

    ちがうの?

    なので、お答え下さるなら、ピアノ(ペアノ?)の定理が「かけざんの交換法則」の証明のどこで
    ピンポイントで必要なのかを教えてほしいです。夫もここが答えられません。
    おうむみたいに「厳密じゃない」を繰り返すばっかりです。

    ユーザーID:2059647772

  • トピ主のコメント(2件)全て見る
  • 何か変だぞ

    交換法則は自然数だけでなく負数、無理数でもなり立つのでペアノとか数学的帰納法で証明することは無理だと思うのですが。どなたかのレスのように背理法で証明するしかないので背理法で証明するしかないのではないのではないのでしょうか?もしかしたら虚数の掛け算についても背理法で証明するしかないかと思うのですが。

    ユーザーID:9635627975

  • 喧嘩しないで

    数学的には証明すべき事でしょうね。しかし
    普通の人は「あたりまえ」として証明なしで使うし、
    別にそれでかまわない。

    そんなに気になるならば自分でパソコンを使って調べれば、
    旦那さんに尋ねるよりもよっぽど納得できますよ?

    ユーザーID:6851238223

  • ムーさん!紛らわしいですよ

    私の文章を引用するなら、引用部分に>を付けて下さいね。

    あなたが面倒と思わないならそれはそれでで構いません。どうぞ懇切丁寧に教えてあげて下さいね。
    私は2×3=3×2の証明はいらなと思っているし、証明したいことがa×b=b×aであったとしても、ペアノの公理をピアノの公理と聞き違って、調べもしない程度の数学知識の人に数3レベルの知識が必要な証明問題を説明する気力はありません。
    トピ主の彼氏も、彼女だからこそ多少の相手をして、実は難しい証明なんだよと伝えようとして失敗したか、途中で諦めたんだと思います。
    まさか2×3=3×2だけの話をしているとは思いませんからね。
    実際、交換法則の説明をしてくれている皆さんはa×b=b×aの証明が必要なんだろうと誤解しちゃいましたから。

    自分から小難しい話を聞いておいて、答えないから無知とかつまんないヤツと思う人がいたら、大変失礼な人だとは思いませんか?
    と思いました。

    ユーザーID:5999186638

  • 証明することと定義することの違い

    >2×3 は 2+2+2
    >3×2 は 3+3
    >これが、なぜ等しくなるのかは、証明が必要
    私は証明すべき問題ではないと思いますよ。
    必要なのは証明ではなく定義(ルール)の説明です。
    2の定義、3の定義、×(掛け算)の定義、+(足し算)の定義
    ルールの説明が疎かだから、なぜそうなるの?という疑問が発生してしまっているだけです。

    エジソンが子供の頃、1+1=1と答えました。(正確には大きな1)
    粘土1つと、もう1つの粘土を足すと、大きな粘土が1つできるじゃないかというのが彼の主張です。
    一休さんか!と最初は思いました。
    登場する3つの1が、同じ状態じゃなきゃだめという説明がされていないせいです。
    100gの粘土も1、200gの粘土も1にしてしまうと、1+1=1の3つの1の中身を説明しなきゃいけない。
    だから1と1は同じ状態というルールが必要になる。
    そして掛け算のルールは3×2なら、3を2回足せ。つまり3×2は3+3というルール。
    ルールや定義は証明できない。だってそう決めたんだから。
    なぜそのルールになったのかを知ることは面白いけど、証明じゃない。

    ユーザーID:5459823412

  • ギムタクさんの説明が正しい

    としたら

    2÷3=3÷2の左辺と右辺がイコールでないならば、と想定すればいいんじゃないですかね?
    イコールでないとするならば、左辺の2か3右辺の2か3に違いがなければならない。
    左辺の2と右辺の2が違うのであれば、左辺と右辺とで別のルールで表記されていることになるので、どちらかを統一ルールに書き直す必要がある。設問中にそのような記載はないので左辺の2も右辺の2も同じ2。
    3についても同様。
    従ってイコールでない場合は存在せず、2÷3=3÷2は成立する。

    別の言い方をすれば2÷3=0.666.....、3÷2=1.5
    トピ主さんは0.66......=1.5の証明を要求しています。0.66......が1.5でない場合は存在しない。
    よって0.66......=1.5は成立。なにかヘンと言われても仕方がない。

    ということですよね!

    よくわかります。

    ユーザーID:3403455629

  • ブフォッ!その2

    ごめんなさい。

    マグマ大使さんに続いてわたしもコーヒー吹いちゃいました!

    あのね。
    一般の法則を帰納的に説明するって知ってますか?

    あとね。定義とルールはちがうし
    まあそれは同じとしても
    並べてみるというのはルールの確認に過ぎず、証明じゃない。なんてことはなく
    並べてみるというのはルールじゃないし、立派な帰納的な説明(証明)ですよ。

    こんなこともわからずにトピ主さんの発言を小学生以下というのに
    コーヒーを吹いちゃいました!

    ユーザーID:9761397074

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