割合?確率?統計? ご教示ください!

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数学苦手

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正解がわからず、もやもやが晴れません。数学が得意な方、教えて頂けますか?

高校の同窓会を企画中で、幹事が打ち合わせに集まった時のことです。始めのうちは「そういえば〜さんとは一度も同じクラスにならなかった」などという雑談をしていたのですが、そのうちに一人が「3年間で一度も同じクラスにならない同級生の割合はどのくらだろう?」「確率とか統計の式で計算できないかな」と言い出して皆で考えることになりました。

例えば一学年160人で1クラス40人の4クラス、毎年無作為のクラス替えがあるとします。
ある人は「1年生で同じクラスにならなかった人は120人、2年目にその中から新しく40人のクラスを編成、さらに3年生でその中から40人でクラスを作ると残りは40人、つまり理論上は4分の1の同級生が同じクラスにならない割合(確率)になる」という意見。単純明快で正解のような気もしますが、なんかひっかかる。

またある人は「1年で4分の3が同じクラスにならない。だから3年間では4分の3の三乗、ほぼ42%が同じクラスにはならない」 でもそうすると、160人中、約67人も同じクラスにならないことになり、間違いだと思うのですが論破がでません。

どなたかこの問題、解いていただけますか? そもそも一定の公式で答がでるのでしょうか?

数学を専門にしている方から見たら、本当にバカバカしい質問だということは重々承知しています(汗)でもでもどうかよろしくお願いいたします!

ユーザーID:3770862260

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  • クラス分けって確率だけでは無い

    理系と文系で分かれたりもするので
    平等なありえない条件を付けないと
    確率の公式に当てはめられません。

    ユーザーID:8919798258

  • 感覚とは違います

    約67人だと思います、説明は他の方にお任せますが。

    レスしたいのは確率と感覚は違うということです。
    よくあるのがクラスに同じ誕生日の人のいる確率。
    どのくらいだと思いますか。
    検索すれば見つかると思います。
    条件によって違いはあると思いますが、予想より多くありませんか。

    また、コインを投げて裏のでる確率。
    10回連続で表が出た後なら、次は裏のほうが出やすそうに思えますが、
    次の1回が裏になる確率は二分の一です。

    ユーザーID:4327063833

  • 42%強で正解

    大して数学強くないけど、4分の3の三乗で正解だと思いますよ。

    1年目に一緒になる人が40人。
    2年目は2回目に同じクラスになる10人と新しく同じクラスになる30人。この時点で、同じクラスになったことのある人が50人、ない人が90人。
    3年目は、3年連続で同じになる人が2.5人、2・3年同じクラスの人が7.5人、1年の時に同じだった人と再び同じになるのが7.5人、初めて同じクラスになるのが22.5人。

    一度も同じクラスにならない人は 90-22.5 = 67.5人。計算合うでしょう?

    ユーザーID:1412766331

  • 例えばの話

     トピ主さんと一緒に入学した1人Aが同じクラスに「ならない」確率p'を考えると,トピ主さんのクラスの他の39人がどう選ばれるかとの観点から,
       p'=(A以外の158人から39人を選ぶ場合の数)÷
        (159人から39人を選ぶ場合の数)
        =(158×157×…×120/39!)/
         {(159×158×…×121)/39!}
        = 120/159
        = 40/53
    と計算されます.
     これが3年間ともそうだ,という事なので,最終的に求められるべき確率pは,
       p = p'^3 = (40/53)^3 = 0.42988… 
      (約43%)
    となります.つまり,1人が口にしたという「4分の3の3乗」が概ね正解だったのです.
     そもそも,「2(3)年の時のクラスメートは,全て1(2)年の時と違うメンバー」と仮定しても,3年間全く同じクラスにならない人数は,159−39×3 = 42人であり,これが最低の人数です.実際はより多くの人数と同じクラスになる機会がない事になりますから,「67人(平均的な値)」も格別おかしな数ではありません.

    ユーザーID:6434678606

  • 計算してみた

    1年目で同じクラスになる確率1/4
    2年目で1年目と違うクラスになった人と同じクラスになる確率=3/4*1/4=3/16
    2年目で1年目と違うクラスになった人とまた違うクラスになる確率=3/4*3/4=9/16(X)
    3年目でXの人と同じクラスになる確率=9/16*1/4=9/64
    3年目でXの人と違うクラスになる確率=9/16*3/4=27/64=42%

    42%で合ってると思いますが、納得できないでしょうか?

    そもそも、可能な限り違う人と同じクラスになったとしても、40x30=120人としか同じクラスになれず、40人は絶対に同じクラスになれません。
    そこから複数回同じクラスになる人のことを考えると、67人で全く不思議ではないと思うのですが、どこに違和感を感じるのでしょうか?

    ユーザーID:3632907609

  • 3/4の三乗が大体近い

    厳密に計算すると90.64...の人と同じクラスになり、68.35...の人と同じクラスにならない。

    本人1が固定なので、同じクラスになるのは159人中の39人、ならないのは120人
    二年目新しく同じクラスになるのは120*39/159=29.43396、ならないのは159-39-120*39/159=90.56604
    三年目に新しく同じクラスになるのは90.56604*39/159=22.21431

    三年間で同じクラスになるのは90.64827、ならないのは68.35173

    ユーザーID:8633479563

  • 42.1875%

    >4分の1の同級生が同じクラスにならない

    これだと、1度同じクラスになった人とは再び同じクラスにはならない
    という条件になってしまうので、無作為のクラス替えではありません。
    「4分の3の三乗」が正しいと思います。

    計算を簡単にするため便宜的に
    自分以外に160人の生徒がいてそのうち40人と同じクラスになる、とした場合
    (常に自分のクラスだけ41人になってしまいますが……)

     1度も同じクラスにならない人 3/4×3/4×3/4   67.5人

     3年間ずっと同じクラスの人  1/4×1/4×1/4    2.5人

     1年と2年で同じクラスの人  1/4×1/4×3/4    7.5人

     2年と3年で同じクラスの人  3/4×1/4×1/4    7.5人

     1年と3年で同じクラスの人  1/4×3/4×1/4    7.5人

     1年の時だけ同じクラスの人  1/4×3/4×3/4   22.5人

     2年の時だけ同じクラスの人  3/4×1/4×3/4   22.5人

     3年の時だけ同じクラスの人  3/4×3/4×1/4   22.5人

    たぶん計算上はこんな感じだと思います。

    >3年間で一度も同じクラスにならない同級生の割合はどのくらだろう?

    42.1875%

    ユーザーID:5834488245

  • ものすごく単純に考えて

    一学年が160人。一クラスが40人。三年で全員でのべ480人。一クラスがのべ120人。480分の120。よって同じクラスになる確率が4分の1。
    だからそれ以外が4分の3。

    違いますか?ちなみに数学は苦手ですが算数は大好きです。

    ユーザーID:5941735474

  • 159人で計算すると

    >一学年160人で1クラス40人の4クラス
    >3年間で一度も同じクラスにならない同級生の割合

    トピ本文のとおりに自分を160人の中に含めて、改めて計算すると
    (120/159)^3 = 0.4298850729 約43% 159人中約68人、になると思います。

    ちなみに、3年間ずっと同じクラスの同級生は
    (39/159)^3 = 0.0147571485 約1.5% 159人中約2.3人

    合ってるかな……。

    ユーザーID:5834488245

  • ちゃんとしてます

    まもーんさん。
    >理系と文系で分かれたりもするので
    >平等なありえない条件を付けないと
    >確率の公式に当てはめられません。

    トピ本文にちゃんと
    >毎年無作為のクラス替えがあるとします。
    と条件がついてますよ。数学の問題の定型ですね。

    なお、答えは(120/160)^3=27/64=0.421875で合ってます。

    ユーザーID:5650679224

  • いやいや

    こんなの数学が専門とかってレベルの話ではないです。

    >またある人は「1年で4分の3が同じクラスにならない。だから3年間では4分の3の三乗、ほぼ42%が同じクラスにはならない」 でもそうすると、160人中、約67人も同じクラスにならないことになり、間違いだと思うのですが論破がでません。

    間違いじゃなく確率的に正しい計算ですから論破できるわけがありません。
    それが正解です。
    統計学的に突き詰めるともうちょっと複雑にはなりますが、単に確率だけを求めるなら上記の計算で正解です。

    ちなみに
    >「1年生で同じクラスにならなかった人は120人、2年目にその中から新しく40人のクラスを編成、さらに3年生でその中から40人でクラスを作ると残りは40人、つまり理論上は4分の1の同級生が同じクラスにならない割合(確率)になる」

    こちらは明らかな間違いです。
    前提の無作為にクラスを編成するという条件が反映されておりません。

    ユーザーID:1583402116

  • 細かいことを言うと

    3/4の3乗ではなく、120/159の3乗が正解です。
    まあ、誤差みたいなものですが、数学の問題だとすると3/4の3乗では減点されるおそれがあります。

    ユーザーID:1583402116

  • まずは、無作為ということについて

    数学得意ではありません。(大学1年のとき、数学と統計学を落として追試となりました。)
    なのに、厚かましくもレスします。苦手なもの同士ということで・・・。ヘヘヘ。

    40人が不正解の理由を説明します。

    >>毎年無作為のクラス替えがあるとします。

    トピ主さん、こう書いてらっしゃるのに、

    >>ある人は「1年生で同じクラスにならなかった人は120人、2年目にその中から新しく40人のクラスを編成

    これでは、1年で同じクラスになった40人は2度と同じクラスにはならないと考えて除外していらっしゃいます。
    つまり、無作為ではなく、「繰り返し同じクラスになることはないものとする」という新たな条件を付け加えていらっしゃいます。
    本当に無作為なら、1年も2年も同じクラスという人がいますから。
    1年→2年、2年→3年、1年→3年,1年→2年→3年というぐあいに、複数の学年で同じクラスになる人をハナから除外するなんてできないはずなんです。

    ところで、まちーんさん

    >>理系と文系で分かれたりもするので 平等なありえない条件を付けないと

    だから、トピ主さんは「無作為」と書いていらっしゃるのではないですか?
    理系だ、文系だというのを考えるというのは、無作為にはならないと思います。

    ユーザーID:2510119062

  • 計算上は

    クラス分けが毎年、完全に無作為と仮定します。

    トピ主様の他に159人の同級生がいる。
    その中のひとりをXさんとする。
    1年目、トピ主様のクラス以外には3クラス分の120人がいる。
    Xさんが159人の中からその120人に選ばれる確率は120/159=40/53。
    すなわちXさんがトピ主様と別のクラスになる確率は40/53。

    2年目、Xさんがトピ主様と別のクラスになる確率は同じく40/53。
    ゆえに、2年続けてそうなる確率は(40/53)×(40/53)=1600/2809。

    3年目、Xさんがトピ主様と別のクラスになる確率は同じく40/53。
    ゆえに、3年続けてそうなる確率は(1600/2809)×(40/53)=64000/148877。
    この値は0.429885...■0.43。名ばかり臨床検査技師様の答と同じです。

    トピ主様の同級生159名はこの確率でトピ主様と3年間異なるクラスに
    なるので159×0.43=68.37、約68名はそうなるだろうと予想できます。
    もちろん確率上の話ですから必ずこの値になるわけではありません。

    ユーザーID:1711866415

  • お蔭様ですっきりしました!

    「4分の3の三乗」という考え方で正解だったのですね。

    名ばかりの臨床検査技師様に提示して頂いた計算は、私にはちょっと難しくて何度も読み返してなんとか納得、その後たか様のご説明で大変よく理解できました。sk様もわかりやすく書いて下さってとても参考になりました。

    そして数が苦さまの「感覚とは違います」という文でさらに納得! 

    わざわざお時間を割いてレスしてくださった皆様、本当にありがとうございました。

    次の幹事会でまた話題にしてみます。4分の3の三乗といった彼の得意そうな顔を想像するとちょっとしゃくですが(笑)

    ユーザーID:3770862260

  • 解りやすいご説明、ありがとうございます

    その後もレスをありがとうございます。

    prison3188様、わたわった様 わかりやすく書いていただいて、とてもよく理解できました。お時間をさいてレスをくださりありがとうございました。

    私は中学2年生ぐらいから数学が苦手になり、高校では文系なのになぜか数3までが必修で、赤点をとらないように四苦八苦していました。でももし中学や高校の数学の先生がお二人のような方でしたら、私も「数学大好き」になっていたと思います!

    それからトピ文では「3年間同じ人と同一のクラスにならない」という条件をつけているのですから、もう「無作為のクラス替え」ではないのですね。気がつきませんでした。ご指摘ありがとうございます。

    ユーザーID:3770862260

  • 感動してます!

    2つ目のレスをした後にレスをくださった飛角様、やさぐれパンダ様、抹茶様、そしておじさんですが様、「数学が専門」などというレベルとは程遠い、こんな低次元の質問に丁寧なレスを下さって本当にありがとうございます。

    中でもおじさんですが様の解説、とてもわかりやすくて納得できました。

    日常のちょっとした疑問にこんなに真摯な答を頂けて、感動していまいました。これからも何かわからないことがあったら「小町できいてみよう」と病みつきになりそうです!

    ユーザーID:3770862260

  • 違いますよ

    >「3年間同じ人と同一のクラスにならない」
    >という条件をつけているのですから、
    >もう「無作為のクラス替え」ではないのですね。

     いや,そうではありません.
     作為とは,「クラス替え」という行為に対して何らかの意図的操作を加える事を指すのであって,クラス替えの結果としての「誰かと同じクラスになる(ならない)」という現象に関して作為があるのないのと言うなどは,全くのナンセンスです.失礼ながら,斯様な事は数学ができるできないという以前の問題ですよ.考えようによっては,寧ろ,無作為のクラス替えだから,「誰かと3年間一度も同じクラスにならない確率」云々という話に繋がる,とも言えます.
     因みに当方が前回お示しした計算式は,無作為のクラス替えという前提でのものです.もし例えば,「X(トピ主さん)とYは絶対に同じクラスにならないようにしよう」というような”作為”が働いた場合は,他の生徒Zがトピ主さんと3年間一度も同じクラスにならない確率は,約42.7%となり,前回の約43%より多少低くなります(これは当然そうですね,Yが無条件にクラスメートから排除されていますから).
     要は,最初のトピ文に別段問題はないという事です.どなたのレスか失念しましたが,然様なものに惑わされる事はありませんよ.

    ユーザーID:6434678606

  • 4分の3の三乗は正解ではない

    >「4分の3の三乗」という考え方で正解だったのですね。
      ↑↑↑
    何名かのコメントにもあるように、「120/159の三乗」が正解です。
    「3/4の三乗」はあくまでも“おおよその値”でしかありませんので、
    数学的には不正解です。
    その彼は得意そうな顔ができるほどではないですね。

    ユーザーID:3859004971

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