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ディラック方程式を理解したいのですが。

白築 慕
2018年11月26日 0:36

ディラック方程式を理解したいのですが、必要な分野を教えてください。
シュレディンガー方程式にローレンツ対称性を導入するとできると軽く伺ったのですが。
もう少しくわしくお願いします。 

勉強方法などのアドバイスもいただけけるとありがたいです。

ユーザーID:4063891447  


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タイトル 投稿者 更新時間
私が好きな本を紹介します
pax
2018年11月28日 0:21

あなたさまがどのような立場の人、ディラック方程式を理解してどうしたいのか存じませんが、ここで質問なさるということは、理学部の学生ではなく、発展的な高校生、他分野の学生、しかし数学や物理に興味があるという人で、線形代数、解析学、微分可能多様体の初歩などは既知でさらに当方程式の導出に興味ある人と想定して書きます.

私自身は文系志大学出身の者で、哲学を学ぶときの補助線として抽象的数学を鑑賞し、数学の応用例としての物理に少し興味を持ち、ディラック方程式そのものに対して無知の還暦超えた者です.

本の名は 

数学から物理学へ 竹内外史 著 日本評論社 

私が文系大学卒後哲学に興味をもっていたとき数理系大学院の学生だった友人から強く勧められた本です.最終章で目的とする方程式が導出されてるのですが、数学的側面が強調されて物理的解釈は少ない印象です.数学の勉強でどんどん基礎に没頭してしまいもたもたしないで概略を知ろうとするには便利な本です.私の年代の者が学生時には、この著者の本であればどの分野でも読破するというファンがおったそうです.因みに著者の専門は論理学です.私が想定した立場の方には丁度良いと思います.

ローレンツ群からスタートします.特殊相対性理論がそこであっさりと説明され、テンソルから微分可能多様体、ヒルベルト空間、位相群と数学の側面が展開されていきます.大急ぎで数学を鳥瞰するのに便利と思う.

当方程式が意味する物理学そのものの紹介はディラック自身の講義録の

ディラック現代物理学講義 培風館 

が有名ですが、物理学に詳しい方々のレスを参考してください.

ユーザーID:6473064053
群とその表現
ホーク
2018年11月28日 19:17

ディラック方程式をちゃんと理解しようとするならば、
あまり「シュレディンガー方程式」という概念に固執しない方が良いです。

鍵の概念は「群とその表現」と「場の理論(場の量子論の手前)」。
具体的には、ローレンツ群とそのスピノール表現、そこから導出されるローレンツ不変なスピノール場の作用。

厳密には、並進の生成子である微分演算子を含む必要があるので、
ローレンツ群+並進=ポアンカレ群
のスピノール表現、となります。

「群と表現」についてだけ簡単に。
ローレンツ群は、様々な方法(■行列)で表現することが出来ます。
有名なのがいわゆるローレンツ変換の行列で、4次元ベクトルに作用する 4行4列の行列による表現、言い方を変えると、4次元ミンコフスキー空間(4次元時空)における「回転」行列による表現方法です。
スピノール表現というのは、同じローレンツ群を別の方法(=行列)で表現したもので、パウリ行列という 2行2列の行列を組み合わせて 4行4列の行列にしたものを使います。
4行4列ではあるんですが、上記の 4次元ベクトルを変換するものではなく、ディラック粒子の 4成分(スピン上下×粒子・反粒子で 4通り)を「回転する(混ぜる)」ものになっています。

ユーザーID:0968379211
群とその表現(続き)
ホーク
2018年11月28日 19:19

抽象的な群を、具体的な行列で表現しようとすると、様々な表現の仕方がある、といった雰囲気。

ローレンツ群のスカラー表現は、ヒッグス粒子やインフレーションを引き起こすとされるインフラトンなどのスカラー粒子(ボソンの一種)を記述する。
スピノール表現が、ディラック粒子(電子と陽電子)やニュートリノなどのフェルミオンの一種を記述する。
ベクトル表現が、電磁場(光)に代表されるゲージ粒子(ボソンでもある)を記述する。
テンソル表現が、例えば重力場を記述する。
などなど。
現代物理の量子論・相対論は全て、この「群とその表現」で「統一」できます。

教科書を挙げておきます。

元祖であるディラックの考え方に近そうなのが
大貫義郎「ポアンカレ群と波動方程式」

割とスタンダードなのが
Peskin & Schroeder "An Introduction To Quantum Field Theory"

日本語だと
九後汰一郎「ゲージ場の量子論 1」

無料公開されていて、記述がシンプルなのが
David Tong "Lectures on Quantum Field Theory"

これらの本で、Dirac equation とか自由場の spinor とか付いている章を読んでみて下さい。

ユーザーID:0968379211
参考文献
サルバドル
2018年11月28日 22:51

バーブワー理論から始めてはどうでしょうか?
その道の権威であるカナリス イサク氏やトーヘルメイム氏の著作が詳しいかと。
長らくパースヘイゼル理論が正しいとされてきましたが新説ヴィルボス計算式について大変よく書かれております。

ユーザーID:6332688941
2度目です.訂正事項です
pax
2018年11月29日 16:45

「数学から物理学へ」

という本を紹介しました.
久々で懐かしかったので引っ張り出して読んでみると上記タイトル部分に気づきました.

最終章でディラック方程式が導出されると書きましたが、理論的帰結として明示的に導出されてるのではなく、どういう変換でこの方程式の性質?が不変なのかが紹介されてます.この辺はあなたさまの疑問点と関係あるかも...?

ページ数の都合でこの章ははしおってる感じがしますが、ここではポワンカレ群の簡単な説明やパウリの補題と証明が載ってます.詳細は読んでからのお楽しみ.

この本は相当古い本です.癖が強い本です.その後も良い本が出てると思いますので他の方々のレスを参照してください.

ユーザーID:6473064053
ド素人だけど知っているディラックのこと
あらいぐま
2018年11月29日 20:06

すでにご存知かもしれませんがディラックの学部での専攻は工学でした。y = f(x) で y の値がゼロか無限大ににしかならない工学系で使われる特殊な関数を駆使して何かを証明したそうですが詳しくは知りません。あと、イギリス人の母とフランス系スイス人の父によってバイリンガル教育を強制されたので非常に引っ込み思案のまま成長して数式の世界に没頭したとか、実験物理の方で有名なエンリコ・フェルミとほとんど同時に物理学用の統計理論を考案したとか、アインシュタインにアメリカ大統領のルーズベルト宛に原子力開発を促す手紙を書くように要請した3人の亡命ユダヤ人物理学者、シラード、後に水爆の父と呼ばれるテラー、ウィグナーのうちのウィグナーの妹の夫で「原子力開発は国家機密であるべき」とした3人組の意見におとなしく従った数少ない科学者の1人だったがそれは持ち前の引っ込み思案のせいだったらしいとかのエピソードがあります。

わたしは血迷って経済学を専攻し、偏微分や線形代数に泣かされましたが来世があるなら是非物理学を勉強したいと思ってつらつら来世向けの予習をしています。主さんも自由な立場で勉強されているならいろんな角度からディラックの理論にアプローチしてみてはいかがでしょうか。

ユーザーID:1970477246
学部・院と物理をやってました
hirohiro
2018年11月30日 11:39

今はドロップアウトしてしまいましたが。

高校生や他分野の大学生だとすると
アインシュタインとファインマンの理論を学ぶ本―相対性理論と量子電磁力学入門-竹内-薫
をお勧めします。
物理専攻ならば、例えば、
相対論的量子力学 (新物理学シリーズ (13)) 西島和彦
をお勧めします。

大雑把に言えば、シュレーディンガー方程式のエネルギー表示がE=p^2/(2m) (pは運動量)なのを相対論のエネルギー表示E^2=m^2c^4+c^2p^2で置き換えたのがクラインゴルドン方程式。でも、これだと時間の2解の微分方程式になるので時間が前に進む解だけじゃなく後ろに進む解も出てくるので都合が悪い。そこで、1階の微分方程式に書き直したのがディラック方程式です。

ユーザーID:9058025390
群とその表現
ホーク
2018年11月30日 18:39

ディラック方程式をちゃんと理解しようとするならば、
あまり「シュレディンガー方程式」という概念に固執しない方が良いです。
というのも、シュレディンガー方程式を単純に相対論化すると、
クライン=ゴルドン方程式になるからです(下記、スカラー表現の場)。

鍵の概念は「群とその表現」と「場の理論(場の量子論の手前)」。
具体的には、ローレンツ群とそのスピノール表現、そこから導出されるローレンツ不変なスピノール場の作用。

厳密には、並進の生成子である微分演算子を含む必要があるので、
ローレンツ群+並進=ポアンカレ群
のスピノール表現、となります。

「群とその表現」についてだけ簡単に。
ローレンツ群は、様々な方法で表現することが出来ます。
有名なのがいわゆるローレンツ変換の行列で、4次元ベクトルに作用する 4行4列の行列による表現、言い方を変えると、4次元ミンコフスキー空間(4次元時空)における「回転」行列による表現方法です。
スピノール表現というのは、同じローレンツ群を別の方法(=行列)で表現したもので、パウリ行列という 2行2列の行列を組み合わせて 4行4列の行列にしたものを使います。
4行4列ではあるんですが、上記の 4次元ベクトルを変換するものではなく、ディラック粒子の 4成分(スピン上下×粒子・反粒子で 4通り)を「回転する(混ぜる)」ものになっています。

抽象的な群を、具体的な行列で表現しようとすると、様々な表現の仕方がある、といった雰囲気。

ユーザーID:0928232627
群とその表現・続き
ホーク
2018年11月30日 18:42

ローレンツ群のスカラー表現は、ヒッグス粒子やインフレーションを引き起こすとされるインフラトンなどのスカラー粒子(ボソンの一種)を記述する。
スピノール表現が、ディラック粒子(電子と陽電子)やニュートリノなどのフェルミオンの一種を記述する。
ベクトル表現が、電磁場(光)に代表されるゲージ粒子(ボソンでもある)を記述する。
テンソル表現が、例えば重力場を記述する。
などなど。
現代物理の量子論・相対論は全て、この「群とその表現」で「統一」できます。

教科書を挙げておきます。

元祖であるディラックの考え方に近そうなのが
大貫義郎「ポアンカレ群と波動方程式」

割とスタンダードなのが
Peskin & Schroeder "An Introduction To Quantum Field Theory"

日本語だと
九後汰一郎「ゲージ場の量子論 1」

無料公開されていて、記述がシンプルなのが
David Tong "Lectures on Quantum Field Theory"

これらの本で、Dirac equation とか自由場の spinor とか付いている章を読んでみて下さい。

ユーザーID:0928232627
 


現在位置は
です