高さ×底辺では駄目ですか

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かあさん

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  • 複雑な図形問題や証明問題を解くとき、視点として重要

    まず小学校の段階で重要なのは、図形の各部分の名称を正しく覚えることです。今後、中学高校の数学で図形を学習するときも、底辺、底面、高さなどの名称は同じ。まずそこをしっかり頭に入れないといけません。そして、複雑な図形問題になると、どこを底辺とするか、どこを高さとして考えるかなどが鍵になったりもします。
    底面×高さの公式が、高さ×底面になっていたら、高さや底面の場所が理解できなかった可能性があります。そこをきっちりやりたいから、あえて×なのだと思います。
    また、数学の証明問題などをやるときは、式の順番がとても重要で、そこをゴチャゴチャに入れ変えたら、証明の式として成り立たなくなることも。
    そんな事は、複雑な図形問題になったり、中学になってから意識すれば良いと思うかもしれませんが、急には出来ないんですよ。
    小学生のときから、A×BなのかB×Aなのかの違いを理解して使いこなせている子ほど、中学高校でも数学で躓かないと思います。

    ユーザーID:5941956761

  • どんな問題でしたか?

    そのバツについて、お子さんは納得していないのですか?

    例えば「高さ15センチ、底辺10センチの平行四辺形の面積を求めなさい。」という問題(最初に高さが書かれているのがポイント)で、式を15×10と書いて不正解だった、ということでしょうか?
    小問(1)「平行四辺形の面積の公式を書きなさい」を解答させた後に、小問(2)「面積を求めなさい」であった可能性もありますが。

    どちらにしても、ここでは公式を知っていることをアピールするために、10×15と式を立てるのが正解でしょうね。

    経験上、この問題で15×10と解答する子は、問題文をよく読まず、問題文に出てくる数字を順番に書き、直感的に計算しているだけの子が多いです。
    算数の文章題が苦手な子によく見られる解答ですが、その点、お子さんは大丈夫でしょうか。

    お子さんが、なぜ、15×10と解答したのか確認しましたか?
    お子さんがあえて15×10としたことに、本人なりの意味があるのかどうかが重要でしょう。

    まぁ、平行四辺形の場合は、答えは同じになりますから、そんなのどっちでも良いんじゃないかと言われれば、そういう考えもありかもな、とは思います。

    でも、我が子が、その問題で15×10でマルをもらっていたとしても、私は「あなた、平行四辺形の公式知ってるの?今回はマルになっているけど、これだと公式とは違う式になっている。公式を正しく知っているなら、公式通りに書くべき。バツになっても文句は言えないよ。」と助言すると思います。
    この問題であえて15×10と解答して失点のリスクを負う必要はないのですから、ペーパーテストのテクニックの問題です。

    これからペーパーテストが繰り返される年代だと思いますが、ペーパーテストでは「出題者の意図を考えて解答する」とか「教科書に書いてある通りに解答する」というような練習はしておいて損はないと思います。

    ユーザーID:6930683117

  • 公式どおりに,と最初は思いましたが

    考えてみると平行四辺形の面積の導出は,中央の長方形部分から「飛び出た」三角形部分を反対側に持って行って接合することで長方形に変形して求めたと思います。

    長方形の面積の公式はたて×よこですから,高さ×底辺とした方がむしろつじつまが合っているように思います。

    円の面積の公式は半径×半径×円周率ですが,これは円を平行四辺形に還元させて導出しました。ここで半径は高さに当たりますから,やはり高さが先ということになります。

    こういったことからすると,底辺を先としなければならない絶対的な理由はないように思えます。

    アクティブラーニングや問題解決能力が重視される今,公式の丸暗記は評価されるのに導出の方法も身に着けていてそれを使ったばかりにバツとなったら悲しいことと思います。

    一方,平行四辺形を「間違えて」高さ×底辺と覚えたとして,一生の間にこれにより面積の計算を間違えることはありません。どんなときでも「間違い」とされた式で正しく面積を計算できます。

    むしろバツをもらえばそれは正しくないのだから覚えるべきでないというメッセージであり,高さ×底辺は否定して忘れろということです。だからといって子供が「正しい」式である底辺×高さを覚えられる保証はありません。覚えていないことで,いつか平行四辺形の面積の計算という必要に迫られたとき計算できないくらいなら,「間違い」とされても 高さ×底辺を覚えていた方がよほど有用です。

    「教えられたこと以外は間違い」「教えられていない解法はバツ」という考え方は,算数だけでなく英語でも国語で教わる前の漢字を使うことの減点にも通じています。その根底には「言われたとおりにしないと罰を与える」という,最近問題となる校則と同じ論理があるように感じます。

    ユーザーID:2643630348

  • 先生の回答がちょっとまずいかな…。

    平行四辺形は底辺×高さですね。
    体積を求める場合も基本は底面積×高さでしょう。これから文字式が増えてくると、そういう基本が理解できているかどうかで応用力も変わってきます。
    数学や物理が得意な子、て、そんなにたくさん公式覚える必要ない、てよく言うんですよね。基本がわかってるから、余計な公式覚えなくても答えを導いていけるのです。あー、羨ましい。
    ただ、トピ主様の件については先生の回答がちょっと…。せっかく生徒からすごくいい質問されてるのだから、その時はうまく答えられなくても後からこうなんだよー、先生も調べたよー、ていうフォローがあれば…。こういう疑問、て生徒も先生も勉強するチャンスなのになー。

    ユーザーID:6742915462

  • それだけで終わりではない

    将来の微積分に繋がるので、「『底辺』を高さ方向に積み上げた」というイメージを持つことが重要です。

    ユーザーID:5901567619

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  • 「高さ」は図形をつくる直線ではない

    2回目の投稿です、すみません。
    平行四辺形を構成する直線は、平行四辺形を作っている4つの直線のみです。高さはあくまでも計測した値であり、面積などを求めるために補助的に引いた線です。
    だから、まず平行四辺形を構成する直線である底辺があり、面積を求めるための高さをかけると考えると、底辺×高さだと思います。
    また、直線は点の集合であり、平面も点の集です。点の集合である底辺が高さの分だけ集合したと考えると、やはり底辺×高さになると思います。

    ユーザーID:5941956761

  • 問題が悪い

    問題文に出てきた順序で書いているかどうか確認するためなら、
    順序通り書いたら答えが間違う問題を出せば良いだけです。

    答えがあっているのに、バツにするのは問題が悪く、教師側の怠慢です。


    積分を持ち出している方もいらっしゃいますが、数学的には底辺が下だろうが上だろうが符号を正しく理解していれば正しく求まります。
    「底辺から上に伸びている領域が面積」というのは数学的にはナンセンスです。

    ユーザーID:4243620563

  • トピ文だけを解釈すると

    AxB=BxA という関係を理解して、それに基づいて面積をもとめる回答しているならその回答に問題はありません。

    「積分のイメージ」だとか、「何とかの順番」とかいう意見はまったくナンセンスだと個人的にはおもいます。イメージの仕方なんて個人個人で違うのです。自身の経験から「高さx底辺」と計算する人は理解が低いなんて言う人もいますが、絶対にそれを裏付けるデータは存在していないと思います。仮にその方々が教師でも局所的な経験を誇張しているだけだと思います。実際にそれが証明できるならそのことを論文で出版できます。

    私は理系の大学教授で、数学の学位ももっています。だから何だというわけではありませんが、私が学生の単位をこのようなことで落とせば訴えられるでしょう。

    ただし今回のことに関して言えば回答があっているかどうかというのは、実際の問題と解答を見ないと断言はできません。やはりトピ文はトピ主の主観の上での問題の説明ですから。

    ユーザーID:6844925023

  • 横ですが

     2回目です。そう言えば昔のありました。

     「鶴亀算」、小学生が進学塾で習った方程式もどき(Xが□でYが△)で解いて、小学校でバツになったとか・・・。
     進学塾では中学入試で答えだけ合っていれば良い(?)ので教えていたとか。今はどうか知りません。

     今回の件もこれに似ているいる気がする。
     答えを求めるのが目的か、それとも他の目的かにより、正誤が変わってきますね。加えて問題の出し方での、出題者と解答者の国語力も関係してきて複雑(笑)。

    ユーザーID:3301489080

  • さんすうルールという愚問

    高さ×底辺でダメになるのは「さんすう」ルールだからです。

    算数ではありません。数学でもありません。「さんすう」です。

    日本の小学校の一部でしか適応されない特殊な特殊な言語みたいなものです。

    その環境以外では一切意味をなさず、世間的学問的には何の意味もありません。

    なのでそういうのに従っている教師の下で点数を取るためだけに
    そういうルールがあるんだということを教えてあげて下さい。

    数学的には高さ×底辺でも底辺×高さでも各順番にルールはありません

    ユーザーID:9281329309

  • 高さx底辺は、間違いではないけれど

    長方形、正方形、平行四辺形、ひし形、台形は四角形の仲間です。
    最初の4つは全て底辺と高さが逆順序でも計算式は〇x□です。
    台形のみ(上底+下底)x高さ割る2で覚えませんでしたか?
    これを、高さx(上底+下底)割る2とすると計算結果は同じですが、子どもが図形を理解するうえで、先に上底+下底で平行四辺形の底辺を作り、それに高さを掛けて平行四辺形の面積を求め、2で割ると台形の面積になると説明するほうが理解しやすいので、四角形の面積は底辺を先に置くほうが共通性があり、公式として理解しやすいのです。

    余談ですが、4辺の長さが異なる四角形の面積(四角形として成り立つ定義は書きません)を求めようとすると。
    まず四角形に対角線を1本入れ、その対角線を底辺とする三角形の頂角に垂線を入れたものが2つの三角形の高さです。
    それぞれの三角形の高さをh1、h2とすると、底辺x(h1+h2)割る2となり底辺が各々の三角形の共通項ですから、やはり底辺を先に置くほうが、式としてバランスがいいのです。
    私は教師でも何でもないですが、子どもに図形を理解させるとき、そう教えました。

    ユーザーID:5593293428

  • 小学生なら公式通りにおぼえましょう

    れんこんさんの逆ですが

    「積分のイメージ」だとか、「何とかの順番」
    まずこういたことを教えるというのが必要だと思います。
    理由は小学生だから。

    れんこんさんの言われていることは大学生など
    基礎を終わらせて高等数学に入れている人
    もしくは「1を聞いて10を知る」ような天才児に関してはそうですが
    普通の小学生に対しては
    体積やら積分やらに向けた基礎的な勉強方法としては重要だと思います。

    公的教育は段飛ばしですっ飛んできてる優秀な生徒ではなく
    平均的な生徒を中心に考えるのはしょうがないことですよ。

    スポーツでも同じじゃないですか平均的な子供に対する練習方法は
    大学生やトップアスリートの練習とはまったく違う物じゃないですか。

    ユーザーID:8336558187

  • 台形の場合

    公式は
    「(上底+下底)x高さ÷2」
    だと思いますが、
    「(上底+下底)÷2x高さ」
    でバツになったら、子供になんて説明するんでしょうか?
    底辺を先、高さを後にしてますよね?

    公式は2倍の台形を2つ並べて平行四辺形を作ってから半分にするイメージ。
    ÷2を先にするのは、半分に切ってから並べ替えて平行四辺形にするイメージ。
    折り紙で確かめれば小学生でも両方理解できるでしょう。

    ユーザーID:4243620563

  • 権威主義の出る幕でない

    >私は理系の大学教授で、数学の学位ももっています。

    よくこのような自己紹介を書く人がいますが、全く意味がありません。
    ひとつには、これは教育の観点から考えなければならない問題であること。
    もうひとつは、その自己紹介は一種の権威主義であり、論理で説明・説得する態度ではないからです。大学教授のすべてがそのような権威主義であるとは思いません、というよりも、むしろそのような権威主義とは反対の立場(実証主義)を取る人が多いのではないでしょうか。

    ユーザーID:5901567619

  • 間違いじゃないんだけど、間違い。が正解では?

    面白いですね。確かに逆にしても同じ面積を求めるのでいいのでは、という意見もあるかと思いますが、個人的に将来的に他の面積を求める際の基礎となる考え方としての『公式』であるかと思います。

    他の方が言われるように台形の面積や建築関連の構造物を考える場合の基礎としての『公式』は『底辺×高さ』なので、間違いではないけど間違いかなと。

    それこそ数学のルールとして底辺×高さが基本であれば、高さを基本とする考え方は邪道でしょう。最初のシリウスさんの

    >底辺5cm、高さ10cmの平行四辺形と、底辺10cm、高さ5cmの面積は同じですが、形が違いますね。

    という指摘はよくわかりました。一般的ではないかもしれませんが計算式→図形を再現することもあるため、その場合、上記の差は決定的な差になります。その差をなくすため、万人の共通認識として【公式】が生まれたのでは?

    もしも正解にしたいのであれば(高さ)○×(底辺)△とまで書けば正解かもしれませんが、数学や算数は【(原則言葉を使わず)数式だけで何か(平行四辺形の形や面積)を表す学問】が定義としてあるはずなのでやはり高さ×底辺は間違いに近いのではないかと思います。

    …と文系の私も考えてみました。アクティブラーニングですね

    ユーザーID:6048352781

  • 別の問題かもしれませんが…。

    仕事で梱包作業をしています
    複数の箱を結束して1個口の寸法で送料が決まります。
    その際、まだ商品がなくても予めカタログで寸法を調べて送料を出す時が
    あります。
    カタログには長さ(底辺長い方)×幅(底辺)×高さ
    で明記されています。
    この寸法の明記が各カタログで違うと1個口の正しい寸法が出ないことに
    なります。

    トピ主さんの投稿については いぬさんの投稿が納得できました。

    ユーザーID:9958307103

  • やっぱり思考の順番が大事かな。と思います。

    高さ。が先にくると、
    どこが起点なの?となりませんか?

    まず底辺があり、次に垂直に上げた高さが決まります。
    単純に、思考の順番ではないでしょうかね。

    身長を測る時に、どこを起点にしますか?
    足元の底辺があってこそですよね。

    その底辺が水平であることも大事だし、
    そこから、垂直に高さを決めることも大事です。

    数学嫌いの私でも、高さ×底辺では×にすると思います。

    いくらなんでも、掛け算は逆にしても同じだから、
    という理由はあまりに雑だと思いますし、
    理論的ではありません。

    教える先生も、公式だから。では心もとないですけども。
    公式は公式なりの理由はあります。

    良くある、2×3=6。3×2=6。問題。
    どちらも同じですが、文章問題によっては、
    内容の意味が変わってきます。

    この辺りの説明は、省きます。

    私も昔は答えが同じなら、逆でもいいじゃないか。
    と思い何故なのか?と考えましたが、
    内容の理解と、順序の大事さが理解出来ました。

    やはり問題をきちんと理解すると、
    2×3=6。が答えではないと、この式は成立しないよね。
    という文章問題があります。

    良く公式は美しい。キレイだ。と表現する人がいますが、
    長年かけて、洗練されたものを、
    逆でもいいでしょ。と、雑なことを言ってしまうのは、
    違うと思います。

    ユーザーID:4164458075

  • 怖い

    私もかけざんの順番にこだわるのはナンセンスだと思います。例えば長方形は平行四辺形のひとつです。だから面積を求める公式もおなじです。同じ公式なのに長方形の場合は「たて×よこ」と覚えることが多いでしょう。このばあいの「たて」は高さです。

    人はそれぞれいろいろな考え方をします。自分にとって考えやすい方法がほかの人にとってもそうだとは限りません。ルールをまもって正しい答えを独自にだして、それが罰せられる教育なんて私にとっては恐怖です。それはみんなと同じ考え方をしない人を排他する考え方です。

    ユーザーID:8815145267

  • 簡単な問題の説明は難しい

    三度目失礼します。

    私は、直線図形の面積を求める場合、図を眺めて垂直な線(高さ)を適当に引きながら、面積の確定する二辺を探します。
    だから、図形的な観点から、「高さが3で底辺が2だから、3×2」と式を立てることはありうると思います(こんなの式を立てるほどじゃないから、実際に自分がどうしているかは分からない)。

    積分については、「y=三次式」のような式の場合、y軸方向にベース(底辺)を取って、横に伸ばしていく(高さ)イメージです。

    算数レベルなら、答えが合っていれば直感的に解いて問題ないと思いますけどね。

    ユーザーID:0029703387

  • 素朴な疑問

    トピ主の子供は、なぜ、高さ×底辺としたのかを、教えてください。

    教科書では、底辺×高さで習ったはず。
    なのに、なぜ逆にしたのか?

    それによると思います。

    ユーザーID:2409707451

  • なるほど

    長方形のコメントが面白かったのでネット検索すると、小学校では長方形の面積を横×縦で計算すると減点されることもあるようです。「縦×横?横×縦?」で検索すると記事が出てきます。

    ユーザーID:8559334296

  • テストには目的があります

    授業の一部として行うテストには、通常は「授業で教えたいことを理解しているか確認したい」という目的があります。

    確認したいことが「(1)公式を正確に暗記していることを確認する」であれば、公式通りでなければダメということになります。一方、「(2)与えられた条件から平行四辺形の面積を計算できることを確認する」であれば、高さ×底辺で計算してもいいし、台形の面積の公式で計算しても全く問題ありません。

    本来なら、目的(1)と(2)では問題文の書き方などが違うはずです。今回のケースでどちらだったのでしょうか? (2)と解釈できるような問題文を作っておいて、(1)でなければダメと後出しで文句を言ってくるようならアホ教師認定してOKです。(1)と解釈できるのに、(2)で答えてしまったとしたら、お子さんの不注意です。

    私には(1)を確認する理由が全く分からないのですが、公式に問題中の数値をパターンマッチで入れて計算すると正答率が上がる! みたいな話なのかもしれません。でも、それって完全にAI読みなので、小学校での正答率は上がっても後で困るでしょうね。

    ユーザーID:5162251084

  • トピ主です。

    すいません、お礼レス遅れました。面白く読ませて頂いています。まだ全部読んでませんが、なるほど〜と思いながら、じっくり時間かけて読んでます。子供はというと、それは公式だからだよ、かあさん、、、って感じなんですが。別に先生に抗議したいとかではなく、単に自分がどうしてなんだろう?と思ったので、このような沢山意見を聞ける場で質問しました。詳しく解説して下さって感謝です!

    ユーザーID:6949108844

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