原因として考えられるのが、あなたの担当者が派遣先の業務やあなたの経験や知識を把握せずにアサインしたことだったり、派遣先に急かされて合わなくても派遣させられたりいくつか考えられます。

結論を言うと、契約満了まで働かなくても違法でも何でもありません。
あれは派遣会社に都合よく作られているもので、３ヶ月経って必要なければそこで契約を打ち切れますというものです。

なので、合わなかったら理由を丁寧に説明し、他を紹介してもらいましょう。
引き留めるのはその人が派遣先に悪く思われたくないからと、他の人を紹介する手間が発生するからで、あなたを思って言っているとは限りません。
人間ができていない担当者は、「この人はもう使わない」と思われるかもしれませんが、そのときは別の派遣会社を使えばいいことです。
派遣会社なんて掃いて捨てるほどあります。
複数の派遣会社に登録して、条件の良いところを契約をすればいいだけです。

自分に合わない仕事を続けて人生を無駄遣いしないように派遣会社をうまく利用してください。

派遣スタッフの中には「辞めたい」と軽々しく担当に言う人もいますので、担当はとりあえず「期限まで頑張ってみましょう」とか「いついつ面談しましょう」みたいなことを言って先延ばししてしまうことがあります。

これを避けるには、「ご紹介していただいたのにすみませんが仕事先で求めるレベルが高く私では勤まらないので、1月末か次の方が見つかり次第、辞めさせてください。本当にすみません」と『辞める謝罪』をしてください。
相談してはダメです。

「来月の中頃に面談を」と先方が言ってきたら、「今、辞める方から引継ぎをしていただいているので先延ばしにすると派遣先のご迷惑になりますし、派遣先が怒って派遣会社を変えてしまうかもしれません。本当に申し訳ありませんが、他のスタッフとの入れ替えをお願いしていただけないでしょうか。出来るだけ早いほうが派遣先の了解を得られそうな雰囲気です・・・。なんとなくですが」みたいに、派遣元が出来るだけ早く派遣先に連絡したほうがよさそうな理由を作ってやるのがいいです。

出来るだけ早いほうが派遣先の了解を得られそうな根拠は必要ありません。
なんとなくそう感じたってだけでｏｋです。

それにしても仕事引継ぎの最中に「私の能力が足りておらず」辞意を言い出すのは少し早い気がしますよ。第三者からすれば少し無責任な気がします。でもまぁ欠勤と言う実力行使に出たのなら早期に辞めた方がいいかも知れませんね。
　正社員なので派遣業法に詳しくはないのですが、辞めるのは労働者の自由なので労基法に則って手順を踏んで辞めれば何の問題もないと思いますよ。
　一旦辞めたいと思ったらとことんその仕事は嫌になると思いますので早期の退職が派遣先もトピ主さんにもいいのではないでしょうか。ただ派遣会社の担当者は嫌がると思いますが。

契約についてはわかりませんが、ずるずるすると引きずるより、あなたが辞めたいのであれば、早めに派遣先と派遣会社に伝えたて辞めたほうがいいと思います。仕事ができないのであれば、迷惑を最小限に押さえた方がお互いのためになるのではないでしょうか？　とにかく、まずはその派遣先の責任者と話し合いをなさってはどうでしょうか？