布がしっかりしていてもカビは、特に薄色だと洗い張りに出しても取れにくいかと思います。
京染屋さんに相談されて、濃い目の色に染め直してから仕立てては如何でしょうか。

私は日常的に着物を着ているので、カビができるほど着ていない着物がないので参考になるかは分かりませんが。
普通のクリーニング店とは違い、着物専門のクリーニング店も存在するので、そちらで相談してみたらどうでしょう？？

仕立て屋さんで依頼すれば洗うサービスがあるのかもしれませんが、洗わずに仕立てを依頼するのは、あり得ないです。

全く詳しくないですが布をカビたり汚れたまま仕立てに出すのは無しなのでは

わからなければ仕立て屋さんにカビた布をどうしたら仕立てに出せるように綺麗にできるか聞いてみてはいかがでしょうか

そのまま持って行ったら、和裁士さんは「え？」と思うかもしれませんが受けてはくれるでしょう。ただ、そのまま仕立ててしまうとカビが残っていてそこからさらに発生して着物全体どころか、タンスの中の着物まで全てカビだらけになってしまう可能性がありますよ。

紫外線でカビを殺すこともできますので、まずはそれをやってから、もしカビによって変色しているのならトピ主さんの身長によってはそこを使わずに済むかもしれませんし、もしくは下前に持って行って目立たないようにもできるかもしれません。

でもまずはカビを落としましょう。

1.仕立て屋さんから悉皆屋さんへ出して貰った後に仕立ててもらう。

2.トピ主さんが悉皆屋さんに出してから、改めて仕立て屋に持ち込む。
　
どっちでもよいと思います。
1の場合の料金は、仕立て屋さんが悉皆屋さんに出す手数料が増えるかもしれませんが、仕立て屋と悉皆屋、馴染みのあるお店を優先すると相談しやすいのでは？

まずは悉皆屋さんに相談するのがよろしいです。

洗い張りという着物専門のクリーニングがあって、着物を解いて反物にして洗います。
一枚を着続けるなら、その着物は着物の一生において、少なくとも三、四回は洗い張りするものです。
その後、仕立て直すんですね。
ですから、悉皆さんと和裁士さんは一緒に仕事をしています。

体型が変わったり、着付けて不具合があったり、その度、洗い張り時に悉皆さんを通して、和裁士さんに相談し、その時々の寸法に仕立て直してもらいます。

カビの具合で、悉皆さんから染め直しの提案があるかもしれませんし、洗い張りでカビが取れる場合もあります。
まずはプロに相談です。

そもそも昔のものなら、反物の幅が狭くて、主様の寸法に仕立てられない場合もあります。
手放すにしても、悉皆さんが相談に乗ってもらえます。

凝る方には、好きな悉皆さんに洗い張りをしてもらった反物を、好みの和裁士さんに仕立て直してもらう方もいます。

今は、若い悉皆さんが、着物コーディネーターみたいにいろんな相談に乗ってくださるような店もあります。
探してみてくださいね。