私は、派遣の方には丁寧に接しているつもりです。
決して嫌味ではありません。
仕事をして、万が一ミスがあった場合の責任はどこにあるかというのを考えた場合、派遣社員には責任はなく、社員に責任があると思っていますので
指示もゆっくり丁寧に言っていますし、チェックを行います。
それが、「仕事ができないと思われている！」と多少なりとも不快に思われているかもしれません。
お茶とか、そのほかの雑用については、私がずぼらなのでやってもらったらラッキー！と思ってしまいます。

お客様扱いをする社員って若手の社員の場合、雑用は自分がやらねばと思ってしまういい子の場合と、あとは、トピ主さんが専門職なのに雑用やらせて悪いなあと思っているかのどちらかではないのでしょうか？
いずれにしても気にしないことです。

トピ主のホッパーです。ひろこさん有難うございます。
専門職といっても、たいした資格ではありません。正社員の方達ももちろんみな同じ資格を持っており、パート経験しかない私なんかよりもはるかに能力が高い人達ばかりです。
なのに、お客様扱いされることに、逆に不安になってしまいました。私はいつも質問ばかりしているのです。というのは、同業者といえどその職場ごとにやり方は違うので、どんなに単純なことでもいちいち正社員に確認してから仕事をするように敢えて心がけています。そういう態度のせいで「この人は、１から１０まで教えないと仕事ができない」と思われているかもしれません。でも、前の職場のやり方をそのまま私が適用して後で問題になったら困るので、やはり最初の２週間くらいは質問攻めにしてしまい、うざがられているかもしれません。
嫌味ではないとひろこさんからレスを頂いてちょっと安心しました。

私はここの会社の正社員、
あなたは期間限定の派遣社員、

私は親分から正式な杯を受けた子分、
あなたは親分が出入りを許可した客分、

ここは私のテリトリーなんだから、
あなたは勝手なことしないで、
小さくなっていなさいね。

という妙な縄張り意識もってる人いますからね。

正社員ではないのですが(ごめんなさい)
レスさせてください。

私が思うには、やはり会社にしてみれば
｢プロ｣を雇っている、という気持ちがあるので、
その気持ちが強い方もいるのではないでしょうか？

お茶入れや雑用などに関しても、
｢そのようなことをやらせるためにあなたを
雇ったのではないはずなのに、
そんなことさせちゃってごめんなさい｣
というように、あなたを高く見ているのかもしれません。

悪意に受け取る人ならば、
｢こんなことやらせるために高い給料出してるんじゃない！｣ってことにもなりうるけれど、
トピ主さんの状況とは違いそうだし。

どちらにしても、
トピ主さんはプロとして雇われているのだから、
それ以外の仕事は｢やってあげてる｣位に思っちゃってもいいんじゃないでしょうか？
それとも、それら雑用等も業務内容として契約に含まれているのでしょうか？

いずれにしても、気にしないことだと思います。

ただ率直に言うと縄張り意識でしょう？

ただ、そこに嫌味が含まれるかどうかはその人によるんでしょうけど。