チーフが動かないなら
その上の上司に伝えることです

仕事の引継をしたいと伝えておく必要もあります
しばらく仕事ができない事、理解してないのかなと思います

メールは証拠に残るので、両方にメールを送ること

スマホなら、ハンズフリーでの会話ができますよ
イヤホンなどを使用すれば、少しはプライバシーに配慮できるかと
談話室のようなところには移動はできるでしょう？

上司の了承をもらえたなら
あとは後任はチーフなのか、別の担当なのかに代わってもらうこと
お客様には対応ができない旨の連絡をすること
をやってもらいましょう

まあ、ここまでやる前にちゃんとしてほしいですよね

上司はお暇でしょうか？おそらくはそんなことないですよね。
人は新しく入ってきたことを優先し、前のことは抜ける可能性が高いものです。

トピ主さんの一番のミスは、「たしかに、チーフから「メールを見た」という返信はもらってない」ことを放置したことです。

メールを送って直ぐというのは失礼でしょうが、数時間後に、ご迷惑を掛けていることのお詫びをした上で、現状の確認メールを送るべきでした。

次のお客様に対しては、基本的にはトピ主さんの案なのですが、

１，チーフに対して、今回のお客様とのやり取りは、チーフにご対応していただく旨をお客様に伝えることを先に連絡。

２，その後、お客様へのご心配とご迷惑をおかけすることへのお詫びと、今回の件はチーフが代行する旨とチーフへの公的な連絡方法をを記載したメールを作成して、宛先はお客様、ccにチーフにして送る。

３，当日の数時間前にも、「ご迷惑をお掛けしますが、本日、宜しくお願いします。」的な内容のメールを、前回同様、お客様を宛先、チーフをccとして送る。

４，対応結果をチーフに確認した上で、改めて、今日はありがとうございましたのメールを、前回同様に送る。

このくらい、フォローすれば大丈夫ではないですかね。

トピ主さんは週末から誰とも直接会話することなく、チーフ宛てにメール一本送って終わっているということでしょうか。その状況で良く返事が無くて平気でしたね。チーフがメールを見てないなら休むことも伝わってないかもしれないのに。

休まれる側からすると突然一週間以上休まれる連絡を、電話も無く、メール一本で休みます、これお願いしますと一方的に送り付けられて、その後何のフォローも無い状態なら、何それ？思うでしょう。手の骨折なら電話位できるだろうと思う人が多いし、チーフも気分を害しているのではないでしょうか。

まずは入院でお休む事、いつまで休むかの見通し、手術明けでベッドから出られず、電話も出来ない無礼のお詫び、ご迷惑をおかけするお詫び、お願いしたい事を後程送ります。
という第一弾があって、相手から休む事に対して了解した連絡があって初めて引継ぎに入るのではないでしょうか。

チーフもお客様が来て初めてメールを確認して怪我を知ったのかもしれませんよね。

返事が無ければ、メールや電話で念押しすべきでした。
引継ぎとは相手が引き受けて初めて成立するもので、一方的に送り付けるだけでは意味を成しません。あまりに無責任だと思います。

通話が難しいとのことですが、絶対安静でベッドから一歩も動けないのでしょうか。トイレもおむつなの？待合室に移動してスピーカーで話す事もできませんか？
別に長々と通話する必要は無く、メールを送ったので見てください、ご迷惑をおかけいたしますと伝えるだけでもいいと思うのですが。

次の引継ぎはメール(しかるべき人にｃｃ入れて）、その後電話一本入れましょう。さすがにもうそろそろ動けるでしょう。その後「先ほどお電話でご説明した件よろしくお願いいたします。ご不明の点はメールでお問い合わせください」と念押しのメールを入れてはどうでしょう。

仕事中の怪我じゃなくて個人的な怪我で休んでいるのに、
チーフつまり上司にメールを送り付けただけでやってもらおうって
ムシが良すぎません？
しかも、上司に判らなかったら連絡して来いって。。。。

まずチーフに怪我で休む事のお詫びをちゃんと電話でして、
それから仕事のお願いをするものだと思いますけど。

「職場への欠勤連絡は、メールではなく、必ず電話で行う。」ってインターンシップの学生でも知ってる事です。

何故メールじゃダメなのか。ちょっと考えれば分かるはずです。
メールを送ったのでは、相手がそれをいつ読むか分からないからです。

「大部屋での通話はちょっとな」などと言っている場合ではありません。
スマホを台に置いて、スマホに顔を近づけて、電話するべきです。

あと、貴方は「しばらく休職」と書いていらっしゃいますが、これが「休職」のはず、ないでしょう。
有給休暇扱いか、単なる欠勤扱いでしょう。
「休職」という言葉の意味をよく知らずに使っていますね。
　
全体的に、分かってないのに、分かったつもりになっている感じがします。

早く回復して、お仕事をがんばって名誉挽回して下さい。お大事に。