これに尽きます。

現段階では上司に対して、退職する旨の｢打診｣をしたに過ぎません。上司としては部下がいきなり退職したりしたら自分の評価に関わるので引き伸ばそうとします。それが｢一年間待ってくれ｣です。今までの経験で、そう言っておけば諦めて退職を止めた人がいたのかも知れません。

ま、後１０日位待って上司から何のリアクションが無ければ、粛々と正規の手続きを進めるだけです。

ところで
〉「次が決まりましたので、無理です」と言えば無事辞め
〉られるでしょうか
と、有りますが実際に転職活動しているのですか？次の会社に採用されそうなのですか？　
もしそうでないのなら、嘘は止めましょう。世間は広いようで狭いですよ！

タイトルどおり内容証明を送付するか弁護士に依頼すればいいと思います。内容証明付き郵便で辞職届を出せば普通は終わりですが、悪質な会社が無視する（その場合結局弁護士に頼むことになる）可能性を考えてはじめから弁護士路線もありです。
こういう会社には、（１）無視すればやめられなくて済むと思っている場合（法を知らない）と、（２）手続きをされなければ辞職届を無視、法手続きをされたらさっさと白旗をあげる、の二種類があるでしょう。（１）の場合、弁護士に頼むのが穏当です。

人事業務をやっていました。
労働者は一定の予告をすれば退職でき、１か月以上前なら法令上の必要日数よりはるかに早い予告ですから、8月末に退職はOKです。会社がそれを止めることはできません。

上司が慰留するまでは問題ないですが、明白に退職を届け出れば、会社が認めるとか認めないという話ではそもそもありません。（ただし公務員は除く。）

有期雇用契約の途中だと法律的には意味が変わってきますが、それでも8月末にやめられないことにはなりません。

「正式に退職を届けた」という形を確保すればよく、就業規則に方法が書いてあればそれに従う、決まっていなければ、押印した退職届を封筒にいれて提出する。
上司が上記の法律わかっていないような人なら、上司でなく人事部署（小さな会社なら社長）に出すことを考えましょう。

有給休暇を使い切る権利が曖昧にならないようにするためにも、人事部署に相談したほうがいいかもしれません。

なお、「あと○万円あがれば頑張ります。」これを言っているために、まだ完全な退職意思表明ではなく、会社と交渉（賃上げ要求）中と解釈される余地があると思います。
その言葉が生きてると完全な退職意思表明になっていないので、完全に退職を決めた（もう変更はない）ことを明確にし、書面で退職届を出すのがポイントです。

会社には「9月以降いなくなる、有給休暇も消化したいので、後任への引継ぎ準備などご指示ください」くらいがいいと思います。

上記の方法で退職するには、労基署も内容証明も必要なく、9月以降行かなければいいだけです。
ただし有給残を取る権利が使えない可能性があるなら、労基署に相談し「労基署に聞いたら消化できるそうなので、消化させてください」というのが会社には効きます。
（労務に関しては労基署は警察と同じです。会社の人事部署には「警察に話をしている」と同じくらい重みがあります。）

退職の意向提示は、口頭でも効力を発揮します。

＞「次が決まりましたので、無理です」と言えば無事辞められるでしょうか。

こんな心配をすることはありません。
相手がなんと言おうと、ただ出勤しなくなるだけでよいです。
それで退職となりますよ。
法的に保障されている内容ですので、気に病む必要はない。