託児所の一時保育・一時預かり
未就学児だけでなく、小学生可の所もあります。
年末年始も営業している所が数は少ないけどあるので、探してみては？

シッター派遣
年末年始は特別料金で高くなりますが、シッターさんにお願いする。
事前登録・面談が必要な所が多いので早めに動かないと年末年始の予約は取りにくい。

シルバー人材やファミサポ
お住まいの自治体が窓口になっていると思うので相談してみる。
活動が活発な地域とそうでない地域の差が激しいです。

ウインターキャンプ
年末年始全日程カバーは難しいと思いますが、子供だけで参加できるウインターキャンプに参加させる。
うちは年中の時にウインターキャンプ（年末２泊３日）に初めて行き、初スキーをしてきました。
どうなることか心配でしたが、友達なしの全くの１人参加でしたが同年代の子とグループ行動だったようでかなり楽しく１人で行けた事がとても自信になったようです。
また行きたいと言いながらコロナで行けず仕舞いですが。
プランによって様々ですが、家から１５分ほどの駅に朝集合で保護者とはそこで別れ、お迎えもその駅へ行く形なので保護者負担は少なかったです。
年末・年始もプランはあったので、コロナ次第になると思いますがウインターキャンプに参加させる手もありますよ。

とりあえず、トピックのことで悩んでいることを職場に相談してみたらどうでしょう。
お子さんはずっと小１というわけではないので、低学年の間の数年だけ年末年始に休みをもらえるように、ダメ元でお願いしてみるのが賢明だと思います。
それで無理なら民間の学童保育かファミサポで預かってくれる人を探してみましょう。

手を尽くして、それでも休めない、預け先がないとなれば、その時に転職も考えてみたらいいと思います。

それにしても、共働きの家庭が普通の世の中になっているのに、学童が休みというのは困りますよね。
介護職・医療職など、カレンダー通りに休めない人は大勢いるのにね。

誰にも預けられないのですね？
職場に連れて行く...も不可能ですかね？
あとは、家政婦や、ベビーシッターをお願いするのはいかがでしょうか？
かなり出費はありますが、数日のことだし安心ですよ。

雪国なら毎日スキースクール入れてる知人います

あとはベビーシッターやファミサポ

年収下がること見越したら、
年末年始10万かかっても　今の職場でもいいのでは?

あとはママ友や知人で有料で預け合える子育てシェア
今から知り合い増やしたり地域で助けてあげたい!ってお節介な人もいるので
無料ではヤダけど有料ならいいよーって人はいるかも
大晦日の夕方と元旦以外は私なら預かりますがね

ご主人と交代で休みましょう。
確かに周りには迷惑かもしれませんが遊びに行くわけではないんです。
そこをなんとかやり繰りするのも施設側の責任でもあるんです。
介護職の方の職場環境の改善と整備も大切な問題です。
ここはしっかりとお休みを主張してください。

普通に考えたらまずは上司にかけあって、ダメなら転職という流れだと思いますが、職場は福祉施設ですよね。だとすると、事前に上司からOKが出ていても実際に休める保証はない気がします。私も福祉職だった経験があるので。
トピ主さんの事情に配慮して、年末年始はトピ主さん抜きのシフトを頑張って組んだとしても、その時になって他の誰かが病気や突発的なアクシデントで勤務できなくなる事もありますよね。ただでさえアルバイトやパートが休みの年末年始、トピ主さん抜きのシフトだけでもギリギリなのが、もう１人でも抜けたら回らなくなる可能性が高くないですか。
大変でも何とかなれば良いのですが、福祉施設ですから法律上、入居者数に対する最低人員は配置しなければならず、それをクリアしようとすると職員が連続勤務を続けるしかなく、今度はそちらが労基に反してしまう…いやそもそも職員の体力も持たない。他の系列の施設から応援を頼めれば良いですが、それも出来ないと、トピ主さんに何とか出れないか？という話しになってしまうでしょ。
そうならない為には、子どもがある程度大きくなるまでは、収入＜働きやすさ（休みやすさ）で仕事を選ばざるを得ないと思います。しばらくは、年末年始など預け先がないときは夫婦どちらかは「ほぼ確実に」休みになる方がいいです。
シフト調整や相談して休みにするのではなく、もとから休みになる職場や職域にしましょう。

トピ主さんは、真面目な方なんですね。
でも、休んでいいんですよ。
両親揃っているのに年末年始にこども1人は可哀想です。

アルバイトがみんな休むから、休めない…
たしかに正社員だからアルバイトのカバーをしなくちゃと思うのでしょうが、トピ主さんがはっきりと子供の預け先が無いので無理ですと伝えてみてはどうですか？それならば年末年始も働けるアルバイトを探そうとなるのではないでしょうか。
まずはかけあってみることからです。
なるべく早めにね。
それでダメなら、次の手（預け先）を考えたら良いと思います。

介護施設は休みが取りにくいということは良く聞きますが…。

ダメ元で施設長（？）に話してみる。
今からなら何とかなるかも。

義母さんにも今から頼む。
上手くすれば一日くらいは休めるかも。

シッターさんに頼む。

他親戚に一日交代でお礼付きで頼み込む。

他の方も言ってますが、ずっと一年生ではありません。
義母さんも夕方のみ来てもらうとか、シッターさんもお昼から来てもらうとか色々な方法があります。
お休みも、午前は行くけど午後は休むとか全休でなくてもいけると思います。
旦那さんと交代で休むでも良いですし。

全部休むではなくて、みんなで一日ずつ休めば何とかなるんじゃないでしょうか？

リハビリということですが、年末年始まで訓練ってするものなのでしょうか？
学童保育も民間から休日預かりありのところまで結構あると思います。