正直にそのまま伝えたらどうですか？
アプリからの出会いだからお互いが本当のプロフィールを書いているのかをちゃんと確かめない？と。

嘘偽りがなければ、名刺でも社員証でも見せるし、運転免許証も見せるでしょう。

そこで「疑ってるの？」と不安を解消するのではなく、疑った事に話を持って行く人なら多分、プロフィールが嘘なのではないかな？と思いますよ。

「アプリで出会ったからどうのこうの」（心配だとか信用できないとか）

という発想になるなら、なぜアプリで出会いを求めるのでしょうか。

信用できない理由をそれのせいにしない出会い方をするしかないのではないでしょうか。

あと、「あの二人釣り合わないね」的なことを
わざわざ本人に聞えよがしに言う人がいること自体が
信じられないですが、
そういう経験がトピ主に限っては複数あるのですか？

二人で歩いているといつも、「女の人は美人なのに、男の人が残念だね」という
会話が、しょっちゅう聞こえるのですか？

失礼ですが、空耳もしくは空想では？

もし空耳でなかったとして、赤の他人、それも心無い人が聞えよがしに言う
そんな失礼な発言に、いちいち振り回されるのだったら
トピ主はその彼がどんなに優しかろうが内面が良かろうが、
さほど好きにならないと思います。
自分が今一緒にいる人より、名も知らぬ二度と会うこともない
ただの通りすがりの人の暴言を気にするのに、
「アプリで出会ったから」どうのこうのという思考回路が理解できないです。
よほど世間体とか噂話に振り回されるような人が、
わざわざ評判も印象も決していいとは言えない「アプリ」で出会いを求めるとは。

もっと、世間一般の目から評価されるような
生き方を貫いたほうが幸せになれるのでは？
それがなんだか私にはわかりませんが、
赤の他人がとやかく言うことを基準にすれば済む話だと思う。

カードの磁気不良、割りと良くある事だと思いますよ。私も彼も私の両親も、一度はやらかした事あります。

他人の声は聞き流せば良いと思います。彼のファッションは、これからトピ主が改善すれば良いだけですし。

出会いがアプリで不安だから、そんな些細な事で不安になってしまうだけだと思います。

その不安、彼に正直に話して、信用できる公的な書類等で身元を確認すれば宜しいのでは。

マッチングは有料の婚活サイトでないと遊びの可能性は高いですね。
クレジットカードが機械に差し込むタイプならICチップなので磁気不良はなく、滞納者です。　店員にカードを渡してバーコードリーダーに読み込んでいたなら磁気タイプなので、磁気エラーもあります。なお、通常、JCB、VISA、マスターカードの3種類は持ち歩いているかと思います。別のカードで決済したのでしょうか。もし、別のカードを出さずに現金払いにしたら、カード払いができないお金がない方だと思います。借金がある可能性が高いです。
また、現金払い時にトピ主さんに半額出させているなら、割り勘でのお付き合いでしょうね。

本人確認はお付き合いの大前提ですから、公務員なら興味本位からの目線で名刺を（見せて）もらいましょう。その際、電話番号・所属部署・役職は憶えましょう。なお、公務員は若い人も名刺はあります。無いなら怪しいし、忘れたなら住所と部署名を教えてもらい、今度名刺見せてねで相手の出方を見ましょう。
また、車の所有やドライブ等から運転する言質をとれば、免許証はゴールドですか等の話から、免許証を見せてもらいましょう。そこで住所・氏名・生年月日を覚えましょう。裏面も見て転居していないかは必要です。なお、免許証番号の1桁目は免許証の再発行回数なので0なら紛失がないですが、1なら1回再発行、2なら2回再発行なのルーズさも確認できます。
もし、相手がごねたら嘘か遊びのお付き合いで間違いないです。深入りしないか、付き合う男性には社員証か名刺と顔写真の入った免許証の両方を見せてもらえない限り、真剣なお付き合いはできませんと言い切る必要はあるでしょう。
確認できたら、後で勤務地の場所・部署の存在・電話番号の確認と自宅を確認してみましょう。家が大きいなら休日、実際に現地に行き、洗濯物や自転車等から既婚者か否かがわかると思います。

昔のお見合いだったら、仲人経由で自己紹介書を見せ合います。
だから、相手の素性は、はっきりわかるのですが、
アプリだとわからないですね。

娘も結婚した相手とは、いわゆるチャットで知り合ったので
相手の素性をはっきりさせるために、お互いに、自分の
家族の経歴など書いた自己紹介書を書いて交換しました。

それを確認したので、安心して付き合い、結婚することに
なったのです。

だから、彼に、お互い安心するために、簡単な家族などの自己紹介書を
交換しない？と言ってみたらどうでしょうか？

それに対して、拒否反応するのだったら、何か問題があるのでしょう。
交際は止めたほうがいいと思います。

磁気不良、たまにあります。

キャッシュレスのほうがいいのかなと思う場面が増えてきたので、カードを使う場面がかなり増えました。
この１年で２回ほどあります。
１回目は「えー？滞納してないよ？？ちゃんと引き落としになってるよ！？」と焦り、２回目はカードをまじまじと見ていたら「ICチップのあたりがそういえばかなり擦れてきてるから接触不良みたいな感じ？」と思いました。
有効期限はまだ１年くらいあるけど、新しいカードが届く前に交換してもらわないとダメなのかなと思う今日この頃です。

＞道を歩いているとたまに周囲の人に「美人なのに（彼氏が残念）」

トピ主さんの耳に聞こえたのは「美人なのに」という単語なのに、なぜ「彼氏が残念」と言われていると脳内変換されたのが不思議です。
「美人なのに（センスが悪い」「美人なのに（靴が汚い）」などトピ主さん自身に向けられているかもしれないのに、なぜ勝手に「彼氏が残念」と自分で判断するのでしょうか？

＞「彼氏が公務員か、エリートなのかな？」

見た目が公務員ぽいだけでは？

道を歩いていて「美人」と言われるほどの女性でしたら、アプリなんかに頼らなくても引く手あまたのはずです。現状そうでないなら、聞こえてきた声はトピ主さんに都合よく脳内変換されたもの、つまりは勘違いです。

＞不安を解消して、彼の身元をハッキリさせたいです。どうすれば？

調査会社にでも依頼するしかないのでは？確かにお金はかかるでしょうが、安易な出会いに手を出したのですから仕方ありません。

ICチップのクレジットカードで決済できない可能性として、他のクレジットカードが使えたのなら利用限度額超過の可能性もあります。まあ、1か月延滞ならクレジット会社も個信にも情報を出さないので他のクレジット会社のカードの利用はできます。
基本チップ不良の確率は磁気タイプと違いかなり低いです。チップ自体の強い物理的な衝撃があれば別でしょうが。