竹内農園　特別栽培カリカリ梅干
は紫蘇・塩・小梅のみ原材料名に載っています。メキシコ産天日原塩を使っているそうですよ。紀州の農園ですよ。

「カリカリ小梅」
「梅干しのカリカリのやつ」
どちらをご所望なのでしょうか？
両者は製法が違います。

カリカリ小梅はカリカリになるように作られています。
梅干しのカリカリのやつは、ぶっちゃけ梅干しを作ってすぐに出荷するだけです。
長時間置けば柔らかくなります。
梅干しのカリカリのやつで良ければもう紹介がされているので割愛。

カリカリ小梅がご所望ならトピ主さんご指定の原料だけでは作れないので「存在しない」が正解だと思います。
故郷のご老人たちが作っていたのは単純な梅干しで、未成熟梅（小梅）だと浸かる速度が違うので小梅は小梅で別に梅干しを漬けていたのを早い段階で口にしただけでしょう。

カリカリ小梅がカリカリのままな理由。
梅にはペクチンという成分が含まれています。
そのままだと梅の実は時間の経過とともに柔らかくなっていきます。
そこでペクチンにカルシムを結び付けてペクチン酸カルシウムという物質に変化させます。
これが梅の実の軟化を防ぎ、カリカリの状態を保ってくれます。

製法ですが
カリカリ梅は、梅干しのように天日干ししません。
ですから雑菌の処理や小さな虫を除去するためにホワイトリカーに付け込みます。
その時、先ほどのカルシム分も加えます。
一般的に大量生産する場合は酢酸カルシウムを加えます。
さらに言えばカリカリ小梅は子供のおやつにもなるので、あまりしょっぱくできませんから、どうしたって塩を控えめにしたい。
そこでサトウキビを発酵させた後に乾燥させた調味料を加えて味を調えます。
この調味料はアミノ酸系とかグルタミン系とかに別れているので、表示上は「調味料（アミノ酸）」となります。
別に変なものは添加されていないのでご安心を。

これが嫌なら自作ですね。
カルシム分は鶏卵の殻で代用すれば天然成分だけになります。
が、塩だけだと尖った味になりますよ。
要はしょっぱいだけ。