＞私のどんなところがまずかったのか、どうすればよかったのか、などアドバイスいただけると助かります。

流れだけですから、なにが悪いかはわかりません。

ただ

・幼稚園や学校、近所のママさんと親しくなる
・気がつくといつもお誘いしたり（コロナで今は控えてますが）連絡するのは私の方
・そっけない返事（スタンプのみなど）が来ると「迷惑なのかな？」と不安になる

という事で、お誘いされて何度か会うと（一対一なのか複数でなのかわからないけど）、気が付かないうちに悪気なく失礼を働いてるのではないかなと思います。

・久しぶりに行事などでばったり会って挨拶すると、避けられたり、不機嫌そうな態度を取れられる

これは避けられてる？って先入観もあるかもだから本当はどうかもわからないけど、本当ならあまり関わりたくない相手と思われてるということですし。

1〜2人なら合わない人だったのかなって感じですが、いつもそのパターンなら、悪気なく何か失礼してるのだと思うのですが…。でも悪気なくだから、自分の何が相手に失礼なのかって振り返って考えてもわからないですよね。

私が何回かランチや親子で遊んたりして、その後避けた方が申し訳ないけど数人います。参考までにどんな方だったか書くと
・下ネタや噂話ばかりなど会話に品がない
・お金の話が多い（多分謙遜のつもりで貧乏ネタばかり）
・子供の成績やお稽古のこと根掘り葉掘り
・夫や義実家の愚痴ばかり
こんな感じで本来楽しい時間が苦痛の時間でした。

いつもどんな話題が多かったですか？それを振り返ってみたら改善するヒントがあるかもしれません。

トピ文の流れから思うに、誘うのはいつもトピ主さん。（私も誘ってばかりです）素っ気ないスタンプが来てなんとなく不安になり、連絡を控える。
つまり相手からしたら、トピ主さんと同様、誘ってくれなくなったのは何か気を悪くしちゃったのかしら？になって相手も不安になっている。
久しぶりに会ったら普通に挨拶してくるトピ主さんに戸惑いを感じている。
最近は連絡もしてこないのになんなの？…とこんな感じ。
私から言わせれば相手の方が自己中な考えなんですけどね。誘ってくれなくなったと文句を言う人。自分からは誘わないくせにって思います。

この場合トピ主さんは全く悪くないです。悪くないけど、誤解を招く対応をしてるかもですね。
そもそも簡単なLINEのスタンプの返信を深読みするのが原因です。
トピ主さんを嫌っているなら返信なんてしないし、誘いにも乗らないです。
素直に受け止めてやり取りした方が自分も楽ですよ。

もともとトピ主さんから連絡しないと何もない関係なのですから、トピ主さんがそれをしなければ疎遠になるわけで…。こちらからの連絡ばかりだけどそれでも仲良く付き合っていきたいと思う人であるかどうかが大切なのでは？

お誘いというのはランチとか、お家でお茶とかでしょうか。
何かまずいところがあったとしたら、お誘いの頻度とか会った時の会話とかではないでしょうか。
ただ流れを挙げられても分かりませんよ。
このトピの内容で、どんなところがまずかったのかアドバイスが欲しいという時点で少しズレているように感じました。
そういう所じゃないですか？
だって「この流れがまずかった。この流れに問題がある」と思ってますか？
貴女がお誘いしても断られて一度もランチした事無いと言うなら誘い方とかの問題にもなりますが、何度か会って疎遠にされるなら会った時に何か問題があったと考えるのが普通だと思います。
・何か気に障る事を言った
・会話が何か噛み合わず相手が会いたいと思えなくなってきた
・そもそも親しくなったと思っているのは貴女だけで、相手はそれ程とは思ってなかった

人付き合いが不器用でいつも同じ様な感じで失敗する
そういうタイプの人は距離感で失敗したり、上手く会話しようと空回りして余計な事を言ってる事が多いです。
あとは相手がどう思ったか過剰に気にしてオドオドビクビクしていたり…
何か心当たりはありませんか？

私が避けたい、もう遊びたくないなと感じる人の特徴は、自分の話ばかりする人、会話泥棒、ネガティブな話題や人の愚痴ばかり、店員さんにタメ口を使ったりえらそうにする、子供を放置するまたは理不尽に怒鳴ったり脅したりする人、かな。

人付き合いが苦手な人がしがちなのが、なんとか会話を繋ごうと必死になって自分の話ばっかりすること。
相手が話しているときもなんて答えよう、そうだ！あの話をしよう！とか頭で考えているから相手の話が入ってこず会話が噛み合わない、結果この人といても楽しくない、、、となります。

実際そういうママさんがいてすぐに疎遠になったので書きました。

付き合う相手を厳密に選ぶ人なんかに当たると不幸ですが、いつも同じパターンということはトピ主さんになにかしら原因があるのかもしれませんね。

でも、その中で仲良しな人はいませんか？
無理するより、そういう人を大切にしていくほうがいいと思います。