シフトを変わるか変わらないかは
とぴ主の判断次第。

子供の体調不良は夫婦で対応するべきこと
どうしようもなければ病児保育園
それも無理ならシッター
それでもダメなら
同僚に頭を下げる
という順番があります。

夫には頼まないし
金も使わない
という態度なら、
同情の余地なしなので、交代する理由がありません。

小さな子供がいるのだから人に迷惑をかけていい理由なんて
ありません。

そんな考えず、変われるなら変わって、嫌だったり予定があるなら断ればいいと思います。
わざわざ他人のためにスケジュール調整をする必要はないと思います。

断るべきではないでしょうか。面接で嘘言ったとかは置いておき、あまりにもシフト交替の回数が多いのはふつうじゃないです。みなそれぞれ家庭の事情があり、お子さんが小さいから特に優遇ということではないはずです。
私は昔、自分の子どもが小さいときにバイトじゃないですがおやすみの交替、確かに言いにくかったですが多くて月１程度でしたね。他に何かあるかなぁ？と思います。しょっ中具合が悪くなるお子さんなら、もっと他の仕事にするべきです。少なくとも、他の誰かにしょっ中迷惑をかけるような状況は、今後のその人の働き方も含めてあまり良くないです。
私の場合、昔、逆に先輩で、連勤が続くと私にばかりシフト代わって～って言ってくる人がいて、はじめのうちは、ハイハイ、って交替してましたが、別の人に言われました。プライベートすべて犠牲にしてまで助けてあげるのは(社会人として)ちょっと違うのでは、と。
その通りだと思って無駄な交替やめましたよ。でも職場は回りました。
パートだろうが社員だろうが、勤務日には休まずに働くのが大前提だし、お互い様の部分はあれど、みんないろいろある、というバックグラウンドを天秤にはかけられないし働く以上は当たり前のことではないでしょうか？
現に主さんは嫌になってきてる。その時点で助けてあげすぎです。他の人もいるし、代わってあげない時もある、というのがその人の為になるように思います。これからずっと働きたいならなおさらです。