「普通だと受け入れてもらえない、紹介者があって初めて入会出来るところに、入りたいと自ら望む人に貴女が強く頼まれ紹介してあげることで念願かなって入会出来た、だのにすぐ辞めてしまった」
こういうケースだと「せっかく紹介してあげたのに」「無理に頼んであげたのに私の顔も潰れた」と怒るのもわかる気がします。

でもトピ主さんの場合は単に「今なら入会金無料で入れるよ」と教えてあげたレベルでしょう？別に貴女の「紹介」が無くても入会出来るんでしょう？それなら何も恩に着せるような話では無いのでは。

運営側は会員を増やそうと必死です。単に「入会金無料キャンペーン」をするだけでなく、会員に「新しい会員を連れて来たらあなたにもこういう特典があります」とエサを鼻先にぶら下げて新しい会員を引っ張って来させようとします。
「新規会員を紹介したらもらえる特典」欲しさに必死で新しい会員を引っ張って来ようとする会員が出現、これが運営側の狙い目。

もし貴女が心底その習い事がよいと思って他人に勧めて相手がすぐ辞めたのなら「私はよいと思ったんだけどあの人には合わなかったのね。ちょっと残念だけど仕方ない。」で済む話だと思う。
その「仕方ない理由」は本当なのか、「カドが立たない口実」なのかわからないし。

でも貴女はなぜか腹を立てたり運営側に申し訳ないと思ったりしている。なぜそんな「会員勧誘の手先」みたいになって責任感じるのか不思議。勧誘特典がよほど大きくて、それをもらったのに新規会員が辞めてしまったから「特典ゲット詐欺」みたいに運営側に思われそうで気が咎めるの？

貴女の得る特典が大きいと、誘われた人も「あの人は特典欲しさに私を勧誘したんだな」と思います。
もしそう思われたら自分の品位を落としかねないから運営の手先みたいになって勧誘することは止めた方がいいかも。

入会金無料キャンペーンは、会員を増やしたくてやっていることです。それをきっかけに通ってさえくれれば、良さが分かって続けてくれるはず、という建て前ですが、どんな習い事でも、続ける人のほうが少ないのが実態です。そうでなければ、あちこちの習い事が満員御礼ですよ。

　1カ月も来てくれれば、あとは続けさせるのは習い事側の腕の見せ所ですが、相性もあるし、結局、友人の根気ですよ。ありきたりなことです。習い事の先生にも、友人にも引きずるほどのことじゃないと思います。