この寒さで死んでしまわないか心配です。
私はアレルギー体質ですが子猫を保護し16歳で天国に逝くまで楽しく暮らしました。
そのねこちゃんはもしかしたら誰かの飼い猫かもしれませんが、警察と保健所にお知らせだけしておいて買ってあげられません？
飼い猫ならこのままでは餓えと寒さで死んでしまいます。
お掃除をまめにすれば大丈夫ですよ。
私が大丈夫なくらいですから。
ご飯をそっと家の中に入れて保護してあげてください。お願いします。
ねこちゃんは本当にかわいいですよ。

私の妹が、元野良で、地域で避妊手術を施された猫を保護して飼っています。　耳もカットされています。　

なので、トピ主さんが見かける猫ちゃんもそういった経緯で誰かに飼われていて迷い猫になったか、あるいは飼育放棄された可能性もありますね。

妹が保護した時、もしかしたら他に飼い主さんがいて探している可能性もあったので、一応警察に届け出ました。　動物は「拾得物」扱いになるんだそうです。　定められた期間内に飼い主さんが現れなかったら見つけた人のものになると。　警察で「迷い猫」のチラシも作ってくれましたよ。

ただ、問題は娘さんの喘息とアレルギーですね。　命にもかかわることですので、無責任なことは言えませんし。　この部分は、かかりつけの医師と相談なさった方がいいと思います。　

・飼い猫でも耳をカットすることはありますか？

保護猫をお迎えした場合、耳がカットされてる場合も考えられます

・この猫は年末には近所でみかけていますが、こんなに長く迷子になっていて捜索していないことってありますか？

なんとも言えませんが、他の猫のテリトリーに入る→追われる→別の猫のテリトリーに入る→追われるの繰り返しで、元の家より遠くに来てしまう事はあります。

また、元の飼い主が遠くに捨てた場合や、さくら猫が捕獲されない様、首輪をしてる可能性もあります。

・警察には「保護して飼い主が見つからなければそのまま飼ってほしい」と言われましたが、それ以外に保護の方法はないですか？

お住まいの地域の猫保護団体を探して、話を聞いてみてはいかがですか？
何かしらの情報を持ってる可能性や、保護してくれる可能性もあります。

・娘は喘息とダニ・ほこりアレルギーが強いのですが、猫を飼うことになったら健康上問題がありますか？

なんとも言えません。
私もアレルギー体質で、酷くなると喘息が出ますが、猫を飼っています。

因みに重度の猫アレルギーです。笑

免疫が落ちてる時や花粉症と重なると症状が出ますが、元々アレルギー体質なせいで気がつかないだけか、不調に慣れて過ぎてて気がつかないのでは？とも言われますが。

もし保護するのなら、一応アレルギー検査は受けた方が良いと思います。
大人なら薬や掃除で管理できても、お子さんには辛いと思うので。

まず質問に答えますねー
・飼い猫でも耳をカットすることはありますか？。・・・飼い猫を、避妊手術後、耳をカットする事は滅多にないですが、以前（野良猫で）耳カットされた猫を飼い猫にするケースは多いです。

・こんなに長く迷子になっていて捜索していないことってありますか？・・・捜索しても見つからない事は多いですし、ご近所の猫でないかもしれません。（首輪つけて）捨てられちゃったのかもしれませんし、色々な猫がいます。

・それ以外に保護の方法はないですか？・・・お近くに動物保護団体はありませんか？個人で野良猫を保護している方もいますので、ネットでお調べてみてくださいな。

・猫を飼うことになったら健康上問題がありますか？・・・お子さんのアレルギの原因が猫（毛・フケ・唾液・その他）であれば、喘息は一層酷くなるでしょうが、ダニ・ホコリのみなら、大丈夫でしょう。でも、やはり、専門家に調べてもらうべきかと思います。

また、飼うと決める前に、その子を捕まえることができるなら、動物病院に連れて行き、『マイクロチップ』が挿入されているか、確かめて貰ったほうがいいです。（今は殆どの動物病院や保護団体でスキャナーがあります）『マイクロチップ』挿入されていて、情報が更新されていれば、飼い主がすぐわかります。

私も去年、うちの庭に現れた野良猫を保護しようとしてます。1日に餌＆水を２回あげ、アマゾンにて猫のハウス（電気毛布付き）を購入、なんとか慣れさせようとしていますが、未だ触ることも出来ません。私は動物保護団体でボランティアをしたり、すでに、家猫２匹いるので、猫の扱いには慣れているのですが、その子は、誰かにいじめられたのか、酷く人間を恐れています。

トピ主さんの猫ちゃん、なんとか保護できるといいですねー

地元の掲示板で
迷子猫を保護している。
飼う事ができない。など…
載せてみては如何でしょうか

トピ主さんさえよろしければ、勝手口に猫ハウスを設置して保護しながら、もらってくれる人ないし飼い主さんを探すのが、猫にとってもありがたいのではないでしょうか。
…トピ主さんが押し出そうとしたら嫌がってひっかいた、って…押しかける気満々ですよ。（想像すると可愛いですけど、猫にしたら真剣ですね…）

娘さんの健康のことには十分留意なさってくださいね。

猫ハウスを用意なさるなら、トイレも置いてあげてください。
そうでないと、ご近所なりトピ主さんのお宅の庭が猫トイレにされます。
また、すでに猫の保護団体さんに相談しておられるとのこと。
引き取って保護するのは無理でも、里親探しの相談などには乗ってくれるところもありますから、事情をお話してもう一度相談なさってみては？あと、保健所も、最近は一定期間をすぎても殺処分にはしない自治体が増えています。
実は、拙宅の２番目男子も、元野良猫で、耳先カットがありますが、マイクロチップいりで首輪もきちんとつけています。
３年前の大型台風の前日、玄関先に半死半生で倒れており、そのままうちの猫になりました。(１番目が高齢で繊細さんな雌なので２頭目を迎える気はなかったのですが、保護してしばらく里親さんを探すも見つからず…。)この２年、普段は完全室内飼いで満足していますが、年明けの発情シーズンが始まったせいか、去勢ずみながらソワソワして外に飛び出そうとします。
トピ主さんから伺った限りでは、その猫さん、居場所が決まって安心すれば触れる猫だと思いますから、獣医師さんに健康診断をしてもらう時、マイクロチップの有無もチェックしていただいてはいかがでしょう。

＞「ペットは断固反対。まだ接触していないので反応が出てない可能性が高いし、毛・ダニなどリスクしかない」と言われています。

私も言われますよ、アレルギーのかかりつけ医に。
重度の猫アレルギーだから、猫と暮らさないのが一番なんですけどねぇって。

友人は子供が猫アレルギーになった時に、「捨ててください」と言われたと大激怒してました。

ノミ・ダニに関しては、きちんと洗い、薬を使い外に出さなければ、人間が持ち込まない限り、殆ど問題がないんですけど、人間の医者は人間のことしかわからないからなぁって、いつも思っちゃいます。

生半可なことをしない方が良いと言っても、今のままではその子は飢え死にするかもしれないし、車に轢かれて命を落とす可能性もある。
何故、保護団体の方は保護できないと言ったんですかねぇ？

野良猫の１番の問題は、子供が増える事ですが、既に耳カットされてるなら問題ない。
２番目はトイレ問題ですが、猫用トイレを使ってくれればこれも問題ない。
３番目のゴミを荒らす問題も、食事を与えられていれば問題ない。

避妊、去勢をしていれば行動範囲も少ないので、問題ないんじゃないかなって思いました。

ダニに関しては、外で暮らすなら仕方ないかなぁ。
一応飲み薬や直接垂らすタイプのノミ・ダニ薬も販売されてるのですが、外にいるとどうしても草むらに入ったりするので、ノミ・ダニがつく可能性は避けられませんが、フードに混ぜてあげるだけでも違うかもしれませんね。

後、もし可能なら、ノミダニ用の首輪は取ってあげてください。

昔祖父母が猫を飼ってた時に、ノミダニ首輪について調べたんですけど、効果は殆どなく、寧ろ危険度の方が高かったんですよね。

アレルギーや誤食で命を落とす場合もあるので、今の首輪で写真を撮ったのなら、他の首輪に変えてあげた方が良いと思います。